精品解析：江苏省靖江市第一高级中学2024-2025学年高三上学期期中调研考试数学试卷

2024—2025学年第一学期期中考试试卷 高三数学 （考试时间：120分钟；总分：150分） 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2 已知复数，则（ ） A B. C. D. 3. 已知圆柱的的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比（ ） A. B. C. D. 4. 已知等比数列的前项和为，则（ ） A. 1 B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，，与原点距离最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 甲、乙两人组队参加猜歌活动，每轮活动由甲、乙各猜一首，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则该队在两轮活动中共猜对3首的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为的平分线与轴交于点，过点作直线的垂线，垂足为为坐标原点，若，则面积为（ ） A. B. C. D. 3 二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 10. 已知函数的部分图象如图所示，，则（ ） A. 函数在上的值域为 B. 若函数在上单调递增，则的取值范围是 C. D. 曲线在处的切线斜率为 11. 在平面直角坐标系中，满足，则下列说法正确的有（ ） A. 若在曲线上，则可能在曲线上 B. 若在曲线上，则一定不在曲线上 C. 若在圆上，则一定在圆上 D. 若在圆上，则一定不在圆上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 写出同时满足下列条件的一条直线的方程_______． ①直线在轴上的截距为1；②直线与抛物线只有一个公共点． 13. 在中，若，则不等式解集为________． 14. 已知方程有四个不同的实数根，满足，且在区间和上各存在唯一整数，则实数的取值范围为__________． 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知双曲线过两点，是双曲线的右焦点，过作直线交双曲线于两点，且是线段的中点． （1）求双曲线离心率； （2）求直线的斜率． 16. 如图，三棱柱中，侧面底面，△是边长为的正三角形，，与平面所成角为45°． （1）证明：平面； （2）若点为中点，点为棱上一点，且满足，否存在使得平面与平面夹角余弦为，若存在求出值，存不存在请说明理由． 17. 在△中，点是边上一点，． （1）若，，°，求的长； （2）若，且△的面积为8，求的长． 18. 已知函数． （1）求证：； （2）过点作直线与函数的图象均相切，求实数的值； （3）已知，若存在，使得成立，求实数的最大值． 19. 若项数为的数列满足：，且存在，使得，则称数列具有性质P. （1）①若，写出所有具有性质P的数列； ②若，写出一个具有性质P的数列； （2）若，数列具有性质P，求的最大项的最小值； （3）已知数列均具有性质P，且对任意，当时，都有．记集合，，求中元素个数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第一学期期中考试试卷 高三数学 （考试时间：120分钟；总分：150分） 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出每个集合，再进行交集和补集运算即可. 【详解】首先，我们来求解集合，令，所以， 化简得，故有且， 解得，故， 所以，因为， 所以，故C正确. 故选：C 2. 已知复数，则（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的四则运算性质结合共轭复数的定义求解即可. 【详解】因为，所以， 故，即A正确. 故选：A 3. 已知圆柱的的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设球的半径为，分别求出圆柱及球的表面积，即可求出表面积之比． 【详解】设球的半径为， 则，， 所以球的表面积与圆柱的表面积之比为， 故选：D 4. 已知等比数列的前项和为，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出公比，根据题目条件得到方程组，求出，，由等比数列通项公式基本量计算得到答案. 【详解】设公比为，则， 故，其中，， 则 故选：D 5. 在平面直角坐标系中，，与原点距离最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用两点间距离公式以及余弦的二倍角公式求解. 【详解】由已知得点到原点的距离为 因为，所以，即， 所以点到原点的距离的最大值为， 故选：. 6. 甲、乙两人组队参加猜歌活动，每轮活动由甲、乙各猜一首，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则该队在两轮活动中共猜对3首的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】记，分别表示甲两轮猜对首，首歌曲的事件，，分别表示乙两轮猜对首，首歌曲的事件，求出事件，，，发生的概率，再利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率即可. 【详解】设、分别表示甲两轮猜对首，首歌曲的事件， 、分别表示乙两轮猜对首，首歌曲的事件， 根据独立事件的性质可得，， ，， 设两轮活动该队猜对首歌曲，则， 且与互斥，与、与分别相互独立， 所以， 因此，该队在两轮活动中猜对首歌曲的概率是，故A正确. 故选：A. 7. 已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义可求得函数的解析式，再利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为函数为偶函数，则，即，① 又因为函数为奇函数，则，即，② 联立①②可得， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的最小值为. 故选：B. 8. 已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为的平分线与轴交于点，过点作直线的垂线，垂足为为坐标原点，若，则面积为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】作出辅助线，由三线合一得到，为的中位线，，设，由椭圆定义得到，根据得到方程，求出，由余弦定理得到，进而得到其正弦值，利用三角形面积公式得到答案. 【详解】如图所示，延长，交的延长线于点， 因为为的平分线，⊥，由三线合一得为等腰三角形， 即，为的中点， 因为为的中点，所以为的中位线， 故，设， 由椭圆定义知，， 由得，解得， 故，， 在中，由余弦定理得 ， 故， 故. 故选：C 二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】举反例判断A，利用作差法证明B，插入中间变量，利用作差法结合基本不等式判断C，将目标不等式合理转化，构造函数后利用导数判断单调性，得到函数值的大小关系判断D即可. 【详解】令，，符合，， 但，不符合，故A错误， 因为， ，，所以，即，故B正确， 欲证，不妨证明， 我们先看，因为， ，所以， 故成立，由基本不等式相关性质得成立， 当且仅当时取等，故得证，故C正确， 欲证，则证即可，且， 构造，而，所以在上单调递增， 所以，故原不等式得证，即D正确. 故选：BCD 10. 已知函数的部分图象如图所示，，则（ ） A. 函数在上的值域为 B. 若函数在上单调递增，则的取值范围是 C. D. 曲线在处的切线斜率为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据图象，结合正弦函数的周期和五点法求得.结合正弦函数的图象与性质、三角恒等变换和导数的几何意义依次判断选项即可. 【详解】由，得，即，又，所以. 由，得，即，所以， 又，解得，则，解得， 即，解得，所以， 故. A：当时，，所以， 此时的值域为，故A正确； B：由，得. 由，得， 所以的单调递增区间为， 则，解得，得， 所以的取值范围为，故B正确； C：令，由三角函数图象的对称性得， 所以 ，故C正确； D：， 即曲线在处的切线斜率为，故D错误. 故选：ABC 11. 在平面直角坐标系中，满足，则下列说法正确的有（ ） A. 若在曲线上，则可能在曲线上 B. 若在曲线上，则一定不在曲线上 C. 若圆上，则一定在圆上 D. 若在圆上，则一定不在圆上 【答案】BC 【解析】 【分析】设，根据和平面向量的坐标表示可得，结合基本不等式计算的取值范围即可判断AB；设，则结合平面向量的运算律可得，即可判断CD. 【详解】由，得. 设， 则， 所以， 当时，； 当时，， 综上，，即点不在曲线上，故A错误，B正确； 设，则，由①②，得， 所以， 由③，得，即点在圆上，故C正确，D错误. 故选：BC 【点睛】关键点点睛：解决本题CD选项的关键是由推出. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 写出同时满足下列条件的一条直线的方程_______． ①直线在轴上的截距为1；②直线与抛物线只有一个公共点． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】找到具体直线方程，使其符合给定条件即可. 【详解】我们发现在直线的方程为时，直线在轴上的截距为， 故条件①满足，联立方程组，，解得， 故直线与抛物线只有一个公共点，故条件②满足. 故答案为：（答案不唯一） 13. 在中，若，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用给定条件卡出角的范围，再对不等式合理变形，转化为函数不等式的求解问题，构造函数并且利用导数结合拆分法判断其单调性，利用单调性求解不等式即可. 【详解】在中，且，所以，而有意义， 故一定是锐角，即，因为， 所以，令， 而，故， 令，由正弦函数性质得在上单调递增， 且，所以当时，恒成立， 同样的，我们令， 当时，由余弦函数性质得， 令，故， 而，当时，， 又，故在上单调递减， 即，并可以得到恒成立， 综上，我们可以得到恒成立，即在上单调递增， 结合，故的解集为. 故答案为： 14. 已知方程有四个不同的实数根，满足，且在区间和上各存在唯一整数，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】方法一可以化为．令，易得为偶函数，所以只需考虑时，有两个零点，且在区间上存在唯一的整数．若，则．令，根据导数得到的单调性，根据在区间上存在唯一的整数，列出不等式组即可． 方法二：由，得．令，易得均为奇函数，所以只需考虑时，与的图象有两个交点且在区间上存在唯一的整数，通过求导得到的单调性，根据直线过特殊点时的值即可得到的取值范围． 方法三：．令，作图象，利用数形结合可得的取值范围． 【详解】方法一． 令，则．所以为偶函数． 所以只需考虑时，有两个零点，且在区间上存在唯一的整数即可． 当时，令，得． 令，则． 当时，，所以上单调递增； 当时，0，所以在上单调递减． 因为在区间上存在唯一的整数， 所以，即． 所以的取值范围为． 方法二：． 令，则，所以为奇函数． 因为也是奇函数， 所以只需考虑时，与的图象有两个交点，且在区间上存在唯一的整数． 易知，当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减． 当直线过点时，； 当直线过点时，． 因为与的图象有两个交点，且在区间上存在唯一的整数， 所以，所以的取值范围为． 方法三：由，得． 令，两函数均为偶函数， 所以只需考虑时，与的图象有两个交点， 且在区间上存在唯一整数． 如图，作的部分图象，根据图象易得， 所以解得， 所以的取值范围为． 故答案为： 【点睛】方法点睛：已知函数零点个数求参数的常用方法 （1）分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． （2）分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围． （3）将函数的化为的形式，将函数的零点个数转化为与图象交点的个数问题. 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知双曲线过两点，是双曲线的右焦点，过作直线交双曲线于两点，且是线段的中点． （1）求双曲线的离心率； （2）求直线的斜率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将两点代入双曲线方程，解方程组即可； （2）法一：设，则，代入双曲线方程构成方程组，解之可得，即可求解； 法二：易知当直线的斜率为时满足题意；当斜率不存在时，设直线方程，联立双曲线方程，利用韦达定理和中点坐标建立关于的方程，判断方程无解即可. 【小问1详解】 因为双曲线过点， 所以， 解得， 所以双曲线的方程为，双曲线的离心率； 【小问2详解】 由（1）知， 方法一：设，由是线段的中点得， 所以，得， 解得，进而，所以， 即直线的斜率为． 方法二：当直线的斜率为时， 直线交双曲线于，满足是线段的中点； 当直线的斜率不为时，设直线的方程为， 由，得， ， 因为是线段的中点，所以， 得， 所以，整理得，方程无解； 综上，直线的斜率为． 16. 如图，三棱柱中，侧面底面，△是边长为的正三角形，，与平面所成角为45°． （1）证明：平面； （2）若点为中点，点为棱上一点，且满足，是否存在使得平面与平面夹角余弦为，若存在求出值，存不存在请说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）存在，或 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证明； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法的二面角公式求解即可. 【小问1详解】 取中点，连结， ∵△为正三角形，∴， ∵侧面底面, 平面，平面平面， ∴面， ∵与平面所成角为45°， ∴即为与平面所成角，即°， ∵ ∴，∴即， ∵侧面底面，平面，平面平面， ∴平面. 【小问2详解】 由（1）可得、且， 连接，则由题，所以，， 所以两两垂直，故可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 设，则，， ∴，，,， 设平面法向量，平面法向量， 则，即，令，解得，即， ，即，令，解得，即， ∴， 即，解得或， ∴存在或使得平面与平面夹角余弦为. 17. 在△中，点是边上一点，． （1）若，，°，求的长； （2）若，且△的面积为8，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的线性运算、运算律和数量积的定义计算即可求解； （2）设，由题意，根据正弦定理和三角恒等变换的化简计算求得、，由三角形面积公式建立方程可得，结合弦切互化即可求解. 小问1详解】 因为，所以， ， 所以的长为； 【小问2详解】 设， 则， ∵，∴在中，， 在中，， 由，得， 则， 解得，由，得， 又由， 得， ∴， ∴． 18. 已知函数． （1）求证：； （2）过点作直线与函数的图象均相切，求实数的值； （3）已知，若存在，使得成立，求实数的最大值． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）等价变形所证不等式，再构造函数，利用导数求出最大值即得. （2）设出直线与函数图象相切的切点，利用导数求出切线方程，再与联立结合判别式求出值. （3）结合（1）的结论，按分类，借助导数讨论得解. 【小问1详解】 函数的定义域为， 不等式， 令，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，则，即， 因此，所以. 【小问2详解】 依题意，，设直线与函数图象相切的切点为， 则切线的方程为：， 又直线过点，于， 整理得，即，令， 求导得，即在上单调增，又，因此， 切线的方程为，由与函数的图象相切，得， 即，于是，解得， 所以实数的值是. 【小问3详解】 ①当时，，则，使，符合题意； ②当时，， ，则，又由（1）知，， 因此，不合题意； ③当时，令， 当时，，则， 当时，，则， 则， 令，求导得， 由，得时；由，得时， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此，即当时，不合题意， 所以的最大值为. 19. 若项数为的数列满足：，且存在，使得，则称数列具有性质P. （1）①若，写出所有具有性质P的数列； ②若，写出一个具有性质P的数列； （2）若，数列具有性质P，求的最大项的最小值； （3）已知数列均具有性质P，且对任意，当时，都有．记集合，，求中元素个数的最小值. 【答案】（1）①：，2，1或1，3，1或1，3，2； ②：1，2，4，3（或1，3，4，3或1，3，5，3） （2）1013 （3）3 【解析】 【分析】（1）直接根据性质P的概念一一列举即可； （2）根据性质P及累加法得和，两式相加即可求解； （3）根据性质P及累加法得，，求出并集中元素个数的最大值，从而求出交集中的元素个数最小值. 【小问1详解】 ①：，2，1或1，3，1或1，3，2； ②：1，2，4，3（或1，3，4，3或1，3，5，3） 【小问2详解】 当时，． 由，累加得； 又由，累加得； 相加得，又，所以. 所以数列的最大项的最小值为1013， 一个满足条件的数列为； 【小问3详解】 由，累加得． 又，所以，同理，， 所以， 因为， 所以， 所以中元素个数的最小值为3，一组满足条件的数列为 此时. 【点睛】思路点睛：此题考查数列与集合结合的新定义问题，属于难题，关于新定义题的思路有： (1)找出新定义有几个要素,找出要素分别代表什么意思； (2)由已知条件,看所求的是什么问题,进行分析,转换成数学语言； (3)将已知条件代入新定义的要素中； (4)结合数学知识进行解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$