精品解析：福建省福州格致中学2024-2025学年上学期八年级数学期中试题

2024—2025学年第一学期期中考试 八年级数学试卷 （全卷共4页，三大题，25小题；满分150分；时间：120分钟） 一、选择题（本大题共40分，每小题4分，每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 下列三条线段的长度，可以构成三角形的是（ ） A. 2，4，6 B. 3，5，7 C. 4，5，10 D. 3，3，8 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系，进行判断即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形； B、，能构成三角形； C、，不能构成三角形； D、，不能构成三角形； 故选B． 【点睛】本题考查构成三角形的条件．解题的关键是掌握两条短的线段之和大于第三条线段的长时，三条线段能构成三角形． 3. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标特征是：横坐标变为原数的相反数，纵坐标不变． 【详解】点关于轴对称的点的坐标是， 故选：A． 4. 下列各组图形中，表示线段是中边上的高的图形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形高的画法知，过点A作，垂足为D，其中线段是的高，再结合图形进行判断即可． 【详解】解：线段是中边上的高的图是选项C． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方和同底数幂的除法，据此逐项分析判断即可． 【详解】A. ，故该选项错误； B. ，故该选项错误； C. ，故该选项正确； D. ，故该选项正确， 故选：C． 6. 如图，在和中，，，则能说明的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键． 根据题目所给条件结合全等三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：在和中， ∵，，， ∴． 故选：B． 7. 如图，是中边的垂直平分线，若，，则的周长为（ ） A. 14 B. 16 C. 24 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．利用线段垂直平分线的性质得，再等量代换即可求得三角形的周长． 【详解】解：∵是中边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， ∵，， ∴∴的周长为， 故选：B． 8. 若是完全平方式，则k的值是（ ） A. 12 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首末两项是和这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去和乘积的倍． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴这两个数为和， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查的是完全平方公式，两数平方和再加上或减去它们乘积的倍，是完全平方式的主要结构特征，熟记完全平方公式，注意积的倍的符号，有正负两种情况，避免漏解． 9. 如图，在中，M，N分别是边上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质：折叠前后图形全等．借助可得，根据即可求解． 【详解】解：∵沿折叠；使点B落在点处， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 10. 已知，，，比较、、的大小（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算．逆运用幂的乘方法则，把a、b、c都写成一个数的111次方的形式，比较底数得结论． 【详解】解：，，， ∵， ∴； 故选：A． 二、填空题（本大题共24分，每小题4分） 11. 计算： ______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查零指数幂，根据零指数幂的法则进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：1． 12. 一个多边形的外角和是内角和的2倍，这个多边形的边数为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和和外角和综合，根据n边形内角和为，外角和为360度列出方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形的边数为3， 故答案为：3． 13. ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，掌握积的乘方幂的乘方运算法则成为解题的关键． 先根据积的乘方幂的乘方运算法则化简，然后合并同类项即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 14. 如图：在中，，平分交于点，且，，则点到的距离为______． 【答案】3cm 【解析】 【分析】先求出CD的长，再根据角平分线的性质证得DE=CD即可． 【详解】解：∵，， ∴cm， 过点D作DE⊥AB于E， ∵平分交于点，， ∴DE=CD=3cm， 故答案为：3cm． 【点睛】此题考查角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，熟记性质定理是解题的关键． 15. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和代数式求值，将已知变形得，因此，整体代入代数式即可求出答案． 【详解】解：， ， ， 即， ， 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，点，，，其中，，，若是等腰直角三角形，且，则的取值范围是 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，坐标与图形；过点作轴于点，证明，得，，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 点， ， 是等腰直角三角形，且， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共86分） 17. （1）计算：； （2）因式分解：． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、因式分解等知识点，掌握综合运用提取公因式法和公式法因式分解成为解题的关键． （1）直接根据多项式乘多项式运算法则计算即可； （2）先提取公因式2，然后再运用平方差公式分解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】先由计算括号里的，由完全平方和公式、平方差公式展开，再结合整式加减运算化简，最后由整式除法运算求解得到，再将，代入运算后的结果求值即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 【点睛】本题考查整式混合运算求值，涉及完全平方和公式、平方差公式、整式加减运算、整式除法运算等知识，熟记整式混合运算法则及代数式求值方法是解决问题的关键． 19. 如图，点，在上，，，．求证：． 【答案】 解：∵， ∴， 在和中， ∴（SSS）． ∴． 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理SSS证得结论即可． 【详解】略 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL根据具体情况选择恰当的判定方法是解题关键． 20. 如图，在边长为1的小正方形所组成的网格上，每个小正方形的顶点都称为“格点”，的顶点都在格点上，用直尺完成下列作图： （1）作出关于直线的对称图形； （2）的面积为______． 【答案】（1） 即为所作． （2） 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可． （2）利用割补法求三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：如图，点，点，点关于的对称点分别为点，点，点， 连接，， 【小问2详解】 ， ∴的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查作图—轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 21. 如图，已知锐角，是边上一点，利用尺规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）在边上作点，使得； （2）在上（1）问的条件下，在边上求作点，使得． 【答案】（1） 解：如图点即为所求， （2） 如图所示，点即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，垂直平分线的性质和等腰三角形的性质． （1）作的垂直平分线与的交点即为点； （2）以点M为圆心，为半径，作交于点． 【小问1详解】 作的垂直平分线与的交点即为点， ， ， ； 【小问2详解】 如图所示，以点M为圆心，为半径，作交于点， 理由如下： 由（1）知， ， ， ． 22. 证明：直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半．（根据命题画出图形，写出已知，求证，并完成证明过程．） 【答案】 已知：中，，， 求证：， 证明：取的中点，连接． 在中，点是的中点， ， ，， ， 是等边三角形， ， ． 【解析】 【分析】画出图形，写出已知，求证，取的中点，连接．根据直角三角形的性质得到，推出是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论； 【详解】略 【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 23. 如图，在等腰直角中，，是线段上一点，连接，延长至点，使得，过点作于点，交于点． （1），求的大小（用含的式子表示）； （2）在（1）的条件下，过点作于点，试证明与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2） ，证明如下： 如图，作，连接，设、交于点， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， 又， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据等腰直角三角形的性质可得：，根据，可得，最后根据三角形的内角和定理即可求解； （2）作，连接，设、交于点，根据等腰三角形的判定与性质可得，，推出，得到，根据，，，可得到，证明，即可解答． 【小问1详解】 解：在等腰直角中，， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 24. 如下表： “算两次” 素材1 “算两次”，又称“富比尼原理”，是指把同一个量用两种不同的方式表示出来，通过等量关系进行求解的一种数学策略．通过把面积“算两次”，可以巧妙地解决一些数学问题．例如，如图1，已知直角三角形的三边长，，，可用“算两次”求斜边上的高．面积“算两次”：，化简得：． 素材2 长为，宽为的长方形，按如图2分割为若干个正方形和长方形，根据“算两次”，可得等式：． 问题解决 任务1 如图3，用四个全等的直角三角形和一个正方形拼接成一个大正方形，结合此图，用“算两次”可得到一个关于，，的等式，请你写出这个等式并化简． 任务2 如图4，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若用、表示四个相同形状的长方形的两条邻边长，观察图案，指出以下正确的关系式_____（填写选项）； A． B． C． D． 任务3 图案设计：如图5，请用3张类纸片、2张类纸片和若干张类纸片拼成了一个大长方形（三种纸片都要使用），请求所用类纸片的数量；并画出相应的图形．（画出一种即可）． 【答案】任务1：；任务2：A； 任务3：如下图所示，类纸片用了5张， 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的几何意义，掌握正方形的面积公式、长方形的面积公式和三角形的面积公式是解题的关键． 任务1：通过把面积“算两次”，先表示出大正方形的面积，在表示出全等的直角三角形和一个正方形的面积，结合勾股定理，即可得出结论； 任务2：通过把面积“算两次”，空白部分的面积有两种表示方式，分别为和，进而即可得出结论； 任务3：用3张类纸片、2张类纸片和5张类纸片拼成了一个大长方形． 【详解】解：任务1：如图3，用“算两次”可得， ， ； 任务2：如图4，， ， 故选：A； 任务3：略 25. 如图，是等边三角形，过点的直线，点是直线上一动点． （1）如图1，作，交延长线于点，求证：． （2）如图2，点在边上（点不与点、重合），连接，作，交直线于点，连接． ①若，，当周长最小时，求的长； ②当点在直线上运动的过程中（点不与点重合），猜想、、之间的等量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ，， ． 直线， ， ， ． ，， ，即， ， ； （2）①1； ②或或，理由： 分类讨论：ⅰ当点E在下方时，如图，在上截取，连接． ∵， ∴为等边三角形， ∴，． ∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴， ∴； ⅱ当点E在上方，点G在点B的左侧时，如图，在上截取，连接． ∵， ∴为等边三角形， ∴，． ∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴， ∴； ⅲ当点E在上方，点G在点B的右侧时，如图，在上截取，连接． ∵， ∴为等边三角形， ∴，． ∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴， ∴． 综上可知、、之间的等量关系为：或或． 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质结合平行线的性质证明，即可得出结论； （2）①在上作，连接，易证是等边三角形，结合平行线的性质可证，即得出，判断出为等边三角形，即说明当最短时，周长最小．过点作于点E，根据垂线段最短可知此时最短，由全等三角形的性质又可证，得出，最后根据含30度角的直角三角形的性质求解即可； ②分类讨论：ⅰ当点E在下方时，ⅱ当点E在上方，点G在点B的左侧时和ⅲ当点E在上方，点G在点B的右侧时，分别作出辅助线构造全等三角形解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图，在上作，连接， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ． 直线， ， ， ． ，， ，即， ， ， ∴为等边三角形， ∴当最短时，周长最小． 如图，过点作于点E，即此时最短， ∵， ∴此时， ∴． 又∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴； ②略 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，垂线段最短，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理与性质定理，正确作出辅助线构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期期中考试 八年级数学试卷 （全卷共4页，三大题，25小题；满分150分；时间：120分钟） 一、选择题（本大题共40分，每小题4分，每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列三条线段的长度，可以构成三角形的是（ ） A. 2，4，6 B. 3，5，7 C. 4，5，10 D. 3，3，8 3. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组图形中，表示线段是中边上的高的图形为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在和中，，，则能说明的依据是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是中边的垂直平分线，若，，则的周长为（ ） A. 14 B. 16 C. 24 D. 26 8. 若是完全平方式，则k的值是（ ） A. 12 B. C. D. 9. 如图，在中，M，N分别是边上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 10. 已知，，，比较、、的大小（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共24分，每小题4分） 11. 计算： ______． 12. 一个多边形的外角和是内角和的2倍，这个多边形的边数为_________． 13. ______． 14. 如图：在中，，平分交于点，且，，则点到的距离为______． 15. 已知，则的值为______． 16. 在平面直角坐标系中，点，，，其中，，，若是等腰直角三角形，且，则的取值范围是 __________． 三、解答题（本大题共86分） 17. （1）计算：； （2）因式分解：． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 如图，点，在上，，，．求证：． 20. 如图，在边长为1的小正方形所组成的网格上，每个小正方形的顶点都称为“格点”，的顶点都在格点上，用直尺完成下列作图： （1）作出关于直线的对称图形； （2）的面积为______． 21. 如图，已知锐角，是边上一点，利用尺规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）在边上作点，使得； （2）在上（1）问的条件下，在边上求作点，使得． 22. 证明：直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半．（根据命题画出图形，写出已知，求证，并完成证明过程．） 23. 如图，在等腰直角中，，是线段上一点，连接，延长至点，使得，过点作于点，交于点． （1），求的大小（用含的式子表示）； （2）在（1）的条件下，过点作于点，试证明与之间的数量关系，并证明． 24. 如下表： “算两次” 素材1 “算两次”，又称“富比尼原理”，是指把同一个量用两种不同的方式表示出来，通过等量关系进行求解的一种数学策略．通过把面积“算两次”，可以巧妙地解决一些数学问题．例如，如图1，已知直角三角形的三边长，，，可用“算两次”求斜边上的高．面积“算两次”：，化简得：． 素材2 长为，宽为的长方形，按如图2分割为若干个正方形和长方形，根据“算两次”，可得等式：． 问题解决 任务1 如图3，用四个全等的直角三角形和一个正方形拼接成一个大正方形，结合此图，用“算两次”可得到一个关于，，的等式，请你写出这个等式并化简． 任务2 如图4，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若用、表示四个相同形状的长方形的两条邻边长，观察图案，指出以下正确的关系式_____（填写选项）； A． B． C． D． 任务3 图案设计：如图5，请用3张类纸片、2张类纸片和若干张类纸片拼成了一个大长方形（三种纸片都要使用），请求所用类纸片的数量；并画出相应的图形．（画出一种即可）． 25. 如图，是等边三角形，过点的直线，点是直线上一动点． （1）如图1，作，交延长线于点，求证：． （2）如图2，点在边上（点不与点、重合），连接，作，交直线于点，连接． ①若，，当周长最小时，求的长； ②当点在直线上运动的过程中（点不与点重合），猜想、、之间的等量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $