精品解析：湖北省武汉市硚口区2024-2025学年八年级上学期期中数学试题

2024～2025学年度第一学期期中质量检测 八年级数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的字母代号涂黑． 1. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 正六边形的每个外角的大小是（ ） A. B. C. D. 4. 一个三角形的两边长为5和10，第三边长为整数，则第三边长的最大值是（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 5. 如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，点在上，若，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 7. 已知等腰三角形一边长是，一边长是，它的周长是（ ） A. 或 B. C. D. 8. 如图，的外角的平分线交的延长线于点，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，点是边的中点，点，分别在边，上，若，则与的面积的和是（ ） A. 18 B. 12 C. 9 D. 不能确定 10. 在凸五边形中，，，F是的中点．下列条件中，不能推出与一定垂直的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，要使六边形木架（用6根木条钉成）不变形，至少要再钉___________条木条． 12. 等腰三角形的一个角是，则它的底角度数是_______． 13. 如图，在中，平分，平分，经过点，与，相交于点，，且．若，，，则的大小是______，的周长是______． 14. 在平面直角坐标系中，已知，，以为直角边作等腰，若点在第一象限内，则点的坐标是______． 15. 如图，在中，是高，是角平分线，点在的延长线上，过点作，交于，下列四个结论：①；②；③；④． 其中正确的结论是______（填写序号）． 16. 如图，在四边形中，相交于点，，，，，用含，的代数式表示的面积是______． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，求这个多边形的边数． 18. 如图，点，在上，，，，与相交于点．求证： （1）； （2）． 19. 如图，在等腰中，，点在上，且，求的大小． 20. 如图，是的角平分线，，分别是和的高，连接交于点． （1）求证：垂直平分； （2）若，求证：． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）如图1，先在上画点，使平分的面积；再在射线上画点．使； （2）如图2．点是与网格线的交点，先画的高；再在上画点．使． 22. 如图，在等腰中，，．点在上，，，垂足分别为，，连接． （1）求证：； （2）若平分． ①求的值； ②若，直接写出的面积． 23. 在等腰和等腰中，，，． （1）如图1，当时，连接，，求证：； （2）当时，是的中点，连接． ①如图2，当，，在同一条直线上时，连接，求证：； ②如图3，当，，不在同一条直线上时，连接，求的大小． 24. 在等腰中，，的垂直平分线分别交，于，两点． （1）如图1，连接，若，的周长为19，直接写出的长； （2）若是的中线． ①如图2，交于点，若，求证：； ②如图3，是的中点，是射线上的动点，连接，作等边，连接，若，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第一学期期中质量检测 八年级数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的字母代号涂黑． 1. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：B、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：A． 2. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点坐标的关系，关于轴对称的两个点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，由此可解． 【详解】解：点关于轴的对称点的坐标是， 故选A． 3. 正六边形的每个外角的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正多边形的外角，正多边形的每个外角都相等，外角和等于． 【详解】解：正多边形的每个外角都相等，外角和等于， 所以每个外角的大小为， 故选：D． 4. 一个三角形的两边长为5和10，第三边长为整数，则第三边长的最大值是（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系求出第三边的范围，判断即可． 【详解】解：由题意：第三边， ∴第三边， ∵第三边长为整数， ∴第三边长的最大值是14； 故选C． 5. 如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—做一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作图的方法和步骤是关键，根据全等三角形的判定方法，以及全等三角形对应角相等，即可解答． 【详解】解：由作图可知， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：D． 6. 如图，，点在上，若，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，即，， ，再利用线段和差即可求解，解题的关键是熟练掌握性质的应用． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：． 7. 已知等腰三角形一边长是，一边长是，它的周长是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，由等腰三角形的定义及三角形三边关系可得腰长为，底边长，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵等腰三角形一边长是，一边长是， ∴腰长为，底边长， ∴它的周长是， 故选：． 8. 如图，的外角的平分线交的延长线于点，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，关键在于能够巧妙的运用三角形外角的性质及角平分线的定义求解． 先根据邻补角的定义求得的度数，再利用角平分线的定义求得的度数，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．可知的度数即为的值． 【详解】解：． ． 平分． ． 是的外角． ． 故选：B． 9. 如图，在中，，，点是边的中点，点，分别在边，上，若，则与的面积的和是（ ） A. 18 B. 12 C. 9 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识点，解题的关键是正确做出辅助线．由等腰直角三角形的性质可得，，，由“”可证，可得，再进一步即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，，为边的中点， ，，， 在和中， ， ， ， 四边形的面积， ∴与的面积的和是； 故选：C． 10. 在凸五边形中，，，F是的中点．下列条件中，不能推出与一定垂直的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形“三线合一”性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定的方法是解题的关键． 利用全等三角形的判定及性质对各选项进行判定，结合根据等腰三角形“三线合一”的性质即可证得结论． 【详解】解：A、连接， ∵，，， ∴， ∴ 又∵点F为的中点 ∴，故不符合题意； B、连接， ∵，，， ∴， ∴， 又∵点F为的中点， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴， ∴，故不符合题意； C、连接， ∵点F为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故不符合题意； D、，无法得出题干结论，符合题意； 故选：D． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，要使六边形木架（用6根木条钉成）不变形，至少要再钉___________条木条． 【答案】3 【解析】 【分析】三角形具有稳定性，所以要使六边形木架不变形需把它分成三角形，即过六边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条． 【详解】解：过六边形的一个顶点作对角线，有条对角线， 所以至少要钉上3根木条． 故答案为：3． 【点睛】此题考查了三角形的稳定性以及多边形，正确利用图形得出是解题关键．解题时注意：过n边形的一个顶点作对角线，可以做条． 12. 等腰三角形的一个角是，则它的底角度数是_______． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题时，由于等腰三角形所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错. 等腰三角形的一个角为，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行讨论． 【详解】解：当为顶角时，其他两底角为． 当为底角时， ∵等腰三角形的两底角相等， ∴两底角的和为， ∴底角不能为． 综上，底角度数为． 故答案为：40． 13. 如图，在中，平分，平分，经过点，与，相交于点，，且．若，，，则的大小是______，的周长是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质以及三角形的内角和．关键是根据三角形内角和在中求得，利用角平分线得到，在中求得．关键是根据等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质得出的周长是．根据平分，平分，且，可得出，，所以的周长是． 【详解】平分，平分， ，， ，在中，， ， ， 即， 在中，， ． 故答案为． ， ，， ，， ，， ，， 的周长， ， ， ， ， ． 故答案为． 14. 在平面直角坐标系中，已知，，以为直角边作等腰，若点在第一象限内，则点的坐标是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题坐标与图形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构建两个在三角形全等是解答关键． 分两种情况：（1）以为斜边时，过点作轴于点，（2）以为斜边，过点作轴于点，构建两个三角形全等，再根据全等三角形的性质来求解． 【详解】解： （1）以为斜边时，过点作轴于点，如下图 则， ，． 在和中 ， ，． ，， ，， ， ． （2）以为斜边，过点作轴于点，如下图． 则，，， ． 在和中 ， ，． ，， ，， ， ． 综上所述，的坐标为或． 故答案为：或． 15. 如图，在中，是高，是角平分线，点在的延长线上，过点作，交于，下列四个结论：①；②；③；④． 其中正确的结论是______（填写序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的性质，解题的关键是熟练应用三角形内角和定理，三角形的外角性质．根据三角形内角和定理和角平分线的性质，三角形外角的性质逐项推理证明即可． 【详解】解：如图，设与相交于点N，与相交于点G， ，， ， ， ； 故①符合题意； 平分， ， ， ， 故②符合题意； 是的角平分线， ， ，， ， ， ， 故③不符合题意； ， ， ， ， ， 由①得，， ， 故④符合题意； 综上所述：正确的有①②④． 故答案为：①②④． 16. 如图，在四边形中，相交于点，，，，，用含，的代数式表示的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，作交延长线于， 作于，可得四边形为矩形，进而可证，得到，，即得四边形为正方形，得到，即可得，得到，最后根据三角形的面积公式计算即可，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：作交延长线于， 作于， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，求这个多边形的边数． 【答案】这个多边形的边数为6 【解析】 【分析】n边形的内角和为，外角和为，根据所给等量关系列出方程，即可求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得：， 解得， 即这个多边形的边数为6． 【点睛】本题考查多边形内角和与外角和的应用，解题的关键是掌握多边形的内角和公式、外角和定理． 18. 如图，点，在上，，，，与相交于点．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：， ， ． 在和中， ， ， ； （2） 证明：， ， ． 