专题05 一次函数（优质类型）-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

专题05 一次函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、一次函数的几何最值 【解惑】如图所示，已知点，直线与两坐标轴分别交于两点，分别是上的动点，则周长的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，轴对称最短线段问题，勾股定理，如图所示，作点关于轴的对称点，点关于直线的对称点为，连接 交 于点，交于点，则此时的周长最小，且最小值等于的长，由一次函数解析式可得，，进而得，再根据轴对称得，，即得，最后利用勾股定理求出的长即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，作点关于轴的对称点，点关于直线的对称点为，连接 交 于点，交于点，则此时的周长最小，且最小值等于的长， ∵直线， ∴，， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点为 ∴，， ， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴ 周长的最小值是 ， 故选：． 【融会贯通】 1．如图，直线交轴于点，交轴于点，为线段（端点除外）上一动点，点与点关于轴对称，过点作轴的平行线交的延长线于点，则线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数与几何，对称最短路径的综合，掌握对称最短路径的计算方法，一次函数图像的性质是解题的关键． 根据的最小值就是的最小值，根据点到直线的垂线段最短，可知当时，的值最小，即有最小值，由此可知有最小值，根据等面积法即可求出的长，由此即可求解． 【详解】解：如图，连接， 轴，点关于轴的对称点是点， ，即， 在中，，即是等腰三角形， 即， ， ， ， ， 直线交轴于点，交轴于点， 当时，；当时，，解得， ，，即，， 在中， ， 根据点到直线的垂线段最短，可知:当时，最小， ， ， 的最小值为， 点与点关于轴对称， 的最小值就是的最小值， 最小值为： 故选：B 2．如图，在平面直角坐标系中，点，，，轴于点，为线段上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作交于，延长到使得，连接交于，此时的值最小． 【详解】解：作交于，延长到使得，连接交于，此时的值最小． 设直线的解析式为，代入点，，得： ， 解得：， 直线的解析式为， 由可设直线的解析式为，代入点得： ，即， 直线的解析式为， 由， 解得， ， ， ∴根据中点坐标公式可得：点E的横坐标为，纵坐标为， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，坐标与图形的性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会构建一次函数确定交点坐标，属于中考常考题型． 3．如图，一次函数的图象与x轴交于点B，与正比例函数的图象交于点A，若点P是线段上的一个动点，则线段长的最小值为 ．      【答案】 【分析】此题是一次函数综合题，主要考查了两条直线相交问题，三角形的 面积公式，两点间距离公式，求出交点坐标是解本题的关键．判断出时，最小，利用三角形的面积建立方程求解即可得出结论． 【详解】解：由， ∴， 由一次函数， 令，解得， ∴， ∴，， ∵当时，最小， 此时， ∴， ∴， 故答案为：． 类型二、一次函数的增减性最值 【解惑】若一次函数在的范围内的最大值比最小值大，则下列说法正确的是（    ） A．k的值为2或－2 B．的值随的增大而减小 C．k的值为1或－1 D．在的范围内，的最大值为 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：当时， 当时， 当时，随的增大而增大 则由题意可得： 此时在的范围内，的最大值为 当时，随的增大而减小 则由题意可得： 此时在的范围内，的最大值为 故选：． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，当（其中为常数）时．函数的最小值为，则满足条件的的值为（    ） A．－5 B．－2 C． D．－1 【答案】A 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，根据函数解析式得到函数的函数值随着x的增大而增大，根据自变量取值范围即可得到当时，则当时取得最小值，列方程并解方程即可. 【详解】解：∵ ∴函数的函数值随着x的增大而增大， 当时，则当时取得最小值， 即， 解得， 故选：A 2．对某一个函数给出如下定义：若存在正数M，函数值y都满足，则称这个函数是有界函数，其中，M的最小值称为这个函数的边界值． （1）若函数（）是有界函数，请写出其中一个M的取值： ； （2）若函数（，且）中，y的最大值是2，边界值小于3，则a应满足的条件是 ． 【答案】 2（大于等于2即可） 【分析】本题主要考查一次函数的增减性、解不等式等知识点，理解“边界值”的定义成为解答本题的关键． （1）根据“有界函数”的定义求解即可； （2）根据可知函数（,且）的y随x的增大而增大，再根据函数增减性可知当时函数值为边界值，然后由边界值小于3列关于a的不等式求解即可． 【详解】解：（1）当时， 故M的值为：2（答案不唯一，大于等于2即可） （2）∵ ∴函数（,且）的y随x的增大而增大， ∴当时，函数的函数值为边界值， ∵, ∵边界值小于3 ∴， 解得：． 故答案为：． 3．已知整数x满足，，，对于任意一个x，m都取、中的最大值，则m的最小值是 ． 【答案】2 【分析】联立两个函数的解析式，可求得两函数的交点为，在范围内，的函数值随x的增大而减小，的函数值随x的增大而增大，由此即可求解． 【详解】解：联立两函数的解析式，得：， 解得：，即两函数图象交点为，如图所示， 在范围内，由于的函数值随x的增大而减小，的函数值随x的增大而增大； ∴当时，；当时，； ∴m的最小值是2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解答此题的关键． 类型三、一次函数与几何结合图象 【解惑】如图1，点P从的顶点A出发，沿匀速运动，到点C停止运动．点P运动时，线段的长度y与运动时间x的函数关系如图2所示，其中D为曲线部分的最低点，则的面积是（   ） A．10 B．12 C．20 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是从图象中获取正确信息；根据图象可知点P在上运动时，此时不断增大，而从B向C运动时，先变小后变大，从而可求出与上的高，进而求出三角形的面积． 【详解】根据图象可知，点P在上运动时，此时不断增大，点P从A向B运动时，的最大值为5，即， 点P从B向C运动时，的最小值为4，即边上的高为4， ∴当，， 此时，由勾股定理可知：， 由于图象的曲线部分是轴对称图形， ， ， 的面积为：， 故选：． 【融会贯通】 1．如图1，在长方形中，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度，沿运动至点A 停止，设点 P 运动的时间为，的面积为y．如果y关于x的变化情况如图2所示，则的面积是（    ） A．10 B．20 C．40 D．80 【答案】C 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，根据三角形面积计算公式可知当点P 运动到点C，D之间时，，此时面积不变，结合函数图象可知，当时，面积开始不变，当，面积继续变化，则，0到4秒后点P从点B运动到点C，可得，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：动点P从点B出发，沿 运动至点A停止，当点P 运动到点C，D之间时，，此时面积不变， 由函数图象可知，当时，面积开始不变，当，面积继续变化， ∴，0到4秒后点P从点B运动到点C， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图（图1中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒的速度沿路线匀速运动，的面积y与点P运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如右图2所示，则的长度为 ． 【答案】6 【分析】本题考查函数图象问题，注意将实际运行状态与函数图象对应，关注图象中的拐点是解题的关键．将实际运行状态与函数图象对应，关注图象中的拐点，给合函数图象给定的信息确定等量关系求解． 【详解】解：如图，点P运动至点B时，，即， 的面积，解得： ∴， 时,点P运动至点E，即 ∴， 故答案为：6． 3．图1，在中，，点P从点A出发，沿三角形的边方向以/秒的速度顺时针运动一周，图2是点P运动时，线段的长度随运动时间x（秒）变化的关系图象，则图2中P点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，斜边上的中线等于斜边的一半，坐标与图形，图（2）中的图象有三段，正好对应图（1）中的线段，，，所以，，当时，则点为的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得此时的长度，即图（2）中点的纵坐标． 【详解】由图象可知：∵点P从点A出发，沿三角形的边方向以秒的速度顺时针运动一周， ∴，， 当时，即点运动了， 此时点在线段上，， 则为线段的中点， 又∵ ， ∴． ∴图（2）中的坐标为． 故答案为：． 类型四、一次函数的规律 【解惑】如图，已知直线：，直线：和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，…，按此作法进行下去，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，规律型：点的坐标．点在直线上，得到，求得的纵坐标的纵坐标，得到，即的横坐标为，同理，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，求得的横坐标为，于是得到结论． 【详解】解：点，在直线上， ， 轴， 的纵坐标的纵坐标， 在直线上， ， ， ，即的横坐标为， 同理，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为， ∴的横坐标为， 的横坐标为， 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象为直线，作点关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；再作关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；…则按此规律，所作出的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，轴对称的性质，坐标与图形变化平移，一次函数的图象和性质，通过求出，，，，，进而得到规律当（k为正整数）时，，当时，，再由，即可求出答案． 【详解】解：如图所示， 设与直线l交于点C， ∵， ∴， ∵函数的图象为直线， ∴， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴， ∵将向右平移2个单位得到点， ∴， 同理可得， ∴，， ......， 以此类推，可知当（k为正整数）时，，当时，， ∵， ∴，即． 故选：D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点，，，…，和，，，…，分别在直线和轴上，，，，…都是等腰直角三角形．如果点，那么的纵坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的规律题，解题的关键是找到点的坐标规律． 由题意易得，设，，，，，则有，，…..，，然后根据等腰直角三角形的性质可得，，….，进而将点的坐标依此代入即可求解． 【详解】解：在直线， ∴ ， ， 设，，，，， 则有， ， ， 又∵，，，…都是等腰直角三角形， ， ， ， 将点坐标依次代入直线解析式得到： ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于；过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点；，按此作法进行下去，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了直线与坐标轴之间的关系．根据题目所给的解析式，求出对应的坐标，然后根据规律求出的坐标，最后根据题目要求求出最后答案即可． 【详解】解：如图，过点作轴于， 将代入直线解析式中得， ，， ， ， ， ， 的坐标为， 同理可以求出的坐标为， 同理可以求出的坐标为， 同理可以求出的坐标为， 的坐标为， 故答案为：． 类型五、一次函数的应用——分配方案问题 【解惑】某校为落实西宁市教育局“教育信息化行动计划”，搭建数字化校园平台，需要购买一批电子白板和平板电脑，若购买台电子白板和台平板电脑共需万元；购买3台电子白板和4 台平板电脑共需万元． (1)求电子白板和平板电脑的单价各是多少万元？ (2)结合学校实际，该校准备购买电子白板和平板电脑共台，其中电子白板不超过台，某商家给出了两种优惠方案，方案一：电子白板和平板电脑均打九折；方案二：买台电子白板，送台平板电脑．若购买电子白板台和平板电脑所需的费用为（万元），请根据两种优惠方案分别写出关于的函数表达式，并分析该校应选用哪种优惠方案购买更省钱． 【答案】(1)电子白板的单价是万元，平板电脑的单价是万元； (2)当时，方案一更省钱；当时，两种方案花费一样；当时，方案二更省钱． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答的关键是根据题意找出等量关系列出方程组或一次函数表达式，用分类讨论的方法确定优惠方案． （1）根据题意，列出相应的二元一次方程组，从而可以求得电子白板和平板电脑的单价各是多少万元； （2）根据题意，分别写出两种方案下，关于的函数关系式，再利用分类讨论的方法可以得到该校应选用哪种优惠方案购买更省钱． 【详解】（1）解：设购买电子白板的单价为x万元，平板电脑的单价是y万元， ， 解得： ， 答：电子白板的单价是万元，平板电脑的单价是万元； （2）由题意可得，方案一∶关于的函数表达式为∶， 方案二∶关于a的函数表达式为∶， 当时，得，即当时，选择方案一； 当时，得，即当时，方案一和方案二花费一样多； 当，得，即当时，选择方案二； 综上所述，当时，方案一更省钱，当时，两种方案花费一样，当时，方案二更省钱． 【融会贯通】 1．甲、乙两商场出售相同的某种商品，每件售价均为3000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一件按原价收费，其余每件优惠；乙商场的优惠条件是：每件优惠．设所买商品为件，甲商场收费为元，乙商场收费为元． (1)分别求出，与x之间的关系式； (2)当所买商品为5件时，选择哪家商场更优惠？请说明理由． 【答案】(1)， (2)乙商场更优惠；理由见解析 【分析】（1）由两家商场的优惠方案分别列式整理即可； （2）由函数解析式分别求出x=5时的函数值，即可得解 本题考查了一次函数的应用和最优方案问题，读懂题目信息，理解两家商场的优惠方案是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：， ； （2）解：当时，，， ∴， ∴当所买商品为5件时，选择乙商场更优惠． 2．为响应国家关于推动各级各类生产设备、服务设备更新和技术改造的号召，某公司计划将办公电脑全部更新为国产某品牌，市场调研发现，品牌的电脑单价比品牌电脑的单价少元，通过预算得知，用万元购买品牌电脑比购买品牌电脑多台． (1)试求，两种品牌电脑的单价分别是多少元； (2)该公司计划购买，两种品牌的电脑一共台，且购买品牌电脑的数量不少于品牌电脑的，试求出该公司费用最少的购买方案． 【答案】(1)品牌电脑的单价是元，品牌电脑的单价是元； (2)该公司费用最少的购买方案为购买台电脑，购买台电脑，最少需要元． 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设品牌电脑的单价是万元，则品牌电脑的单价是万元，利用数量总价单价，结合“用万元购买品牌电脑比购买品牌电脑多台”，可列出关于的分式方程，解之检验后，可得出品牌电脑的单价，再将其代入即可求出品牌电脑的单价； （2）设购买台品牌电脑，则购买台品牌电脑，根据买品牌电脑的数量不少于品牌电脑的，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设学校购买这些电脑需要元，利用总价单价数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设品牌电脑的单价是万元，则品牌电脑的单价是万元，根据题意得：， 化简得 解得：，（舍去）， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴品牌电脑的单价是万元元，则品牌电脑的单价是万元即元． 答：品牌电脑的单价是元，品牌电脑的单价是元； （2）解：设购买台品牌电脑，则购买台品牌电脑， 根据题意得：， 解得：． 设学校购买这些电脑需要元，则， 即， ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值，最小值为（元）．此时， ∴该公司费用最少的购买方案为购买台电脑，购买台电脑，最少需要元． 3．六月是离别的季节；三年的初中时光就将告一段落，为了给大家的青春留下纪念，各班家委决定为同学们采购南外特色钢笔和笔记本两种商品，具体信息如表： 根据以上信息解答下列问题： 班级 购买数量（件） 购买总费用（元） 钢笔 笔记本 九（1）班 40 20 1100 九（2）班 20 60 1300 (1)求钢笔和笔记本的单价； (2)若九（3）班购买这两种商品共60件，且钢笔的数量不少于笔记本数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】(1)钢笔的单价是20元，笔记本的单价是15元 (2)最省钱的购买方案为：购买40支钢笔，20本笔记本，理由见解答 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设钢笔的单价是元，笔记本的单价是元，利用总价=单价数量，结合九（1）班、九（2）班购买两种商品的数量及总费用，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设九（3）班购买支钢笔，则购买本笔记本，根据购买钢笔的数量不少于笔记本数量的2倍，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设九（3）班购买这两种商品共花费元，利用总价单价数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设钢笔的单价是元，笔记本的单价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：钢管的单价是20元，笔记本的单价是15元； （2）解：最省钱的购买方案为：购买40支钢笔，20本笔记本，理由如下： 设九（3）班购买支钢笔，则购买本笔记本， 根据题意得：， 解得：， 设九（3）班购买这两种商品共花费元， 则， 即， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最小值，此时， ∴最省钱的购买方案为：购买40支钢笔，20本笔记本． 类型六、一次函数的应用——最大利润问题 【解惑】某经销商欲购进甲、乙两种产品，甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg，甲种产品进价为8元/kg，乙种产品的进货总金额（元）与乙种产品进货量（kg）之间的关系如图所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)若该经销商购进甲、乙两种产品共，并能全部售出，其中乙种产品的进货量不低于，且不高于甲种产品进货量的2倍．设销售完甲、乙两种产品所获总利润为（元），请求出与乙种产品进货量之间的函数表达式，并为该经销商设计出获得最大总利润的进货方案． 【答案】(1)与之间的函数表达式为： (2)与乙种产品进货量之间的函数表达式为： 当购进甲产品千克，乙产品千克时，总利润最大为元． 【分析】（1）先根据图像特点判断函数类型，再利用待定系数法对两段一次函数分别求解即可．注意分段函数的书写格式． （2）依据‘利润售价成本’，根据乙种产品进货量的不同范围，分别求出总利润的函数表达式，并根据一次函数的增减性，结合取值范围，求最大总利润，即可得到获得最大总利润的进货方案． 【详解】（1）解：（1）当时，设，根据题意可得，， 解得：； ． 当时，设， 根据题意可得，，解得：， ． 与之间的函数表达式为：． （2）根据题意可知，购进甲种产品千克， ，解得． 当时，， ， 随值的增大而减小． 当时，的最大值为元； 当时，， ， 随值的增大而增大． 当时，的最大值为元， 综上，与乙种产品进货量之间的函数表达式为：， 当购进甲产品千克，乙产品千克时，总利润最大为元． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数表达式、一次函数在利润问题中的应用，能够根据图像信息求出分段函数的表达式，利用乙产品进货量的范围求出总利润的函数表达式，并结合取值范围及一次函数增减性求得最值是解决本题的关键． 【融会贯通】 1．某专卖店购进两种吉祥物礼盒进行销售．种礼盒每个进价160元，售价240元；种礼盒每个进价120元，售价180元．现计划购进两种礼盒共100个，其中种礼盒不少于60个．设购进种礼盒个，两种礼盒全部售完，该专卖店获利元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若购进100个礼盒的总费用不超过15400元，求最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)7700元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用等知识，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设购进种礼盒个，则购进种礼盒，根据“获利单个礼盒获利礼盒数量”，即可获得答案； （2）根据一次函数的性质可得随的增大而增大，结合“种礼盒不少于60个，购进100个礼盒的总费用不超过15400元”确定的取值范围，即可获得答案． 【详解】（1）解：设购进种礼盒个，则购进种礼盒， 根据题意，可得， 所以，与之间的函数关系式为； （2）对于函数， ∵， ∴随的增大而增大， 根据题意，种礼盒不少于60个，且购进100个礼盒的总费用不超过15400元， ∴， 解得， ∴当时，取最大值，且最大值为（元）， 即最大利润为7700元． 2．为了迎接“十一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如表： 运动鞋价格\种类 甲 乙 进价元/双 m 售价元/双 140 100 已知：用2800元购进甲种运动鞋的数量与用2000元购进乙种运动鞋的数量相同． (1)求m的值； (2)要使购进的甲、乙两种运动鞋共100双的总利润（利润=售价－进价）不少于5200元，且不超过5700元，问该专卖店有几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠元出售．乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？ 【答案】(1)70 (2)26种 (3)当时，应购进甲种运动鞋35双，购进乙种运动鞋65双，获利最大；当时，所有方案获利都一样，；当时，应购进甲种运动鞋10双，购进乙种运动鞋90双，获利最大． 【分析】（1）根据等量关系：用2800元购进甲种运动鞋的数量与用2000元购进乙种运动鞋的数量相同，列出分式方程，并求解即可，注意检验； （2）设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋双，根据不等关系：100双鞋的总利润不少于5200元，且不超过5700元，列出不等式组，解不等式组，求出不等式组的解集后，再根据鞋的双数是正整数解答； （3）依据题意，设总利润为W，根据总利润等于两种鞋的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：依题意得，． ． ． 经检验，是原分式方程的解， ． （2）解：设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋双，由（1）得，甲的进价为70元，乙的进价为50元， 根据题意得，， ． 是正整数， ， 共有26种方案． （3）解：设总利润为W，则 ， ①当时，，W随x的增大而增大， 所以，当时，W有最大值，， 即此时应购进甲种运动鞋35双，购进乙种运动鞋65双． ②当时，，，所有方案获利都一样；． ③当时，，W随x的增大而减小， 所以，当时，W有最大值，； 即此时应购进甲种运动鞋10双，购进乙种运动鞋90双． 综上，当时，应购进甲种运动鞋35双，购进乙种运动鞋65双；当时，所有方案获利都一样，；当时，应购进甲种运动鞋10双，购进乙种运动鞋90双． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题时要能读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系是关键． 3．某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种土特产每袋成本10元，试销阶段每袋的销售价（元）与该土特产的日销售量（袋）之间的关系如表： （元） 20 25 30 … （袋） 20 15 10 … 若日销售量是销售价的一次函数，试求： (1)日销售量（袋）与销售价（元）的函数关系式； (2)假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，根据每天的利润一件的利润销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题； （1）根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量（袋）与销售价（元）的函数关系式即可 （2）利用每件利润总销量总利润，进而求出二次函数最值即可． 【详解】（1）解：设日销售量（袋）与销售价（元）的函数关系式为， 由题意得， 解得． 所求函数关系式为：； （2）解：依题意，设利润为元，得 整理得 当时，取得最大值，最大值为225 每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元． 类型七、一次函数的应用——行程问题 【解惑】已知A、B两地相距3600米，甲从A地出发步行到B地，40分钟后乙从B地出发骑自行车到A地，设甲步行的时间为x分钟，甲、乙两人离A地的距离分别为米、米，、与x的函数关系图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)求，与x的函数关系式； (2)求甲出发后多少分钟两人相遇，相遇时乙离A地多少米？ 【答案】(1)（），（） (2)甲出发后45分钟两人相遇，相遇时乙离A地2700米 【分析】本题考查待定系数法，一次函数与一元一次方程的实际应用，读懂题意和一次函数图象信息是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）由题意可知两人相遇时，甲、乙两人离A地的距离相等，以此建立方程求解，进而得出答案． 【详解】（1）解：设与x的函数关系式为， ∵该函数图象过点， ∴，解得， ∴与x的函数关系式为（）； 设与x的函数关系式为， ∵该函数图象过点， ∴，解得， ∴与x的函数关系式为（）； （2）解：两人相遇时，甲、乙两人离A地的距离相等，即， ∴，解得． 当时，． 答：甲出发后45分钟两人相遇，相遇时乙离A地2700米． 【融会贯通】 1．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，乙车到达A地后停止行驶，甲车到达B地后，立即按原速返回（调头时间忽略不计），结果与乙车同时到达A地，甲、乙两车距B地的路程y（千米）与出发时间x（时）之间的函数图象如图所示． (1)A、B两地之间的路程是________，a的值为________； (2)求线段所表示的y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (3)当两车相距70千米时，x的值为________． 【答案】(1)360，120 (2) (3)或或 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，求一次函数解析式． （1）根据图象可知：甲乙两地相距360千米，求出甲乙两车速度，即可求出的值； （2）根据线段所表示甲到达B地之前，甲车距B地的路程y（千米）等于360减去甲走的路程求出； （3）设时间为时，两车相距70千米，分三种情况，分别找出等量关系式列方程求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：当时，甲乙两地相距360千米， 设甲车的速度为，乙车速度为：， 由题可得：， 解得：， ， 故答案为：360，120； （2）解：由图可知：乙车到达A地的时间为：（小时），故， 甲车到达B地的时间为：（小时），故， ∵线段所表示甲到达B地之前，甲车距B地的路程y（千米）与出发时间x（时）之间的函数图象， ∴线段的解析式为：； （3）解：设时间为时，两车相距70千米，则分以下三种情况： 当两车未相遇前：，解得：； 当两车相遇后：，解得：； 当甲车返回时：，解得：； 综上所述：或或． 故答案为：或或． 2．一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲乙之间的距离与骑行时间之间的函数关系如图所示，根据图像解答下列问题： (1)A，B两们相距______； (2)出发________小时后两人相遇； (3)甲每小时骑行______，乙每小时骑行_____；图中C点表示的实际意义是______． (4)求出时，S与t之间的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3)12，20，甲到达村 (4) 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键： （1）根据图象，得到两人未出发时，相距，即可； （2）两人第一次相距的距离为0时，两人相遇，从图象获取答案即可； （3）根据图象和题意可知，甲骑行速度大于乙骑行的速度，甲2小时到达村，乙2.5小时到达村，利用速度等于路程除以时间，进行计算即可； （4）设函数解析式为，待定系数法求出函数解析式即可． 【详解】（1）解：由图象可知，时，， 即：A，B两们相距； （2）解：由图象可知，当时，， 即：出发小时后，两人相遇； （3）解：由图象可知，乙经过，行驶了km， ∴乙的速度为：， ∴甲的速度为：， 点实际意义为：甲到达村； （4）解：设，把代入，得： ，解得：， ∴． 3．甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途不停留，各自到达目的地后停止．两车之间的距离与货车行驶时间之间的关系如图所示． (1)分别求出轿车和货车的平均速度． (2)求轿车到达终点时，货车离终点的距离． (3)货车出发多长时间后，两车相距？ 【答案】(1)轿车的平均速度为，货车的平均速度为 (2)轿车到达终点时，货车离终点的距离为 (3)货车出发或后，两车相距 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度，时间，路程三者之间的数量关系和待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）轿车和货车到达目的地分别用时和，分别根据“速度路程时间”计算即可； （2）由图象可知，当轿车到达终点时，货车离终点还有的路程，根据“路程时间速度”计算即可； （3）根据题意两车相距，可分两种情况讨论，相遇前和相遇后，利用待定系数法求出当时关于的函数关系式，将代入关系式，求出相应的值是相遇前两车相距时的时间，两车相遇后，由（2）得：轿车到达终点时，货车离终点的距离为；当时，两车相距，可得方程，解方程即可得到相遇后两车两车相距时的时间，从而得到答案． 【详解】（1）解：轿车的平均速度为，货车的平均速度为， 轿车的平均速度为，货车的平均速度为； （2）解：， 轿车到达终点时，货车离终点的距离为； （3）解：两车相遇前，即时，设与的函数关系式为：，将和代入得： 解得： ∴， 当时，即， 解得：； 两车相遇后，由（2）得：轿车到达终点时，货车离终点的距离为； ∴当时，两车相距， ∴， 解得：， ∴货车出发或后，两车相距． 类型八、一次函数的新定义 【解惑】新定义：对于关于的一次函数，我们称函数为一次函数的变函数（其中为常数）． 例如：对于关于的一次函数的3变函数为． (1)关于的一次函数的2变函数为，则当时， ． (2)关于的一次函数的1变函数为，关于的一次函数的变函数为，求函数和函数的交点坐标； (3)关于的一次函数的1变函数为，关于的一次函数的变函数为． ①当时，函数的取值范围是 （直接写出答案）． ②若函数和函数有且仅有两个交点，则m的取值范围是 （直接写出答案）． 【答案】(1)3 (2)和 (3)①；② 【分析】（1）根据变函数的定义即可解决问题； （2）转化为方程组解决问题即可； （3）①根据变函数的定义，求出特殊点的函数值即可解决问题；②利用方程组求出交点坐标即可解决问题； 【详解】（1）解：根据变函数定义，关于的一次函数的2变函数为： ， 时，， 故答案为：3； （2）解：根据定义得：，， 求交点坐标：①， 解得； ②， 解得； ①，无解； ②，无解； 综上所述函数和函数的交点坐标为和； （3）解：①由题意：， 时，，时，， 时，， 故答案为． ②由题意：，， 同理，解得两个函数的交点为，， 观察图象可知：时，函数和函数有且仅有两个交点． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的应用、两直线平行或相交等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程组确定两个函数的交点坐标． 【融会贯通】 1．阅读理解： 【新定义】对于线段和 点Q，定义：若，则称点Q为线段的“等距点”；特别地，若，则称点Q 是线段的“完美等距点”． 【解决问题】如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为，点是直线上一动点． (1)已知4个点：，以上这四个点中 是线段的“等距点” ， 是线段的“完美等距点”（填写大写字母）． (2)若点P 在第三象限，且，点H在y轴上，且H是线段的“等距点”，求点H的坐标； (3)当，是否存在这样的点N，使点N是线段的“等距点”且为线段的“完美等距点”，请直接写出所有这样的点P的坐标． 【答案】(1)B，C，E；B (2)H点的坐标为 (3)P点的坐标为或 【分析】本题是一次函数综合题，考查了新定义、等腰直角三角形的性质、两点之间的距离公式和勾股定理等知识，本题综合性强，灵活应用两点之间的距离公式和勾股定理是解题的关键． （1）依据两点之间的距离公式分别计算各点到O，A的距离，根据等距点和完美等距点做出判断； （2）设出H点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论； （3）假定存在，设出N点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论． 【详解】（1）∵， ∴ ∴B是线段的等距点； ∵， ∴ ∴C是线段的等距点； ∵， ∴ ∴D不是线段的等距点； ∵， ∴ ∴E是线段的等距点； ∵ ∴， ∴B是线段的完美等距点； （2）∵点是直线上一动点 ∴ ∴ ∴ ∵点P 在第三象限， ∴ 设H的坐标为 ∴ ∵ ∴，解得： ∴H的坐标为 （3）存在； ∵点N是线段的“等距点”， 点A 的坐标为， ∴ ∴设N的坐标为 ∵点是直线上一动点 ∴ ∴，， ∵点N为线段的“完美等距点”， ∴ ∴，解得 ∵点N为线段的“完美等距点”， ∴ ∴为等腰直角三角形 ∴ ∵， ∴，解得或 当时， 当时， ∴P点的坐标为或； 2．定义：在平面直角坐标系中，对于任意一次函数的图象，作该图象在直线的右侧部分关于直线的轴对称图形，与原图象在直线的右侧部分及与直线的交点共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“V型函数”．例如：图1就是一次函数关于直线的“V型函数”图象． (1)请在图2中画出函数关于直线的“V型函数”图象．      (2)若函数关于直线的“V型函数”图象与x轴只有一个交点，则 ． (3)如图3，点，以为斜边在x轴上方作等腰，当函数关于直线的“V型函数”图象与的边只有两个交点时，求m的取值范围．    【答案】(1)见解析 (2) (3)，或 【分析】（1）根据题意作出图象即可； （2）求得直线与x轴的交点坐标即可求解； （3）分两种情况求解，直线在，以及“V型函数”图象在直线与x轴的交点的左侧，据此求解即可. 【详解】（1）解：函数关于直线的“V型函数”图象如图所示，    ； （2）解：令，则，解得， ∵函数关于直线的“V型函数”图象与x轴只有一个交点， ∴， 故答案为：； （3）解：∵等腰中，点， ∴， ∴点， ∴直线的解析式为， 解方程得， 由（2）知直线与x轴的交点为， ∴当时，函数关于直线的“V型函数”图象与的边只有两个交点， ∵直线与的边已经有两个交点， ∴函数关于直线的“V型函数”图象与的边不能再有交点，即在点的左侧，      ∴与点关于对称， ∴时，函数关于直线的“V型函数”图象经过点， ∴当函数关于直线的“V型函数”图象与的边只有两个交点时，m的取值范围为或． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用；理解并运用新定义“V型函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键． 3．新定义：在平面直角坐标系中，对于任意点，和直线，我们称直线为点的伴随直线，反之称点为直线的伴随点；特别的，直线（为常数）的伴随点为． 如图1，已知三个顶点的坐标分别为． （1）点的伴随直线的解析式为__________．（请直接写出答案） （2）若直线的伴随点是点，直线的伴随点是点，点为轴上的动点，当的周长最小时，求点的坐标． （3）点是折线段的动点（包括端点），若直线是点的伴随直线，当直线与有且仅有两个公共点时，请直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】（1）；（2）(，)；（3）或 【分析】(1)直接根据伴随点和伴随直线的定义可得结论； (2)利用待定系数法求得直线AB、BC的解析式，根据伴随点和伴随直线的定义可得D、E的坐标，再得到点D关于x轴的对称点的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，即可求解； (3)点P分别在线段AB→BC上讨论，根据直线与△ABC恰有两个公共点时，可得的取值范围． 【详解】解：(1)点A(，)的伴随直线的解析式为：； (2)设直线AB的解析式为， 把A(，)，B(，)的坐标代入得： ，解得：， ∴直线AB的解析式为，伴随点D的坐标是(，)， 设直线BC的解析式为， 把B(，)，C(，)的坐标代入得： ，解得：， ∴直线BC的解析式为，伴随点E的坐标是(，)， 作点D(，)关于轴的对称点，连接交轴于点F，此时DF+EF的值最小，由于DE是定值，所以的周长最小，如图： ∴点的坐标为(，)， 设直线的解析式为， 把E (，)，(，)的坐标代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴点F的坐标是(，)； (3)①当P在线段AB上时，如图， ∵直线AB的解析式为， ∴设P(，)()，则伴随直线的解析式为：， 把B(1，5)代入得：，解得：， 当时，伴随直线的解析式为：， 当时，伴随直线的解析式为：， ∴当，直线与△ABC恰有两个公共点； ②当P在线段BC上时，如图， ∵直线BC的解析式为， ∴设P(，)(，则伴随直线的解析式为：， 把B(1，5)代入得：，解得：， 当时，伴随直线的解析式为：， 当时，伴随直线的解析式为：， ∴当，直线与△ABC恰有两个公共点； ∴； 综上，或． 【点睛】本题是一次函数与几何的综合题，也是有关伴随点和伴随直线的新定义问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征、理解新定义、利用待定系数法求一次函数的解析式，本题中理解伴随点和伴随直线的定义，正确进行分类讨论是解题的关键． 【一览众山小】 1．在一次函数的图象上有、两点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】C 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质．熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．一次函数中，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 根据一次函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故选：C． 