专题05 一次函数拓展之几何篇（优质类型）-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

专题05 一次函数拓展之几何篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、一次函数中的全等三角形 【解惑】如图1，已知一次函数图象与x轴交于点，与轴交于点． (1)求该一次函数的表达式； (2)点为点A右边轴上的点，在直线存在点，使得与以点为顶点的三角形全等，请求出所有符合条件的点P的坐标． (3)在轴存在点，使得为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）分两种情况：①当时，②当，分别求解即可； （3）分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：设一次函数的表达式为， 把，代入，得 ，解得：， ∴． （2）解：∵，， ∴，，， 分两种情况：①当时，如图， 则，，， ∴， ∴； ②当，如图， ∴，，，， 过点P作轴于D， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 综上，所有符合条件的点P的坐标或． （3）解：分三种情况：①当时，如图， ∵，， ∴， ∴； ②当时，如图， i)点Q在点B上方， ∴， ∴， ∴； ii)当点Q在点B下方， ∴， ∴， ∴； ③当时，如图， 设，则， ∴ 解得： ∴ ∴， 综上，点P的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的性质，坐标轴上点的坐标，等腰三角形的定义，勾股定理．注意分类讨论，以免漏解． 【融会贯通】 1．如图1，在长方形中，，E为边中点．动点P从点B开始，以的速度沿路线运动，到点A停止．图2是点P出发t秒后，的面积随时间变化的图象．根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)____________；点M表示的实际意义是________________________； (2)当点P在上运动时，求的面积为时t的值； (3)如图3，当点P从点B出发时，动点Q同时以的速度从C点出发，沿边运动，当点P运动到点C时，P、Q两点停止运动．当x为何值时，与全等，请直接写出x的值． 【答案】(1)9；点P运动到点D时，的面积为 (2) (3)或3 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，全等三角形的性质，三角形的面积公式． （1）根据图1和图2，结合点P运动时，面积的变化情况，进行解答即可； （2）根据，点P在上运动，的面积为，求出，得出，最后求出结果即可； （3）分和根据全等三角形的性质得出线段相等，进而建立方程组，解方程组，即可求解； 【详解】（1）解：∵，E为边中点， ∴， 根据图2可知，当点P运动时，的面积达到最大值，根据图1可知，当点P从点B开始运动，到达点C时，的面积达到最大值， ∴， 的最大面积为：， 点P从点B运动到点D所用时间为：， 即点P运动时，到达点D， 当点P在点上运动时，的面积保持不变，从点D向点A运动时，的面积逐渐减小， 图2中点M表示的坐标为， ∴点M表示的实际意义是：点P运动到点D时，的面积为． （2）解：∵，点P在上运动，的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴当与全等时，有两种情况， ①时，， ∴， 解得：； ②时，， ∴， 解得：； 综上分析可知：当或时，与全等． 2．如图，直线分别与轴交于两点，点的坐标为，过点的直线交轴正半轴于点，且． (1)直接写出两点的坐标； (2)在轴上方是否存在点，使以点为顶点的三角形与全等？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)点是轴上的一点，连接，将沿直线翻折，当点的对应点恰好落在轴上时，求此时直线的函数表达式． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为； (2)或； (3)或． 【分析】()由直线过点，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出的值，进而可得出点的坐标及的长度，结合，可求出点的坐标； ()分和两种情况解答即可求解； ()设，则或，在中，利用勾股定理可得出关于的方程，解之得到点的坐标，再利用待定系数法即可求出； 本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标与图形，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的性质，运用分类思想是解题的关键． 【详解】（1）解：直线过点， ∴， ∴， 当时，， ∴点的坐标为，即， ∵， ∴， ∵点在轴正半轴， ∴点的坐标为； （2）解：分和两种情况考虑，如图， 当时， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； 当时，，， ∴， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或； （3）解：依照题意画出图形，如图所示， 由翻折得，，， ∵，， ∴， ∴或， ∴设，则或， 在中，， ∴ ， 即或， 解得或， ∴点的坐标为或， 设直线的函数表达式为， ∴或， 解得或， ∴直线的函数表达式为或． 3．如图1，在中，，，直线经过点且与边相交，动点从点出发沿路径向终点运动，同时，动点从点出发沿路径运动，当动点与动点相遇后，经过1秒，动点立马掉头并保持原速追动点，当，两点均运动到点时，运动结束．运动过程中动点，在折线上的距离为，运动时间为（秒）．变量与之间的关系如图2所示，请回答以下问题：    (1)_______，_______，的运动速度为_______； (2)当点，均在边上时，求的面积与运动时间（秒）的关系式； (3)若在运动过程中，分别过点和点作于点，于点，当和全等时，直接写出的值（）． 【答案】(1)12；，3 (2) (3)3秒或秒或秒或秒 【分析】（1）直接由图象得出，设点P、第一次相遇时间为，则，由图象可得：，求解即可得出a值，再的运动速度为 ，P的运动速度为，根据题意，得，求解即可求出的运动速度. （2）分三种情况：①当点Q在追上点P前时，②当点Q在追上点P之后，点Q还没到达点B之前时，③当点Q在追上点P之后，点Q达点B之后时，，根据三角形面积公式分别求解即可. （3）证明，则当和全等时，，分四种情况：①当点P在上，点Q在上；②点，均在边上时，此时点，重合，即P、Q第一次相遇；③当Q在上，P在上时，此时点Q在返以B的途中；④当P、Q在上时，此时点，重合，即点Q在返回中追上点P；分别求解即可． 【详解】（1）解：结合图象可得， 设点P、第一次相遇时间为，则， 由图象可得：，解得：， ∵当动点与动点相遇后，经过1秒，动点立马掉头并保持原速追动点， ∴设的运动速度为 ，P的运动速度为，根据题意，得 ，解得：， ∴的运动速度为； （2）解：由（1）知，两点在经过相遇，所以两点在上相遇， ∴当点，均在边上，即时，分三种情况：①当点Q在追上点P前时，如图，    ∵， ∴； ②当点Q在追上点P之后，点Q还没到达点B之前时，如图，    ∵， ∴； ③当点Q在追上点P之后，点Q达点B之后时，如图，    ∵， ∴ 综上，的面积与运动时间（秒）的关系式为． （3）解：∵于点，于点， ∴ 当和全等时，， 分四种情况： ①当点P在上，点Q在上，即时，如图，    ∴， 解得：； ②点，均在边上时，此时点，重合，如图，    ∴由图象可知：； ③当Q在上，P在上时，此时点Q在返以B的途中，如图，    ∴， 解得：； ④当P、Q在上时，此时点，重合，即点Q在返回中追上点P，如图，    由图象可得． 综上，当和全等时， 为3秒或秒或秒或秒． 【点睛】本题考查动点函数图象问题，求函数解析式，二元一次方程组的应用，全等三角形的性质．注意数形结合思想与分类讨论思想的应用，以免漏解． 类型二、一次函数中的等腰三角形 【解惑】如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点（2，3）在直线上，点C是线段上一点（不与点O，B重合）． (1)求点A，B的坐标． (2)连接，将沿直线翻折得到，点D为点O的对应点，点D在第一象限，且． ①求点D的坐标． ②若直线与交于点E，在y轴上是否存在点Q，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；②存在，或或 【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，轴对称的性质，等腰三角形的判定等知识，求出直线解析式和分类讨论是解题的关键． （1）将点代入先求出b的值，即可得点A，点B坐标； （2）①过点P作于F，由折叠的性质可得 ，，可得则，即可求解；②求出点E的坐标，利用勾股定理得，再分三种情况求解即可． 【详解】（1）解∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为，         ∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴点，； （2）①过点P作于F， ∵将沿直线翻折得到，， ∴，， ∴， ∵点， ∴，， ∴， ∴点， ②如图： ∵，， ∴， ∴，解得， ∴点E的坐标， ∴， 当是以为腰的等腰三角形时，， ∴， ∴点Q的坐标为； 当是以为腰的等腰三角形时，， ∴， ∴点Q的坐标为； 当是以为腰的等腰三角形时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为； 综上，存在点Q，使是以BE为腰的等腰三角形，点Q的坐标为或或． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交点为．求： (1)求正比例函数与一次函数的关系式； (2)在x轴上是否存在一点M使周长最小，若存在，求出点M的坐标； (3)在x轴上求一点Q使为等腰三角形，请求出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，坐标与轴对称，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，求出的解析式，进而求出点的坐标即可； （3）分三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得，直线过点，， ∴，解得：， ； ∵过， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴当时，， ∴， ∵，且为定值， ∴当最小时，的周长最小， 作作点关于轴的对称点，连接，则，， ∴当三点共线时，的值最小为的长， 同（1）可得：直线的解析式为：， ∴当时，， ∴． （3）∵， ∴， 设，则：，， 当为等腰三角形时， ①，则：， ∴， ∴； ②当时，，解得：， ∴； ③当时，， ， ∴， ∴（舍去）或， ∴； 综上：或或． 2．已知一次函数，经过点且与轴交于点B，与轴交于点C，点P是轴上一点．正比例函数与一次函数交于点D，并且恰好把面积分为两部分． (1)求正比例函数和一次函数的解析式． (2)求的面积． (3)如果使以P、、三点为顶点的三角形为等腰三角形，求P点的坐标． 【答案】(1)一次函数：；正比例函数：或 (2) (3)或或或 【分析】（1）把代入，求出b的值，即可求得一次函数解析；分两种情况：当时，当时，分别求出正比例函数解析式即可； （2）由求解即可； （3）分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别 求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：把代入，得 ， ∴， ∴一次函数的解析式为； 令，则， ∴， ∴ 令，则， 解得：， ∴， ∴， ∴ 当时，如图，    则，， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵点D在第二象限， ∴， 把代入，得， 解得：， ∴正比例函数的解析式为； 当时，如图，    ∴，， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵点D在第二象限， ∴， 把代入，得， 解得：， ∴正比例函数的解析式为； 综上，正比例函数的解析式为或． （2）解：由（1）知：，， ∴． （3）解：∵，， ∴，， ①当时，    ∴， I）当点P在点B右边时， ∴， ∴； II）当点P在点B左边时， ∴， ∴； ②当时，过点A作轴于E，如图，    ∵， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， ∴， ∴； ③当时，过点P作于F，过点F作轴于G，如图，    ∵，， ∴发，邓点F为线段的中点， ∵，， ∴，即， ∵ ∴，， ∴， 由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ∴ 解得：， ∴ ∵点P在x轴的负上， ∴． 综上，以P、、三点为顶点的三角形为等腰三角形时，P点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了一次函数图象与坐标轴交点问题，待定系数法求函数的解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积．注意分类讨论． 3．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点，已知． (1)求点A的坐标． (2)已知点，在y轴上是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若x轴上有一动点D，将绕点D逆时针旋转为，在点D运动过程中，连接，则是否有最小值？若有，则的最小值=_____，此时Q的坐标为_____，D的坐标为____；若没有，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点P的坐标为或或或 (3)；； 【分析】（1）设点A坐标为，则，由，，得 ，，由勾股定理解得，从而； （2）根据，分情况三种①；②；③，分别求解； （3）过点Q作轴，由证得，从而，进而可得点在直线上运动，再由轴对称确定最短路线问题，作点关于的对称点，连接、，可得， 当、、三点在同一直线上时，最小，最小值为；再利用直线解析式求出交点坐标即可求解． 【详解】（1）解：设点A坐标为，则， 由，，得 ，， 由勾股定理得， 解得， ； （2）解：在轴上存在点P，使是等腰三角形， 依题意得， ①当时，点P位置如图中的点、 ∴、 ②当时，点P位置如图中的点， ∵ ∴， ∴， ③ 当时，点P位置如图中的点，设． 此时，，则在中， ， 解得：． ∴； 综上所述，点P的坐标为或或或 （3）解：过点Q作轴，则， 由旋转可知：，， ∴ ∵在中有 ∴ 在和中 ∴ ∴ 设，，则，， ∴， ∴点在直线上运动， 设直线交坐标轴于点K、T，易得：， ∴，为等腰直角三角形， ∴ 作点关于的对称点，连接、， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴当、、三点在同一直线上时，最小，最小值为； 设直线解析式为， 将，代入得 ，解得：， 即：直线解析式为， 联立直线和直线得， ，解得：， 即直线与直线交点为坐标为， 又∵， ∴点坐标为 【点睛】本题为一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及全等三角形的判定与性质，做辅助线构造全等是解答此题的关键． 类型三、一次函数中的等腰直角三角形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线与交于点C． (1)求点A、点B、点C的坐标； (2)在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与，交于点M、N， ①若线段，请求出此时点N的坐标； ②当点M在点N的下方时，问y轴上是否存在点Q，使是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标和的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)①N的坐标为或；②，或，． 【分析】（1）根据直线与坐标轴存在交点可求得点A、点B坐标，根据两直线的交于点C可联立方程求得点C的坐标，根据三角形的面积公式即可求解； （2）①根据题意设点M、N的坐标，根据列方程求解即可； ②分、二种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：直线：与x轴、y轴分别交于点A、点B， 故把代入，得：， 把代入，得：， 与x轴、y轴分别交于点A、点B坐标分别为，， 直线与交于点C， 联立得方程组：，解得：， 故点； （2）解：①设点M、N的坐标分别为、， 根据题意可得：， 解得：或， 所以点N的坐标为或； ②y轴上存在点Q，使为等腰直角三角形，理由如下: 设M、N、Q的坐标分别为、、，使是以为直角边的等腰直角三角形， 如图，当时， 则，即：， 解得：， ，， 点坐标为， 如图，当时， 则，即：， 解得：， ，， 点坐标为， 综上所述，，或，． 【点睛】本题考查了一次函数的交点问题，两点间的距离公式，等腰三角形的性质，三角形面积等，解题的关键是要注意分类求解，避免遗漏． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点． (1)求m，n的值； (2)请直接写出在x轴上的点P坐标，使得为等腰三角形； (3)在线段上取一点M，线段上取一点N，连接，使得轴，在y轴上是否存在点Q，使得是等腰直角三角形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)点P坐标为或或或 (3)存在，点Q坐标为或或 【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质等知识． （1）将点的坐标代入正比例函数的解析式中即可求出的值．将点的坐标代入一次函数的解析式中即可求出的值； （2）先求出点、点的坐标，分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解； （3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质列出等式，即可求解． 【详解】（1）解：正比例函数的图象过点， ， ， 又一次函数的图象过点， ， ； （2）解：一次函数的图象与轴交于点， 令，则， ， 点坐标为， ， 令，则， 点坐标为， ， ， 当时， 点坐标为， ∴点坐标为或， 当时， ， ， ， 当时，∵，则此时点与点重合，即点， 综上所述：点坐标为或或或； （3）解：存在， 设点坐标为，则点， 如图1， 当，时，则， ， ， 点； 如图2， 当，时，则， ， ， 点； 当如图3， 当，时，则， ， ， 点的纵坐标为， 点； 综上所述：点坐标为或或． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，与轴交与点，与轴交与点．       (1)求直线的函数表达式； (2)在平面直角坐标系中有一点，使得，请求出点的坐标； (3)点为直线上的动点，过点作轴的平行线，交于点，点为轴上的一动点，且为等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】（1）先求出的值，进而得到点的坐标，然后用待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组即可得出答案； （2）先求出点的坐标，由于，观察面积相等的两个三角形，有公共边，故可看作是以为底、高相等，所以点在与平行的直线上，且点到直线的距离等于点到的距离，于是分两种情况讨论：直线过点时；直线过点关于点的对称点时；分别求出直线的解析式，然后将代入直线，即可求出点的坐标； （3）设，则，于是可得，分三种情况讨论：当时；当时；当时；分别得到与各条线段之间的数量关系，列方程求解，即可求出所有满足条件的点的坐标． 【详解】（1）解：点在直线上， ， ， 直线过点，， ， 解得：， 直线的函数表达式为； （2）解：在直线中，令，即：， 解得：， ， ， ， 当以为底边时，两三角形等高， 过点且与直线平行的直线设为， 分两种情况讨论： 直线过点时， 将代入，得：， 解得：， 直线的解析式为， 将代入直线，得：， 解得：， ； 直线过点关于点的对称点时， 设点关于点的对称点坐标为， 根据轴对称的性质可得： ， ， 点关于点的对称点坐标为， 直线过点时， 将代入，得：， 解得：， 直线的解析式为， 将代入直线，得：， 解得：， ； 综上所述，点的坐标为或； （3）解：设，则， ， 分三种情况： 当时， 如图，此时，过点作于点， 为中点，即， 又， ， 又， ， 解得：或， 当时，， 当时，， 或； 当时， 如图，此时， ， ， 解得：或， 当时，， 当时，， 或； 当时， 如图，此时， ， ， 解得：或， 当时，， 当时，， 或； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，一次函数图象与坐标轴的交点问题，解一元一次方程，已知两点坐标求两点距离，三角形的面积公式，轴对称的性质，三线合一，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，绝对值方程，代数式求值等知识点，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键． 3．如图，一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点A，已知点A的纵坐标为1． (1)求k的值； (2)若点B的坐标为，点C在直线上，连接交线段于点D，且与的面积相等，求直线的解析式； (3)平行于y轴的直线分别与正比例函数和一次函数的图象相交于点E、F，P是y轴上一动点，使得是以为斜边的等腰直角三角形，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)直线的解析式 (3)或 【分析】（1）点一次函数的图象与正比例函数的图象交点，由点的纵坐标为1，代入，得出点的坐标，在代入求出的值． （2）由，则，所以，然后求出点的坐标，在代入，求出值，从而得出解析式． （3）由等腰直角三角形的性质，结合两点间的距离，得出，得出值，从而得出点 的坐标． 本题考查了一次函数解析式的确定及等腰直角三角形的性质，熟练掌握一次函数的性质是解决本题的关键． 【详解】（1）解：将代入，得． 把代入， ， ∴． （2）解：如图 ∵， ∴当时，则， 记与轴交于点， ∵与的面积相等 即 ∵ ∴， 即， ∴． 把代入 得 ∴ 把代入直线中， 得． 解得：， 直线的解析式． （3）解：依题意，平行于y轴的直线分别与正比例函数和一次函数的图象相交于点E、F，P是y轴上一动点，使得是以为斜边的等腰直角三角形， ∴与交于，与交于， ，过点作，如图所示： 则，． 是以为边的等腰直角三角形，， ∴点P的纵坐标与的中点的纵坐标是相等的， ， ． ∵， ， ， 解得或． 或． 类型四、一次函数中的直角三角形 【解惑】如图，直线：交y轴交于点，交x轴于点B；直线：过点，且交x轴于点C，x轴有一动点，过P点作x轴垂线交直线于点N，交直线于点M． (1)求直线：解析式及B、C点坐标； (2)是否存在P点，使得？若存在，求出P点坐标．若不存在，请说明理由． (3)当时，直接写出P点坐标是______； (4)已知平面内有一点，当为直角三角形，直接写出Q点坐标是______． 【答案】(1)直线：，，； (2)P点坐标为或； (3)或 (4)或或或 【分析】（1）利用待定系数法即可求得直线的解析式，继而求得直线与x轴的交点坐标； （2）由题意得，，则，，由，列式计算即可求解； （3）由（2）得，，根据，得到，据此列式计算即可求解； （4）先求得，，，分三种情况讨论，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵直线：过点和， ∴， 解得， ∴直线：， 令，则， 解得， ∴， 同理； （2）解：由题意得，，， ∴，， ∵， ∴， 当时，， 解得； 当时，， 解得； ∴P点坐标为或； （3）解：由（2）得，， ∵， ∴， ∴， 同理，解得或； ∴P点坐标为或； 故答案为：或； （4）解：∵，，， ∴，，， 分情况讨论， 当时，则， ∴， 解得或， ∴Q点坐标是或； 当时，则， 解得， ∴Q点坐标是； 当时，则， 解得， ∴Q点坐标是； 综上，Q点坐标是或或或； 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数解析式，求两个函数的交点坐标，三角形的面积公式，线段的长度的表达式，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，点C是的中点． (1)求出点B、点C的坐标及b的值； (2)在y轴上存在点D，使得，求点D的坐标； (3)在x轴上是否存在一点P，使得是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，点的坐标为或 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，以及勾股定理，三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）将代入解析式可得，即可求得点坐标，根据点C是的中点，求得点的坐标； （2）分类讨论，分点在点上方和下方，求得，列方程即可解答； （3）分类讨论，分三个角为直角三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：将代入解析式可得， 解得， ， 点C是的中点， ； （2）解：根据题意可得，， ， 当点在点上方时，， 当点在点下方时，， 综上，点的坐标为或； （3）解：当时，在x轴上不存在一点P，使得是直角三角形； 当时，， 当时，设点的横坐标为， ， 根据勾股定理可得， 即，解得， ， 综上，存在，点的坐标为或． 2．已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与 x轴以及的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为． (1)求k，b，n的值． (2)求四边形的面积． (3)在x轴上是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说出理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）对于直线，令求出的值，确定出的坐标，把坐标代入中求出的值，再将坐标代入求出的值，进而将坐标代入求出的值即可； （2）过作垂直于轴，如图1所示，四边形面积等于梯形面积减去三角形面积，求出即可； （3）在轴上存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形，理由为：分两种情况考虑：①；②，分别求出坐标即可． 【详解】（1）解：对于直线，令，得到，即， 把代入中，得：， 把代入得：，即， 把坐标代入中得：，即； （2）解：过作轴，垂足为，如图1所示， 由（1）可知：一次函数的解析式为， ∴令，则有，解得：， ∴， ， ； （3）解：如图2所示，设， ， ， ， 分两种情况考虑： ①当时，， ， ， ； ②当时，由横坐标为1，得到横坐标为1， 在轴上， 的坐标为， 综上，的坐标为或． 【点睛】此题是一次函数综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，直角三角形的性质，坐标与图形性质，待定系数法确定一次函数解析式，利用了数形结合的思想，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键． 3．在中，，，，动点P从点A出发沿折线向终点B 运动，在上的速度为每秒个单位长度，在上的速度为每秒1个单位长度．