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键． （1）根据题意可得出，结合“”即可证； （2）由全等三角形的性质得出，再根据等角对等边即可证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在等腰中，，点在上，且，求的大小． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质以及等边对等角，三角形内角和性质，先由等边对等角得，．再运用外角性质得，最后运用三角形内角和性质列式计算，即可作答． 【详解】解：，， ，． 设， 则， 在中，， 解得， 即． 20. 如图，是的角平分线，，分别是和的高，连接交于点． （1）求证：垂直平分； （2）若，求证：． 【答案】（1） 证明：是的角平分线，，， ，，， ， ． ∵， ∴ ∴，， 垂直平分； （2） 证明：，， ． 平分， ， ． ， ，， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）由角平分线的性质定理可证，即得出，从而可证，即得出，，即可得出结论； （2）由题意可求出，再根据角平分线的定义得出，，最后结合含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查角平分线的定义和性质定理，线段垂直平分线的判定，三角形全等的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质．涉及知识点较多，难度一般，解题的关键是能够综合运用上述知识． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）如图1，先在上画点，使平分的面积；再在射线上画点．使； （2）如图2．点是与网格线的交点，先画的高；再在上画点．使． 【答案】（1） 如图所示，点D，E即为所求； （2） 如图所示，，点Q即 所求． 【解析】 【分析】此题考查了格点作图，三角形中线的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定， （1）首先根据三角形中线平分三角形面积得到的中点即为所求的点D，然后利用网格的特点构造等腰直角三角形，即可得到； （2）延长到格点E，取格点G，连接，与的交点即为点F；取格点H，连接与网格线的交点为M，连接与的交点即为所求点Q． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由网格可得， ∴即为的高； 由网格可得，，， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴点Q即为所求． 22. 如图，在等腰中，，．点在上，，，垂足分别为，，连接． （1）求证：； （2）若平分． ①求的值； ②若，直接写出的面积． 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴， ∴，， ∴． ∵为等腰三角形， ∴， ∴； （2）①；②2 【解析】 【分析】（1）由，，可得出，结合，即可证； （2）①由全等的性质可知，，由角平分线的定义结合题意得出，从而可证，进而得出，最后根据，结合三角形面积公式求解即可； ②根据勾股定理可求出，再根据结合三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵， ∴，． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②由①可知，， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，三角形面积的求法等知识．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用分割法求三角形面积． 23. 在等腰和等腰中，，，． （1）如图1，当时，连接，，求证：； （2）当时，是的中点，连接． ①如图2，当，，在同一条直线上时，连接，求证：； ②如图3，当，，不在同一条直线上时，连接，求的大小． 【答案】（1） 证明：，，， ，是等边三角形， ，，， ，即， ， ； （2）①证明：延长到，使，连接，，， 是的中点， ， ， ， ，， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； ② 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟悉“倍长中线”辅助线． （1）先证明，是等边三角形，再证明，即可证明，即可得出结论； （2）①延长到，使，连接，，，证明，推出，，证明，推出，，再证明，推出，即，即可得到结论； ②延长到，使，连接，，，同理①即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②延长到，使，连接，，， 延长交于 是的中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 24. 在等腰中，，的垂直平分线分别交，于，两点． （1）如图1，连接，若，的周长为19，直接写出的长； （2）若是的中线． ①如图2，交于点，若，求证：； ②如图3，是的中点，是射线上的动点，连接，作等边，连接，若，直接写出的最小值． 【答案】（1）7 （2） ①证明：如图2，过作于H，连接，，则， ∵垂直平分线， ∴， ∵等腰中，，是的中线， ∴，，即垂直平分， ∴，则， ∴， 在中，，即， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； ②的最小值是 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质求解即可； （2）①过作于H，连接，，根据线段垂直平分线和等腰三角形的性质得到，，再利用含30度角的直角三角形的性质得到，，然后利用线段的和与差求解即可； ②以为边作等边三角形，过L作于H，延长线于，利用等边三角形的性质得到，，证明得到，根据垂线段最短，当时，最小，即最小，最小值为的长，由平行线间的距离处处相等得，进而可求解． 【小问1详解】 解：∵的垂直平分线分别交，于，，， ∴，， ∵的周长为19， ∴， ∵等腰中，， ∴； 【小问2详解】 解：①略 ②如图3，以为边作等边三角形，过L作于H，延长线于，则，，， ∵是的中点，， ∴， ∴； ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由垂线段最短得，当时，最小，即最小，最小值为的长， ∵， ∴与平行， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，构造等边三角形和全等三角形是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $