专题06 图形的初步认识（中等类型）-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版2024新教材）

专题06 图形的初步认识思维导图 【类型覆盖】 类型一、平面图形旋转后所得的立体图形 【解惑】如图，把图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点、线、面、体，根据面动成体的原理以及空间想象力可直接选出答案． 【详解】解：观察如图，几何体可能是：空心的圆柱体． 故选：D． 【融会贯通】 1．如图所示的图形绕虚线旋转一周，所形成的几何体是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点、线、面、体，根据面动成体并结合图形即可得解，熟练掌握立体图形的特征是解此题的关键． 【详解】 解：如图所示的图形绕虚线旋转一周，所形成的几何体是， 故选：D． 2．如图，正方形的边长为，以所在的直线为轴，将正方形旋转一周，所得几何体的体积是 ．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了平面图形旋转后的立体图形，求体积；正方形绕所在的直线为轴，将正方形旋转一周，所得几何体是圆柱，底面半径与高均为，根据圆柱的体积公式计算即可． 【详解】解：由题意知，旋转后的几何体是圆柱，底面半径与高均为， 则圆柱的体积为：； 故答案为：． 3．把直角三角形，绕边旋转一周，得到的立体图形是 ，它的体积是 立方厘米． 【答案】 圆锥 【分析】本题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，以它的一条直角边为轴旋转一周得到一个以旋转边为高，另一直角边为底面半径的圆锥；根据圆锥的体积公式：，把数据代入公式解答 【详解】解：根据题意：把直角三角形，绕边旋转一周，得到的立体图形是圆锥， 它的体积为： （立方厘米） 故答案为：圆锥，． 类型二、两点间的距离 【解惑】点在直线上，若，则为（    ） A．或 B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】分两种情况：当点C在线段的右侧时；当点C在线段的左侧时；然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况： 当点C在点B的右侧时，如图：    ∵， ∴； 当点C在点A的左侧时，如图：    ∵， ∴； 综上所述：为或， 故选：A． 【点睛】本题考查了两点间的距离，分两种情况讨论是解题的关键． 【融会贯通】 1．是同一直线上的三点，如果线段，，那么两点之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】分类讨论，确定点的位置即可求解． 【详解】解：如图所示，，，    ∴； 如图所示，，，    ∴； 综上所述，两点之间的距离是或， 故选：． 【点睛】本题主要考查线段的和差，掌握两点之间距离的计算方法是解题的关键． 2．已知：A、B、C三个点在同一直线上，若线段，，则线段 ． 【答案】12或6 【分析】根据题意画出图形，分类讨论：①点C在之间，②点C在右边进行求解即可． 【详解】解：如图，点C在之间， 则； 如图，点C在右边， 则， 故答案为：12或6． 3．已知线段a，b的长分别为，如果在射线OP上截取，那么线段的长度为 cm． 【答案】10或2/2或10 【分析】分两种情况，根据线段的和差，可得答案． 【详解】解：当C在线段上，， 当C在线段的延长线上，， 故答案为：10或2． 【点睛】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． 类型三、线段的和与差 【解惑】已知线段，，．小明利用尺规作图画出线段，则线段（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要查了尺规作图—作一条线段等于已知线段．根据作图可得，即可求解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：C 【融会贯通】 1．如图所示，在同一条直线上，点是线段的中点，点是线段上一点，则下列数量关系不一定成立的是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查两点间的距离，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据图形和题意可以分别判断各个选项是否正确，判断出正确的选项． 【详解】解：点是线段的中点， ，故选项不符合题意； 是线段上一点， 不一定等于，故选项符合题意， 由图形知，故选项不符合题意， ，故选项不符合题意， 故选：． 2．线段上有，两点，，，，那么 ． 【答案】2或22 【分析】本题主要考查了线段的和与差，正确理清线段之间的关系是解题的关键． 根据题意分点Q在线段上和点Q在线段上两种情况讨论，然后分别根据线段的和差就即可． 【详解】解：本题有两种情形： （1）当点Q在线段上时，如图， ∵，，， ∴ ∴； （2）当点Q在线段上时，如图， ∵，，， ∴． 综上所述，或22． 故答案为：2或22． 3．如图线段，要求尺规作图，在直线上找一点，作，则_______． 【答案】图形见解析，或 【分析】本题主要考查线段和尺规作图，分两种情况：点位于点的左侧和点位于点的右侧． 【详解】分两种情况：点位于点的左侧和点位于点的右侧，如图所示． 点位于点的左侧时，． 点位于点的右侧时，． 故答案为：或 类型四、线段的数量关系 【解惑】已知线段，点为直线上一点，且，点为线段的中点，则线段的长为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是线段的和与差、含中点线段之间的数量关系，解题关键是利用线段比例得出、的长． 根据题意画出图形，再分点在线段上或线段的延长线上两种情况进行讨论． 【详解】解：①当点在线段上时，如下图： ，， ，， 点是线段的中点， ， ； ②当点在线段外时，如下图： ，， ，， 点是线段的中点， ， ； 综上所述，或． 故选：． 【融会贯通】 1．已知线段，在的延长线上取一点，使，再在的延长线上取一点，使，则线段与线段的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的画图和有关计算，属于基础题型，解题的关键是根据题意画出图形，得出相关线段之间的关系． 【详解】解：依据题意画出下图：    由图可知：， ，， ， 即． 故选：D． 2．如果点在线段上，下列式子：①，②，③，④．能判断是线段的中点的有 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了线段的中点，以及线段的和差运算等内容，要注意“点在线段”这个前提，据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵点在线段上， ∴， ∴是线段的中点 故①正确； ∵点在线段上， ∴是线段的中点 故②正确； ∵，点在线段上， ∴ 即 ∴是线段的中点 故③正确； ∵点在线段上， ∴ 但不能知道这两条线段是不是相等的， 故④是错误的 故答案为：①②③ 3．如图，点、是线段上两点，、分别是线段、的中点，给出下列结论：①若，则；②；则；③；其中正确的有 （请填写序号） 【答案】①②③ 【分析】由可得，再由线段的中点，即可判断①；可得，再由线段的中点 可判断②；由结合线段的中点可判断③． 【详解】解：， ， 是线段的中点， ， ， ， ， 即， 故①正确； ， ， ， M、N分别是线段、的中点， ， ， ， 故②正确； M、N分别是线段、的中点， ， ， ， ， 故③正确； 故答案：①②③． 【点睛】本题考查了线段的中点定义，线段的和差；能根据所求线段或等式用线段和差表示，并由线段中点进行等量转换是解题的关键． 类型五、钟面角 【解惑】钟表上显示8时45分时，时针与分针所夹的角度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了钟面角，根据钟面被分成12大格，每大格，分针每分钟转，时针每分钟转度，计算即可得出答案． 【详解】解：钟表上显示8时45分时，时针与分针所夹的角度是， 故选：D． 【融会贯通】 1．从2时整到3时35分，时针转过的角度是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查钟表分针所转过的角度计算．因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是，从2点到3时35分，时针转过了份，再计算度数． 【详解】解：∵从2点到3时35（分），时针转过了大格， ∴转过的角度是． 故选：C． 2．每天上午9点30分“阳光大课间”都会如约而至，此时时针与分针所夹的角为 °． 【答案】105 【分析】本题考查了钟面角的有关知识，解题关键是得出钟表上从1到12一共有12格，每个大格．根据时钟9时30分时，时针在9与10中间位置，分针在6上，可以得出分针与时针的夹角是3.5大格，每一格之间的夹角为，可得出结果． 【详解】解：∵钟表上从1到12一共有12格，每个大格， ∴时钟9时30分时，时针在9与10中间位置，分针在6上，可以得出分针与时针的夹角是3.5大格， ∴分针与时针的夹角是． 故答案为105． 3．自习课上，一名同学抬头看见挂在黑板上方的时钟显示为，此时时针与分针的夹角是 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查钟面角，理解钟面角为把圆分成12等分是解题的关键，根据题意当时钟显示为，时针与分针的夹角由两部分组成，分别是之间的两格和之间的半格，求出它们的度数即可得到答案． 【详解】解：如图， ∴时针与分针的夹角为. 类型六、角的比较 【解惑】如图，，则与的大小关系是（    ）    A． B． C． D．与无法比较大小 【答案】C 【分析】先根据得出，故可得出结论． 【详解】解：， ，即． 故选：C． 【点睛】本题考查的是角的大小比较，熟知角比较大小的法则是解答此题的关键． 【融会贯通】 1．若，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】先把化为，再与比较大小即可． 【详解】解：∵，而， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查的是角的单位换算，角的大小比较，熟记角的60进位制是解本题的关键． 2．比较图中的大小：因为和是公共边， 在的内部，所以 ．（填“＞”，“＜”或“＝”） 【答案】 ＜ 【分析】本题考查了角的大小比较．根据两角不重合的边的位置，判断得结论． 【详解】解：因为和是公共边，在的内部，所以． 故答案为：；＜． 3．如图，网格为正方形网格，则 ．    【答案】/大于 【分析】依据图形即可得到，，进而得出两个角的大小关系． 【详解】解：由图可知：，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角的比较，掌握比较角的大小方法是解答此题的关键． 类型七、三角板中的角度计算 【解惑】将含有角的三角板和直尺按如图方式叠放在一起，若，则度数（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件可得，再根据即可求解． 【详解】解：如图所示，    ∵， ， ∵， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解答此题的关键． 【融会贯通】 1．将一副三角板按如图的方式摆放，则图中不存在的角度是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，由三角板可知，，，，然后根据角的和求出，，进而得到答案． 【详解】解：如图，由三角板可知，，，， ∴，， ∴图中不存在的角度是， 故选：D．    【点睛】本题考查了角的计算，熟知三角板中各角的度数是解题的关键． 2．如图，将一副直角三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点，那么 度． 【答案】180 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，根据题意可得，根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：180． 3．将一副三角板按如图所示的方式放置，则的度数为    【答案】/135度 【分析】本题考查有关三角板中角度的计算．根据一幅三角板中各角的度数计算即可． 【详解】由图可得，． 故答案为： 类型八、尺规作线段 【解惑】如图，点C是线段外一点，用没有刻度直尺和圆规画图： (1)画射线； (2)画直线； (3)延长线段到E，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查画出直线、射线、线段，理解相关定义是解答的关键． （1）根据射线定义画图即可； （2）根据直线定义画图即可； （3）根据线段定义画出线段，再利用圆规截取，即可求解． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求作： （2）解：如图，直线即为所求： （3）解：如图，点E即为所求作： 【融会贯通】 1．如下图，用圆规和直尺作线段AB，使（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】画图见解析 【分析】本题考查尺规作图作线段．熟练掌握作线段等于已知线段的方法，是解题的关键． 以为端点，作射线，以为端点，在射线截取线段，再以为端点，在射线截取线段，则：线段，即为所求． 【详解】解：如图所示，线段AB即为所求． 2．如图，已知平面上两条线段，及一点，请利用尺规按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）： (1)画射线，延长线段交线段于点； (2)连接，并用圆规在线段上求一点，使； (3)在直线上求作一点，使点到，两点的距离之和最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了画延长线，画射线，尺规作图—作线段，两点之间线段最短等等，熟知相关画图方法是解题的关键． （1）根据射线和延长线的画法画图即可； （2）以点B为圆心，的长为半径画弧，交线段于F，点F即为所求； （3）连接交于Q，点Q即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，射线和点E即为所求； （2）解：如图所示，点F即为所求； 以点B为圆心，的长为半径画弧，交线段于F，点F即为所求； （3）解：如图所示，点Q即为所求； 连接交于Q，根据两点之间线段最短可知，点到，两点的距离之和最小． 3．尺规作图，已知：线段，，求作：（保留作图痕迹，不写作法）．    【答案】作图见解析 【分析】作射线，以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点C，再以点C为圆心，线段b的长为半径画弧，交线段于点D，最后以点D为圆心，线段b的长为半径画弧，交线段于点B，则线段即为所求． 【详解】解：如图，AB即为所求．    【点睛】本题考查作图-基本作图，熟练掌握作一条线段等于已知线段的作图方法是解答本题的关键． 类型九、画出直线、射线、线段 【解惑】如图，点 是同一平面内的三个点，请完成下列问题： ①画线段； ②画射线； ③度量：线段的长度约为 （精确到 ） 【答案】图见解析， 【分析】按要求作图，量出线段的长，即可求解； 本题考查了射线和线段的定义以及作图，掌握方程的解题步骤，理解线段和射线的定义是解题的关键． 【详解】解：①线段如图所示， ②射线如图所示， ③度量：的长度为：， 故答案为：． 【融会贯通】 1．如图，平面上有四个点A，B，C，D．根据下列语句画图． (1)画直线． (2)画射线交直线于点O． (3)连接，并延长至点E，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查线段、射线、直线等知识． （1）根据直线定义即可画直线． （2）根据射线定义即可画射线交直线于点O． （3）根据线段定义即可连接，并延长至点E，使． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，射线和点O即为所求； （3）解：如图，线段，即为所求． 2．如图，平面上有四个点A、B、C、D，根据下列语句画图． (1)画直线、直线交于点； (2)画线段、线段交于点； (3)作射线． 【答案】(1)图形见解析 (2)图形见解析 (3)图形见解析 【分析】本题主要考查题作图的知识，需要熟悉直线、射线、线段的概念，并熟练使用基本工具． （1）连接AB、CD并向两方无限延长即可得到直线AB、CD的交点F； （2）连接AC、BD可得线段AC、BD，交点处标点F； （3）连接BC，并且以B为端点向BC方向延长． 【详解】（1）解：见下图：直线、直线即为所求； （2）见下图：线段、线段即为所求； （3）见下图：射线即为所求． 3．如图，在平面内有A、B、C三点． (1)画直线AB，射线AC，线段BC； (2)在线段BC上任取一点D（不同于B、C），连接AD，并延长AD至点E，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了画直线、射线和线段． （1）根据直线、射线、线段的画法即可得； （2）先在线段上任取一点（不同于），再连接，利用直尺延长至点，使得即可． 【详解】（1）解：如图，直线，射线，线段即为所求． （2）解：如图，线段即为所求． 类型十、角度的四则运算 【解惑】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了度、分、秒的换算，是角度计算中的一个难点，注意以60为进制即可． （1）先计算乘法，再计算减法即可； （2）先计算除法和括号内的减法，再计算减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【融会贯通】 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此类题是进行度、分、秒的混合运算，是角度计算中的一个难点，注意以60为进制即可． （1）进行度、分、秒的加减混合运算即可； （2）先进行度、分、秒的乘法计算，再算减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． （1）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度； （2）两个度数相减时，应先算最后一位，后面的位上的数不够减是向前一位借数，，； （3）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度； （4）两个度数相减时，应先算最后一位，后面的位上的数不够减是向前一位借数，，． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．计算： (1)； (2) (3)； (4)． (5) (6) (7) (8)； 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【分析】（1）把度、分分别相加，再满60进1即可求解； （2）把度、分分别相减即可求解； （3）把度、分、秒分别相减即可求解； （4）把度、分、秒分别相加，再满60进1即可求解； （5）先将括号里的度、分分别相加，满60进1，再计算括号外面的即可求解； （6）将度、分、秒分别除以2即可求解， （7）把度、分、秒分别相减即可求解； （8）把度、分、秒分别乘以4，再满60进1即可求解； 【详解】（1） ； （2） ； （3）； （4） ； （5）原式 ； （6）原式 ； （7）原式 ； （8）原式 ． 【点睛】本题考查度、分、秒之间的转换关系，解题的关键是熟练掌握它们之间的换算． 【一览众山小】 1．关于下列几何体的平面展开图说法不正确的是（   ） A．①是圆柱的平面展开图 B．②是圆柱的平面展开图 C．③是圆锥的平面展开图 D．④是圆锥的侧面展开图 【答案】A 【分析】本题考查几何体的展开图，熟练掌握常见几何体的展开图，是解题的关键．根据展开图判断几何体即可． 【详解】解：观察图形可知，①③④均为圆锥的展开图，②为圆柱体的展开图； 故只有A选项说法错误； 故选A． 2．如图所示的是由两个大小不一的圆柱组成的几何体，其从正面看得到的形状图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，运用空间想象能力观察是关键． 根据从正面看到的图形求解即可． 【详解】 解：从正面看得到的形状图是． 故选：A． 3．下列图形中，属于平面图形的是（   ） A．长方体 B．圆锥体 C．圆柱 D．圆 【答案】D 【分析】本题考查了认识平面图形，根据平面图形和立体图形的定义对各选项分析判断即可得解，熟练掌握平面图形和立体图形的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、长方体是立体图形，故不符合题意； B、圆锥体是立体图形，故不符合题意； C、圆柱是立体图形，故不符合题意； D、圆是平面图形，故符合题意； 故选：D． 4．如图已知，若想求得图中所有线段长度和，只需知道图中的线段 ；此时所有线段长度和为 （用第一空线段表示）． 【答案】 的长度 【分析】本题考查的是两点间的距离，数值各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键，找出图中以A、B、C、D、E这5个点为端点的所有线段，求出所有线段的和即可． 【详解】解：∵， ∴以A、B、C、D、E这5个点为端点的所有线段的和为： ， ∴若想求得图中所有线段长度和，只需知道图中的线段的长度；此时所有线段长度和为． 故答案为：的长度；． 5．在下列现象中，体现了数学原理“两点确定一条直线”的是 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了直线的性质，根据直线的性质，逐一判断即可解答． 【详解】解：①平板弹墨线，体现了基本事实“两点确定一条直线”； ②建筑工人砌墙，体现了基本事实“两点确定一条直线”； ③会场摆直茶杯，体现了基本事实“两点确定一条直线”； ④弯河道改直，体现了基本事实“两点之间线段最短”； 所以，在上列现象中，体现了基本事实“两点确定一条直线”的有①②③， 故答案为：①②③． 6．如图，在不添加字母的情况下，可以用字母表示出来的不同线段和射线，有 条线段， 条射线． 【答案】 6 6 【分析】本题主要考查了直线、射线、线段的知识点，准确分析判断是解题的关键．根据射线、线段的表示方法解答即可． 【详解】线段：共计6条； 射线：共计6条； 故答案为：6，6． 7．小明学习了“面动成体”之后，他用一个边长分别为，和的直角三角形，绕不同的边所在的直线旋转一周，得到了如图所示的几何体．    (1)绕的边所在的直线旋转一周，可以得到图______；绕的边所在的直线旋转一周，可以得到图______；绕的边所在的直线旋转一周，可以得到图______；（请填写序号） (2)请计算图①和图②中几何体的体积．（结果保留，圆锥体积底面积高） 【答案】(1)①，②，③ (2)题图①中几何体的体积为；题图②中几何体的体积为． 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握三角形旋转得到圆锥，是解题关键． （1）根据三角形旋转是圆锥，可得几何体； （2）根据圆锥的体积公式计算可得答案． 【详解】（1）解：绕的边所在的直线旋转一周，可以得到图①；绕的边所在的直线旋转一周，可以得到图②；绕的边所在的直线旋转一周③， 故答案为：①，②，③ （2）解：题图①中几何体的体积为：； 题图②中几何体的体积为：． 8．【新知理解】 点在线段上，若或，则称点是线段的“优点”，线段，称作互为“优点”伴侣线段． 例如，图1，线段的长度为6，点在上，的长度为2，则点是线段的其中一个“优点”． （1）若点为图1中线段的“优点”，且，则__________； （2）若点也是图1中线段的“优点”（不同于点），则_______（填“”“ ”或“”） 【解决问题】 如图2，数轴上有，两点，其中点表示的数为1，点表示的数为4； （3）若点在点的左侧，且，均为线段的“优点”，则线段的长为____________； （4）若点在线段的延长线上，且线段与互为“优点”伴侣线段，则点表示的数为___________． 【答案】（1）9；（2）；（3）；（4）或10 【分析】本题主要查了线段的和与差： （1）根据“优点”的定义解答，即可求解； （2）根据“优点”的定义解答，即可求解； （3）根据“优点”的定义可得，即可求解； （4）根据题意可得，再由“优点”伴侣线段的定义解答，即可求解． 【详解】解：（1）∵点为图1中线段的“优点”，且， ∴， ∴； 故答案为：9 （2）∵点也是图1中线段的“优点”（不同于点）， ∴， ∴， ∴； 故答案为： （3）∵点表示的数为4， ∴， ∵点在点的左侧，且，均为线段的“优点”， ∴， ∴； 故答案为： （4）∵点表示的数为1，点表示的数为4， ∴， ∵线段与互为“优点”伴侣线段， 当时，， ∴点G表示的数为， 当时，， ∴点G表示的数为10， 综上，点G表示的数为或10． 故答案为：或10 9．综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： （1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数、面数和棱数，填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 12 30 通过填表发现：顶点数、面数和棱数之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学家欧拉（，1707-1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： （2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱； （3）已知一个多面体有16个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 【答案】（1）填表见解析，；（2）五；（3）10 【分析】本题考查了多面体与棱柱的认识，点线面体的相关概念，掌握图形中各量之间的关系是解题的关键． （1）通过观察，发现棱数顶点数面数； （2）根据棱柱的定义进行解答即可； （3）由（1）得出的规律进行解答即可． 【详解】解：（1）填表如下： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 顶点数、面数和棱数之间的数量关系是， 故答案为：； （2）一个棱柱只有七个面，必有2个底面， 有个侧面， 这个棱柱是五棱柱， 故答案为：五； （3）由题意得：棱的总条数为（条）， 由可得， 解得：， 故该多面体的面数为10． 10．如图，在数轴上，三个有理数从左到右依次是：，，． (1)利用刻度尺或圆规，在图①数轴上画出原点；                  图① (2)在图②数轴上分别画出表示数和的点，并且比较与的大小．（画图时可作适当的文字说明）                 图② 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，． 【分析】本题考查了整式的加减，数轴等知识点，能正确在数轴上表示出各个数是解此题的关键． （1）以所在点为原点，到的距离为半径即可在数轴上画出原点； （2）利用尺规作图作出表示的点和表示的点，现根据点和点在数轴上的位置即可比较与的大小． 【详解】（1）解：∵， ∴，表示的点之间为1个单位长度，先用刻度尺或圆规量出，两点间的距离，再从右侧画出距离1个单位长度的点，这个点就是原点；如图所示： ； （2）解：如图，∵，， ∴作，，则点表示， 作，则点表示， ∴． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 图形的初步认识思维导图 【类型覆盖】 类型一、平面图形旋转后所得的立体图形 【解惑】如图，把图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图所示的图形绕虚线旋转一周，所形成的几何体是（　　） A． B． C． D． 2．如图，正方形的边长为，以所在的直线为轴，将正方形旋转一周，所得几何体的体积是 ．（用含的式子表示） 3．把直角三角形，绕边旋转一周，得到的立体图形是 ，它的体积是 立方厘米． 类型二、两点间的距离 【解惑】点在直线上，若，则为（    ） A．或 B． C． D．无法确定 【融会贯通】 1．是同一直线上的三点，如果线段，，那么两点之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．不能确定 2．已知：A、B、C三个点在同一直线上，若线段，，则线段 ． 3．已知线段a，b的长分别为，如果在射线OP上截取，那么线段的长度为 cm． 类型三、线段的和与差 【解惑】已知线段，，．小明利用尺规作图画出线段，则线段（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图所示，在同一条直线上，点是线段的中点，点是线段上一点，则下列数量关系不一定成立的是（    ）．    A． B． C． D． 2．线段上有，两点，，，，那么 ． 3．如图线段，要求尺规作图，在直线上找一点，作，则_______． 类型四、线段的数量关系 【解惑】已知线段，点为直线上一点，且，点为线段的中点，则线段的长为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【融会贯通】 1．已知线段，在的延长线上取一点，使，再在的延长线上取一点，使，则线段与线段的数量关系是（    ） A． B． C． D． 2．如果点在线段上，下列式子：①，②，③，④．能判断是线段的中点的有 ． 3．如图，点、是线段上两点，、分别是线段、的中点，给出下列结论：①若，则；②；则；③；其中正确的有 （请填写序号） 类型五、钟面角 【解惑】钟表上显示8时45分时，时针与分针所夹的角度是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．从2时整到3时35分，时针转过的角度是（　　） A． B． C． D． 2．每天上午9点30分“阳光大课间”都会如约而至，此时时针与分针所夹的角为 °． 3．自习课上，一名同学抬头看见挂在黑板上方的时钟显示为，此时时针与分针的夹角是 ． 类型六、角的比较 【解惑】如图，，则与的大小关系是（    ）    A． B． C． D．与无法比较大小 【融会贯通】 1．若，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法判断 2．比较图中的大小：因为和是公共边， 在的内部，所以 ．（填“＞”，“＜”或“＝”） 3．如图，网格为正方形网格，则 ．    类型七、三角板中的角度计算 【解惑】将含有角的三角板和直尺按如图方式叠放在一起，若，则度数（   ）    A． B． C． D． 【融会贯通】 1．将一副三角板按如图的方式摆放，则图中不存在的角度是（    ）    A． B． C． D． 2．如图，将一副直角三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点，那么 度． 3．将一副三角板按如图所示的方式放置，则的度数为    类型八、尺规作线段 【解惑】如图，点C是线段外一点，用没有刻度直尺和圆规画图： (1)画射线； (2)画直线； (3)延长线段到E，使． 【融会贯通】 1．如下图，用圆规和直尺作线段AB，使（不写作法，保留作图痕迹）． 2．如图，已知平面上两条线段，及一点，请利用尺规按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）： (1)画射线，延长线段交线段于点； (2)连接，并用圆规在线段上求一点，使； (3)在直线上求作一点，使点到，两点的距离之和最小． 3．尺规作图，已知：线段，，求作：（保留作图痕迹，不写作法）．    类型九、画出直线、射线、线段 【解惑】如图，点 是同一平面内的三个点，请完成下列问题： ①画线段； ②画射线； ③度量：线段的长度约为 （精确到 ） 【融会贯通】 1．如图，平面上有四个点A，B，C，D．根据下列语句画图． (1)画直线． (2)画射线交直线于点O． (3)连接，并延长至点E，使． 2．如图，平面上有四个点A、B、C、D，根据下列语句画图． (1)画直线、直线交于点； (2)画线段、线段交于点； (3)作射线． 3．如图，在平面内有A、B、C三点． (1)画直线AB，射线AC，线段BC； (2)在线段BC上任取一点D（不同于B、C），连接AD，并延长AD至点E，使． 类型十、角度的四则运算 【解惑】计算： (1)； (2)． 【融会贯通】 1．计算： (1)； (2)． 2．计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 3．计算： (1)； (2) (3)； (4)． (5) (6) (7) (8)； 【一览众山小】 1．关于下列几何体的平面展开图说法不正确的是（   ） A．①是圆柱的平面展开图 B．②是圆柱的平面展开图 C．③是圆锥的平面展开图 D．④是圆锥的侧面展开图 2．如图所示的是由两个大小不一的圆柱组成的几何体，其从正面看得到的形状图是（   ） A． B． C． D． 3．下列图形中，属于平面图形的是（   ） A．长方体 B．圆锥体 C．圆柱 D．圆 4．如图已知，若想求得图中所有线段长度和，只需知道图中的线段 ；此时所有线段长度和为 （用第一空线段表示）． 5．在下列现象中，体现了数学原理“两点确定一条直线”的是 （填序号）． 6．如图，在不添加字母的情况下，可以用字母表示出来的不同线段和射线，有 条线段， 条射线． 7．小明学习了“面动成体”之后，他用一个边长分别为，和的直角三角形，绕不同的边所在的直线旋转一周，得到了如图所示的几何体．    (1)绕的边所在的直线旋转一周，可以得到图______；绕的边所在的直线旋转一周，可以得到图______；绕的边所在的直线旋转一周，可以得到图______；（请填写序号） (2)请计算图①和图②中几何体的体积．（结果保留，圆锥体积底面积高） 8．【新知理解】 点在线段上，若或，则称点是线段的“优点”，线段，称作互为“优点”伴侣线段． 例如，图1，线段的长度为6，点在上，的长度为2，则点是线段的其中一个“优点”． （1）若点为图1中线段的“优点”，且，则__________； （2）若点也是图1中线段的“优点”（不同于点），则_______（填“”“ ”或“”） 【解决问题】 如图2，数轴上有，两点，其中点表示的数为1，点表示的数为4； （3）若点在点的左侧，且，均为线段的“优点”，则线段的长为____________； （4）若点在线段的延长线上，且线段与互为“优点”伴侣线段，则点表示的数为___________． 9．综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： （1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数、面数和棱数，填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 12 30 通过填表发现：顶点数、面数和棱数之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学家欧拉（，1707-1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： （2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱； （3）已知一个多面体有16个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 10．如图，在数轴上，三个有理数从左到右依次是：，，． (1)利用刻度尺或圆规，在图①数轴上画出原点；                  图① (2)在图②数轴上分别画出表示数和的点，并且比较与的大小．（画图时可作适当的文字说明）                 图② 6 学科网（北京）股份有限公司 $$