2024－2025学年北师大版数学七年级上学期期中冲刺—压轴题

七年级期中冲刺—压轴题 一．取放问题（共9小题） 1．如图，一个正方体由27个大小相同的小立方块搭成，现从中取走若干个小立方块，得到一个新的几何体．若新几何体与原正方体的表面积相等，则最多可以取走　 　个小立方块． 2．如图①，将边长为2的正方形纸板沿虚线剪掉边长为1的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要 　 　块；如图③，将长、宽、高分别为4，2，2的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为4，1，1的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要 　 　块． 3．要拼成一个大正方体，至少还需要 　 　个． 4．把19个棱长为2cm的正方体重叠起来，作成如图那样的立体图形，求这个立体图形的表面积． 5．操作题 如图1，是一个由53个大小相同的小正方体堆成的立体图形，从正面观察这个立体图形得到的平面图形如图2所示． ①请在图3、图4中依次画出从左面、上面观察这个立体图形得到的平面图形； ②保持这个立体图形中最底层的小正方体不动，从其余部分中取走k个小正方体，得到一个新的立体图形．如果依次从正面、左面、上面观察新的立体图形，所得到的平面图形分别与图2、图3、图4是一样的，那么k的最大值为　 　． 6．如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是（　　） A．258 B．234 C．222 D．210 7．如图是由若干个小正方体组成的．阴影部分是空缺的通道，一直通到对面．这个立体图形由　 　个小正方体组成． 8．如图，棱长为5cm的正方体，无论从哪一个面看，都有三个穿透的边长为1cm的正方形孔（阴影部分），则这个几何体的表面积（含孔内各面）是 　 　cm2． 9．有一个棱长为5的正方体木块，从它的每一个面看都有一个穿透的完全相同的孔（如图中的阴影部分），则这个立体图形的内、外表面的总面积是　 　． 二．24点（共6小题） 10．“24点游戏”指的是从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽出四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌只能使用一次），使得运算结果是24或者是﹣24，现抽出的牌所对应的数字是4，5，3，1，请你写出刚好凑成24的算式：　 　（写出一个即可）． 11．有一种扑克牌游戏叫做“24点”．要求是可以用加、减、乘、除、乘方五种运算把扑克牌牌面上的数算成24．每张牌必须用且只能用一次．如果有四张牌如图所示，请列出一种“24点”算式 　 　． 12．算“24”点是一个充满挑战的数学游戏，只能使用加减乘除运算（可适当添加括号），将四个数进行计算，求得24．请用5，6，3，﹣9四个数算“24”点，可列式为 　 　． 13．24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用． （1）在玩“24点”游戏时，小明抽到以下4张牌： 请你帮他写出运算结果为24的算式：　 　； （2）如果♥，♦表示正，♠，♣表示负，请你用（1）中的4张牌表示的数写出运算结果为24的算式：　 　． 14．有一次小明在做24点游戏时抽到的四张牌分别是7、7、1、2，每张牌只能用一次，可以用加、减、乘、除等运算，请写出一个成功的算式：　 　＝24． 15．在玩“24点”游戏时，小明抽到的数字是4，﹣6，3，10，运用所学过的有理数混合运算，使得运算结果为24，你的算法是 　 　（写出一种即可，每个数字都要用到并且只能用一次）． 三．规律探索（共7小题） 16．如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示﹣1的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2021的点与圆周上表示哪个数字的点重合？（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 17．观察并找规律：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，那么22023的个位数是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 18．找规律填空． ①一个正方体，用刀截去一个角后，所得的几何体有 　 　个顶点． ②下列各图中每个正方体的棱长都是a厘米．各图的表面积分别是多少？（按图形顺序依次将答案填在对应的横线内） （1）　 　平方厘米；（2）　 　平方厘米；（3）　 　平方厘米；（4）　 　平方厘米． ③观察下面的几个算式： 1+2+1＝4； 1+2+3+2+1＝9； 1+2+3+4+3+2+1＝16； 1+2+3+4+5+4+3+2+1＝25； … 根据你所发现的规律，直接写出下面式子的结果： 1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1＝　 　． 19．找规律：观察算式 … （1）按规律填空） 13+23+33+43+…+103＝　 　； （2）由上面的规律计算：113+123+133+143+…+503（要求：写出计算过程） （3）思维拓展：计算：23+43+63+…+983+1003（要求：写出计算过程） 20．我们常用符号[x]表示小于或者等于x的最大整数．例如：[0]＝0，[3.1]＝3，[﹣1.3]＝﹣2，[π]＝3，请根据以上信息，解决下列问题： （1）[3]＝　 　；[﹣2.9]＝　 　；[2π]＝　 　； （2）计算并找规律： [1]+[﹣1]＝　 　；[100]+[﹣100]＝　 　；[0.3]+[﹣0.3]＝　 　；[[1.5]+[﹣1.5]＝　 　； 根据以上计算，可归纳出： ①当x为整数时[x]+[﹣x]＝　 　； ②当x不为整数时[x]+[﹣x]＝　 　； （3）根据以上发现计算：[1]+[1.3]+[2]+[2.3]+[3]+…+[18]+[18.3]+[19]+[19.3]+20+[﹣20]+[﹣19.3]+[﹣19]+[﹣18.3]+[﹣18]+…+[﹣3]+[﹣2.3]+[﹣2]+[﹣1.3]+[﹣1]． 21．找规律，解决问题： ； ； ； （1）求：； （2）计算：． 22．找规律． 第1组：，42+32＝52； 第2组：，82+152＝172； 第3组：，122+352＝372； …… （1）请写出第4组等式 　 　，　 　； （2）请写出第n组等式 　 　，　 　； （3）若k2+96032＝96052（k＞0）则k＝　 　． 四．裂项相消（共4小题） 23．我们在学习有理数这一章时，利用裂项相消的方法可以计算：＝，请你用这种方法计算：＝　 　． 24．观察下列计算，并回答下列问题． ①， ②， ③， ④， …… （1）第5个式子是 　 　； （2）第n个式子是 　 　； （3）从计算结果中找规律，利用规律计算：． 25．计算：++++． 26．请你观察： ＝﹣；＝﹣；＝﹣；… +＝﹣+﹣＝1﹣＝； ++＝﹣+﹣+﹣＝1﹣＝； 以上方法称为“裂项相消求和法” 请类比完成： （1）+++＝　 　； （2）++++…+＝　 　； （3）计算：+++…+的值． 五．绝对值的几何意义（共5小题） 27．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 已知表示﹣3和2两点之间的距离是5；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|． （1）如果|a+2|＝3，那么a＝　 　； （2）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣4|＝6，这些点表示的数的和是 　 　； （3）当a＝　 　时，|a+5|+|a+1|+|a﹣4|的值最小，最小值是 　 　； （4）若有理数a、b、c满足|a﹣b|＝2，|b﹣c|＝6，则|a﹣c|＝　 　． 28．我们知道，|a|可以理解为|a﹣0|，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|，反过来，式子|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： （1）数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是 　 　，数轴上表示数﹣1的点和表示数﹣3的点之间的距离是 　 　． （2）数轴上点A用数a表示，则： ①若|a﹣3|＝5，那么a的值是 　 　． ②|a﹣3|+|a+6|有最小值，最小值是 　 　； ③求|a+1|+|a+2|+|a+3|+⋯+|a+2021|+|a+2022|+|a+2023|的最小值． 29．在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形结合的方法使复杂问题简单化． 材料一：我们知道|a|的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离；|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示数a，b的两点之间的距离；|a+b|的几何意义是：数轴上表示数a，﹣b的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解． （1）|x﹣3|＝4 解：由绝对值的几何意义知：在数轴上x表示的点到3的距离等于4， ∴x1＝3+4＝7，x2＝3﹣4＝﹣1； （2）|x+2|＝5 解：∵|x+2|＝|x﹣（﹣2）|， ∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x表示的点到﹣2的距离等于5． ∴x1＝﹣2+5＝3，x2＝﹣2﹣5＝﹣7． 材料二：如何求|x﹣1|+|x+2|的最小值． 由|x﹣1|+|x+2|的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和﹣2两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在﹣2和1之间（包括这两个端点）取值． ∴|x﹣1|+|x+2|的最小值是3；由此可求解方程|x﹣1|+|x+2|＝4，把数轴上表示x的点记为点P，由绝对值的几何意义知：当﹣2≤x≤1时，|x﹣1|+|x+2|恒有最小值3，所以要使|x﹣1|+|x+2|＝4成立，则点P必在﹣2的左边或1的右边，且到表示数﹣2或1的点的距离均为0.5个单位． 故方程|x﹣1|+|x+2|＝4的解为：x1＝﹣2﹣0.5＝﹣2.5，x2＝1+0.5＝1.5． 阅读以上材料，解决以下问题： （1）填空：|x﹣3|+|x+4|的最小值为 　 　； （2）已知有理数x满足：|x+3|+|x﹣10|＝17，有理数y使得|y﹣3|+|y+1|+|y﹣6|的值最小，求x﹣y的值； （3）试找到符合条件的x，使|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|的值最小，并求出此时的最小值及x的取值范围． 30．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，|a|可以理解为|a﹣0|，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A、B，分别用数a、b表示，那么A，B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|，反过来，式子|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． 若数轴上点A表示数a，请回答下列问题： （1）如果|a|＝5，那么a的值是 　 　； （2）如果|a﹣3|＝5，那么a的值是 　 　； （3）满足|a+2|+|a﹣3|＝5整数a有 　 　个； （4）如果|a+2|+|a﹣3|＝8，那么a的值是 　 　； （5）|a+1|+|a+2|+|a+3|+|a+4|+|a+5|的最小值是 　 　． 31．阅读下列材料（注重数形结合思想的分析）：经过有理数的学习，我们知道|5﹣3|可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，|5﹣（﹣2）|可以表示5与﹣2之差的绝对值，也可以表示5与﹣2两个数在数轴上所对应的两点之间的距离． 探究（一）：（如图1） （1）|4﹣1|表示数轴上 　 　与 　 　所对应的两点之间的距离； （2）|x﹣5|表示数轴上有理数x所对应的点到 　 　所对应的点之间的距离；|x+2|表示数轴上有理数x所对应的点到 　 　所对应的点之间的距离； 探究（二）： （3）如图2，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在 　 　才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？ （4）如图3，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在 　 　才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？ （5）如图4，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在 　 　才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？ 结论应用：（如图5） （6）利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7．这样的整数x有 　 　； （7）代数式|x+7|+|x+4|+|x﹣2|+|x﹣5|的最小值是 　 　，此时x的范围是 　 　． 六．数轴上的动点问题（共6小题） 32．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，如图，数轴上的点A，B对应的数分别是a和b，且满足|a+4|+（b﹣12）2＝0，P，Q是数轴上的动点． （1）求a，b的值． （2）A，B两点之间距离为 　 　． （3）若点P以2个单位长度/秒从点A出发向点B运动，同时点Q从点B出发向点A运动，经过5秒相遇，求点Q的运动速度． （4）若点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，是否存在某个时刻t，恰好使得点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 33．在数轴上A，B，C点分别表示数a，b，c，且b最大的负整数，|a+4|+（c﹣5）2＝0． （1）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （2）若A、B、C为数轴上的动点，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C以分别每秒2个单位长度和每秒4个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒，设点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点C之间的距离表示为AC． ①若AB＝BC，求t的值？ ②是否存在常数m，使得m•BC﹣AB的值是个定值？如果存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 34．在数轴上，动点A从原点O出发向负半轴匀速运动，同时动点B从原点O出发向正半轴匀速运动，动点B的速度是动点A的速度的两倍，经过5秒，A、B两点的距离为15个单位长度． （1）动点B的速度是每秒多少单位长度？ （2）若此时，动点A立即以原来的速度向正半轴运动，动点B继续按原来的方式运动，问论此时经过多长时间使BO＝3AO．（其中BO表示点B到原点O的距离，AO表示点A到原点O的距离） 35．我们将数轴上不同的三点A，B，C表示的数记为a，b，c，若满足a﹣b＝k（b﹣c），其中k为有理数，则称点A是点C关于点B的“k星点”．已知在数轴上，原点为O，点A，点B表示的数分别为a＝﹣3，b＝3． （1）若点A是点B关于原点O的“k星点”，则k＝　 　；若点A是点B关于点C的“3星点”，则c＝　 　； （2）若线段AB在数轴上沿正方向运动，每秒运动1个单位长度，取线段AB的中点X．是否存在某一时刻，使得点X是点A关于点2的“﹣2星点”？若存在，求出线段AB的运动时间；若不存在，请说明理由； （3）点M是数轴上的动点，点M表示为整数m，且点A是原点O关于点M的“k星点”，请直接写出k的值． 36．如图，O为数轴的原点，在数轴上A点表示的数为a，B点表示的数为b，C点表示的数为c，b是最大的负整数，且|a+3|＝0，c2＝64．点P从点B出发以每秒2个单位长度的速度向左运动，到达点A后立刻返回运动到点C并停止． （1）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　． （2）点P从点B离开后，在点P到达点C的过程中，经过x秒钟，PA+PB+PC＝12，求x的值． （3）点P从点B出发的同时，数轴上的动点M，N分别从点A和点C同时出发，相向而行，速度分别为每秒3个单位长度和每秒4个单位长度，假设运动t秒钟时，P、M、N三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请求出所有满足条件的t的值． 37．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小强在纸上画了一条数轴．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c．b是最小的正整数，且a、c满足|a+3|+（c﹣6）2＝0． （1）填空：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　． （2）折叠纸面，若使点A与点C重合，则与点B重合的点表示的数为 　 　． （3）若点A、B、C是数轴上的动点，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，则AB＝　 　，BC＝　 　．（用含t的代数式表示） （4）在（3）的条件下，3BC﹣2AB的值是否随着运动时间t（秒）的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，求出其值． 参考答案与试题解析 一．试题（共37小题） 1．如图，一个正方体由27个大小相同的小立方块搭成，现从中取走若干个小立方块，得到一个新的几何体．若新几何体与原正方体的表面积相等，则最多可以取走　16　个小立方块． 【分析】根据表面积不变，只需留11个，分别是正中心的3个和四角上各2个． 【解答】解：若新几何体与原正方体的表面积相等，最多可以取走16个小正方体，只需留11个：①正中心的3个和四角上各2个，如图所示；②其中一个角3个，其余三个角和中心是2个（图略）． 故答案为：16． 2．如图①，将边长为2的正方形纸板沿虚线剪掉边长为1的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要 　12　块；如图③，将长、宽、高分别为4，2，2的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为4，1，1的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要 　144　块． 【分析】先拼成基础单元，再分析，即可解答． 【解答】解：先用2个图②拼成一个长为3，宽为2的长方形，面积为6，则6个这样的长方形拼成一个面积为36的正方形，此时边长为6，则需图②的个数：6×2＝12（个）； 同理用2个图④拼成长，宽，高分别为4，3，2的长方体，用4×3＝12个这样的长方体拼成一个长，宽，高为12，1，2的长方体，用6个这样的长方体可以拼成长，宽，高为12，12，12的正方体，此时需要：2×3×4×6＝144（个）． 故答案为：12；144． 3．要拼成一个大正方体，至少还需要 　7　个． 【分析】根据几何体得出结论即可． 【解答】解：由题意知，要拼成一个大正方体，至少还需要7个， 故答案为：7． 4．把19个棱长为2cm的正方体重叠起来，作成如图那样的立体图形，求这个立体图形的表面积． 【分析】前后面各有10个小正方形，上下面各有9个小正方形，左右 面各有8个小正方形，而每个小正方形的面积是4，即可求出表面积． 【解答】解：这个立体图形的表面积是4×2×（9+8+10）＝216（平方厘米）， 答：这个立体图形的表面积是216平方厘米． 5．操作题 如图1，是一个由53个大小相同的小正方体堆成的立体图形，从正面观察这个立体图形得到的平面图形如图2所示． ①请在图3、图4中依次画出从左面、上面观察这个立体图形得到的平面图形； ②保持这个立体图形中最底层的小正方体不动，从其余部分中取走k个小正方体，得到一个新的立体图形．如果依次从正面、左面、上面观察新的立体图形，所得到的平面图形分别与图2、图3、图4是一样的，那么k的最大值为　16　． 【分析】①从左面看：共有4列，从左往右分别有5，5，3，2个小正方形；从上面看：共分6列，从左往右分别有4，4，4，3，2，1个小正方形； ②由已知条件可知，主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．据此即可求解． 【解答】解：①从左面、上面观察这个立体图形得到的平面图形分别如图3，图4所示． ②k的最大值为4+5+3+3+1＝16． 故答案为：16． 6．如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是（　　） A．258 B．234 C．222 D．210 【分析】根据正方体6个外表面的面积、6个内孔内壁的面积和，减去“孔”在外表面的面积即可． 【解答】解：由正方体的6个外表面的面积为5×5×6﹣2×6＝138， 6个内孔的内壁的面积为4×5×6﹣2×2×6＝96， 因此这个有孔的正方体的表面积（含孔内各面）为138+96＝234， 故选：B． 7．如图是由若干个小正方体组成的．阴影部分是空缺的通道，一直通到对面．这个立体图形由　38　个小正方体组成． 【分析】由题意，阴影部分是空缺的通道，一直通到对面，即中间有重复，因此可分层计数，从前往后分为4层，画出每层的示意图进行计数即可． 【解答】解：从前往后分层数，如图所示： 共有13+6+6+13＝38个， 答：这个立体图形由38个小正方体组成． 故答案为：38． 8．如图，棱长为5cm的正方体，无论从哪一个面看，都有三个穿透的边长为1cm的正方形孔（阴影部分），则这个几何体的表面积（含孔内各面）是 　252　cm2． 【分析】根据正方体6个外表面的面积、9个内孔内壁的面积和，减去“孔”在外表面的面积即可． 【解答】解：由正方体的6个外表面的面积为5×5×6﹣1×1×3×6＝132（cm2）， 9个内孔的内壁的面积为1×1×4×4×9﹣24＝120（cm2）， 因此这个有孔的正方体的表面积（含孔内各面）为132+120＝252（cm2）， 故答案为：252． 9．有一个棱长为5的正方体木块，从它的每一个面看都有一个穿透的完全相同的孔（如图中的阴影部分），则这个立体图形的内、外表面的总面积是　216　． 【分析】根据三视图得出立体图形的表面积即可． 【解答】解：根据图示可得：八个棱长为2的正方体分别在8个顶角， 12个棱长为1的正方体分别在12条棱的中间， 所以总面积＝（2×2×6）×8+（1×1×6）×12﹣4×12＝216． 故答案为：216 10．“24点游戏”指的是从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽出四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌只能使用一次），使得运算结果是24或者是﹣24，现抽出的牌所对应的数字是4，5，3，1，请你写出刚好凑成24的算式：　4×5+3+1＝24（答案不唯一）　（写出一个即可）． 【分析】根据有理数混合运算的法则进行计算即可． 【解答】解：4×5+3+1＝24， 故答案为：4×5+3+1＝24（答案不唯一）． 11．有一种扑克牌游戏叫做“24点”．要求是可以用加、减、乘、除、乘方五种运算把扑克牌牌面上的数算成24．每张牌必须用且只能用一次．如果有四张牌如图所示，请列出一种“24点”算式 　5×5﹣15　． 【分析】根据题意和图形，可以写出一个结果为24的算式． 【解答】解：5×5﹣15 ＝5×5﹣1 ＝25﹣1 ＝24， 故答案为：5×5﹣15． 12．算“24”点是一个充满挑战的数学游戏，只能使用加减乘除运算（可适当添加括号），将四个数进行计算，求得24．请用5，6，3，﹣9四个数算“24”点，可列式为 　（5+6）×3﹣9＝24（答案不唯一）　． 【分析】根据有理数混合运算法则计算即可． 【解答】解：用5，6，3，﹣9四个数算“24”点，可列式为（5+6）×3﹣9＝24， 故答案为：（5+6）×3﹣9＝24． 13．24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用． （1）在玩“24点”游戏时，小明抽到以下4张牌： 请你帮他写出运算结果为24的算式：　2×4×（6﹣3）（答案不唯一）　； （2）如果♥，♦表示正，♠，♣表示负，请你用（1）中的4张牌表示的数写出运算结果为24的算式：　﹣[2×（﹣6）]﹣3×（﹣4）（答案不唯一）．　． 【分析】（1）利用有理数的混合运算的运算顺序进行计算，即可解答； （2）利用有理数的混合运算的运算顺序进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）2×4×（6﹣3） ＝2×4×3 ＝24， 故答案为：2×4×（6﹣3）（答案不唯一）； （2）﹣[2×（﹣6）]﹣3×（﹣4） ＝﹣（﹣12）﹣（﹣12） ＝12+12 ＝24， 故答案为：﹣[2×（﹣6）]﹣3×（﹣4）（答案不唯一）． 14．有一次小明在做24点游戏时抽到的四张牌分别是7、7、1、2，每张牌只能用一次，可以用加、减、乘、除等运算，请写出一个成功的算式：　（7×7﹣1）÷2（答案不唯一）　＝24． 【分析】根据有理数混合运算的法则进行计算即可． 【解答】解：（7×7﹣1）÷2 ＝（49﹣1）÷2 ＝48÷2 ＝24， 故答案为：（7×7﹣1）÷2（答案不唯一）． 15．在玩“24点”游戏时，小明抽到的数字是4，﹣6，3，10，运用所学过的有理数混合运算，使得运算结果为24，你的算法是 　4﹣10×＝24（答案不唯一）　（写出一种即可，每个数字都要用到并且只能用一次）． 【分析】利用运算符号将四个数连接，结果为24即可． 【解答】解：4﹣10×＝24． 故答案为：4﹣10×＝24（答案不唯一）． 16．如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示﹣1的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2021的点与圆周上表示哪个数字的点重合？（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据圆的周长为4个单位长度，先求出此圆在数轴上向右滚动的距离，再除以4，然后根据余数判断与圆周上哪个数字重合． 【解答】解：2021﹣（﹣1）＝2021+1＝2022， 2022÷4＝505•••2， 所以数轴上表示2021的点与圆周上的数字2重合， 故选：C． 17．观察并找规律：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，那么22023的个位数是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】先找出规律，求出2018÷4＝504…2，即可得出答案． 【解答】解：∵2n的个位数字是2，4，8，6四个一循环， ∵2023÷4＝505…3， ∴22023的个位数字应该是8． 故选：D． 18．找规律填空． ①一个正方体，用刀截去一个角后，所得的几何体有 　7或8或9或 10　个顶点． ②下列各图中每个正方体的棱长都是a厘米．各图的表面积分别是多少？（按图形顺序依次将答案填在对应的横线内） （1）　6a2　平方厘米；（2）　10a2　平方厘米；（3）　14a2　平方厘米；（4）　206a2　平方厘米． ③观察下面的几个算式： 1+2+1＝4； 1+2+3+2+1＝9； 1+2+3+4+3+2+1＝16； 1+2+3+4+5+4+3+2+1＝25； … 根据你所发现的规律，直接写出下面式子的结果： 1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1＝　10000　． 【分析】①根据正方体表面积的计算方法进行计算即可； ②逐步得到每个图形中正方体的个数与组合体表面积之间的关系进行计算即可； ③根据所提供等式所呈现的规律得出答案． 【解答】解：①根据截去一个角后，所得的几何体的形状可得， 一个正方体，用刀截去一个角后，所得的几何体有7或8或9或 10个顶点， 故答案为：7或8或9或 10； ②图（1）是正方形6个面的面积和为6a2， 图（2）是2个正方形的组合体，其表面积为6a2×2﹣a2×2×1＝10a2， 图（3）是3个正方形的组合体，其表面积为6a2×3﹣a2×2×2＝14a2， … 图（4）是51个正方形的组合体，其表面积为6a2×51﹣a2×2×50＝206a2， 故答案为：6a2，10a2，14a2，206a2； ③由所提供等式所呈现的规律可得， 1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1＝1002＝10000， 故答案为：10000． 19．找规律：观察算式 … （1）按规律填空） 13+23+33+43+…+103＝　552　； （2）由上面的规律计算：113+123+133+143+…+503（要求：写出计算过程） （3）思维拓展：计算：23+43+63+…+983+1003（要求：写出计算过程） 【分析】（1）观察等式右边都是平方数，且底数正好是等式左边各底数的和，依此规律类推即可解决问题； （2）由于上面的等式都是从底数是1开始的，所以可以把该式子前面的部分从1开始补上，再把补上的部分减掉即可； （3）该式中的底数并不是题干中的所给出的从1开始的连续整数，因此不能直接用上述 规律解题，但该式中的底数却都是从1开始的连续整数的2倍，因此提出2后，各项都含有23，逆用乘法分配律即可解题． 【解答】解：（1）13+23+33+43+…+103＝（1+2+3+4+⋯+10）2＝552． （2）113+123+133+143+…+503＝（13+23+33+43+⋯+503）﹣（13+23+33+43+⋯+103）＝ ＝1622600． （3）23+43+63+…+983+1003＝（2×1）3+（2×2）3+（2×3）3+（2×4）3+⋯+（2×50）3 ＝23×（13+23+33+43+⋯+503） ＝ ＝8×12752． 20．我们常用符号[x]表示小于或者等于x的最大整数．例如：[0]＝0，[3.1]＝3，[﹣1.3]＝﹣2，[π]＝3，请根据以上信息，解决下列问题： （1）[3]＝　3　；[﹣2.9]＝　﹣3　；[2π]＝　6　； （2）计算并找规律： [1]+[﹣1]＝　0　；[100]+[﹣100]＝　0　；[0.3]+[﹣0.3]＝　﹣1　；[[1.5]+[﹣1.5]＝　﹣1　； 根据以上计算，可归纳出： ①当x为整数时[x]+[﹣x]＝　0　； ②当x不为整数时[x]+[﹣x]＝　﹣1　； （3）根据以上发现计算：[1]+[1.3]+[2]+[2.3]+[3]+…+[18]+[18.3]+[19]+[19.3]+20+[﹣20]+[﹣19.3]+[﹣19]+[﹣18.3]+[﹣18]+…+[﹣3]+[﹣2.3]+[﹣2]+[﹣1.3]+[﹣1]． 【分析】（1）根据定义得出即可． （2）根据定义得出每一个值再相加即可．①②根据前面的 （3）用（2）的结论，逐个结合得出和，共有20个0，19个﹣1． 【解答】解：（1）[3]＝3，[﹣2.9]＝﹣3，[2π]＝6； （2）[1]+[﹣1]＝1+（﹣1）＝0，[100]+[﹣100]＝100+（﹣100）＝0，[0.3]+[﹣0.3]＝0+（﹣1）＝﹣1，[[1.5]+[﹣1.5]＝1+（﹣2）＝﹣1； 根据前面的规律可以得出： ①当x为整数时[x]+[﹣x]＝0，②当x不为整数时[x]+[﹣x]＝﹣1； （3）[1]+[1.3]+[2]+[2.3]+[3]+…+[18]+[18.3]+[19]+[19.3]+20+[﹣20]+[﹣19.3]+[﹣19]+[﹣18.3]+[﹣18]+…+[﹣3]+[﹣2.3]+[﹣2]+[﹣1.3]+[﹣1] ＝（[1]+[﹣1]）+（[1.3]+[﹣1.3]）+……+（[20]+[﹣20]） ＝0+（﹣1）+0+（﹣1）+……+0 ＝﹣19 21．找规律，解决问题： ； ； ； （1）求：； （2）计算：． 【分析】（1）根据题中的规律，直接进行利用规律即可计算； （2）对原式每个小括号里的数进行计算，再利用规律解答． 【解答】解：（1）＝； （2） ＝××× ＝． 22．找规律． 第1组：，42+32＝52； 第2组：，82+152＝172； 第3组：，122+352＝372； …… （1）请写出第4组等式 　　，　162+632＝652　； （2）请写出第n组等式 　＝　，　（4n）2+（4n2﹣1）2＝（4n2+1）2　； （3）若k2+96032＝96052（k＞0）则k＝　196　． 【分析】根据题目中的规律即可得到结论． 【解答】解：∵第1组：，42+32＝52； 第2组：，82+152＝172； 第3组：，122+352＝372； ∴（1）请写出第4组等式，162+632＝652； 故答案为：， （2）请写出第n组等式＝，（4n）2+（4n2﹣1）2＝（4n2+1）2； 故答案为：＝，（4n）2+（4n2﹣1）2＝（4n2+1）2； （3）∵k2+96032＝96052（k＞0）， 设x+（x+2）＝k，则x（x+2）＝9603， 解得x＝97，k＝196， 故答案为：196． 23．我们在学习有理数这一章时，利用裂项相消的方法可以计算：＝，请你用这种方法计算：＝　　． 【分析】观察数字的变化寻找规律即可求得结果． 【解答】解：原式＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣） ＝×（1﹣） ＝× ＝． 故答案为：． 24．观察下列计算，并回答下列问题． ①， ②， ③， ④， …… （1）第5个式子是 　　； （2）第n个式子是 　　； （3）从计算结果中找规律，利用规律计算：． 【分析】（1）观察等式两边的构成规律即可求解； （2）由（1）中结论即可求解； （3）将原式化为即可求解． 【解答】解：（1）∵第1个式子是：， 第2个式子是：， 第3个式子是：， …， ∴第5个式子是：， 即． 故答案为：； （2）由（1）可得：第n个式子是：， 故答案为：； （3） ＝ ＝ ＝ ＝． 25．计算：++++． 【分析】将改写为，其它式子也进行同样的改写即可解决问题． 【解答】解：原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝． 26．请你观察： ＝﹣；＝﹣；＝﹣；… +＝﹣+﹣＝1﹣＝； ++＝﹣+﹣+﹣＝1﹣＝； 以上方法称为“裂项相消求和法” 请类比完成： （1）+++＝　　； （2）++++…+＝　　； （3）计算：+++…+的值． 【分析】（1）利用“裂项相消求和法“进行求解即可； （2）利用“裂项相消求和法“进行求解即可； （3）利用“裂项相消求和法“进行求解即可． 【解答】解：（1）+++ ＝+ ＝1﹣ ＝， 故答案为：； （2）++++…+ ＝++…+ ＝1﹣ ＝， 故答案为：； （3）+++…+ ＝+++…+ ＝×（1﹣+…+） ＝ ＝ ＝． 27．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 已知表示﹣3和2两点之间的距离是5；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|． （1）如果|a+2|＝3，那么a＝　﹣5或1　； （2）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣4|＝6，这些点表示的数的和是 　7　； （3）当a＝　﹣1　时，|a+5|+|a+1|+|a﹣4|的值最小，最小值是 　9　； （4）若有理数a、b、c满足|a﹣b|＝2，|b﹣c|＝6，则|a﹣c|＝　8或4　． 【分析】（1）利用绝对值的几何意义解答即可； （2）利用题意求得所有的符合题意的x值，再相加即可得出结论； （3）利用题意可得当a的取值为﹣5与4之间的﹣1时，|a+5|+|a+1|+|a﹣4|的值最小，将a＝﹣1代入即可得出结论； （4）利用分类讨论的方法分四种情况解答，画出符合题意的图形，利用题干中的知识点解答即可． 【解答】解：（1）∵|a+2|＝3， ∴表示﹣2和a两点之间的距离是3， ∴a＝﹣5或1． 故答案为：﹣5或1； （2）∵|x+2|+|x﹣4|＝6， ∴表示x到﹣2和4的距离的和为6，这样的整数x＝﹣2，﹣1，0，1，2，3，4． ∴﹣2﹣1+0+1+2+3+4＝7． 故答案为：7； （3）由题意得：当a的取值为﹣5与4之间的﹣1时，|a+5|+|a+1|+|a﹣4|的值最小， ∴当a＝﹣1时， |a+5|+|a+1|+|a﹣4|的最小值＝|﹣1+5|+|﹣1+1|+|﹣1﹣4|＝4+0+5＝9． 故答案为：﹣1；9； （4）①表示a的点在表示b的点的左侧，表示c的点在表示b的点的右侧时，如图， 此时|a﹣c|＝8； ②表示a的点在表示b的点的右侧，表示c的点在表示b的点的右侧时，如图， 此时|a﹣c|＝4； ③表示a的点在表示b的点的右侧，表示c的点在表示b的点的左侧时，如图， 此时|a﹣c|＝8； ④表示a的点在表示b的点的右侧，表示c的点在表示b的点的左侧时，如图， 此时|a﹣c|＝4． 综上，若有理数a、b、c满足|a﹣b|＝2，|b﹣c|＝6，则|a﹣c|＝8或4． 故答案为：8或4． 28．我们知道，|a|可以理解为|a﹣0|，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|，反过来，式子|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： （1）数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是 　5　，数轴上表示数﹣1的点和表示数﹣3的点之间的距离是 　2　． （2）数轴上点A用数a表示，则： ①若|a﹣3|＝5，那么a的值是 　8或﹣2　． ②|a﹣3|+|a+6|有最小值，最小值是 　9　； ③求|a+1|+|a+2|+|a+3|+⋯+|a+2021|+|a+2022|+|a+2023|的最小值． 【分析】（1）根据两点间的距离公式求解即可； （2）①利用绝对值的定义可得a﹣3＝5或a﹣3＝﹣5，即可求解； ②由|a﹣3|+|a+6|表示：数轴上表示数a的点到3的距离与表示数a的点到﹣6的距离之和，根据两点间线段最短即可求解； ③该式子表示数轴上点a到﹣1、﹣2、﹣3、⋯、﹣2023的 距 离 之 和，根据两点之间线段最短和绝对值的意义可知：当a＝﹣1012时，原式有最小值，然后去取绝对值，利用求和公式计算即可． 【解答】解：（1）数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是：|8﹣3|＝5， 数轴上表示数﹣1的点和表示数﹣3的点之间的距离是：|﹣3﹣（﹣1）|＝2， 故答案为：5，2； （2）①若|a﹣3|＝5，那么a﹣3＝5或a﹣3＝﹣5， 解得：a＝8或a＝﹣2， 故答案为：8或﹣2； ②|a﹣3|+|a+6|表示：数轴上表示数a的点到3的距离与表示数a的点到﹣6的距离之和， 由两点间线段最短可知：当﹣6≤a≤3时，|a﹣3|+|a+6|有最小值，最小值是6﹣（﹣3）＝9， 故答案为：9； ③∵|a+1|+|a+2|+|a+3|+⋯+|a+2021|+|a+2022|+|a+2023|的中间一项是|a+1012|， ∴当a＝﹣1012时，原式有最小值， ∴|a+1|+|a+2|+|a+3|+⋯+|a+2021|+|a+2022|+|a+2023| ＝2×（1011+1010+⋯+3+2+1） ＝ ＝1023132， ∴|a+1|+|a+2|+|a+3|+⋯+|a+2021|+|a+2022|+|a+2023|的最小值是1023132． 29．在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形结合的方法使复杂问题简单化． 材料一：我们知道|a|的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离；|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示数a，b的两点之间的距离；|a+b|的几何意义是：数轴上表示数a，﹣b的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解． （1）|x﹣3|＝4 解：由绝对值的几何意义知：在数轴上x表示的点到3的距离等于4， ∴x1＝3+4＝7，x2＝3﹣4＝﹣1； （2）|x+2|＝5 解：∵|x+2|＝|x﹣（﹣2）|， ∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x表示的点到﹣2的距离等于5． ∴x1＝﹣2+5＝3，x2＝﹣2﹣5＝﹣7． 材料二：如何求|x﹣1|+|x+2|的最小值． 由|x﹣1|+|x+2|的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和﹣2两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在﹣2和1之间（包括这两个端点）取值． ∴|x﹣1|+|x+2|的最小值是3；由此可求解方程|x﹣1|+|x+2|＝4，把数轴上表示x的点记为点P，由绝对值的几何意义知：当﹣2≤x≤1时，|x﹣1|+|x+2|恒有最小值3，所以要使|x﹣1|+|x+2|＝4成立，则点P必在﹣2的左边或1的右边，且到表示数﹣2或1的点的距离均为0.5个单位． 故方程|x﹣1|+|x+2|＝4的解为：x1＝﹣2﹣0.5＝﹣2.5，x2＝1+0.5＝1.5． 阅读以上材料，解决以下问题： （1）填空：|x﹣3|+|x+4|的最小值为 　7　； （2）已知有理数x满足：|x+3|+|x﹣10|＝17，有理数y使得|y﹣3|+|y+1|+|y﹣6|的值最小，求x﹣y的值； （3）试找到符合条件的x，使|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|的值最小，并求出此时的最小值及x的取值范围． 【分析】（1）由阅读材料直接可得； （2）由已知可得：x＝﹣3﹣2＝﹣5或x＝10+2＝12，|y﹣3|+|y+1|+|y﹣6|有最小值7，求得y＝3，代入计算即可求解； （3）当n是奇数时，中间的点为，所以当时，|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|＝；当n是偶数时，中间的两个点相同为， 所以当时，|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|＝． 【解答】解：（1）由阅读材料二可得：|x﹣3|+|x+4|的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数3和﹣4两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在﹣4和3之间（包括这两个端点）取值，即﹣4≤x≤3． ∴|x﹣3|+|x+4|的最小值为7； 故答案为：7； （2）∵|x+3|+|x﹣10|的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数10和﹣3两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在﹣3和10之间（包括这两个端点）取值，即﹣3≤x≤10． ∴|x+3|+|x﹣10|的最小值为13， 又∵|x+3|+|x﹣10|＝17， ∴x＝﹣3﹣2＝﹣5或x＝10+2＝12， ∵|y﹣3|+|y+1|+|y﹣6|表示数轴上表示y到﹣1，3，6之间的距离和最小， ∴当y＝3时，有最小值7， ∴x﹣y＝﹣8或x﹣y＝9； （3）|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|的值最小，表示数轴上点x到1，2，3，…，n之间的距离和最小， 当n是奇数时，中间的点为， 所以当时， |x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n| ＝0+2+4+...+（n﹣3）+（n﹣1） ＝； ∴当n是奇数，时，|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|的最小值为． 当n是偶数时，中间的两个点相同为， 所以当时， |x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n| ＝1+3+5+...+（n﹣3）+（n﹣1） ＝． ∴当n是偶数，时，|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|最的小值为． 30．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，|a|可以理解为|a﹣0|，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A、B，分别用数a、b表示，那么A，B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|，反过来，式子|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． 若数轴上点A表示数a，请回答下列问题： （1）如果|a|＝5，那么a的值是 　±5　； （2）如果|a﹣3|＝5，那么a的值是 　﹣2或8　； （3）满足|a+2|+|a﹣3|＝5整数a有 　6　个； （4）如果|a+2|+|a﹣3|＝8，那么a的值是 　﹣3.5或4.5　； （5）|a+1|+|a+2|+|a+3|+|a+4|+|a+5|的最小值是 　6　． 【分析】（1）根据绝对值的定义求解可得； （2）根据绝对值的定义求解可得； （3）根据绝对值的几何意义可知，﹣2≤a≤3时，求出符合条件a的值即可； （4）根据绝对值的几何意义进行当a＜﹣2时和a＞3时两种情况讨论即可； （5）表示数轴上到表示﹣1、﹣2、﹣3、﹣4、﹣5的点的距离之和，根据两点之间线段最短和绝对值的几何意义可知，当x＝﹣3时值最小，然后去掉绝对值符号，再利用求和公式列式计算即可得解． 【解答】解：（1）若|a|＝5，那么a的值为5或﹣5， 故答案为：±5； （2）∵|a﹣3|＝5， ∴a﹣3＝5或a﹣3＝﹣5， ∴a＝8或﹣2， 故答案为：﹣2或8； （3）∵|a+2|+|a﹣3|＝5，且3﹣（﹣2）＝5 ∴﹣2≤a≤3， ∵a是整数， ∴a的值有﹣2，﹣1，0，1，2，3，共6个， 故答案为：6； （4）由（3）可得①当﹣2≤a≤3时，|a+2|+|a﹣3|＝5，不符合题意； ②当a＜﹣2时，﹣a﹣2﹣a+3＝8，解得：a＝﹣3.5； ③当a＞3时，a+2+a﹣3＝8，解得：a＝4.5； 故答案为：﹣3.5或4.5； （5）∵|a+1|+|a+2|+|a+3|+|a+4|+|a+5|的中间一项是|a+3|， ∴a＝﹣3时， 原式有最小值，|a+1|+|a+2|+|a+3|+|a+4|+|a+5|＝2+1+0+1+2＝6， 故答案为：6． 31．阅读下列材料（注重数形结合思想的分析）：经过有理数的学习，我们知道|5﹣3|可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，|5﹣（﹣2）|可以表示5与﹣2之差的绝对值，也可以表示5与﹣2两个数在数轴上所对应的两点之间的距离． 探究（一）：（如图1） （1）|4﹣1|表示数轴上 　4　与 　1　所对应的两点之间的距离； （2）|x﹣5|表示数轴上有理数x所对应的点到 　5　所对应的点之间的距离；|x+2|表示数轴上有理数x所对应的点到 　﹣2　所对应的点之间的距离； 探究（二）： （3）如图2，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在 　线段AB上时　才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？ （4）如图3，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在 　点B上时　才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？ （5）如图4，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在 　线段BC上时　才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？ 结论应用：（如图5） （6）利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7．这样的整数x有 　﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5　； （7）代数式|x+7|+|x+4|+|x﹣2|+|x﹣5|的最小值是 　18　，此时x的范围是 　﹣4≤x≤2　． 【分析】（1）根据材料分析的含义，直接写出答案； （2）根据材料分析的含义，直接写出答案； （3）分情况讨论点P的位置，得出P到其他点的距离之和最小； （4）分情况讨论点P的位置，得出P到其他点的距离之和最小； （5）分情况讨论点P的位置，得出P到其他点的距离之和最小； （6）由（4）分析的结论分析即可； （7）由（5）分析的结论分析即可． 【解答】解：（1）由阅读材料可知：|4﹣1|表示数轴上4与1所对应的两点之间的距离； 故答案为：4，1； （2）由阅读材料可知：|x﹣5|表示数轴上有理数x所对应的点到5所对应的点之间的距离； ∵|x+2|＝|x﹣（﹣2）|， ∴|x+2|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣2所对应的点之间的距离； 故答案为：5，﹣2； （3）①当点P在点A左边时，PA+PB＝2AP+AB＞AB， ②当点P在点A、点B之间时（包括点A、B），PA+PB＝AB， ③当点P在点A右边时，PA+PB＝2PB+AB＞AB． ∴线段AB上时，才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小． 故答案为：线段AB上时； （4）①当点P在点A左边，PA+PB+PC＝2PA+AC+BP， ②当点P在点A、点B之间时， PA+PB+PC＝AC+BP， ③当点P在点C、点B之间时， PA+PB+PC＝AC+BP， ④当点P在点C右边， PA+PB+PC＝AC+BP+2PC， ∴点P应设在点B上时才能使P到A，B，C三点的距离之和最小． 故答案为：点B上时； （5）①当点P在点A左边， PA+PB+PC+PD＝4PA+2AB+CB+AD， ②当点P在点A、点B之间时， PA+PB+PC+PD＝2PB+BC+AD， ③当点P在点C、点B之间时， PA+PB+PC+PD＝BC+AD， ④当点P在点C、点D之间时， PA+PB+PC+PD＝BC+AD+2PC， ⑤当点P在点D右边时， PA+PB+PC+PD＝BC+AD+2DC+4PD， ∴当点P在点线段BC上时，P到A，B，C，D四点的距离之和最小． 故答案为：线段BC上时； （6）由题意得： |x+2|+|x﹣5|＝7表示数轴上有理数c所对应的数到数轴上﹣2与5的距离之和等于7， 由（4）得，当c在﹣2与5之间时，满足题意， ∴x表示的数为：﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5． 故答案为：﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5； （7）这时在求点x到﹣7、﹣4、2、5四点的最小距离， 由（5）得，当﹣4＜x＜2时，有最小值，最小值为18， 故答案为：18，﹣4≤x≤2． 32．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，如图，数轴上的点A，B对应的数分别是a和b，且满足|a+4|+（b﹣12）2＝0，P，Q是数轴上的动点． （1）求a，b的值． （2）A，B两点之间距离为 　16　． （3）若点P以2个单位长度/秒从点A出发向点B运动，同时点Q从点B出发向点A运动，经过5秒相遇，求点Q的运动速度． （4）若点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，是否存在某个时刻t，恰好使得点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据非负数的性质，可得a+4＝0，b﹣12＝0，求解即可获得答案； （2）根据数轴上两点之间距离公式求解即可； （3）设点Q的运动速度为x个单位长度/秒，根据题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案； （4）根据题意，可得点P对应的数为（﹣4+2t），结合点A，B对应的数，求得PA，PB的值，然后根据PA＝3PB，可得2t＝3|2t﹣16|，求解即可获得答案． 【解答】解：（1）根据题意，|a+4|+（b﹣12）2＝0， ∵|a+4|≥0，（b﹣12）2≥0， ∴a+4＝0，b﹣12＝0， 解得a＝﹣4，b＝12； （2）∵12﹣（﹣4）＝16， ∴A，B两点之间距离为16． 故答案为：16； （3）设点Q的运动速度为x个单位长度/秒， 根据题意，可得 （2+x）×5＝16， 解得x＝1.2， ∴点Q的运动速度为1.2个单位长度/秒； （4）存在，理由如下： 根据题意，点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，运动时间为t秒， 则点P对应的数为（﹣4+2t）， ∴PA＝2t，PB＝|﹣4+2t﹣12|＝|2t﹣16|， ∵PA＝3PB， ∴2t＝3|2t﹣16|， 当2t＝3（2t﹣16）时，解得t＝12秒， 当2t＝3（16﹣2t）时，解得t＝6秒， ∴当t的值为6秒或12秒时，恰好使得点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍． 33．在数轴上A，B，C点分别表示数a，b，c，且b最大的负整数，|a+4|+（c﹣5）2＝0． （1）a＝　﹣4　，b＝　﹣1　，c＝　5　； （2）若A、B、C为数轴上的动点，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C以分别每秒2个单位长度和每秒4个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒，设点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点C之间的距离表示为AC． ①若AB＝BC，求t的值？ ②是否存在常数m，使得m•BC﹣AB的值是个定值？如果存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据绝对值的非负性及平方的非负性可得a，c的值，再根据b最大的负整数进而可求解． （2）①由（1）得：A表示的有理数为﹣4，B表示的有理数为﹣1，C表示的有理数为5，进而可得AB＝3t+3，BC＝2t+6，当AB＝BC时，进而可求解． ②化简m•BC﹣AB＝（2m﹣3）t+6m﹣3，要使m•BC﹣AB为定值，即t的系数为0，进而可求解． 【解答】解：（1）由|a+4|+（c﹣5）2＝0得： a+4＝0，即：a＝﹣4， c﹣5＝0，即：c＝5， ∵b是最大的负整数， ∴b＝﹣1， 故答案为：﹣4；﹣1；5． （2）①由（1）得：A表示的有理数为﹣4，B表示的有理数为﹣1，C表示的有理数为5， 则：AB＝t+2t+（﹣1）﹣（﹣4）＝3t+3，BC＝4t﹣2t+5﹣（﹣1）＝2t+6， 当AB＝BC时，即：3t+3＝2t+6， 解得：t＝3 ②存在，理由如下： 由题意得： m•BC﹣AB＝m（2t+6）﹣（3t+3）＝2mt+6m﹣3t﹣3＝（2m﹣3）t+6m﹣3， 当m•BC﹣AB的值是个定值时，即2m﹣3＝0， 解得：， 则为定值． 34．在数轴上，动点A从原点O出发向负半轴匀速运动，同时动点B从原点O出发向正半轴匀速运动，动点B的速度是动点A的速度的两倍，经过5秒，A、B两点的距离为15个单位长度． （1）动点B的速度是每秒多少单位长度？ （2）若此时，动点A立即以原来的速度向正半轴运动，动点B继续按原来的方式运动，问论此时经过多长时间使BO＝3AO．（其中BO表示点B到原点O的距离，AO表示点A到原点O的距离） 【分析】（1）设动点A的速度是每秒x个单位长度，则动点B的速度是每秒2x个单位长度，根据“经过5秒，A、B两点的距离为15个单位长度”，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出动点A的速度，再将其代入2x中，即可求出动点B的速度； （2）再经过t秒，动点A在数轴上表示的数为﹣5+t，动点B在数轴上表示的数为10+2t，根据BO＝3AO，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设动点A的速度是每秒x个单位长度，则动点B的速度是每秒2x个单位长度， 根据题意得：5x+5×2x＝15， 解得：x＝1， ∴2x＝2×1＝2． 答：动点B的速度是每秒2个单位长度； （2）再经过t秒，动点A在数轴上表示的数为﹣5+t，动点B在数轴上表示的数为10+2t， 根据题意得：10+2t﹣0＝3|0﹣（﹣5+t）|， 即10+2t＝15﹣3t或10+2t＝3t﹣15， 解得：t＝1或t＝25． 答：再经过1秒或25秒使BO＝3AO． 35．我们将数轴上不同的三点A，B，C表示的数记为a，b，c，若满足a﹣b＝k（b﹣c），其中k为有理数，则称点A是点C关于点B的“k星点”．已知在数轴上，原点为O，点A，点B表示的数分别为a＝﹣3，b＝3． （1）若点A是点B关于原点O的“k星点”，则k＝　1　；若点A是点B关于点C的“3星点”，则c＝　1.5　； （2）若线段AB在数轴上沿正方向运动，每秒运动1个单位长度，取线段AB的中点X．是否存在某一时刻，使得点X是点A关于点2的“﹣2星点”？若存在，求出线段AB的运动时间；若不存在，请说明理由； （3）点M是数轴上的动点，点M表示为整数m，且点A是原点O关于点M的“k星点”，请直接写出k的值． 【分析】（1）根据“k星点”的定义，点A是点B关于原点O的“k星点”，可得a﹣0＝k（0﹣b），把相关数值代入计算即可； （2）分别得到点A，X运动后表示的数，根据“k星点”的定义列出方程求解即可； （3）根据“k星点”的定义，可得a﹣m＝k（m﹣0），把相关数值代入求得m的整数解即可． 【解答】解：（1）∵点A是点B关于原点O的“k星点”， ∴a﹣0＝k（0﹣b）． ∵a＝﹣3，b＝3， ∴k＝1； ∵点A是点B关于点C的“3星点”， ∴a﹣c＝3（c﹣b）． ∴﹣3﹣c＝3c﹣3×3 ∴c＝1.5． 故答案为：1，1.5． （2）设AB运动的时间为x秒，则点A运动后表示的数﹣3+x，线段AB的中点X表示的数为x， ∵点X是点A关于点2的“﹣2星点”， ∴x﹣2＝﹣2×[2﹣（﹣3+x）] ∴x＝8， ∴当 x＝8，点X是点A关于点2的“﹣2 星点”． （3）∵点A是原点O关于点M的“k星点”， ∴﹣3﹣m＝k（m﹣0）． ﹣3＝km+m， ﹣3＝（k+1）m， m＝． ∵点M表示为整数m， ∴k+1＝±1或k+1＝±3． 解得：k＝0或﹣2或2或﹣4． 故答案为：﹣4，﹣2，0，2． 36．如图，O为数轴的原点，在数轴上A点表示的数为a，B点表示的数为b，C点表示的数为c，b是最大的负整数，且|a+3|＝0，c2＝64．点P从点B出发以每秒2个单位长度的速度向左运动，到达点A后立刻返回运动到点C并停止． （1）a＝　﹣3　，b＝　﹣1　，c＝　8　． （2）点P从点B离开后，在点P到达点C的过程中，经过x秒钟，PA+PB+PC＝12，求x的值． （3）点P从点B出发的同时，数轴上的动点M，N分别从点A和点C同时出发，相向而行，速度分别为每秒3个单位长度和每秒4个单位长度，假设运动t秒钟时，P、M、N三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请求出所有满足条件的t的值． 【分析】（1）根据绝对值的性质，求出a的值，根据平方根的定义，求出c的值，再根据负整数求得b的值； （2）由于P在AC上面，可得PB＝12﹣AC＝1，根据时间＝路程÷速度可求x的值； （3）以P为M、N点的中点；M为P、N点的中点；N为P、M点的中点；进行讨论即可求解． 【解答】解：（1）∵|a+3|＝0，c2＝64，C在原点右边， ∴a＝﹣3，c＝8． ∵b是最大的负整数． ∴b＝﹣1． 故答案为：﹣3，﹣1，8； （2）AB＝﹣1﹣（﹣3）＝2， AC＝8﹣（﹣3）＝11， BC＝8﹣（﹣1）＝9， ∵PA+PB+PC＝12， ∴PB＝12﹣AC＝1， 如图， ∴x＝1÷2＝或x＝（2×2﹣1）÷2＝1或x＝（2×2+1）÷2＝2． 故x的值为或1或2； （3）P为M、N点的中点， 当0＜t≤时，有（﹣3+3t）+（8﹣4t）＝2（﹣1﹣2t）， 解得t＝﹣（舍去）， 当≤t≤5.5时，有（﹣3+3t）+（8﹣4t）＝2（2t﹣2﹣3）， 解得t＝3； M为P、N点的中点， 当＜t＜1时，有（﹣1﹣2t）+（8﹣4t）＝2（﹣3+3t）， 解得t＝（舍去）， 当1≤t≤时，有（2t﹣2﹣3）+（8﹣4t）＝2（﹣3+3t）， 解得t＝； N为P、M点的中点， 当＜t＜时，有（﹣3+3t）+（2t﹣2﹣3）＝2（8﹣4t）， 解得t＝． 综上所述，t的值为3或或． 37．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小强在纸上画了一条数轴．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c．b是最小的正整数，且a、c满足|a+3|+（c﹣6）2＝0． （1）填空：a＝　﹣3　，b＝　1　，c＝　6　． （2）折叠纸面，若使点A与点C重合，则与点B重合的点表示的数为 　2　． （3）若点A、B、C是数轴上的动点，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，则AB＝　4+3t　，BC＝　5+2t　．（用含t的代数式表示） （4）在（3）的条件下，3BC﹣2AB的值是否随着运动时间t（秒）的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，求出其值． 【分析】（1）根据非负数的和为零，则每一项为0求出a，c，再根据b是最小的正整数得出b； （2）利用中点坐标公式求出折痕点，再求解即可； （3）先表示出t秒后A，B，C所表示的数，再根据数轴上两点间的距离求出AB，BC即可； （4）在（3）条件下计算3BC﹣2AB即可． 【解答】解：（1）∵a、c满足|a+3|+（c﹣6）2＝0， ∴a+3＝0，且c﹣6＝0， ∴a＝﹣3，c＝6， ∵b是最小的正整数， ∴b＝1， 故答案为：﹣3，1，6； （2）点A表示的数为﹣3，点C表示的数为6，且A，C两点经折叠后重合， ∴折叠点表示的数为＝1.5， ∵点B表示的数为1， ∴与点B重合的数为1.5+1.5﹣1＝2， 故答案为：2； （3）根据题意，t秒后点A表示的数为﹣3﹣t，点B表示的数为1+2t，点C表示的数为6+4t， ∴AB＝1+2t﹣（﹣3﹣t）＝1+2t+3+t＝4+3t； BC＝6+4t﹣（1+2t）＝6+4t﹣1﹣2t＝5+2t； 故答案为：4+3t，5+2t； （4）3BC﹣2AB的值不随着运动时间t（秒）的变化而改变，理由： ∵3BC﹣2AB＝3（5+2t）﹣2（4+3t）＝15+6t﹣8﹣6t＝7， ∴3BC﹣2AB的值不随着运动时间t（秒）的变化而改变． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/10/3 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