2．一次函数与正比例函数（，为常数，且）在同一直角坐标系内的大致图像不可能的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图像，解题的关键是掌握一次函数、正比例的图像与系数的关系．根据一次函数的图像与系数的关系，由一次函数图像分析可得、的符号，进而可得的符号，从而判断的图像是否正确，进而比较可得答案． 【详解】解：A、由一次函数图像可知，，，，故；正比例函数的图像满足这一关系，故此选项不符合题意； B、由一次函数图像可知，，，故，正比例函数的图像不满足这一关系，故此选项符合题意； C、由一次函数图像可知，，，故，正比例函数的图像满足这一关系，故此选项不符合题意； D、由一次函数图像可知，，，故，正比例函数的图像满足这一关系，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数与几何的综合、勾股定理及折叠的性质，熟练掌握一次函数的图象与性质及折叠的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，设点，则有，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：由折叠可知：， 令时，则，解得：，令时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点，则有， 在中，由勾股定理可得， 解得：； 故选B． 4．某公司生产了A，B两款新能源电动汽车．如图，，分别表示A款，B款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量与汽车行驶路程的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是时，A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多 ． 【答案】10 【分析】本题考查一次函数的应用，根据“电动汽车每千米的耗电量剩余电量的减少量行驶路程”分别计算、两款新能源电动汽车每千米的耗电量，由此写出图象，的函数关系式，并计算当时对应函数值是解题的关键．根据“电动汽车每千米的耗电量剩余电量的减少量行驶路程”分别计算、两款新能源电动汽车每千米的耗电量，由此写出图象，的函数关系式，将分别代入，求出对应函数值并计算二者之差即可． 【详解】解：设图象的函数关系式为，根据题意得： ，解得， 图象的函数关系式为， 设图象的函数关系式为，根据题意得： ，解得， 图象的函数关系式为， 当时，，， ， 当两款新能源电动汽车的行驶路程都是时，款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多． 故答案为：10． 5．一次函数与交于点． （1）关于x的方程解为 ； （2）函数的图象沿y轴向下平移后得到函数图象，图象与图象交于点B，若点B的纵坐标为1，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了两直线相交与二元一次方程组解的关系，一次函数与求不等式解集，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键，注意数形结合思想的运用． （1）关于x的方程解从形来说，就是直线与交点横坐标，由此即可求解； （2）由直线过点A，则可求得其函数解析式，从而求得点B的坐标；画出图形，结合图形即可求得不等式的解集． 【详解】解：（1）∵一次函数与交于点， ∴关于x的方程解为； 故答案为：． （2）由题意知，直线过点A，则有， 解得：； 即； 设函数沿y轴向下平移后得到函数解析式， ∵图象与图象交于点B，点B的纵坐标为1， ∴， 即， ∴； 由图象知，当时，解集为；当时，解集为， ∴不等式的解集为； 故答案为：． 6．如图，一次函数的图象与抽交于点，点是线段OA上一点．过点作轴的垂线，直线l与一次函数的图象交于点，与正比例函数的图象交于点．当点与点关于轴对称时， ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点坐标问题，轴对称的性质，正比例函数的性质，先求解，设，可得，再结合一次函数的性质可得的值，从而可得答案. 【详解】解：∵一次函数的图象与与抽交于点， ∴当时，， ∴， ∵在正比例函数的图象上， 设， ∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：. 7．如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点与坐标原点重合，点在轴上，点在轴上，，点在边上，点的坐标为，过点且平行于轴的直线与交于点．现将纸片折叠，使顶点落在上的点处，折痕为． (1)求点G的坐标； (2)求折痕所在直线的解析式； (3)若直线平行于直线，且与长方形有公共点，请直接写出的取值范围； (4)设点为轴上一点，是否存在这样的点，使得以为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)或或或 【分析】（1）根据折叠的性质求出，根据勾股定理计算求出，得到点G的坐标； （2）设，根据勾股定理求出x，求出点E的坐标，利用待定系数法求出所在直线的解析式； （3）根据平行的性质求出m，分别把点M、点A的坐标代入解析式求出n，得到答案； （4）按点P在x轴的正半轴、负半轴，及进行分类讨论，求出点P的坐标． 【详解】（1）解：由折叠的性质可知，， 又 由勾股定理得，， ∴点G的坐标为， 故答案为：； （2）解：设，则， 由折叠的性质可知，， ∵， ∴， 在中，，即， 解得，， ∴点E的坐标为， 设所在直线的解析式为：， 则， 解得，， ∴所在直线的解析式为：； （3）解：∵直线平行于直线， ∴，即直线l的解析式为， 当直线l经过点时，， 解得，， 当直线l经过点时，， 解得，， ∴直线l与长方形有公共点时，． （4）解：设， 当时，如图， 由，得， ∴； 当时，如图， ，则， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴； 如图，， ∴； 如图，， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述，点P的坐标为或或或． 故答案为：或或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的知识、折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识与方法，掌握待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤是解题的关键，解题时需进行分类讨论，求出所有符合条件的值． 8．在数学实践探究课上，王老师让同学们将等腰直角三角尺放在平面直角坐标系中展开探究： 【操作猜想】 (1)如图1，在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点在原点，若顶点A恰好落在点处，则点A到轴的距离是________，点到轴的距离是________． 【类比探究】 (2)如图2，一次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点，过点作线段且，直线交轴于点，求点的坐标． 【拓展探究】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，的顶点A，分别在轴、轴上，且，．若点的坐标为，点A的坐标为，点是直线上的动点，当的面积等于6时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)2，1 (2) (3)或 【分析】本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握一次函数的性质与三角形全等的判定是解题的关键． （1）如图：作轴于点E，轴于点F，由可得，，，易证可得、，因此，再进一步即可解答； （2）一次函数，分别令、即可得点A，点B的坐标；如图：过点C作轴于M，由，根据全等三角形的性质即可解答； （3）如图：过点B作轴于N，由，根据全等三角形的性质可求出点B的坐标，设，则，然后再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图1，如图：作轴于点E，轴于点F， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴、， ∴． ∵， ∴点A到x轴的距离是2，点B到x轴的距离是1． 故答案为：2，1． （2）解：令，则， ∴， 令，则，解得：， ∴， ∴，， 如图2：过点C作轴于M， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点C的坐标为， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 当时，则， ∴． （3）解：如图3：过点B作轴于N， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵P在x轴上，设， ∴， ∵的面积等于6， ∴，解得：或， ∴或． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一次函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、一次函数的几何最值 【解惑】如图所示，已知点，直线与两坐标轴分别交于两点，分别是上的动点，则周长的最小值是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，直线交轴于点，交轴于点，为线段（端点除外）上一动点，点与点关于轴对称，过点作轴的平行线交的延长线于点，则线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点，，，轴于点，为线段上一动点，则的最小值为 ． 3．如图，一次函数的图象与x轴交于点B，与正比例函数的图象交于点A，若点P是线段上的一个动点，则线段长的最小值为 ．      类型二、一次函数的增减性最值 【解惑】若一次函数在的范围内的最大值比最小值大，则下列说法正确的是（    ） A．k的值为2或－2 B．的值随的增大而减小 C．k的值为1或－1 D．在的范围内，的最大值为 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，当（其中为常数）时．函数的最小值为，则满足条件的的值为（    ） A．－5 B．－2 C． D．－1 2．对某一个函数给出如下定义：若存在正数M，函数值y都满足，则称这个函数是有界函数，其中，M的最小值称为这个函数的边界值． （1）若函数（）是有界函数，请写出其中一个M的取值： ； （2）若函数（，且）中，y的最大值是2，边界值小于3，则a应满足的条件是 ． 3．已知整数x满足，，，对于任意一个x，m都取、中的最大值，则m的最小值是 ． 类型三、一次函数与几何结合图象 【解惑】如图1，点P从的顶点A出发，沿匀速运动，到点C停止运动．点P运动时，线段的长度y与运动时间x的函数关系如图2所示，其中D为曲线部分的最低点，则的面积是（   ） A．10 B．12 C．20 D．24 【融会贯通】 1．如图1，在长方形中，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度，沿运动至点A 停止，设点 P 运动的时间为，的面积为y．如果y关于x的变化情况如图2所示，则的面积是（    ） A．10 B．20 C．40 D．80 2．如图（图1中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒的速度沿路线匀速运动，的面积y与点P运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如右图2所示，则的长度为 ． 3．图1，在中，，点P从点A出发，沿三角形的边方向以/秒的速度顺时针运动一周，图2是点P运动时，线段的长度随运动时间x（秒）变化的关系图象，则图2中P点的坐标是 ． 类型四、一次函数的规律 【解惑】如图，已知直线：，直线：和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，…，按此作法进行下去，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象为直线，作点关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；再作关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；…则按此规律，所作出的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点，，，…，和，，，…，分别在直线和轴上，，，，…都是等腰直角三角形．如果点，那么的纵坐标是 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于；过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点；，按此作法进行下去，则点的坐标为 ． 类型五、一次函数的应用——分配方案问题 【解惑】某校为落实西宁市教育局“教育信息化行动计划”，搭建数字化校园平台，需要购买一批电子白板和平板电脑，若购买台电子白板和台平板电脑共需万元；购买3台电子白板和4 台平板电脑共需万元． (1)求电子白板和平板电脑的单价各是多少万元？ (2)结合学校实际，该校准备购买电子白板和平板电脑共台，其中电子白板不超过台，某商家给出了两种优惠方案，方案一：电子白板和平板电脑均打九折；方案二：买台电子白板，送台平板电脑．若购买电子白板台和平板电脑所需的费用为（万元），请根据两种优惠方案分别写出关于的函数表达式，并分析该校应选用哪种优惠方案购买更省钱． 【融会贯通】 1．甲、乙两商场出售相同的某种商品，每件售价均为3000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一件按原价收费，其余每件优惠；乙商场的优惠条件是：每件优惠．设所买商品为件，甲商场收费为元，乙商场收费为元． (1)分别求出，与x之间的关系式； (2)当所买商品为5件时，选择哪家商场更优惠？请说明理由． 2．为响应国家关于推动各级各类生产设备、服务设备更新和技术改造的号召，某公司计划将办公电脑全部更新为国产某品牌，市场调研发现，品牌的电脑单价比品牌电脑的单价少元，通过预算得知，用万元购买品牌电脑比购买品牌电脑多台． (1)试求，两种品牌电脑的单价分别是多少元； (2)该公司计划购买，两种品牌的电脑一共台，且购买品牌电脑的数量不少于品牌电脑的，试求出该公司费用最少的购买方案． 3．六月是离别的季节；三年的初中时光就将告一段落，为了给大家的青春留下纪念，各班家委决定为同学们采购南外特色钢笔和笔记本两种商品，具体信息如表： 根据以上信息解答下列问题： 班级 购买数量（件） 购买总费用（元） 钢笔 笔记本 九（1）班 40 20 1100 九（2）班 20 60 1300 (1)求钢笔和笔记本的单价； (2)若九（3）班购买这两种商品共60件，且钢笔的数量不少于笔记本数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 类型六、一次函数的应用——最大利润问题 【解惑】某经销商欲购进甲、乙两种产品，甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg，甲种产品进价为8元/kg，乙种产品的进货总金额（元）与乙种产品进货量（kg）之间的关系如图所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)若该经销商购进甲、乙两种产品共，并能全部售出，其中乙种产品的进货量不低于，且不高于甲种产品进货量的2倍．设销售完甲、乙两种产品所获总利润为（元），请求出与乙种产品进货量之间的函数表达式，并为该经销商设计出获得最大总利润的进货方案． 【融会贯通】 1．某专卖店购进两种吉祥物礼盒进行销售．种礼盒每个进价160元，售价240元；种礼盒每个进价120元，售价180元．现计划购进两种礼盒共100个，其中种礼盒不少于60个．设购进种礼盒个，两种礼盒全部售完，该专卖店获利元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若购进100个礼盒的总费用不超过15400元，求最大利润为多少元？ 2．为了迎接“十一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如表： 运动鞋价格\种类 甲 乙 进价元/双 m 售价元/双 140 100 已知：用2800元购进甲种运动鞋的数量与用2000元购进乙种运动鞋的数量相同． (1)求m的值； (2)要使购进的甲、乙两种运动鞋共100双的总利润（利润=售价－进价）不少于5200元，且不超过5700元，问该专卖店有几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠元出售．乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？ 3．某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种土特产每袋成本10元，试销阶段每袋的销售价（元）与该土特产的日销售量（袋）之间的关系如表： （元） 20 25 30 … （袋） 20 15 10 … 若日销售量是销售价的一次函数，试求： (1)日销售量（袋）与销售价（元）的函数关系式； (2)假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？ 类型七、一次函数的应用——行程问题 【解惑】已知A、B两地相距3600米，甲从A地出发步行到B地，40分钟后乙从B地出发骑自行车到A地，设甲步行的时间为x分钟，甲、乙两人离A地的距离分别为米、米，、与x的函数关系图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)求，与x的函数关系式； (2)求甲出发后多少分钟两人相遇，相遇时乙离A地多少米？ 【融会贯通】 1．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，乙车到达A地后停止行驶，甲车到达B地后，立即按原速返回（调头时间忽略不计），结果与乙车同时到达A地，甲、乙两车距B地的路程y（千米）与出发时间x（时）之间的函数图象如图所示． (1)A、B两地之间的路程是________，a的值为________； (2)求线段所表示的y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (3)当两车相距70千米时，x的值为________． 2．一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲乙之间的距离与骑行时间之间的函数关系如图所示，根据图像解答下列问题： (1)A，B两们相距______； (2)出发________小时后两人相遇； (3)甲每小时骑行______，乙每小时骑行_____；图中C点表示的实际意义是______． (4)求出时，S与t之间的函数关系式． 3．甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途不停留，各自到达目的地后停止．两车之间的距离与货车行驶时间之间的关系如图所示． (1)分别求出轿车和货车的平均速度． (2)求轿车到达终点时，货车离终点的距离． (3)货车出发多长时间后，两车相距？ 类型八、一次函数的新定义 【解惑】新定义：对于关于的一次函数，我们称函数为一次函数的变函数（其中为常数）． 例如：对于关于的一次函数的3变函数为． (1)关于的一次函数的2变函数为，则当时， ． (2)关于的一次函数的1变函数为，关于的一次函数的变函数为，求函数和函数的交点坐标； (3)关于的一次函数的1变函数为，关于的一次函数的变函数为． ①当时，函数的取值范围是 （直接写出答案）． ②若函数和函数有且仅有两个交点，则m的取值范围是 （直接写出答案）． 【融会贯通】 1．阅读理解： 【新定义】对于线段和 点Q，定义：若，则称点Q为线段的“等距点”；特别地，若，则称点Q 是线段的“完美等距点”． 【解决问题】如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为，点是直线上一动点． (1)已知4个点：，以上这四个点中 是线段的“等距点” ， 是线段的“完美等距点”（填写大写字母）． (2)若点P 在第三象限，且，点H在y轴上，且H是线段的“等距点”，求点H的坐标； (3)当，是否存在这样的点N，使点N是线段的“等距点”且为线段的“完美等距点”，请直接写出所有这样的点P的坐标． 2．定义：在平面直角坐标系中，对于任意一次函数的图象，作该图象在直线的右侧部分关于直线的轴对称图形，与原图象在直线的右侧部分及与直线的交点共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“V型函数”．例如：图1就是一次函数关于直线的“V型函数”图象． (1)请在图2中画出函数关于直线的“V型函数”图象．      (2)若函数关于直线的“V型函数”图象与x轴只有一个交点，则 ． (3)如图3，点，以为斜边在x轴上方作等腰，当函数关于直线的“V型函数”图象与的边只有两个交点时，求m的取值范围．    3．新定义：在平面直角坐标系中，对于任意点，和直线，我们称直线为点的伴随直线，反之称点为直线的伴随点；特别的，直线（为常数）的伴随点为． 如图1，已知三个顶点的坐标分别为． （1）点的伴随直线的解析式为__________．（请直接写出答案） （2）若直线的伴随点是点，直线的伴随点是点，点为轴上的动点，当的周长最小时，求点的坐标． （3）点是折线段的动点（包括端点），若直线是点的伴随直线，当直线与有且仅有两个公共点时，请直接写出点的横坐标的取值范围． 【一览众山小】 1．在一次函数的图象上有、两点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．无法判断 2．一次函数与正比例函数（，为常数，且）在同一直角坐标系内的大致图像不可能的是 （   ） A． B． C． D． 3．已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．某公司生产了A，B两款新能源电动汽车．如图，，分别表示A款，B款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量与汽车行驶路程的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是时，A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多 ． 5．一次函数与交于点． （1）关于x的方程解为 ； （2）函数的图象沿y轴向下平移后得到函数图象，图象与图象交于点B，若点B的纵坐标为1，则不等式的解集是 ． 6．如图，一次函数的图象与抽交于点，点是线段OA上一点．过点作轴的垂线，直线l与一次函数的图象交于点，与正比例函数的图象交于点．当点与点关于轴对称时， ． 7．如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点与坐标原点重合，点在轴上，点在轴上，，点在边上，点的坐标为，过点且平行于轴的直线与交于点．现将纸片折叠，使顶点落在上的点处，折痕为． (1)求点G的坐标； (2)求折痕所在直线的解析式； (3)若直线平行于直线，且与长方形有公共点，请直接写出的取值范围； (4)设点为轴上一点，是否存在这样的点，使得以为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．在数学实践探究课上，王老师让同学们将等腰直角三角尺放在平面直角坐标系中展开探究： 【操作猜想】 (1)如图1，在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点在原点，若顶点A恰好落在点处，则点A到轴的距离是________，点到轴的距离是________． 【类比探究】 (2)如图2，一次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点，过点作线段且，直线交轴于点，求点的坐标． 【拓展探究】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，的顶点A，分别在轴、轴上，且，．若点的坐标为，点A的坐标为，点是直线上的动点，当的面积等于6时，直接写出点的坐标． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$