专题04 图形与坐标（优质类型）-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

专题04 图形与坐标思维导图 【类型覆盖】 类型一、坐标系中的将军饮马 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)作出关于y轴对称的，并写出点的坐标； (2)求的面积； (3)若x轴上存在一点P，使得周长最短，周长最小值为__________，此时点P的坐标为__________． 【答案】(1)图见解析， (2)3.5 (3)， 【分析】本题考查了作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称性质． （1）根据轴对称性质即可画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； （2）利用割补法求解即可； （3）根据两点之间线段最短即可在x轴上找出一点P，使得的值最小即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求；， ； （2）解：的面积； （3）解：如图，点P即为所求． 作B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时的值最小， 故的周长最小，最小值为．． 故答案为：，． 【融会贯通】 1．勾股定理是一个基本的而且特别重要的几何定理，有着非常广泛的应用．聪明的一修利用勾股定理得出了平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式．即如图1，若平面直角坐标系中点的坐标为，点的坐标为，则． （1）在平面直角坐标系中，点和点，则线段的长是 ． 方法迁移： （2）如图2，在平面直角坐标系中，点和点，是轴正半轴上的一个动点，连，设，则 ①用含的代数式表示的长是 ； ②的长的最小值是 ． 拓展应用： （3）若，则的最小值是 ． 若，则的最小值是 ． 【答案】（1）5；（2）①；② 10；（3）13；5 【分析】本题考查了两点之间的距离公式、两点之间线段最短，熟练掌握两点之间的距离公式是解题关键． （1）直接利用两点之间的距离公式求解即可得； （2）①利用两点之间的距离公式求解可得的长，②根据两点之间线段最短可得的长的最小值； （3）参考（2），将和利用完全平方公式进行配方，利用两点之间的距离公式求解即可得． 【详解】解：（1）， 故答案为：5． （2）①∵是轴正半轴上的一个动点，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； ②由两点之间线段最短可知，当点共线时，的长最小，最小值为， 故答案为：10． （3）解： ， 则可以看作是点和点之间的距离与点和点之间的距离之和， 由两点之间线段最短可知，的最小值是， ， 则可以看作是点和点之间的距离与点和点之间的距离之和， 由两点之间线段最短可知，的最小值是， 故答案为：13；5． 2．在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为个单位长度． (1)和关于轴轴对称，画出的图形； (2)判断的形状； (3)若点是轴上一动点，请直接写出周长的最小值． 【答案】(1)见解析； (2)是直角三角形； (3) 【分析】(1)首先确定、、三点关于轴对称的对称点位置，再连接即可； (2)根据勾股定理的逆定理判断即可； (3) 作出关于轴的对称点，再连接，交轴于点，根据轴对称的性质可得，然后再计算的周长即可 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：∵ ∴ ∴是直角三角形； （3）解：如图所示： 过点关于轴的对称点，再连接，交轴于点，根据轴对称的性质可得， ，， 周长， ∴当点、、三点共线时，周长取最小值． 【点睛】此题主要考查了作图，轴对称变换，坐标与图形，勾股定理，勾股定理的逆定理，关键是正确确定组成图形的关键点的对称点的位置. 3．如图，我们在“格点”直角坐标系上可以清楚看到：要求或的长度，显然是转化为求或的斜边长．下面以求为例来说明如何解决： 从坐标系中发现：，，所以，，所以由勾股定理可得，． 解决以下问题： (1)在图1中： ， ，所以 ； (2)在图2中，设，，试用，，，表示， ， ，所以 ； 由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式．请用此公式解决问题： (3)若在平面直角坐标系中的两点，，为轴上任一点，求的最小值； (4)应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值为 ．（直接写出答案） 【答案】(1)4；3；5 (2)；； (3) (4) 【分析】此题主要考查了利用轴对称求最值问题以及两点之间距离公式，勾股定理，正确转化代数式为两点之间距离问题是解题关键． （1）利用图形与勾股定理求解即可； （2）直接利用两点之间距离公式直接求出即可； （3）利用轴对称求最短路线方法得出P点位置，进而利用两点之间距离公式求出的最小值； （4）根据原式表示的几何意义是点到和的距离之和，当点在以和为端点的线段上时其距离之和最小，进而利用两点之间距离公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 所以， 故答案为：4；3；5． （2）解：设，， 则，， ∴ 故答案为：；；． （3）解：如图，作点B关于x的对称点，连接交x轴于P， ∴， ∴ 根据两点间的距离最短得，此时最小，最小值等于， ∵，点B与点关于x的对称， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． （4）解：∵表示点到和的距离之和． 由两点之间线段最短，点在以和为端点的线段上时，原式值最小． ∵以和为端点的线段长， ∴的最小值为． 类型二、坐标系中的三点共线 【解惑】如图所示，长方形中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为，C点的坐标为，点B在第一象限内．D为的中点． (1)写出点B的坐标__________． (2)P为边上的动点，当是腰长为5的等腰三角形时，求出点P的坐标． (3)在x轴上找一点Q，使最大，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2)或或 (3) 【分析】本题考查坐标与图形，等腰三角形的性质，勾股定理： （1）根据长方形的性质，求出点坐标即可； （2）分，两种情况进行讨论求解即可； （3）延长交轴于点，点即为所求，证明，得到，求出点坐标即可． 【详解】（1）解：∵A点的坐标为，C点的坐标为， ∴， ∵长方形， ∴； （2）∵，为的中点， ∴， 当是腰长为5的等腰三角形时，分两种情况讨论： ①， ∵点在线段上， ∴在中，由勾股定理，得：， ∴； ②当时：如图，过点作，则四边形为长方形， ∴， 由勾股定理，得：， ∴或， ∴或； 综上：或或； （3）∵， ∴当三点共线时，最大， 延长交轴于点，如图： ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【融会贯通】 1．按要求完成作图： (1)作出关于轴对称的； (2)在轴上找出点，使最大，并直接写出点的坐标：______． 【答案】(1)见解析 (2)画图见解析， 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，构成三角形的条件： （1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同得到A、B、C对应点的坐标，然后描出，再顺次连接即可； （2）延长交x轴于点P，点即为所求． 【详解】（1）解；如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，点P即为所求； 延长交x轴于点P，点即为所求； 由构成三角形的条件可知 ，则当三点共线时，最大． 2．如图所示，在平面直角坐标系中的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位△ABC的三个顶点都在格点上． (1)在网格中画出向右平移5个单位，向上平移1个单位得到的； (2)在网格中画出关于x轴对称的； (3)在x轴上找一点P，使得的值最大，求出点P的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和轴对称，轴对称最短路径问题： （1）根据所给平移方式得到A、B、C对应点的坐标，描出，再顺次连接即可； （2）根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数得到A、B、C对应点的坐标，描出，再顺次连接即可； （3）由轴对称的性质可得，由于，故当三点共线时有最大值，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，点即为所求． 3．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，的三个顶点都在格点上，． (1)在网格中画出向下平移3个单位得到的，并写出三个顶点的坐标； (2)在网格中画出关于直线对称的，并写出三个顶点的坐标； (3)在直线上画一点，使得的值最大，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，， (2)，， (3) 【分析】本题考查作图平移变换、轴对称变换、轴对称最短路线问题； （1）根据平移的性质作图即可，按照的三个顶点的坐标建立平面直角坐标系，可得平移后的三个顶点的坐标． （2）根据轴对称的性质作图，由三个顶点的位置可得出坐标． （3）作直线，与直线的交点即为所求． 【详解】（1）如图，即为所求． 建立平面直角坐标系如图所示， ，，． （2）如图，即为所求． 点，，． （3）如图，点即为所求． ． 类型三、坐标系中的全等三角形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是．    (1)在图中作出关于y轴对称的； (2)在y轴上有一动点P，使的距离最小，直接写出P点的坐标． (3)如果要使以B、C、D为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点D坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或 【分析】本题考查作图—画轴对称图形，坐标与图形的变化—轴对称，轴对称的性质，全等三角形的判定，利用数形结合的思想是解题关键． （1）找出各顶点，关于y轴对称的对应点，再顺次连接即可； （2）连接，交轴于点P，则点P即为所求，再根据平面直角坐标系写出点P坐标即可； （3）根据全等三角形的判定可画出图形，再根据图形可直接写出符合条件的点D坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：如图，在（1）基础上，连接，交轴于点P，则点P即为使的距离最小的点． 由图可知； （3）解：如图：以B，C，D为顶点的三角形与全等时，点D的坐标为：或或． 【融会贯通】 1．如图，平面直角坐标系中有点和轴上一动点，其中，以点为直角顶点在第二象限内作等腰直角，设点的坐标为． (1)当时，则______，______； (2)动点在运动的过程中，试判断的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由． (3)当时，在坐标平面内是否存在一点（不与点重合），使与全等？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，6 (2)动点在运动的过程中，的值不变， (3)符合条件的的坐标是或或 【分析】（1）先过点C作轴于E，证，推出，，即可得出点C的坐标； （2）先过点C作轴于E，证，推出，，可得，即可得出点C的坐标为，据此可得的值不变； （3）分为三种情况讨论，分别画出符合条件的图形，构造直角三角形，证出三角形全等，根据全等三角形对应边相等即可得出答案． 【详解】（1）解: 如图1，过点C作轴于E， 则． ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴ ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴，． ∵，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：，6； （2）解: 动点A在运动的过程中，的值不变，值为2． 证明如下： 如图1，过点C作轴于E， 则． ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴ ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴，． ∵，，， ∴，， ∴， ∴． 又∵点C的坐标为， ∴， 即，值不变； （3）解: 存在一点P，使与全等，分为三种情况： ①如图2，过P作轴于E， 则， ∴，， ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即P的坐标是； ②如图3，过C作轴于M，过P作轴于E， 则． ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴，． 由（1）知，且， ∴,， ∴， 即P的坐标是； ③如图4，过P作轴于E， 则． ∵， ∴，， ∴，， ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点P的坐标是． 综合上述：符合条件的P的坐标是或或． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰直角三角形性质的应用，考查学生综合运用性质进行推理的能力，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及运用分类讨论的思想． 2．如图，已知的三个顶点的坐标分别为：、、． (1)将沿轴翻折，画出翻折后的，点的对应点的坐标是 ． (2)关于轴对称的图形，直接写出点A2的坐标 ． (3)若与全等（点与点重合除外），请直接写出满足条件点的坐标． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析， (3)或或 【分析】本题主要考查了轴对称变换以及全等三角形的判定与性质，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用关于轴对称点的性质得出对应点位置； （2）直接利用关于轴对称点的性质得出对应点位置； （3）直接利用全等三角形的判定方法得出对应点位置． 【详解】（1）解：如图所示，翻折后点的对应点的坐标是：； 故答案为：； （2）解：如图所示：即为所求，； （3）解：如图所示：或或． 3．如图，等腰直角中，，，现将该三角形放置在平面直角坐标系中： (1)若点B坐标为，点C坐标为，求点A的坐标； (2)若点B坐标为，点C坐标为，连接，若P为坐标平面内异于点A的点，且以O、P、C为顶点的三角形与全等，请求出满足条件的点P的坐标（用含m，n的式子表示）； (3)已知，，在x轴上是否存在点Q，使是以为腰的等腰三角形，直接写出点Q的坐标_____． 【答案】(1) (2)点的坐标为或或 (3)点的坐标为或或 【分析】（1）先根据证明，然后根据全等三角形的性质得出、的长即可得出点A的坐标； （2）结合（1）求解点A的坐标为，作关于轴的对称图形得到；作关于的轴对称图形得到；作关于轴的对称图形得到，根据对称图形的性质即可知道所作的图形全等，即可写出点的坐标； （3）当以点A为顶点时有一个点符合，当以点为顶点时分钝角三角形和锐角三角形即可求解． 【详解】（1）解：如图，过作轴于， ∵点B坐标为，点C坐标为， ∴，． ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∴点A的坐标为； （2）解：如图，点B坐标为，点C坐标为， 同理可得：， ∴，， ∴， ∴点A的坐标为； ①作关于轴的对称图形得到， ∴≌， ∴点的坐标为； ②∵点和点关于对称， ∴作关于轴的对称图形得到， ∴， ∴点的坐标为； ③作关于轴的对称图形得到， ∴≌， ∴≌， ∴点的坐标为， ∴综上所述点的坐标为或或； （3）解：如图， ①当以点A为顶点时，且是腰，，， ∵轴， ∴可以作点关于的对称点， ∴点的坐标为， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴是以为腰的等腰三角形； ②当以点为顶点时，且是腰，形成锐角三角形时， 即， ∴点的坐标为； ②当以点为顶点时，且是腰，形成钝角三角形时， 即， ∴点的坐标为， ∴综上所述点的坐标为或或． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，轴对称图形的性质，等腰三角形的判定，坐标与图形，解题的关键是数形结合，进行分类讨论，不漏解． 类型四、坐标系中的等腰三角形 【解惑】如图，由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格图中，点A、、都在格点上． (1)画出关于直线的轴对称图形； (2)在直线找到点（点为格点），使为等腰三角形； (3)在网格图中画出点（点为格点），使与全等． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可． （2）结合等腰三角形的判定，分别作图，考虑点P要在格点上又在直线上，进而可得答案． （3）结合全等三角形的判定，且结合勾股定理，得出每个边的大小，可确定点的位置． 本题考查作图轴对称变换、全等三角形的判定、等腰三角形的判定，熟练掌握轴对称的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的判定是解答本题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图： 分别以点A为圆心，为半径画圆，与直线有两个交点，但都不在格点上，故舍去； 或以点C为圆心，为半径画圆，与直线有两个交点，一点在A处，另一点在处， 或作的垂直平分线，与直线有一个交点，但不在格点上，故舍去； （3）解：如图， ∵与全等 ∴当时，则； ∴当时，则； 点，均满足题意． 【融会贯通】 1．如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为______；在平面直角坐标系中，画出与关于y轴对称的； (2)已知P为x轴上一点，若为等腰三角形，则点P有______个． 【答案】(1)，作图见解析 (2)4 【分析】本题考查了坐标与轴对称，画轴对称图形，等腰三角形的性质； （1）根据轴对称的性质找到关于轴的对称点，写出点的坐标，顺次连接，即可求解． （2）分分别为等腰三角形的顶点时，画出图形，即可求解． 【详解】（1）解：，如图所示，即为所求， （2）解：如图所示， 当时，轴上有1个， 当时，轴上有2个， 当时，轴上有1个， 共有4个， 故答案为：． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． (1)填空：__________，__________； (2)如果在第三象限内有一点，则的面积__________； (3)在（2）条件下， ①在y轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，请直接写出点P的坐标__________． ②在x轴上有一点N，使得是等腰三角形，请直接写出点N的坐标__________． 【答案】(1)，3 (2)4 (3)①或；②，，， 【分析】（1）由，可得，计算求解即可； （2）由题意知，根据，计算求解即可； （3）①设，依题意得，，计算求解，然后作答即可；②设，则，，由题意知，，当时，如图1，，则，计算求解即可；当时，如图1，，，则，计算求解即可；当时，如图1，，则，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得，， 故答案为：，3； （2）解：由题意知，， 故答案为：4； （3）①解：设， ∵的面积与的面积相等， ∴， 解得，， ∴或， 故答案为：或 ②解：设，则，， 由题意知，， 当时，如图1，， ∴， 解得，，； ∴ 当时，如图1，，， ∴， 解得，，， ∴，； 当时，如图1，， ∴， 解得，， ∴， 综上所述，点N的坐标为，，，， 故答案为：，，，． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，坐标与图形，等腰三角形的性质，勾股定理等知识．熟练掌握绝对值的非负性，算术平方根的非负性，坐标与图形，等腰三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 3．已知平面内两点，其两点之间的距离公式为，若点． (1)求A，B两点之间的距离； (2)判断的形状，说明理由； (3)已知点P在x轴上，且为等腰三角形，请直接写出所有点P的坐标． 【答案】(1) (2)为等腰三角形，理由见解析 (3)或或或或 【分析】本题考查了两点间距离公式，等腰三角形的定义，利用平方根解方程，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）运用公式即可求解； （2）利用公式求出三边，进行判断即可； （3）设，利用公式表示三边，分类讨论，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：为等腰三角形，理由如下， ， ∴， ∴为等腰三角形； （3）解：设，而， ∴，则， ，则， ，则， ①，则，∴， 解得：， ∴； ②，则，∴， ， 解得：， ∴或； ③，则，∴， ∴， 解得：， ∴或． 综上所述：或或或或． 类型五、坐标系中的等腰直角三角形 【解惑】(1)如图1，等腰直角中，，，线段经过点，过作于点，过作于，求证：． (2)如图2，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，点，若是以为腰的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标； (3)如图3，在中，，，点不与点重合是轴上一个动点，点是中点，连接，把绕着点顺时针旋转得到即，，连接、、，试猜想的度数，并给出证明． 【答案】（1）见解析；（2）点的坐标为或或或；（3），证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，等腰直角三角形的性质与判定： （1）利用证明，得到即可得到结论； （2）如图所示，过点B作轴，过点A作于M，过点C作于N，先求出，同理可证明，得到，则，同理，根据正方形的性质，得出另外两个符合题意的点坐标，即可求解． （3）分两种情形：当点运动到点A右侧时，如图②中，延长至，使，连接，，．利用全等三角形的性质求解．当点运动到点左侧时，同理可证，． 【详解】（1）证明：， ， ，， ， ， ， ， ； （2）解：如图所示，过点作轴，过点作于，过点作于， 点，点， ，， 同（1）可得， ，， ； 同理，， 为的中点， ； 由题意得：四边形与四边形是正方形， 正方形对角的交点坐标为，与正方形对角的交点坐标为， ，． 综上，点的坐标为或或或； （3）解：猜想，证明如下： ①当点运动到点右侧时， 如图中，延长至，使，连接，，． 在和中， ， ， ，， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ，，， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，； ②当点运动到点左侧时， 同理可证，， 综上所述，． 【融会贯通】 1．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图1，，，过点作于点，过点作的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，点为平面内任一点，点的坐标为，若是以为斜边的等腰直角三角形，求点 A 的坐标． 【深入探究】 （3）如图3，，，，连接、，且于点F，与直线交于点，求证：点是的中点． 【答案】（1），；（2）或，（3）见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形，等腰三角形的定义，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）分两种情况讨论，当点A在第一象限时，：过作轴于，过作轴于，与相交于，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，设，则，于是得到结论；当点A在第四象限时，同理可得答案； （3）作于，于，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，同理，由此可得，再由此证明，由全等三角形的性质得到，于是得到点是的中点． 【详解】解∶（1）∵， ∴，； 故答案为：，； （2）如图，当点A在第一象限时，过作轴于，过作轴于，与相交于， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 设，则， ， ， ，， 点的坐标； 如图，当点A在第四象限时，过作轴于，过作轴于，与相交于， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 设，则， ， ， ，， 又此时点在第四象限，点的坐标， 综上所述，点的坐标为或 （3）如图，作于，于， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 又， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 点是的中点． 2．如图①所示，在平面直角坐标系中，若，且． (1)求A，B两点的坐标； (2)若以为直角边作等腰直角三角形，请直接写出所有可能的点C的坐标； (3)如图②，在（2）中，若点C为第三象限的点，且与y轴交于点N，与x轴交于点M，连接，过点C作交x轴于点P，求点C到的距离． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】（1）由二次根式及平方的非负性质可得，再求解即可； （2）分点为直角顶点和点为直角顶点两种情况，构造全等三角形求解即可； （3）过点C分别作轴，轴，，垂足分别为D，E，F，先证，可得，再证，可得，再证，可得，最后由角平分线的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知：， 解得， ； （2）解：以点为直角顶点，且在的上方时， 如图，作于点． ， ． ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 以点为直角顶点，且在的下方时， 同理可得； 当以点为直角顶点，且在的上方时 作于点．如图， 同理可求：，， ， ， 以点为直角顶点，且在的下方时， 同理可得； 综上，所有可能的点C的坐标有：． （3）解：如图，过点C分别作轴，轴，，垂足分别为D，E，F， ∵， ∴， 由（2）可知C点坐标为， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 即平分， 又∵， ∴， 即点C到的距离为4 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性质、全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，角平分线的性质，以及等腰三角形的定义等知识，数形结合是解答本题的关键． 3．已知，在直角坐标系中，点A是x轴上的一点，且点A的坐标为． (1)如图1，点B的坐标为，以A点为顶点，为腰在第三象限作等腰直角三角形．求点C的坐标； (2)如图2，P是y轴负半轴上任意一点，点P的坐标为．以P为直角顶点，为腰作等腰直角三角形，且点D在第四象限，点D的纵坐标为n，请猜想m与n的等量关系并证明． 【答案】(1)，详见解析 (2)，详见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识， （1）过C作轴于M点，由“”证明，可得出，，即可求点C坐标； （2）如图2，如图2，过D作于Q点，可证四边形是矩形，可得，，即，由“”可明，可得，进而代入即可得； 正确作出辅助线构造全等三角形是本题的关键． 【详解】（1）∵，， ∴，， 过C作轴于M点，如图1， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点C的坐标为； （2）如图2，过D作于Q点， ∵，轴交x轴于点E，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵D在第四象限，点D的纵坐标为n， ∴， ∴． 类型六、坐标系中的直角三角形 【解惑】综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，C为x轴正半轴上的一点，且， (1)求点C的坐标． (2)若点D在y轴上，且满足，求点D的坐标． (3)坐标轴上是否存在一点P，使得为直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)的坐标为：或或． 【分析】本题考查的是坐标与图形面积，勾股定理的应用； （1）利用勾股定理求解，可得，从而可得答案； （2）先求解，可得，设，可得，再利用面积公式建立方程求解即可； （3）由为直角三角形，分三种情况讨论：当，此时重合，当，，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点，点，C为x轴正半轴上的一点，且， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点D在y轴上， ∴设， ∴， ∵，且满足， ∴， ∴， 解得：或， ∴或； （3）解：当重合时，为直角三角形， ∴； 如图，当时，设， ∴，而， ∴， 解得：， ∴， 当时，设， 同理可得： ， 解得：， ∴， 综上：的坐标为：或或． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在y轴正半轴上，且，点P从点B出发，沿线段方向，以每秒1个单位长度的速度做匀速运动，同时点Q从点A出发，沿射线方向，当P点到达A点时，点P，Q都停止运动．设运动时间为秒． (1)当点P运动1.5秒时，，求点Q运动的速度． (2)若点Q也以每秒1个单位长度的速度做匀速运动，当是直角三角形时，求点Q的坐标． 【答案】(1)点Q以每秒3个单位长度的速度做匀速运动 (2)或 【分析】（1）设点Q以每秒a个单位长度的速度做匀速运动，证明是等边三角形得，进而可求出求点Q运动的速度； （2）分当时和当时两种情况求解． 【详解】（1）如图， 设点Q以每秒a个单位长度的速度做匀速运动， ∵点A的坐标为， ∴． ∵，， ∴，， 由题意得，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 点Q以每秒3个单位长度的速度做匀速运动； （2）当时，如图， 由题意得，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， 由题意得，， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴． 综上可知，当是直角三角形时，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，分类讨论是解（2）的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且，． (1)的长为______； (2)在轴上存在一点，使得最小，则的最小值为______； (3)在轴上是否存在一点，使是直角三角形？若存在，求出点坐标． 【答案】(1) (2) (3)使为直角三角形的点M的坐标为、． 【分析】本题考查的是坐标与图形的综合应用，解题的关键是掌握勾股定理、对称求线段和最小、直角三角形的判定． （1）根据题意求出a、b的值，运用勾股定理可求的值； （2）首先求出点D的坐标，再作点B关于y轴的对称点连接，求解即可； （3）根据直角的位置分类讨论，结合勾股定理，再进一步的解答即可． 【详解】（1）解：∵ ∴，， ∴，， 根据勾股定理可得 ∴ ∴长度为5． （2）存在点P，使得最小值为 如图；过点D作轴，交y轴于点E，作点B关于y轴的对称点，连接交轴于，过点D作轴于点F， ∴， ∴， ∵ ， ， ∴ ， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴点D坐标为， ∵，， ∴ ∴最小值为． （3）如图，设，而，， ∴，，， 当时， ∴， 解得：， ∴， 当， ∴此时重合， ∴， 当， 此时不符合题意，舍去， ∴使为直角三角形的点M的坐标为、． 3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点）的顶点A，C在平面直角坐标系中的坐标分别为，．    (1)在如图所示的网格平面内画出平面直角坐标系； (2)平面直角坐标系中画出关于y轴对称的．（点A，B，C的对应点分别为点，，）； (3)的面积是 ． (4)在x轴上确定一个格点，使得为直角三角形，则满足条件的所有格点P的横坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4 (4)1或 【分析】（1）利用A、C点坐标画出对应的直角坐标系； （2）根据关于y轴对称的点的坐标特征写出，，的坐标，然后描点即可； （3）利用矩形的面积减去3个顶点上的三角形面积即可求解； （4）根据题意作图，根据坐标特征写出点P的坐标． 本题考查了作图−轴对称变换−几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的． 【详解】（1）坐标系如图所示 （2）如图，为所求； （3）， 故答案为：4； （4）如图所示，P点为所求， 由图可知或， 故答案为：1或．    类型七、坐标系中的等边三角形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，已知，两点分别在轴、轴正半轴上，且，满足关系式； (1)如图(1)，若点坐标为，连接、，求的面积； (2)如图(2)，是邻补角的平分线，的反方向延长线与的平分线交于点，求度数； (3)如图(3)，以为边长作为等边三角形，，，若点、点分别是线段、线段上的两个动点，且，与相交于点，在点、点运动过程中，请问的大小是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请证明并求出其值． 【答案】(1) (2) (3)的大小不会发生改变，，见解析 【分析】（1）根据算术平方根以及绝对值的非负性得出方程组，求得的值，即可得出的坐标，过点作轴于点，根据，即可求解； （2）设，则，根据三角形的外角的性质，即可求解； （3）证明，根据全等三角形的性质以及三角形的外角的性质可得，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ 解得： ∴ ∴ 如图所示，过点作轴于点， ∵ ∴ ∴，， ∴， ∴ ； （2）解：如图 设，则 ∵是邻补角的平分线，的反方向延长线与的平分线交于点， ∴，， ∴ （3）解：°，理由如下， 如图所示， ∵，，， ∴ ∴ ∴ ∴° 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，解二元一次方程组，坐标与图形，三角形内角和定理以及三角形的外角性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，直线过原点且经过第三、第一象限，与轴所夹锐角为．对于点和轴上的两点，，给出如下定义：记点关于直线的对称点为，若点的纵坐标为正数，且为等边三角形，则称点为，的点． (1)如图1，若点，，点为，的点，连接，． ①； ②求点的纵坐标； (2)已知点，． ①当时，点为，的点，且点的横坐标为，则； ②当时，点为，的点，且点的横坐标为，则___________________． 【答案】(1)①30；② (2)①；②或 【分析】（1）①设点为第一象限内上一点，得出与轴的夹角为,即，则即可得出； ②过点作轴于，过点作轴于，证明．根据是等边三角形，点，，点，，得出，即可求解； （2）①延长交于点，连接交轴于，过点作轴于，根据定义得出是等边三角形，证明轴，得出，分别求得，解方程，即可得出； ②当时，点在点的右侧，如图所示，过点作轴于，过点作轴于，设关于的对称点为，则，根据含度角的直角三角形的性质得出；当时，点在点的左侧，根据，解方程，即可求解． 【详解】（1）①解：如图所示， 设点为第一象限内上一点， ∵为等边三角形，，，则 , ∵点为，的点， ∴与轴的夹角为,即 ∴， ∴， 故答案为：30； ②解：过点作轴于，过点作轴于， ． 点为线段的点， ，，． ． 在和中， ． ． 是等边三角形，点，，点，， ． ， ． ． 点纵坐标为． （2）解：①如图所示，延长交于点，连接交轴于，过点作轴于， ∵点为，的点， ∴， 则是等边三角形， 过点作轴于点，则， ∴ ∵关于对称， ∴，则， ∴轴， ∵点的横坐标为 ∴， ∵，则， ∵，， 则， ∴ 解得： 故答案为：． ②当时，点， 当时，点在点的右侧，如图所示，过点作轴于，过点作轴于，设关于的对称点为，则， ∵,，，则() ∴， ∴ ∵ ∴ 当时，点在点的左侧， 同理可得，，则， ∴， 解得：， 综上所述，或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 2．如图1，已知点，点为轴上一动点，连接，和都是等边三角形． (1)求证：； (2)如图2，当点恰好落在上时． ①求点的坐标； ②在轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标； ③如图3，点是线段上的动点（点，点除外），过点作于点，于点，当点运动时，的值是否发生变化？若不会变化，求出的值；若会变化，简要说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②点P的坐标为或；③的值不会发生变化，且的值为9 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，，求得，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）①由点，得到，根据全等三角形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，求得，过E作轴于F，求出结果即可； ②存在，当时，当，根据等腰三角形的性质即可得到结论； ③不会变化，连接，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形 ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴； （2）①∵点， ∴，由（1）知， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴， 过E作轴于F，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴； ②存在，如图， 当时， ∵， ∴，， ∴，； 当， ∵， ∴是等边三角形， ∴，重合， ∴当为等腰三角形时，点P的坐标为或； ③不会变化，如图，连接， ∵ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的值不会发生变化，且的值为9． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形面积的计算，勾股定理，含角直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 3．如图，平面直角坐标系中，中，，点，，点的横坐标为，是边上一动点，由向运动（与，不重合），是延长线上一点，与点同时以相同的速度由向延长线方向运动（不与重合），连接交于点，过作于点． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：是线段的中点； (3)在运动过程中线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)当点、运动时，线段的长度不会改变， 【分析】（1）过点作于，根据点的坐标，得出，再根据垂直平分线的性质，得出，再根据等边三角形的判定，即可得出结论； （2）过作交于，证明是等边三角形，得出，证明，再根据全等三角形的性质，得出，进而即可得出结论； （3）过作交于，由（2）得出是等边三角形，再根据三线合一的性质，得出，再根据（2）可得，再根据全等三角形的性质，得出，再根据线段之间的数量关系，得出，进而即可得出当点、运动时，线段的长度不会改变． 【详解】（1）证明：如图，过点作于， ∵点，， ∴轴，， ∵点的横坐标为， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形； （2）证明：如图，过作交于， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点与点同时以相同的速度运动， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是线段的中点； （3）解：当点、运动时，线段的长度不会改变，，理由如下： 如图，过作交于， 由（2）可得：是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 由（2）可得：， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点、运动时，线段的长度不会改变，． 【点睛】本题考查了坐标与图形、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、平行线的性质、三线合一的性质，根据题意作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 类型八、坐标系中的新定义 【解惑】在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“识别距离”，给出如下定义： 若，则点与点的“识别距离”为； 若，则点与点的“识别距离”为． 例如：对于点与点，因为，所以点与点的“识别距离”为4． 【初步理解】 （1）已知点，则点与点的“识别距离”为______． 【深入应用】 （2）已知点，点为轴上的一个动点， ①若点与点的“识别距离”为3，求出满足条件的点的坐标； ②点与点的“识别距离”的最小值为______． 【知识迁移】 （3）已知点，直接写出点与点“识别距离”的最小值及对应的点坐标． 【答案】（1）3；（2）①点的坐标为或；②2；（3）点与的“识别距离”的最小值为 【分析】（1）根据新定义分别计算，，结合，可得答案； （2）①设点B的坐标为，根据“识别距离”的定义可得，化简绝对值即可得；②先求出时a的值，再根据“识别距离”的定义分情况讨论，然后找出“识别距离”中的最小值即可； （2）参考②，先求出时m的值，再根据“识别距离”的定义分三种情况讨论，然后找出“识别距离”中的最小值即可． 【详解】解：（1）∵点， ∴，，而， ∴点与点的“识别距离”为； （2）①设点B的坐标为，而， 点与的“识别距离”为 解得 则点B的坐标为或； ②由得：， 因此，分以下两种情况： 当时，， 则点与点的“识别距离”为， 当或时，， 则点A与点的“识别距离”为， 综上，点与点的“识别距离”大于或等于2， 故点A与点的“识别距离”的最小值为2； （3）由得：或， 解得或， 因此，分以下三种情况： 当时，， 则点与点的“识别距离”为， 此时， 当时，， 则点与点的“识别距离”为， 当时，， 则点与点的“识别距离”为， 此时， 由此可知，点与点的“识别距离”的最小值为， 此时，， 则点C的坐标为． 【点睛】本题考查了新定义的含义，点坐标、绝对值运算，不等式的性质等知识点，较难的是题（3），理解新定义，正确分情况讨论是解题关键． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，已知点． 对于点给出如下定义：先将点向右或向左平移个单位长度，再关于直线对称，得到点，则称点为点的“关联点” (1)如图1，点坐标为 ①当点坐标为时，则点的“关联点”的坐标为：_______； ②若点为点的“关联点”，则的坐标为_______； (2)如图2，点、，点与点关于轴对称．点在边上，点坐标为 ①画出点所有的“关联点”； ②这些关联点组成的图形形状是：_______． (3)如图3，点、、、，，点在正方形边上，点、，若线段上存在点的“关联点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)①图见解析；②等腰三角形 (3)或 【分析】本题考查了坐标变换，解题关键是得到“关联点”变化规律. （1）根据“关联点”定义可得点的“关联点”的坐标为，据此计算即可； （2）①根据关联点的定义计算出当在三角形的顶点时，点的“关联点”坐标，即可画图；②由图可知关联点组成的图形形状是三角形. （3）分点在正方形的四条边上上时，坐标不同，根据的“关联点”在线段上方程和不等式求解即可. 【详解】（1）解：设坐标为，设的坐标为，先将点向右或向左平移个单位长度，得到点的坐标为， 再关于直线对称，得到点， 则，∴ 即坐标为 ①当点坐标为，点坐标为时， 则点的“关联点”的坐标为，即； ②点为点的“关联点”， ∴解得：，即的坐标为， （2）解：①如图 ②这些关联点组成的图形形状是等腰三角形. （3） ∵点、， ①当点在上时，设点其中，则线段上存在点的“关联点”坐标为， ∴，∴ 又∵即 解得：， 当点在上时，， 线段上存在点的“关联点” ②当点在上时，设点其中，则线段上存在点的“关联点”坐标为， ∵，∴不可能在第一象限， 故点在上时，线段上不存在点的“关联点”； ③当点在上时，设点其中，则线段上存在点的“关联点”坐标为， ∴，∴ 又∵即 不等式组无解， 故点在上时，线段上不存在点的“关联点”； ④当点在上时，设点其中，则线段上存在点的“关联点”坐标为， ∴，∴ 又∵即 解得：， 当点在上时，， 线段上存在点的“关联点” 综上所述：当或时，线段上存在点的“关联点” 2．在平面直角坐标系中，对于点和点（点的横、纵坐标相等），给出如下定义：为过点且与轴垂直的直线，为过点且与轴垂直的直线，先作点关于的对称点，再作点关于的对称点，则称点是点关于点的“关联点”． 例如：如图，点关于原点的“关联点”是． (1)①点关于点的关联点坐标为 ； (2)如果点是点关于点的“关联点”，那么 ； (3)点关于点的“关联点”为，如果是以为底的等腰三角形，求该三角形的面积； (4)点关于点的“关联点”为，如果以为边的等腰直角三角形只在第一象限内，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）由题意知，为直线，为直线，则点关于的对称点为，关于的对称点为； （2）设点关于的对称点为，则与关于对称，则点的横坐标与的横坐标相同，为1，由点的横坐标为，可得，计算求解即可； （3）由是以为底的等腰三角形，可知在的垂直平分线上，即，设点关于的对称点为，则与关于对称，如图1，，，即，可求，根据，计算求解即可； （4）①当时，点，点，则，由以为边的等腰直角三角形只在第一象限内，可得，可求，当为等腰直角三角形的底边时，如图2，则；当为等腰直角三角形的腰时，如图2，则，计算求解，然后作答即可；②当时，点，点，则，以为边的等腰直角三角形只在第一象限内，当为等腰直角三角形的腰时，如图3，则，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，为直线，为直线， ∴点关于的对称点为，关于的对称点为， 故答案为：； （2）解：设点关于的对称点为，则与关于对称， ∴点的横坐标与的横坐标相同，为1， ∵点的横坐标为， ∴， 故答案为：； （3）解：∵是以为底的等腰三角形， ∴在的垂直平分线上， ∴， 设点关于的对称点为，则与关于对称，如图1，    ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； （4）解：由题意知，①当时，点关于直线的对称点是点本身，点关于直线的对称点为， ∴， ∵以为边的等腰直角三角形只在第一象限内， ∴， 解得，， 当为等腰直角三角形的底边时，如图2，， ∴， 解得，； 当为等腰直角三角形的腰时，如图2，， ∴， 解得，； ∴； ②当时，点关于直线的对称点是点本身，点关于直线的对称点为， ∴， ∵以为边的等腰直角三角形只在第一象限内， 当为等腰直角三角形的腰时，如图3，， ∴， 解得，； ∴； 综上所述，的取值范围为或． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，垂直平分线的判定，坐标与图形，等腰三角形的性质，第一象限点坐标的特征．熟练掌握轴对称的性质，垂直平分线的判定，坐标与图形，等腰三角形的性质，第一象限点坐标的特征是解题的关键． 3．对于平面直角坐标系中的任意线段，给出如下定义：线段上各点到轴距离的最大值，叫做线段的“轴距”，记作．例如，如图1，点，，则线段的“轴距”为3，记作．将经过点且垂直于轴的直线记为直线． (1)已知点，， ①线段的“轴距”　　； ②线段关于直线的对称线段为，则线段的“轴距”　　； (2)已知点，，线段关于直线的对称线段为．若，求的值． 【答案】(1)①4   ②1 (2)1或5 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了轴对称变换，坐标与图形性质，线段的“轴距”的定义等知识，解题的关键是理解新定义． （1）①画出图形，根据“轴距”的定义求解即可； ②先求出C，D的坐标，然后画出图形，根据“轴距”的定义求解即可 （2）先求出G，H的坐标，然后根据“轴距”定义构建方程求解即可． 【详解】（1）解：①如图1， ∵线段上点B到x轴的距离最大， ∴； ②∵，， ∴A，B关于直线的对称点，， 如图2， ∵线段上点C到x轴的距离最大， ∴； （2）解：∵，， ∴E，F关于直线的对称点，， 当时， ∵， ∴， ∴或7（舍去）； 当时， ∵， ∴， ∴或（舍去）； 综上，或5． 【一览众山小】 1．如图，将一块等腰直角三角尺按如图所示放置在平面直角坐标系中，已知直角顶点C的坐标为，点在第二象限，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，证明，进而可得，结合坐标系，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴，分别过点作的垂线，垂足分别为， ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵顶点C的坐标为，点在第二象限， ∴， ∴， ∴即， 故选：A． 2．如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，轴，若，则点C的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形，三线合一，过点作轴，交于点，求出点坐标，根据三线合一，得到为的中点，进而求出点坐标即可． 【详解】解：过点作轴，交于点， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∴，即：； 故选C． 3．如图，点的坐标为，点为轴的负半轴上的一个动点，分别以，为直角边在第三、第四象限作等腰、等腰，连接交轴于点，当点在轴上移动时，则的长度为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查图形与坐标，涉及全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的定义、坐标与图形性质等知识点的应用，作轴于，求出，证，求出，证，推出，即可得出答案．主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，有一定的难度，注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应角相等，对应边相等． 【详解】解：作轴于，如图所示： ∵等腰、等腰， ∴， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 在和中， ， ， ， 又点的坐标为， ， ， 故选C． 4．如图，直线经过原点O，点C在y轴上，D为线段上的一点，若，，，，则长度的最小值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了坐标与图形、垂线段最短、三角形的面积公式，求得的面积是解题的关键． 过A点作轴于点E，过点B作轴于点F，结合点的坐标得，，，进而可解得，结合垂线段最短可知当时，取最小值，结合三角形面积公式解得的值，即可． 【详解】解：如图，过A点作轴于点E，过点B作轴于点F， ∵，，，， ∴，，， ∴， ∵垂线段最短， ∴当时， 如图所示，取最小值， 此时可有，即， 解得， ∴长度的最小值是2． 故答案为：2． 5．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，将沿直线折叠，使得点A落在点D处，与交于点E，则 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，折叠问题，根据点的坐标得到轴，轴，，折叠推出，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴轴，轴，， ∴轴，， ∴ 由折叠可得，， ∴， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴； 故答案为：． 6．如图，在平面直角坐标系中，，连接，过点作．若轴上的一点，连接，当点在轴上移动时，的最小值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判断与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质得出点C的运动轨迹是解本题的关键．本题过点作轴于点D，根据“”证明，从而得到，进而得出点在平行于x轴与x轴距离为8的直线上运动，则当垂直于这条直线时，最短，求解即可． 【详解】解：过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ， 点在平行于轴与轴距离为8的直线上运动， 如图：当垂直于这条直线时，最短，此时， 故答案为：8． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知、分别为轴和轴上一点，且，满足，过点作于点，延长至点，使得，连接、．    (1)点的坐标为______，的度数为______； (2)如图1，若点在第一象限，试判断与的数量关系与位置关系，并说明理由； (3)如图2，若点的坐标为，连接，平分，与交于点． ①求点的坐标； ②试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)，；理由见解析 (3)①；②，理由见解析 【分析】（1）先求出a，b的值，即可得出点，点B的坐标，可得，进而得出； （2）设与轴交于点，与交于点，先证明，得出，，进而得出，即可得出位置关系； （3）①作轴，轴，由点的坐标得，，先证明，可得点D的坐标； ②延长交于点，先证明，得出，再根据角平分线定义和已知证明，可得，可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴点的坐标为，点， ∴． ∵， ∴． 故答案为：，； （2）解：； 理由如下： 设与轴交于点，与交于点，    ∵， ∴． 在和中，，， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴， 即，； （3）解：①作轴交轴于点，轴交轴于点， ∵点的坐标为， ∴，，由（2）知，． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴； ②延长交于点， ∵，，， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∵，， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质和判定，绝对值和完全平方公式的非负性，等腰三角形的性质，角平分线的定义等，构造全等三角形是解题的关键． 8．在平面直角坐标系中，直线l为过点且与x轴垂直的直线．对某图形上的点，当时，作出点P关于直线l的对称点，称为变换；当时，称为变换．若某个图形上既有点作了变换，又作了变换，我们就称该图形为双变换图形． 例如，已知，如图1所示，点A应作变换的坐标是；点B作变换的坐标是． 请解决下面的问题： (1)当时， ①已知点P的坐标是，则点P作相应变换后的点的坐标是　 ； ②若点作相应变换后的点的坐标为，求点P的坐标； (2)已知点， ①若线段是双变换图形，则m的取值范围是　 ； ②已知点在第一象限，若及其内部（点E除外），且变换后所得图形记为G，直接写出所有图形G所覆盖的区域的面积． 【答案】(1)①；②， (2)①或；② 【分析】本题属于几何变换综合题．理解题意，学会构建不等式解决问题，是解题的关键，属于中考创新题型． （1）①解根据变换的定义求解即可．②分两种情形：，分别构建不等式解决问题即可． （2）①由双变换的定义可知，，然后求解作答即可．②由题意，满足条件的图形是平行四边形，变换后所有图形G所覆盖的区域的面积，计算求解即可． 【详解】（1）①解：∵，， ∴直线l为y轴， ∴相应变换后的点的坐标是； 故答案为：． ②当时，点作变换，变换后的点的坐标为， ∴， ∴， ∴； 当时，点作变换，变换后的点的坐标为， ∴， ∴， ∴； 综上所述，，； （2）①解：∵线段是双变换图形，， ∴， 解得，或， 故答案为：或； ∵线段CD是m-双变换图形，C（-1，D（-4， ∴-6≤m＜-2或2＜m≤4． 故答案为：或5＜m≤5． ②解：如图2， 由题意知，满足条件的图形是平行四边形， ∴变换后所有图形G所覆盖的区域的面积． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 图形与坐标思维导图 【类型覆盖】 类型一、坐标系中的将军饮马 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)作出关于y轴对称的，并写出点的坐标； (2)求的面积； (3)若x轴上存在一点P，使得周长最短，周长最小值为__________，此时点P的坐标为__________． 【融会贯通】 1．勾股定理是一个基本的而且特别重要的几何定理，有着非常广泛的应用．聪明的一修利用勾股定理得出了平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式．即如图1，若平面直角坐标系中点的坐标为，点的坐标为，则． （1）在平面直角坐标系中，点和点，则线段的长是 ． 方法迁移： （2）如图2，在平面直角坐标系中，点和点，是轴正半轴上的一个动点，连，设，则 ①用含的代数式表示的长是 ； ②的长的最小值是 ． 拓展应用： （3）若，则的最小值是 ． 若，则的最小值是 ． 2．在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为个单位长度． (1)和关于轴轴对称，画出的图形； (2)判断的形状； (3)若点是轴上一动点，请直接写出周长的最小值． 3．如图，我们在“格点”直角坐标系上可以清楚看到：要求或的长度，显然是转化为求或的斜边长．下面以求为例来说明如何解决： 从坐标系中发现：，，所以，，所以由勾股定理可得，． 解决以下问题： (1)在图1中： ， ，所以 ； (2)在图2中，设，，试用，，，表示， ， ，所以 ； 由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式．请用此公式解决问题： (3)若在平面直角坐标系中的两点，，为轴上任一点，求的最小值； (4)应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值为 ．（直接写出答案） 类型二、坐标系中的三点共线 【解惑】如图所示，长方形中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为，C点的坐标为，点B在第一象限内．D为的中点． (1)写出点B的坐标__________． (2)P为边上的动点，当是腰长为5的等腰三角形时，求出点P的坐标． (3)在x轴上找一点Q，使最大，求点Q的坐标． 【融会贯通】 1．按要求完成作图： (1)作出关于轴对称的； (2)在轴上找出点，使最大，并直接写出点的坐标：______． 2．如图所示，在平面直角坐标系中的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位△ABC的三个顶点都在格点上． (1)在网格中画出向右平移5个单位，向上平移1个单位得到的； (2)在网格中画出关于x轴对称的； (3)在x轴上找一点P，使得的值最大，求出点P的坐标． 3．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，的三个顶点都在格点上，． (1)在网格中画出向下平移3个单位得到的，并写出三个顶点的坐标； (2)在网格中画出关于直线对称的，并写出三个顶点的坐标； (3)在直线上画一点，使得的值最大，直接写出点的坐标． 类型三、坐标系中的全等三角形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是．    (1)在图中作出关于y轴对称的； (2)在y轴上有一动点P，使的距离最小，直接写出P点的坐标． (3)如果要使以B、C、D为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点D坐标． 【融会贯通】 1．如图，平面直角坐标系中有点和轴上一动点，其中，以点为直角顶点在第二象限内作等腰直角，设点的坐标为． (1)当时，则______，______； (2)动点在运动的过程中，试判断的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由． (3)当时，在坐标平面内是否存在一点（不与点重合），使与全等？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，已知的三个顶点的坐标分别为：、、． (1)将沿轴翻折，画出翻折后的，点的对应点的坐标是 ． (2)关于轴对称的图形，直接写出点A2的坐标 ． (3)若与全等（点与点重合除外），请直接写出满足条件点的坐标． 3．如图，等腰直角中，，，现将该三角形放置在平面直角坐标系中： (1)若点B坐标为，点C坐标为，求点A的坐标； (2)若点B坐标为，点C坐标为，连接，若P为坐标平面内异于点A的点，且以O、P、C为顶点的三角形与全等，请求出满足条件的点P的坐标（用含m，n的式子表示）； (3)已知，，在x轴上是否存在点Q，使是以为腰的等腰三角形，直接写出点Q的坐标_____． 类型四、坐标系中的等腰三角形 【解惑】如图，由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格图中，点A、、都在格点上． (1)画出关于直线的轴对称图形； (2)在直线找到点（点为格点），使为等腰三角形； (3)在网格图中画出点（点为格点），使与全等． 【融会贯通】 1．如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为______；在平面直角坐标系中，画出与关于y轴对称的； (2)已知P为x轴上一点，若为等腰三角形，则点P有______个． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． (1)填空：__________，__________； (2)如果在第三象限内有一点，则的面积__________； (3)在（2）条件下， ①在y轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，请直接写出点P的坐标__________． ②在x轴上有一点N，使得是等腰三角形，请直接写出点N的坐标__________． 3．已知平面内两点，其两点之间的距离公式为，若点． (1)求A，B两点之间的距离； (2)判断的形状，说明理由； (3)已知点P在x轴上，且为等腰三角形，请直接写出所有点P的坐标． 类型五、坐标系中的等腰直角三角形 【解惑】(1)如图1，等腰直角中，，，线段经过点，过作于点，过作于，求证：． (2)如图2，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，点，若是以为腰的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标； (3)如图3，在中，，，点不与点重合是轴上一个动点，点是中点，连接，把绕着点顺时针旋转得到即，，连接、、，试猜想的度数，并给出证明． 【融会贯通】 1．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图1，，，过点作于点，过点作的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，点为平面内任一点，点的坐标为，若是以为斜边的等腰直角三角形，求点 A 的坐标． 【深入探究】 （3）如图3，，，，连接、，且于点F，与直线交于点，求证：点是的中点． 2．如图①所示，在平面直角坐标系中，若，且． (1)求A，B两点的坐标； (2)若以为直角边作等腰直角三角形，请直接写出所有可能的点C的坐标； (3)如图②，在（2）中，若点C为第三象限的点，且与y轴交于点N，与x轴交于点M，连接，过点C作交x轴于点P，求点C到的距离． 3．已知，在直角坐标系中，点A是x轴上的一点，且点A的坐标为． (1)如图1，点B的坐标为，以A点为顶点，为腰在第三象限作等腰直角三角形．求点C的坐标； (2)如图2，P是y轴负半轴上任意一点，点P的坐标为．以P为直角顶点，为腰作等腰直角三角形，且点D在第四象限，点D的纵坐标为n，请猜想m与n的等量关系并证明． 类型六、坐标系中的直角三角形 【解惑】综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，C为x轴正半轴上的一点，且， (1)求点C的坐标． (2)若点D在y轴上，且满足，求点D的坐标． (3)坐标轴上是否存在一点P，使得为直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在y轴正半轴上，且，点P从点B出发，沿线段方向，以每秒1个单位长度的速度做匀速运动，同时点Q从点A出发，沿射线方向，当P点到达A点时，点P，Q都停止运动．设运动时间为秒． (1)当点P运动1.5秒时，，求点Q运动的速度． (2)若点Q也以每秒1个单位长度的速度做匀速运动，当是直角三角形时，求点Q的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且，． (1)的长为______； (2)在轴上存在一点，使得最小，则的最小值为______； (3)在轴上是否存在一点，使是直角三角形？若存在，求出点坐标． 3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点）的顶点A，C在平面直角坐标系中的坐标分别为，．    (1)在如图所示的网格平面内画出平面直角坐标系； (2)平面直角坐标系中画出关于y轴对称的．（点A，B，C的对应点分别为点，，）； (3)的面积是 ． (4)在x轴上确定一个格点，使得为直角三角形，则满足条件的所有格点P的横坐标为 ． 类型七、坐标系中的等边三角形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，已知，两点分别在轴、轴正半轴上，且，满足关系式； (1)如图(1)，若点坐标为，连接、，求的面积； (2)如图(2)，是邻补角的平分线，的反方向延长线与的平分线交于点，求度数； (3)如图(3)，以为边长作为等边三角形，，，若点、点分别是线段、线段上的两个动点，且，与相交于点，在点、点运动过程中，请问的大小是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请证明并求出其值． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，直线过原点且经过第三、第一象限，与轴所夹锐角为．对于点和轴上的两点，，给出如下定义：记点关于直线的对称点为，若点的纵坐标为正数，且为等边三角形，则称点为，的点． (1)如图1，若点，，点为，的点，连接，． ①； ②求点的纵坐标； (2)已知点，． ①当时，点为，的点，且点的横坐标为，则； ②当时，点为，的点，且点的横坐标为，则___________________． 2．如图1，已知点，点为轴上一动点，连接，和都是等边三角形． (1)求证：； (2)如图2，当点恰好落在上时． ①求点的坐标； ②在轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标； ③如图3，点是线段上的动点（点，点除外），过点作于点，于点，当点运动时，的值是否发生变化？若不会变化，求出的值；若会变化，简要说明理由． 3．如图，平面直角坐标系中，中，，点，，点的横坐标为，是边上一动点，由向运动（与，不重合），是延长线上一点，与点同时以相同的速度由向延长线方向运动（不与重合），连接交于点，过作于点． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：是线段的中点； (3)在运动过程中线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 类型八、坐标系中的新定义 【解惑】在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“识别距离”，给出如下定义： 若，则点与点的“识别距离”为； 若，则点与点的“识别距离”为． 例如：对于点与点，因为，所以点与点的“识别距离”为4． 【初步理解】 （1）已知点，则点与点的“识别距离”为______． 【深入应用】 （2）已知点，点为轴上的一个动点， ①若点与点的“识别距离”为3，求出满足条件的点的坐标； ②点与点的“识别距离”的最小值为______． 【知识迁移】 （3）已知点，直接写出点与点“识别距离”的最小值及对应的点坐标． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，已知点． 对于点给出如下定义：先将点向右或向左平移个单位长度，再关于直线对称，得到点，则称点为点的“关联点” (1)如图1，点坐标为 ①当点坐标为时，则点的“关联点”的坐标为：_______； ②若点为点的“关联点”，则的坐标为_______； (2)如图2，点、，点与点关于轴对称．点在边上，点坐标为 ①画出点所有的“关联点”； ②这些关联点组成的图形形状是：_______． (3)如图3，点、、、，，点在正方形边上，点、，若线段上存在点的“关联点”，直接写出的取值范围． 2．在平面直角坐标系中，对于点和点（点的横、纵坐标相等），给出如下定义：为过点且与轴垂直的直线，为过点且与轴垂直的直线，先作点关于的对称点，再作点关于的对称点，则称点是点关于点的“关联点”． 例如：如图，点关于原点的“关联点”是． (1)①点关于点的关联点坐标为 ； (2)如果点是点关于点的“关联点”，那么 ； (3)点关于点的“关联点”为，如果是以为底的等腰三角形，求该三角形的面积； (4)点关于点的“关联点”为，如果以为边的等腰直角三角形只在第一象限内，直接写出的取值范围． 3．对于平面直角坐标系中的任意线段，给出如下定义：线段上各点到轴距离的最大值，叫做线段的“轴距”，记作．例如，如图1，点，，则线段的“轴距”为3，记作．将经过点且垂直于轴的直线记为直线． (1)已知点，， ①线段的“轴距”　　； ②线段关于直线的对称线段为，则线段的“轴距”　　； (2)已知点，，线段关于直线的对称线段为．若，求的值． 【一览众山小】 1．如图，将一块等腰直角三角尺按如图所示放置在平面直角坐标系中，已知直角顶点C的坐标为，点在第二象限，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，轴，若，则点C的坐标为（  ） A． B． C． D． 3．如图，点的坐标为，点为轴的负半轴上的一个动点，分别以，为直角边在第三、第四象限作等腰、等腰，连接交轴于点，当点在轴上移动时，则的长度为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，直线经过原点O，点C在y轴上，D为线段上的一点，若，，，，则长度的最小值是 ． 5．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，将沿直线折叠，使得点A落在点D处，与交于点E，则 ． 6．如图，在平面直角坐标系中，，连接，过点作．若轴上的一点，连接，当点在轴上移动时，的最小值为 ． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知、分别为轴和轴上一点，且，满足，过点作于点，延长至点，使得，连接、．    (1)点的坐标为______，的度数为______； (2)如图1，若点在第一象限，试判断与的数量关系与位置关系，并说明理由； (3)如图2，若点的坐标为，连接，平分，与交于点． ①求点的坐标； ②试判断与的数量关系，并说明理由． 8．在平面直角坐标系中，直线l为过点且与x轴垂直的直线．对某图形上的点，当时，作出点P关于直线l的对称点，称为变换；当时，称为变换．若某个图形上既有点作了变换，又作了变换，我们就称该图形为双变换图形． 例如，已知，如图1所示，点A应作变换的坐标是；点B作变换的坐标是． 请解决下面的问题： (1)当时， ①已知点P的坐标是，则点P作相应变换后的点的坐标是　 ； ②若点作相应变换后的点的坐标为，求点P的坐标； (2)已知点， ①若线段是双变换图形，则m的取值范围是　 ； ②已知点在第一象限，若及其内部（点E除外），且变换后所得图形记为G，直接写出所有图形G所覆盖的区域的面积． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$