当点P不与点C重合时，以为边在点 C的右上方作等边 ，设点P的运动时间为t（秒），点P到的距离为h． (1) _______． (2)求h与t的函数关系式，并写出t的取值范围． (3)当点P在边上运动，且点Q到的距离为时，求t的值． (4)取边的中点D，连结、，当是直角三角形时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)1或或3． 【分析】（1）根据含的直角三角形和勾股定理可得的长； （2）分两种情况：在上和上，根据含角的直角三角形和勾股定理可得与的函数关系式； （3）分两种情况：设直线与交于点，①如图，点在上，②如图，点在的延长线上，根据等边三角形的边长列等式，解出可得答案； （4）分三种情况：当在上，或，当在上，，根据含角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解∶ 分两种情况： 过点作于， ①当时，点在边上，如图， 由题意得：， 中，， ∴； ②当时，点在边上，如图， 由题意得：， ∴， 中，， ∴， ∴； 综上，与的函数关系式为：； （3）解∶ 分两种情况： 设直线与交于点， ①如图，点在上， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵当点在边上运动，且点到的距离为时，即， ∴， ∴； ②如图，点在的延长线上， 由①知：，，， ∴， ∴； 综上，的值是或； （4）解：分三种情况： ①当在上，，如图， ∵是中点，， ∴， ∴， ∴； ②当在上，，如图， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当在上，，如图， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上，t的值为1或或3． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，点到直线的距离等知识，解决问题的关键是根据条件，画出图形，并运用分类讨论的思想． 类型五、一次函数中的等边三角形 【解惑】在平面直角坐标系中，为等边三角形，点，点，点B为y轴上一动点，如图以为边在其一侧作等边三角形，连接． (1)求证：； (2)当点B在y轴上运动时，点C的运动轨迹是一条直线，延长交y轴于点，求点C所在直线的解析式； (3)连接，请直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)的最小值为6，理由见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质、求一次函数解析式及轴对称的性质， （1）直接证明即可证明结论； （2）当点B与点O重合时，点C与点D重合，求出此时点C坐标；当点C运动到y轴负半轴时且C位于x轴上时，求出此时点C坐标；再用待定系数法求一次函数表达式即可； （3）证明直线是的中垂线，得出，从而得出点三点共线时，最小，并求出最小值即可； 【详解】（1）证明：和都为等边三角形， ， ， ， ； （2）， 如图1，当点B与点O重合时，点C与点D重合，此时点C坐标为， 如图2，当点C运动到y轴负半轴时且C位于x轴上时， ，， ， 设点C所在直线的解析式为，把，代入， ， 解得：， ； （3）的最小值为6，理由如下： 如图3，， 点D 为中点， 直线是的中垂线， 点C在直线上运动，所以点三点共线时，最小， 最小值为，即的最小值为6． 【融会贯通】 1．已知如图，直线的图象与x轴，y轴分别相交于B、A两点，点P在线段AB上由A向B点以每秒2个单位运动，点Q在线段BO上由B向O点以每秒1个单位运动（其中一点先到达终点则都停止运动），设运动的时间为t秒（）． (1)请直接写出A，B两点的坐标； (2)当t值为多少时，为等边三角形？ (3)是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，求出t的值：若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)当秒时，为等边三角形 (3)当秒或秒时，为直角三角形 【分析】（1）分别将x=0和y=0代入函数表达式求解即可； （2）根据勾股定理求出AB的长度，根据AB和OB的数量关系可得，求出时t的值即可； （3）分情况讨论①当②当时t的值即可． 【详解】（1）解：当x=0时，， ∴， 当有y=0时，，解得x=18； ∴ 综上：， （2）在中，， ∴ ∵，，即 ∴， ∴当时，为等边三角形 ，解得（秒） ∴当秒时，为等边三角形； （3）， ①当， 则， ，解得； ②当 ，解得（秒） ∴当秒或（秒）时，为直角三角形． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，动点问题与函数图象的关系；熟练地掌握一次函数的图象和性质，根据题意进行分类讨论是解题的关键． 2．如图，点，过点做直线平行于轴，点关于直线对称点为． （1）求点的坐标； （2）点在直线上，且位于轴的上方，将沿直线翻折得到，若点恰好落在直线上，求点的坐标和直线的解析式； （3）设点在直线上，点在直线上，当为等边三角形时，求点的坐标． 【答案】（1）（3，0）；（2）A（1，）；直线BD为；（3）点P的坐标为（，）或（，）. 【分析】（1）根据题意，点B、C关于点M对称，即可求出点C的坐标； （2）由折叠的性质，得AB=CB，BD=AD，根据勾股定理先求出AM的长度，设点D为（1，a），利用勾股定理构造方程，即可求出点D坐标，然后利用待定系数法求直线BD. （3）分两种情形：如图2中，当点P在第一象限时，连接BQ，PA．证明点P在AC的垂直平分线上，构建方程组求出交点坐标即可．如图3中，当点P在第三象限时，同法可得△CAQ≌△CBP，可得∠CAQ=∠CBP=30°，构建方程组解决问题即可． 【详解】解：（1）根据题意， ∵点B、C关于点M对称，且点B、M、C都在x轴上， 又点B（），点M（1，0）， ∴点C为（3，0）； （2）如图： 由折叠的性质，得：AB=CB=4，AD=CD=BD， ∵BM=2，∠AMB=90°， ∴， ∴点A的坐标为：（1，）； 设点D为（1，a），则DM=a，BD=AD=， 在Rt△BDM中，由勾股定理，得 ， 解得：， ∴点D的坐标为：（1，）； 设直线BD为，则 ，解得：， ∴直线BD为：； （3）如图2中，当点P在第一象限时，连接BQ，PA． ∵△ABC，△CPQ都是等边三角形， ∴∠ACB=∠PCQ=60°， ∴∠ACP=∠BCQ， ∵CA=CB，CP=CQ， ∴△ACP≌△BCQ（SAS）， ∴AP=BQ， ∵AD垂直平分线段BC， ∴QC=QB， ∴PA=PC， ∴点P在AC的垂直平分线上， 由，解得， ∴P（，）． 如图3中，当点P在第三象限时，同法可得△CAQ≌△CBP， ∴∠CAQ=∠CBP=30°， ∵B（-1，0）， ∴直线PB的解析式为， 由，解得：， ∴P（，）. 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建一次函数，利用方程组确定交点坐标，属于中考压轴题． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)在平面直角坐标系中有一点，使得，请求出点的坐标； (3)点为直线上的动点，过点作轴的平行线，交于点，点为轴上的一动点，且为等边三角形，请直接写出满足条件的点的横坐标． 【答案】(1)直线的函数表达式为 (2)点的坐标为或 (3)满足条件的点的横坐标为或 【分析】（1）先求出点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出，过点作，当点在直线上时，，求出直线的解析式，即可得出点的坐标，当点在上方时，此时点所在直线到的距离与到的距离相等，故此时点所在直线解析式为，代入计算即可得出答案； （3）设点，则，分两种情况：当时，作于；当时，作于，分别利用等边三角形的性质，结合勾股定理，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：点在直线：上， ，即， 直线：过点，点， ， 解得：， 直线的函数表达式为； （2）解：直线的函数表达式为， 当时，， 解得， ， 如图，过点作，当点在直线上时，， ， 设直线的解析式为：， 直线经过， ， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， ； 如图，当点在上方时，此时点所在直线到的距离与到的距离相等， ， 故此时点所在直线解析式为， 当时，， 故； 综上所述，点的坐标为或； （3）解：设点，则， 如图，当时，作于， ， 则，， 是等边三角形，， ，， ， ， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时点的横坐标为； 如图，当时，作于， ， 则，， 是等边三角形，， ，， ， ， 解得：或（不符合题意，舍去） 此时点的横坐标为， 综上所述，满足条件的点的横坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、等边三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 类型六、一次函数中的不等式 【解惑】如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点，且点的坐标为． (1)则_________，_________； (2)关于的不等式的解集是_________； (3)四边形的面积_________； (4)在平面内是否存在点，使得以点为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3， (2) (3) (4)，，， 【分析】（1）把点的坐标为代入得，从而得到点的坐标，将点、的坐标代入，可求得到，； （2）要使得函数的值大于函数的函数值，只需函数的图象在函数上方，由此直接根据函数图象即可得到答案； （3）连接，由函数解析式求得、坐标，再根据即可求解； （4）分四种情况：当，，点在右侧时，当，，点在左侧时，当，，点在右侧时，当，，点在左侧时，构造全等三角形，根据，两点坐标求出相应边的长度，进而求得点的坐标． 