精品解析：北京市第五中学2024-2025学年高三上学期期中检测数学试卷

2024/2025学年度第一学期期中检测试卷 高三数学 一.选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 已知集合，若，则集合B可以是（ ） A. B. C. D. 2. 若直线与直线平行，则实数a的值为（ ） A. 0 B. －1 C. 1 D. －1或1 3. 设曲线是双曲线,则“的方程为”是“的渐近线方程为”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数，设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 已知两点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值是（ ） A. 8 B. 6 C. D. 4 6. 已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，过A点作准线的垂线交准线于，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上，下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，其高为，底面，底面扇环所对的圆心角为，弧长度为弧长度的倍，且，则该曲池的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 在直角三角形中，，点P在斜边的中线上，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 9. 金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存.已知金针菇失去的新鲜度与其来摘后时间（天）满足的函数解析式为.若采摘后天，金针菇失去的新鲜度为；若采摘后天，金针菇失去的新鲜度为.现在金针菇失去的新鲜度为，则采摘后的天数为（ ）（结果保留一位小数，） A. B. C. D. 10. 已知定点，，若点在圆上运动，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二.填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11. 复数的共轭复数___________. 12. 已知为正方形，若椭圆与双曲线都以、为焦点，且图象都过、点，则椭圆的离心率为__________，双曲线的离心率为__________. 13. 在△ABC中，，点D在边BC上，CD=2，则AD=___；△ACD的面积为____. 14. 已知函数，，，其中表示a，b中最大的数．若，则________；若对恒成立，则t的取值范围是________． 15. 已知函数.给出下列四个结论： ①过点存在条直线与曲线相切； ②过点存在条直线与曲线相切； ③过点存在条直线与曲线相切； ④过点存在条直线与曲线相切时，的取值范围是. 其中，正确结论的序号是__________. 三.解答题（共6小题，共85分） 16. 如图，在直三棱柱中，，点D是线段BC的中点. （1）求证：； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的余弦值. 17. 设过点，且一个周期的图象（原点，最高点，最低点）如图所示： （1）求，； （2）再从以下三个条件中任选其一，使函数唯一确定，并求的单调递增区间. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 18. 自2022北京冬奥会以来，花样滑冰项目引起了广泛关注.选手们在冰上起舞，做出步法、旋转、跳跃等技术动作.“技术动作分”由“基础分”和“执行分”相加得到.不同的技术动作，其“基础分”也不同，其中四个跳跃动作4T，4S，4F，4Lz的“基础分”如表1所示. 跳跃动作 4T 4S 4F 4Lz 基础分 9.5 9.7 11.0 11.5 表1 选手表演完，得到相应动作的“执行分”.把“执行分”为非负值的跳跃动作记为“成功”，否则记为“失败”.表2为某选手在上一赛季各跳跃动作的“技术动作分”. 4T 12.04 11.22 4.75 9.06 9.97 11.63 10.98 4S 10.98 10.57 11.32 4.85 9.51 12.07 4F 13.69 5.50 14.02 12.92 4Lz 13.54 14.23 11.21 8.38 11.87 表2 假设用频率估计概率，且选手每个跳跃动作是否“成功”相互独立. （1）从该选手上一赛季所有4T动作中任选一次，估计这次跳跃为“成功”的概率； （2）若该选手在本赛季中，计划完成4T，4S，4F 这三个动作，且每个动作只完成一次.将这三个动作中成功的跳跃个数记为X，求X的分布列和数学期望E（X）； （3）在本赛季中，从四个跳跃动作4T，4S，4F，4Lz中选出三个，使得该选手这三个动作中“成功”的跳跃个数的期望最大，请直接写出这三个动作的名称. 19. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）当且时，判断与的大小，并说明理由. 20. 设椭圆，且离心率为，过点的直线与椭圆交于，两点，当直线经过椭圆中心时，. （1）求椭圆的方程； （2）已知点，直线和直线分别与轴交于，，与轴交于，，若，求直线的斜率. 21. 设正整数数列满足. （1）若，请写出所有可能的取值； （2）记集合，且不是5的倍数，求证：； （3）存在常数，对于都有，求所有可能的取值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024/2025学年度第一学期期中检测试卷 高三数学 一.选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 已知集合，若，则集合B可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集定义计算，选出正确答案. 【详解】，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确. 故选：D 2. 若直线与直线平行，则实数a的值为（ ） A. 0 B. －1 C. 1 D. －1或1 【答案】B 【解析】 【分析】结合已知条件利用直线的平行关系求解即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得， 当 时，易知两条直线重合，不符合题意； 当时，符合题意. 综上所述，实数a的值为. 故选：B. 3. 设曲线是双曲线,则“的方程为”是“的渐近线方程为”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】分析：由方程为的渐近线为，且渐近线方程为的双曲线方程为，即可得结果. 详解：若的方程为， 则，渐近线方程为， 即为，充分性成立， 若渐近线方程为，则双曲线方程为， “的方程为”是“的渐近线方程为”的充分而不必要条件，故选A. 点睛：本题通过圆锥曲线的方程主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 4. 已知函数，设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先对函数化简变形得，由正弦函数的图像和性质可知的图像关于对称，且在上递增，在上递减，从而可比较出大小 【详解】解： ， 则的图像关于对称，且在上递增，在上递减， 因为， 所以， 所以， 故选：B 5. 已知两点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值是（ ） A. 8 B. 6 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心坐标和半径，可得圆心到直线的距离，求得圆上的点到直线距离的最小值，从而得三角形面积最小值． 【详解】解：圆 即， 圆心，半径是． 直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 直线和圆相离， 点到直线距离的最小值是 3 ， 的面积的最小值为 故选：D． 6. 已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，过A点作准线的垂线交准线于，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合图形，利用抛物线的定义，直角三角形的性质进行求解. 【详解】 因为，根据抛物线定义有：， 设与轴的交点为，因为，所以. 因为，所以.故A，C，D错误. 故选：B. 7. 中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上，下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，其高为，底面，底面扇环所对的圆心角为，弧长度为弧长度的倍，且，则该曲池的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设弧所在圆的半径为，弧所在圆的半径为，由题意可知，根据可求得的值，再利用柱体的体积公式可求得该几何体的体积. 【详解】不妨设弧所在圆的半径为，弧所在圆的半径为， 由弧长度为弧长度的倍可知，则，即．则， 故该曲池的体积． 故选：B. 8. 在直角三角形中，，点P在斜边的中线上，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中线以及数量积的运算律可得，进而可得结果. 【详解】由题意可知：， 因为， 可得， 又因为点P在斜边的中线上，则， 所以. 故选：A. 9. 金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存.已知金针菇失去的新鲜度与其来摘后时间（天）满足的函数解析式为.若采摘后天，金针菇失去的新鲜度为；若采摘后天，金针菇失去的新鲜度为.现在金针菇失去的新鲜度为，则采摘后的天数为（ ）（结果保留一位小数，） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件得到两个等式，两个等式相除求出的值，再根据两个等式相除可求得结果. 【详解】由题可得，两式相除可得， 则，， ∵，解得， 设天后金针菇失去的新鲜度为， 则，又， ∴，，，， 则， 故选：B. 10. 已知定点，，若点在圆上运动，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点，且，由此可求得，利用三角形两边之和大于第三边的性质可确定当三点共线时取得最小值. 【详解】设点，则， 设点，且，， 解得：，存在点，使得， （当且仅当三点共线时取等号）， . 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查圆的问题中的线段长度和最值的求解问题，解题关键是能够根据阿波罗尼斯圆的性质，将所求线段进行长度转化，进而利用几何关系来进行求解. 二.填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11. 复数的共轭复数___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数除法的运算法则，结合共轭复数的定义进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 故答案为： 12. 已知为正方形，若椭圆与双曲线都以、为焦点，且图象都过、点，则椭圆的离心率为__________，双曲线的离心率为__________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】分别根据椭圆与双曲线的性质求离心率，进而得答案. 【详解】因为椭圆与双曲线都以为焦点，且图象都过点， 设其焦距为，椭圆中，长轴为，短轴为； 双曲线中，实轴长为，虚轴长为， 对于椭圆，有，即， 故，解得； 对于双曲线，有，即， 故，得. 故答案为：； 13. 在△ABC中，，点D在边BC上，CD=2，则AD=___；△ACD的面积为____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】 在中用正弦定理求解，在用面积公式可得. 【详解】 在中由正弦定理得：， . 在中，， 故答案为： ;. 【点睛】本题考查平面几何中解三角形问题. 其求解思路：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理、勾股定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果． 14. 已知函数，，，其中表示a，b中最大的数．若，则________；若对恒成立，则t的取值范围是________． 【答案】 ①. ②. . 【解析】 【分析】由函数的定义，求，由时，，当时，可得已知条件等价于在上恒成立，化简可求的范围． 【详解】由已知， 若，则，所以， 当时，，当时，， 因为对恒成立； 所以当时，恒成立， 所以当时，恒成立， 若，则当时，，矛盾， 当时，可得恒成立，所以， 所以t的取值范围是为， 故答案为：，. 15. 已知函数.给出下列四个结论： ①过点存在条直线与曲线相切； ②过点存在条直线与曲线相切； ③过点存在条直线与曲线相切； ④过点存在条直线与曲线相切时，的取值范围是. 其中，正确结论的序号是__________. 【答案】①②③ 【解析】 【分析】对于④，设切点为，写出切线方程，将点的坐标代入切线方程，可得出方程，构造函数，利用导数判断其单调性，可得出关于实数的不等式组，解之可判断④；对于①②③，将相应点的坐标代入函数解析式，判断关于的三次方程的解得个数，可判断①②③. 【详解】对于④，设过点的直线与曲线相切于点， 对于函数，则， 则，且切线斜率为， 所以切线方程为， 因此，整理得：， 设，则“过点存在条直线与曲线相切” 等价于“有个不同零点”， ，列表如下： 要使得函数有三个零点，则，解得，故④错； 设切点坐标为，则切线方程为， 对于①，则有，即，该方程只有一解， 所以，过点存在条直线与曲线相切，①对； 对于②，则有， 整理得，即，解得或， 所以，过点存在条直线与曲线相切，②对； 对于③，则有， 即， 令，则，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，过点存在条直线与曲线相切，③对. 故答案为：①②③. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 三.解答题（共6小题，共85分） 16. 如图，在直三棱柱中，，点D是线段BC的中点. （1）求证：； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的余弦值. 【答案】（1） 在中，因为，，， 所以. 在直三棱柱中， 所以平面.所以. 又因为，所以平面. 所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明平面即可达到证明线线垂直； （2）建立如图坐标系，计算出平面的法向量，根据可得结果； （3）易得平面的一个法向量是，计算出法向量夹角的余弦值结合图形即可得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，平面，所以，. 又，如图，建立空间直角坐标系， 则，，. 设是平面的一个法向量. 由得解得 令，则. 设点到平面的距离为.因为， 所以. 所以点到平面的距离为. 【小问3详解】 因为平面. 所以平面的一个法向量是. 设二面角的夹角为. 由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 17. 设过点，且一个周期的图象（原点，最高点，最低点）如图所示： （1）求，； （2）再从以下三个条件中任选其一，使函数唯一确定，并求的单调递增区间. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 【答案】（1）， （2） 任选条件①②③：的单调递增区间为， 【解析】 【分析】（1）先化简，根据图象的最高点确定出的值，再根据图像过点求解出的值； （2）若选①：根据条件确定出的值，则的值可求，再根据单调递增区间的公式求解出结果；若选②：根据条件先求出的坐标，代入解析式中可求的值，再根据单调递增区间的公式求解出结果；若选③：根据条件得到的表示，再根据的范围确定出的值，最后根据单调递增区间的公式求解出结果. 【小问1详解】 ， 由图象可知，，所以， 因为过， 所以，所以， 又，解得， 综上所述，，. 【小问2详解】 选择条件①： 因为， 所以， 故， 令，， 有，， 所以单调递增区间为，； 选择条件②： 因为， 所以，所以， 由，解得， 故， 令，， 有，， 所以单调递增区间为，； 选择条件③： 因为()， 由，解得， 故， 令，， 有，， 所以单调递增区间为，. 18. 自2022北京冬奥会以来，花样滑冰项目引起了广泛关注.选手们在冰上起舞，做出步法、旋转、跳跃等技术动作.“技术动作分”由“基础分”和“执行分”相加得到.