【详解】（1）解：把点的坐标为代入得：， ∴，即：点的坐标为， 将点，点代入得：， 解得：； （2）解：由（1）得点的坐标为，要使得函数的值大于函数的函数值，只需函数的图象在函数上方， ∴由图象可得：当时，函数的函数值大于函数的函数值， ∴关于的不等式的解集是：； （3）解：由（1）可知：直线的解析式为，，， 当时，，得， ∴点的坐标为， ∵函数的图象与轴交于点， 则当时，，即：， 连接， ∴； （4）当，，点在右侧时，如图， 过点作轴，过点作， 则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，，，则， ∴， ∴， 则点坐标为； 当，，点在左侧时，如图， 过点作轴，过点，点作，， 同上可得：点坐标为； 当，，点在右侧时，如图， 过点，点作，， 同上可得：点坐标为； 当，，点在左侧时，如图， 过点，点作，， 同上可得：点坐标为； 综上：坐标为或或或． 【点睛】此题考查了一次函数与几何的综合应用，涉及了勾股定理、等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，利用分类讨论和数形结合思想方法求解． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，直线与轴、轴分别交于点、，与直线交于点，点在直线上，过点作轴，交直线于点．点、点恰好关于点对称． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)如果线段的长为，求点的坐标； (4)我们规定：横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点．如果，直接写出所有符合条件的整点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点坐标为或 (4) 【分析】（1）根据得，根据点、点恰好关于点对称，得到．代入，解得m值即可求直线的解析式； （2）根据得到，根据得到，继而得到，根据得到，根据，解答即可； （3）根据点在直线上，设，根据轴，交直线于点，得．结合线段的长为，得到，解答即可； （4）根据点在直线上，设，根据轴，交直线于点，得．得到，结合，分类解答即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵点、点恰好关于点对称， ∴． 把代入， 得 解得， 故直线的解析式为． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）∵点在直线上，设， ∵轴，交直线于点， ∴． ∵线段的长为， ∴， ∴或， 解得或． ∴点坐标为或． （4）∵点在直线上，设， ∵轴，交直线于点， ∴． ∴， ∵， ∴，， ∴，，，， 解得，，， ∴或， ∵点P是整点，， ∴n必须是整数，必须是整数， ∴或，且n是2的倍数， 故或， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上所述，点或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，对称的性质，不等式组解集的整数解，平行y轴直线上的两点间距离公式，熟练掌握待定系数法，不等式组解集的整数解是解题的关键． 2．如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与直线相交于点. (1)求点的坐标； (2)点是直线上一点，求当时，点的坐标； (3)若直线，当时，对的每一个值都有，直接写出的取值范围. 【答案】(1)点的坐标为 (2)或点 (3) 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的旋转是解题的关键． （1）利用待定系数法求出直线的解析式，然后联立解方程组求交点坐标即可； （2）先求出点A的坐标，然后设点，根据列方程解题即可； （3）利用数形结合，分和两种情况，利用直线旋转进行解题即可． 【详解】（1）解：将点代入，得，解得. . 解方程组，解得. 点的坐标为； （2）直线与轴的交点，设点，. 当时，有或，解得或. 则点或点； （3）解：由题可知直线是绕原点旋转的直线， 当时，直线自开始逆时针旋转，设与的交点为点N，当N的坐标为时，， ∴此时的取值范围为； 当时，直线自开始顺时针旋转到时，均满足题意，即， ∴此时的取值范围为； 综上所述的取值范围为． 3．如图直线:经过点，．    (1)求直线的表达式； (2)若直线与直线相交于点M，求点M的坐标； (3)根据图像，直接写出关于x的不等式的解集； (4)在直线上存在异于点M的另一点，使得的面积是的面积2倍，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)直线的表达式为； (2)点的坐标为 (3) (4)的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）两解析式联立成方程组，解方程组即可求解； （3）根据图象即可求解； （4）与底边都是，根据的面积是面积的2倍，可得点的坐标． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， 直线的表达式为； （2）解：，得， 点的坐标为； （3）把代入得，，解得， 观察图象，关于的不等式的解集为； （4）与底边都是，的面积是面积的2倍， 高就是点到直线的距离的2倍，即纵坐标的绝对值， 点纵坐标是， 当时，则，解得； 当时，则，解得； 的坐标为或． 【点睛】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数的解析式，两条直线的交点，三角形面积的计算等有关知识，利用图象上点的坐标得出解析式、数形结合是解题关键． 类型七、一次函数中的绝对值 【解惑】根据以下素材，探索完成任务． 探究函数的图象性质 素材1 （浙教版）七年级（上）数学教材1.3绝对值一课中，给出了绝对值的相关知识：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即绝对值的意义 素材2 （浙教版）八年级（上）数学教材第五章中，我们经历了“确定函数的表达式一利用函数图象研究其性质一应用函数解决问题”的学习过程，在画函数图象时，我们可以通过描点的方法画出一个函数的图象． 问题解决 任务1 对于函数，当时化简函数的表达式： 当时， ；当时， ； 任务2 在平面直角坐标系中，画出函数的图象，结合所画函数图象，写出函数的增减性． 任务3 当自变量时，函数（m为常数）的最小值为3，求m的值． 【答案】任务1：，；任务2：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；任务3：或 【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的图象与性质、绝对值的性质． 任务1：根据绝对值的性质化简即可得； 任务2：利用描点法画出函数图象，再结合函数图象写出增减性即可得； 任务3：分三种情况：①，②和③，结合函数的最小值求解即可得． 【详解】解：任务1：当时，， 则当时，；当时，， 故答案为：，； 任务2：根据表格中的点，描点画出函数图象如下： 由此可知，函数的增减性为：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； 任务3：分以下三种情况： ①如图，当时， 则在内，当时，函数取得最小值，最小值为， 解得，符合题设； ②如图，当时， 则在内，当时，函数取得最小值，最小值为0，不符合题意，舍去； ③如图，当时， 则在内，当时，函数取得最小值，最小值为， 解得，符合题设； 综上，或． 【融会贯通】 1．[问题提出]：如何解不等式？ 预备知识1：同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题． 图①中给出了函数和的图象，观察图象，我们可以得到：当时，函数的图象在图象上方，由此可知：不等式的解集为_________． 预备知识2：函数称为分段函数，其图象如图②所示，实际上对带有绝对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号，比如化简时， 可令和， 分别求得， (称1， 3分别是和的零点值)， 这样可以就，，三种情况进行讨论： （1） 当时， （2） 当时，； （3） 当时，， 所以就可以化简为 预备知识3：函数(b为常数)称为常数函数，其图象如图③所示． [知识迁移] 如图④，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集是___________． [问题解决] 结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式． （1）请在平面直角坐标系内作出函数的图象； （2）通过观察图象，便可得到不等式的解集，这个不等式的解集为_______． 【答案】[问题提出]；[知识迁移]；[问题解决]（1）见解析；（2）或． 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系，熟练掌握函数的性质，数形结合是解题的关键． [问题提出]：根据函数图象可得答案； [知识迁移]：先求解的值，再根据函数图象可得答案； [问题解决]：（1）把函数化为，再画图即可； （2）在同一坐标系内画的图象，并求解两个函数的交点坐标，根据函数图象可得答案； 【详解】解：[问题提出]，如图， ∵当时，函数的图象在的图象上方， ∴不等的解集为：， [知识迁移]，如图， ∵点在上， ∴， 解得：， ∴， ∵当时，直线的图象在的图象的上方， ∴不等式， 即的解集为：， [问题解决] （1）根据题意得： ， 画图如下： （2）再在同一坐标系内画的图象如下： 由函数图象得：与有交点， 则， 解得：， 与有交点， 则 解得： ∴与的两个交点坐标分别为：，； 由函数图象可知，当时，的图象在的上方， 当时，的图象在的上方， 故不等式的解集为：或． 2．[问题提出]∶ 如何解不等式？ 预备知识1： 同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题． 图①中给出了函数和的图象，观察图象，我们可以得到： 当时， 函数的图象在图象上方， 由此可知∶ 不等式的解集为 ． 预备知识2：函数 称为分段函数，其图象如图②所示，实际上对带有绝对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号． 比如∶化简时， 可令和， 分别求得， (称1， 3分别是和的零点值)， 这样可以就，，三种情况进行讨论∶ (1) 当时， (2) 当时，； (3) 当时，，所以就可以化简为 预备知识3：函数 (b为常数) 称为常数函数，其图象如图③所示． [知识迁移] 如图④， 直线与直线相交于点，则关于x的不等式． 的解集是 ． [问题解决]： 结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式 ． 在平面直角坐标系内作出函数的图象，如图⑤． 在同一直角坐标系内再作出直线． 的图象，如图⑥，可以发现函数与的图象有两个交点，这两个交点坐标分别是 ， ； 通过观察图象，便可得到不等式的解集． 这个不等式的解集为 ． 【答案】[问题提出]；[知识迁移]；[问题解决]，；或 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系，熟练掌握函数的性质，数形结合是解题的关键． [问题提出] 观察图象即可得出答案； [知识迁移] 由点在上，可求出m的值，观察图象即可； [问题解决] 由，求出与的两个交点坐标，画出图象即可解决问题． 【详解】解：[问题提出]，如图， ∵当时，函数的图象在的图象上方， ∴不等的解集为：， 故答案为：； [知识迁移]，如图， ∵点在上， ∴， 解得：， ∴， ∵当时，直线的图象在的图象的上方， ∴不等式， 即的解集为：， 故答案为：； [问题解决]，如图， 设， 根据题意得： 由函数图象得：与有交点， 则， 解得：， 与有交点， 则 解得： ∴与的两个交点坐标分别为： ，； 故答案为：，； 由函数图象可知，当时，的图象在的上方， 当时，的图象在的上方， 故不等式的解集为：或， 故答案为：或． 3．在探索一个新函数的图象与性质时，在经历“列表、描点、连线”后，通过观察函数图象来归纳函数的性质．下面运用这样的方法探索的函数性质． (1)①完成下面列表： x … 0 1 2 3 4 5 6 … y … … ②根据列表在下面平面直角坐标系中先描点，再连线． (2)①函数y的最小值为________；当y随x增大而减小时，x的取值范围是________； ②当时，x的取值范围是________． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)①；；②或 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握画图方法是解答本题的关键． （1）根据解析式，列表画图即可； （2）①根据图像可得函数的最小值；根据图像当y随x增大而减小时可得x的取值范围；②根据图像当时，可得x的取值范围． 【详解】（1）完成下面列表：． x … 0 1 2 3 4 5 6 … y … 1 0 0 1 … （2）根据图像函数的最小值为，当y随x增大而减小时，x的取值范围是； 根据图像当时，x的取值范围是或． 故答案为：①；；②或． 类型八、一次函数中的定值 【解惑】在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标 (1)如图1，若，求A，B两点的坐标； (2)在（1）的条件下，有一点，若三角形ABP的面积为12，求m的值； (3)如图2，当，时，将点A向上移动2t个单位长度，将点B向右移动t个单位长度，取线段AB的中点C，过点C作于E，并延长CE至D，使，试求证为定值． 【答案】(1)，； (2)或7； (3)为定值，证明见解析 【分析】 （1）根据非负数的性质求解即可； （2）先求出直线的解析式，过点P作轴交于点Q，点Q的横坐标为m，纵坐标为，可表示出，计算即可； （3）先得出平移后A、B点的坐标，根据中点坐标公式得到点C的坐标，再根据得到点D的坐标，即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，； （2）解：设直线的解析式为， 将A、B的坐标代入， 解得：， ∴， 如图，过点P作轴交于点Q， 则点Q的横坐标为m，纵坐标为， ∴， ∴ 解得：或7； （3）解：，， 将点A向上移动2t个单位长度，将点B向右移动t个单位长度， 则，， ∴ ∵， ∴，即 ∴， ∴为定值． 【点睛】 本题考查坐标与图形，非负数的性质，点坐标的平移，一次函数等知识，利用数形结合的思想解决（2），根据点坐标的平移规律表示出A和B的坐标，根据重点坐标公式得到C点坐标是解（3）的关键． 【融会贯通】 1．如图，直线与x轴，y轴分别交于两点，直线与x轴交于点D，与交于点E，点E的横坐标为4． (1)求b的值和点D的坐标； (2)已知P是坐标平面内一点，连接所得的的面积分别为设； ①如图（2），若点P的坐标为，且位于四边形内，则k是否为定值？若是请求出这个定值，若不是请说明理由； ②如图（3），若点F在x轴上，坐标为，点Q是y轴上的一个动点，当时，求的最小值． 【答案】(1)， (2)①，理由见详解② 【分析】本题考查了一次函数—几何综合问题，求函数解析式，解题关键是过动点向x轴，y轴作垂线． （1）将点E代入中即可得点E的坐标，将点E代入即可求解； （2）①过点P作轴交直线于点M，轴交直线于点N过点E作轴，可得，由此即可得 ，，将， ，代入即可求解； ②当时，，即可求得点，然后利用两点之间线段最短即可求得的最小值为． 【详解】（1）解：点E在直线上，点E的横坐标为4， ， 点E在直线上， ， 直线与x轴交于点D， ； （2）①过点P作轴交直线于点M，轴交直线于点N过点E作轴如图： ， 直线与x轴，y轴分别交于两点， ， ,, , ，， ， ， ， ， ， ②解：如图所示， 过点作轴于点， 则， ∴ ∴ 由①可得， ∴在上时， 设且， 依题意，当重合时，最小， 此时在原点，点，则的最小值为． 2．如图1，已知在中，，边在轴上，点在轴上，，的坐标为，点是轴上一个动点，它的坐标是，，直线交直线于点．                     图1                                  图2 (1)求直线的表达式； (2)若，点为直线上一点，且平分，求的坐标； (3)如图，连接，以为直角边作等腰直角（、、三点按照逆时针顺序排列），使得，． ①试说明在点的运动过程中，的面积是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由； ②点从运动到的过程中，点的运动路径长为__________． 【答案】(1) (2)； (3)①见解析，② 【分析】（1）先分别求出、两点的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）证明得，再求出直线、的解析式，联立求得，根据中点即可求解； （3）①作，，垂足为、，分点在上方和点在下方两种情况证明在经过点且平行于轴的直线上运动，从而可得，即可得解；②当与点重合时，点与点重合，点与点重合，证四边形是平行四边形，得，当与点重合时，、、三点重合，由①得，利用全等三角形的性质即可得解． 【详解】（1）解：∵，的坐标为，， ∴，， ∴，， ∴的坐标为，的坐标为， 设直线的解析式为：， ∵直线的解析式为：过和， ∴， 解得， ∴； （2）解： 又 ， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ 是的中点， 设直线的解析式为：， ∵直线的解析式为：过和， ∴， 解得， ∴表达式为：， 设直线为：， ∵直线为：过和， ∴， 解得， ∴表达式为： 联立 解得， ， 设 ， 解得， ∴； （3）解：①作，，垂足为、， （Ⅰ）当在上方时， ∵，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ，， ，， ∴， ， 轴， （Ⅱ）当在下方 同理证得 ∴在经过点且平行于轴的直线上运动 ∴； ②当与点重合时，点与点重合，点与点重合， 由①得，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 当与点重合时，、、三点重合， 由①得， ∴， ∴点M的运动路径长为． 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的交点，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，坐标与图形，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握一次函数的解析式，一次函数的交点，全等三角形的判定及性质以及平行四边形的判定及性质是解题的关键． 3．如图，已知直线经过点，交轴于点，轴于点，为线段的中点，动点从原点出发，以每秒1个位长度的速度沿轴正方向运动，连接，过点作直线FC的垂线交轴于点，设点的运动时间为秒．    (1)当时，求证：； (2)连接CD，若的面积为，求出与的函数关系式； (3)在运动过程中，直线CF交轴的负半轴于点，是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，根据直线经过点，可得，进而求出，，得出是等腰直角三角形，得出，得出，，得出，证得，即可得出结论； （2）同理当时，得出，由勾股定理得出，证出是等腰直角三角形，得出，即可得出结果； （3）由待定系数法求出直线的解析式，当时，可得出，因此，求出即可． 【详解】（1）证明：连接，如图    直线经过点， ， 解得： 直线， 当时，；当时，； ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 为线段的中点， ，， ， ， 在和中 ， ， （2）当时，连接，如图所示∶    由题意得：，，由（1）得： ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 得面积， ， ， 当时，连接，如图    由题意得：，，由（1）得： ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 得面积， ， ， 综上所述，与的函数关系式为： （3）的定值为，理由如下： 当时，如图所示：    当设直线的解析式为，， ，F为线段的中点， ， 把点代入得， 解得： 直线CF的解析式为：， 当时，， ， ， ； 当时，如图所示：    同理可得： ， 综上所述，的定值为 【点睛】本题考查了一次函数的应用以及待定系数法求直线解析式、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用相关性质和判定结合一次函数的图像和性质进行解答是关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一次函数拓展之几何篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、一次函数中的全等三角形 【解惑】如图1，已知一次函数图象与x轴交于点，与轴交于点． (1)求该一次函数的表达式； (2)点为点A右边轴上的点，在直线存在点，使得与以点为顶点的三角形全等，请求出所有符合条件的点P的坐标． (3)在轴存在点，使得为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【融会贯通】 1．如图1，在长方形中，，E为边中点．动点P从点B开始，以的速度沿路线运动，到点A停止．图2是点P出发t秒后，的面积随时间变化的图象．根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)____________；点M表示的实际意义是________________________； (2)当点P在上运动时，求的面积为时t的值； (3)如图3，当点P从点B出发时，动点Q同时以的速度从C点出发，沿边运动，当点P运动到点C时，P、Q两点停止运动．当x为何值时，与全等，请直接写出x的值． 2．如图，直线分别与轴交于两点，点的坐标为，过点的直线交轴正半轴于点，且． (1)直接写出两点的坐标； (2)在轴上方是否存在点，使以点为顶点的三角形与全等？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)点是轴上的一点，连接，将沿直线翻折，当点的对应点恰好落在轴上时，求此时直线的函数表达式． 3．如图1，在中，，，直线经过点且与边相交，动点从点出发沿路径向终点运动，同时，动点从点出发沿路径运动，当动点与动点相遇后，经过1秒，动点立马掉头并保持原速追动点，当，两点均运动到点时，运动结束．运动过程中动点，在折线上的距离为，运动时间为（秒）．变量与之间的关系如图2所示，请回答以下问题：    (1)_______，_______，的运动速度为_______； (2)当点，均在边上时，求的面积与运动时间（秒）的关系式； (3)若在运动过程中，分别过点和点作于点，于点，当和全等时，直接写出的值（）． 类型二、一次函数中的等腰三角形 【解惑】如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点（2，3）在直线上，点C是线段上一点（不与点O，B重合）． (1)求点A，B的坐标． (2)连接，将沿直线翻折得到，点D为点O的对应点，点D在第一象限，且． ①求点D的坐标． ②若直线与交于点E，在y轴上是否存在点Q，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交点为．求： (1)求正比例函数与一次函数的关系式； (2)在x轴上是否存在一点M使周长最小，若存在，求出点M的坐标； (3)在x轴上求一点Q使为等腰三角形，请求出所有符合条件的点Q的坐标． 2．已知一次函数，经过点且与轴交于点B，与轴交于点C，点P是轴上一点．正比例函数与一次函数交于点D，并且恰好把面积分为两部分． (1)求正比例函数和一次函数的解析式． (2)求的面积． (3)如果使以P、、三点为顶点的三角形为等腰三角形，求P点的坐标． 3．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点，已知． (1)求点A的坐标． (2)已知点，在y轴上是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若x轴上有一动点D，将绕点D逆时针旋转为，在点D运动过程中，连接，则是否有最小值？若有，则的最小值=_____，此时Q的坐标为_____，D的坐标为____；若没有，请说明理由． 类型三、一次函数中的等腰直角三角形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线与交于点C． (1)求点A、点B、点C的坐标； (2)在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与，交于点M、N， ①若线段，请求出此时点N的坐标； ②当点M在点N的下方时，问y轴上是否存在点Q，使是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标和的面积；若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点． (1)求m，n的值； (2)请直接写出在x轴上的点P坐标，使得为等腰三角形； (3)在线段上取一点M，线段上取一点N，连接，使得轴，在y轴上是否存在点Q，使得是等腰直角三角形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，与轴交与点，与轴交与点．       (1)求直线的函数表达式； (2)在平面直角坐标系中有一点，使得，请求出点的坐标； (3)点为直线上的动点，过点作轴的平行线，交于点，点为轴上的一动点，且为等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点的坐标． 3．如图，一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点A，已知点A的纵坐标为1． (1)求k的值； (2)若点B的坐标为，点C在直线上，连接交线段于点D，且与的面积相等，求直线的解析式； (3)平行于y轴的直线分别与正比例函数和一次函数的图象相交于点E、F，P是y轴上一动点，使得是以为斜边的等腰直角三角形，直接写出点P的坐标． 类型四、一次函数中的直角三角形 【解惑】如图，直线：交y轴交于点，交x轴于点B；直线：过点，且交x轴于点C，x轴有一动点，过P点作x轴垂线交直线于点N，交直线于点M． (1)求直线：解析式及B、C点坐标； (2)是否存在P点，使得？若存在，求出P点坐标．若不存在，请说明理由． (3)当时，直接写出P点坐标是______； (4)已知平面内有一点，当为直角三角形，直接写出Q点坐标是______． 【融会贯通】 1．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，点C是的中点． (1)求出点B、点C的坐标及b的值； (2)在y轴上存在点D，使得，求点D的坐标； (3)在x轴上是否存在一点P，使得是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与 x轴以及的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为． (1)求k，b，n的值． (2)求四边形的面积． (3)在x轴上是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说出理由． 3．在中，，，，动点P从点A出发沿折线向终点B 运动，在上的速度为每秒个单位长度，在上的速度为每秒1个单位长度．当点P不与点C重合时，以为边在点 C的右上方作等边 ，设点P的运动时间为t（秒），点P到的距离为h． (1) _______． (2)求h与t的函数关系式，并写出t的取值范围． (3)当点P在边上运动，且点Q到的距离为时，求t的值． (4)取边的中点D，连结、，当是直角三角形时，直接写出t的值． 类型五、一次函数中的等边三角形 【解惑】在平面直角坐标系中，为等边三角形，点，点，点B为y轴上一动点，如图以为边在其一侧作等边三角形，连接． (1)求证：； (2)当点B在y轴上运动时，点C的运动轨迹是一条直线，延长交y轴于点，求点C所在直线的解析式； (3)连接，请直接写出的最小值． 【融会贯通】 1．已知如图，直线的图象与x轴，y轴分别相交于B、A两点，点P在线段AB上由A向B点以每秒2个单位运动，点Q在线段BO上由B向O点以每秒1个单位运动（其中一点先到达终点则都停止运动），设运动的时间为t秒（）． (1)请直接写出A，B两点的坐标； (2)当t值为多少时，为等边三角形？ (3)是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，求出t的值：若不存在，说明理由． 2．如图，点，过点做直线平行于轴，点关于直线对称点为． （1）求点的坐标； （2）点在直线上，且位于轴的上方，将沿直线翻折得到，若点恰好落在直线上，求点的坐标和直线的解析式； （3）设点在直线上，点在直线上，当为等边三角形时，求点的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)在平面直角坐标系中有一点，使得，请求出点的坐标； (3)点为直线上的动点，过点作轴的平行线，交于点，点为轴上的一动点，且为等边三角形，请直接写出满足条件的点的横坐标． 类型六、一次函数中的不等式 【解惑】如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点，且点的坐标为． (1)则_________，_________； (2)关于的不等式的解集是_________； (3)四边形的面积_________； (4)在平面内是否存在点，使得以点为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，直线与轴、轴分别交于点、，与直线交于点，点在直线上，过点作轴，交直线于点．点、点恰好关于点对称． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)如果线段的长为，求点的坐标； (4)我们规定：横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点．如果，直接写出所有符合条件的整点的坐标． 2．如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与直线相交于点. (1)求点的坐标； (2)点是直线上一点，求当时，点的坐标； (3)若直线，当时，对的每一个值都有，直接写出的取值范围. 3．如图直线:经过点，．    (1)求直线的表达式； (2)若直线与直线相交于点M，求点M的坐标； (3)根据图像，直接写出关于x的不等式的解集； (4)在直线上存在异于点M的另一点，使得的面积是的面积2倍，请直接写出点的坐标． 类型七、一次函数中的绝对值 【解惑】根据以下素材，探索完成任务． 探究函数的图象性质 素材1 （浙教版）七年级（上）数学教材1.3绝对值一课中，给出了绝对值的相关知识：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即绝对值的意义 素材2 （浙教版）八年级（上）数学教材第五章中，我们经历了“确定函数的表达式一利用函数图象研究其性质一应用函数解决问题”的学习过程，在画函数图象时，我们可以通过描点的方法画出一个函数的图象． 问题解决 任务1 对于函数，当时化简函数的表达式： 当时， ；当时， ； 任务2 在平面直角坐标系中，画出函数的图象，结合所画函数图象，写出函数的增减性． 任务3 当自变量时，函数（m为常数）的最小值为3，求m的值． 【融会贯通】 1．[问题提出]：如何解不等式？ 预备知识1：同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题． 图①中给出了函数和的图象，观察图象，我们可以得到：当时，函数的图象在图象上方，由此可知：不等式的解集为_________． 预备知识2：函数称为分段函数，其图象如图②所示，实际上对带有绝对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号，比如化简时， 可令和， 分别求得， (称1， 3分别是和的零点值)， 这样可以就，，三种情况进行讨论： （1） 当时， （2） 当时，； （3） 当时，， 所以就可以化简为 预备知识3：函数(b为常数)称为常数函数，其图象如图③所示． [知识迁移] 如图④，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集是___________． [问题解决] 结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式． （1）请在平面直角坐标系内作出函数的图象； （2）通过观察图象，便可得到不等式的解集，这个不等式的解集为_______． 2．[问题提出]∶ 如何解不等式？ 预备知识1： 同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题． 图①中给出了函数和的图象，观察图象，我们可以得到： 当时， 函数的图象在图象上方， 由此可知∶ 不等式的解集为 ． 预备知识2：函数 称为分段函数，其图象如图②所示，实际上对带有绝对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号． 比如∶化简时， 可令和， 分别求得， (称1， 3分别是和的零点值)， 这样可以就，，三种情况进行讨论∶ (1) 当时， (2) 当时，； (3) 当时，，所以就可以化简为 预备知识3：函数 (b为常数) 称为常数函数，其图象如图③所示． [知识迁移] 如图④， 直线与直线相交于点，则关于x的不等式． 的解集是 ． [问题解决]： 结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式 ． 在平面直角坐标系内作出函数的图象，如图⑤． 在同一直角坐标系内再作出直线． 的图象，如图⑥，可以发现函数与的图象有两个交点，这两个交点坐标分别是 ， ； 通过观察图象，便可得到不等式的解集． 这个不等式的解集为 ． 3．在探索一个新函数的图象与性质时，在经历“列表、描点、连线”后，通过观察函数图象来归纳函数的性质．下面运用这样的方法探索的函数性质． (1)①完成下面列表： x … 0 1 2 3 4 5 6 … y … … ②根据列表在下面平面直角坐标系中先描点，再连线． (2)①函数y的最小值为________；当y随x增大而减小时，x的取值范围是________； ②当时，x的取值范围是________． 类型八、一次函数中的定值 【解惑】在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标 (1)如图1，若，求A，B两点的坐标； (2)在（1）的条件下，有一点，若三角形ABP的面积为12，求m的值； (3)如图2，当，时，将点A向上移动2t个单位长度，将点B向右移动t个单位长度，取线段AB的中点C，过点C作于E，并延长CE至D，使，试求证为定值． 【融会贯通】 1．如图，直线与x轴，y轴分别交于两点，直线与x轴交于点D，与交于点E，点E的横坐标为4． (1)求b的值和点D的坐标； (2)已知P是坐标平面内一点，连接所得的的面积分别为设； ①如图（2），若点P的坐标为，且位于四边形内，则k是否为定值？若是请求出这个定值，若不是请说明理由； ②如图（3），若点F在x轴上，坐标为，点Q是y轴上的一个动点，当时，求的最小值． 2．如图1，已知在中，，边在轴上，点在轴上，，的坐标为，点是轴上一个动点，它的坐标是，，直线交直线于点．                     图1                                  图2 (1)求直线的表达式； (2)若，点为直线上一点，且平分，求的坐标； (3)如图，连接，以为直角边作等腰直角（、、三点按照逆时针顺序排列），使得，． ①试说明在点的运动过程中，的面积是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由； ②点从运动到的过程中，点的运动路径长为__________． 3．如图，已知直线经过点，交轴于点，轴于点，为线段的中点，动点从原点出发，以每秒1个位长度的速度沿轴正方向运动，连接，过点作直线FC的垂线交轴于点，设点的运动时间为秒．    (1)当时，求证：； (2)连接CD，若的面积为，求出与的函数关系式； (3)在运动过程中，直线CF交轴的负半轴于点，是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$