不同的技术动作，其“基础分”也不同，其中四个跳跃动作4T，4S，4F，4Lz的“基础分”如表1所示. 跳跃动作 4T 4S 4F 4Lz 基础分 9.5 9.7 11.0 11.5 表1 选手表演完，得到相应动作的“执行分”.把“执行分”为非负值的跳跃动作记为“成功”，否则记为“失败”.表2为某选手在上一赛季各跳跃动作的“技术动作分”. 4T 12.04 11.22 4.75 9.06 9.97 11.63 10.98 4S 10.98 10.57 11.32 4.85 9.51 12.07 4F 13.69 5.50 14.02 12.92 4Lz 13.54 14.23 11.21 8.38 11.87 表2 假设用频率估计概率，且选手每个跳跃动作是否“成功”相互独立. （1）从该选手上一赛季所有4T动作中任选一次，估计这次跳跃为“成功”的概率； （2）若该选手在本赛季中，计划完成4T，4S，4F 这三个动作，且每个动作只完成一次.将这三个动作中成功的跳跃个数记为X，求X的分布列和数学期望E（X）； （3）在本赛季中，从四个跳跃动作4T，4S，4F，4Lz中选出三个，使得该选手这三个动作中“成功”的跳跃个数的期望最大，请直接写出这三个动作的名称. 【答案】（1） （2） 的分布列为： ，数学期望为 （3）4T,4S, 4F 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合表格的数据，结合古典概型的概率公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得X的所有可能取值为0,1,2,3，然后分别计算对应的概率，即可得到分布列，再由期望的计算公式即可得到结果. （3）根据题意，结合表格中的数据即可得到结果. 【小问1详解】 根据题中数据，该选手上一赛季7个4T动作中，有5个跳跃为“成功”，所以从该选手上一赛季所有4T动作中任选一次，这次跳跃“成功”的概率可以估计为 【小问2详解】 同（1），从该选手上一赛季所有4S，4F动作中分别任选一次，这次跳跃“成功”的概率分别可以估计为 ， X的所有可能取值为0,1,2,3. 所以随机变量X的分布列为： 所以 【小问3详解】 由表格可知，4T动作成功的概率为，失败的概率为， 4S动作成功的概率为，失败的概率为， 4F动作成功的概率为，失败的概率为， 4Lz动作成功的概率为，失败的概率为， 由可知，选4T,4S, 4F. 19. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）当且时，判断与的大小，并说明理由. 【答案】（1） （2）单调递增区间为；单调递减区间为和； （3） 当且时，，证明如下： 令，则. 设，则. 所以当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 从而，即， 所以的单调递增区间为和. 当时，，即； 当时，，即. 综上，当且时，. 【解析】 【分析】（1）代入的值，得到函数和导函数，求切点坐标和切点处导函数，即可写出直线方程； （2）写出函数定义域，由导函数求得导函数的零点，列表格得到函数的单调区间； （3）构造函数，求导，研究零点，令，再求导，由的正负得到函数的单调性，从而求出大于0，所以一定大于0，则一定单调递增，所以在上都有，得证. 【小问1详解】 当时，；； 而，； 故曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 的定义域为，且；令，得. 当变化时，与的变化情况如下表： ﹣ ﹣ 0 + 单调递减 单调递减 极小值 单调递增 所以的单调递增区间为；单调递减区间为和； 【小问3详解】 略 20. 设椭圆，且离心率为，过点的直线与椭圆交于，两点，当直线经过椭圆中心时，. （1）求椭圆的方程； （2）已知点，直线和直线分别与轴交于，，与轴交于，，若，求直线的斜率. 【答案】（1） （2）0或. 【解析】 【分析】（1）根据根据椭圆的离心率和解出a，b即可； （2）易知当直线的斜率为0时；当直线的斜率为不0时，设直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理表示，由可得，表示点，建立方程，解之即可求解. 【小问1详解】 当直线AB经过椭圆中心O时，，得， 又，所以，得， 所以； 【小问2详解】 ①当直线的方程为时，显然，； 直线的方程为，所以； 直线的方程为，所以； 此时点与点A重合，点与点重合，易知； ②设直线，， ， ，即，即或，； ，； ，； 直线，直线 令，， 令，， 则 即 也即 则，，斜率为； 综上，直线的斜率为0或. 21. 设正整数数列满足. （1）若，请写出所有可能的取值； （2）记集合，且不是5的倍数，求证：； （3）存在常数，对于都有，求所有可能的取值. 【答案】（1），， （2） 设数列中最小数为，（，） ①当为偶数时，与是最小值矛盾 ②当为奇数时，是偶数， ∴1或3或5. 当时，也是5的倍数，为偶数是；为奇数时，∴为也是5的倍数，以此类推，也是5的倍数，与不是5的倍数矛盾. 当时，，，，，矛盾， ，即成立. （3） 【解析】 【分析】（1）由数列的递推公式直接得到； （2）设数列中最小数为，求出的范围，再分别取可能得值：5或3时不成立，所以，得证； （3）由（2）知最小项的值，由递推公式列出元素后得到数列具有周期性，从而得到所有可能的值. 【小问1详解】 ①，，，，， ②，，，，， ③，，，，， 所以所有可能的取值：,, 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由第（2）问可知，中最小数只能是1或5. 当时，后面的项为，，，，， 当时，后面的项为，，， 所以数列为周期数列时，只能是1，2，3，4，5，6，8，10 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $