专题06 图形的初步认识（优质类型）-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版2024新教材）

专题06 图形的初步认识思维导图 【类型覆盖】 类型一、七巧板问题 【解惑】七巧板被西方人称为“东方魔板”．如图的两幅图是由同一副七巧板拼成的．已知七巧板拼成的正方形的边长为，则“一帆风顺”图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先确定阴影部分的三角形在七巧板中所属的部分，再根据这个三角形与正方形边长的关系求出这个三角形的边长，便可以根据三角形的面积公式进行解答． 【详解】由图可知“一帆风顺”图中阴影部分是正方形右下角的等腰直角三角形， 这个等腰直角三角形的直角边的长度是正方形边长的一半，即为， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查图形的认识与面积的计算，解题的关键是寻找到阴影部分在图形中所属的部分，并熟悉等腰直角三角形的性质及三角形的面积公式． 【融会贯通】 1．若用如图①这样一副七巧板，拼成图②的图案，若七巧板面积为，则图②中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设①中小正方形的边长为，由已知条件可得，用表示出②中阴影部分的面积，即可求出面积的值． 【详解】解：设①中小正方形的边长为， 则大正方形的面积为， ， ②中阴影部分的面积为． 故选：． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积，解答本题的关键是用一个字母来表示面积． 2．如图所示的七巧板起源于我国先秦时期，由古算书《周髀算经》中关于正方形的分割术，经过历代演变而成，19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”）．图2是由边长为2的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的“叶问蹬”图，则图中拍起的“腿”（即阴影部分）的面积为 ．    【答案】/ 【分析】根据七巧板中各部分面积的关系可得小三角形的面积为大正方形的，平行四边形的面积以为小三角形的面积的2倍，即可求解． 【详解】∵图2是由边长为的正方形分割制作的七巧板拼摆成的， ∴大正方形面积， 由图形可知，阴影部分面积为小三角形的面积与平行四边形的面积之和，即 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了七巧板，正方形和等腰直角三角形的性质，熟练掌握七巧板中各部分面积之间的关系是解题的关键． 3．七巧板被西方人称为“东方魔术”，如图所示的两幅图是由同一个七巧板拼成的．已知七巧板拼成的大正方形（如图）的边长为，若图2的“小狐狸”图案中阴影部分面积记为．则 ．    【答案】 【分析】利用七巧板的各边之间的关系即可求出，，，的长，观察图形即可求出阴影部分面积． 【详解】由图可知“小狐狸”图案中阴影部分面积为图形①②③④的面积和，    ∵正方形的边长为， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了七巧板的知识，熟练掌握七巧板各边的关系是解题的关键． 类型二、线段的中点问题 【解惑】如图，线段，点为线段上的一点，点，分别为线段，的中点．则线段的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要查了线段中点的定义．根据线段中点的性质，可得根据线段的和差，可得的长． 【详解】解：∵点，分别为线段，的中点． ∴， ∴． 故选：B 【融会贯通】 1．已知点是线段的中点，点是线段的三等分点．若线段，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查线段的和差，根据题意作图，分情况讨论，由线段之间的关系求解即可得到答案； 【详解】解：如图， ∵点C是线段的中点，， ∴， ①当时，， ∴； ②当时，， ∴； 故选：C． 2．如图所示，若C为线段的中点，D在线段上，，则的长度是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了两点间的距离．利用中点性质转化线段之间的长短关系是解题的关键．由已知条件知， ，由即可求得结果． 【详解】∵线段，线段， ∴， ∵C为线段的中点， ∴， ∴． 故答案为：1． 3．如下图所示，点P在线段上，，M为的中点，N为的中点．求的长． 【答案】 【分析】本题考查的是线段的和差关系、线段中点的含义等知识点，利用线段的中点与和差关系求解线段的长度是解题的关键． 由线段的中点的定义可得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：由题意，得． 所以． 类型三、几何图形中的角度计算问题 【解惑】如图，已知，若，则的度数为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的和差，弄清楚角之间的关系成为解题的关键. 先求得,然后即可解答. 【详解】解：∵，， ∴， ∴. 故选B. 【融会贯通】 1．如图，，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角度的计算，根据题意得出是解题关键． 【详解】解：∵， ∴ ∵ ∴ 即： ∴ 故选：B． 2．已知：将一副三角板如图1摆放，，，平分，平分． （1）将图1中的三角板绕点O旋转到图2的位置，则的度数是 ． （2）将图1中的三角板绕点O旋转到图3的位置，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的计算，几何图形中角的计算． （1）由角平分线分别表示出和，则，将式子变形为，代入数值计算即可； （2）同（1）由角平分线分别表示出和，则，将式子变形为，代入数值计算即可． 【详解】（1）∵平分，平分， ∴，， ∴， ， 故答案为：； （2）∵平分，平分， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 3．如图（a），将两块直角三角尺的直角顶点  叠放在一起． (1)若，_______；若，则______ (2)猜想与的大小有何关系： ； (3)如图（b），若是两个同样的三角尺锐角的顶点  重合在一起，则与的大小有何关系： ； (4)已知（都是锐角），如图（c），若把它们的顶点  重合在一起，则与的大小有何关系．请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3) (4)，理由见解析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算： （1）先求出，进而求出；先求出，进而可得； （2）先求出，再求出，据此可得结论； （3）仿照（2）求解即可； （4）根据可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； ∵，，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：；； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由题意得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； （4）解：，理由如下： ∵， ∴． 类型四、角平分线的计算 【解惑】如图，是平角，，分别是的平分线，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平角的定义，角平分线的性质，求一个角度数可以看成两个或者多个角度的和求解是解题的关键 ．、分别是、的平分线，结合，可得，再由平角的定义即可求得的度数． 【详解】解：、分别是、的平分线，，, , , ． 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，是的平分线，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的计算，根据角平分线的定义得到是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴是的平分线， 又∵是的平分线， ∴， ∴， 故选：D 2．如图，点O在直线上，平分，，，则 ． 【答案】/20度 【分析】本题主要考查了几何图中的角度计算，设，则，由角的和差关系可得出，再根据角平分线的定义可得出，再根据平角的定义可得出，解关于的一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．已知射线在的内部，射线平分，射线平分． (1)如图①，，则_________； (2)如图②，若，射线在的内部绕点O旋转，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了几何图形中角度计算，角平分线的意义，掌握角度的计算是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，根据即可求解； （2）同理（1）即可求得． 【详解】（1）解： 平分，平分， ， ， ， ， ； （2）解：同理（1）得：， ， ． 类型五、线段n等分点的计算 【解惑】如图，线段AB上有两点M，N，点M将线段AB分成两部分，点N将线段AB分成两部分，且MN＝8，求线段AM，NB的长分别是多少？ 【答案】线段，的长分别是8，4 【分析】点将分成两部分，即；点将分成两部分，即．然后根据列方程，求出的长度，进而得出，的长． 【详解】解：点将分成两部分， ； 点将分成两部分， ． 又， ， ， ． ． 故，． 答：线段，的长分别是8，4． 【点睛】本题考查了两点之间的距离问题，根据题意判断出点、是线段的几等分点是解题的关键． 【融会贯通】 1．已知点C在线段AB上，，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧．若，，线段DE在线段AB上移动． (1)如图1，当E为BC中点时，求AD的长； (2)点F（异于A，B，C点）在线段AB上，，，求AD的长． 【答案】(1)7 (2)3或5 【分析】（1）由，，可求出，．再根据E为BC中点，即得出，从而可求出CD的长，进而可求出AD的长； （2）分类讨论：当点E在点F的左侧时和当点E在点F的右侧时，画出图形，根据线段的倍数关系和和差关系，利用数形结合的思想即可解题． 【详解】（1）∵，，， ∴，， 如图， ∵E为BC中点， ∴， ∴， ∴； （2）分类讨论：①如图，当点E在点F的左侧时， ∵，， ∴点F是BC的中点， ∴， ∴， ∴； ②如图，当点E在点F的右侧， ∵，， ∴， ∴， ∴． 综上所述：AD的长为3或5； 【点睛】本题考查线段中点的有关计算，线段n等分点的有关计算，线段的和与差．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 2．如图，已知点C在线段上，M是的中点，点N在线段上，且． (1)若，求线段的长； (2)若，则________（直接写出结果）； (3)若已点知C在线段的延长线上，M是的中点，点N在线段上，，求的长． 【答案】(1)11 (2) (3) 【分析】（1）根据M是的中点，可知根据，可知，根据即可求解； （2）根据（1）的方法求解即可； （3）根据题意画出图形，根据即可求解 【详解】（1）解： M是的中点，， ， ， ； （2）解： M是的中点，， ， ， ； （3）如图， M是的中点，， ， ， . 【点睛】本题考查了线段和差的计算，线段中点的性质，等分点的计算，数形结合是解题的关键． 3．如图，C为线段AD上一点，点B是线段CD的中点，，． (1)求线段AC的长； (2)若点E是线段AB的三等分点，求线段DE的长． 【答案】(1)AC=4； (2)线段DE的长为6或4 【分析】（1）根据线段中点定义求出CD，利用AD-CD求出AC； （2）分AE是三分之一AB或三分之二AB求出来，再利用AD-AE求出DE的长． 【详解】（1）解：∵点B是线段CD的中点， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴． ∵点E是线段AB的三等分点， ∴或， ∴或 ∴线段DE的长为6或4． 【点睛】此题考查了线段中点的定义，线段的和差计算，正确理解题中各线段的熟练关系是解题的关键． 类型六、角n等分角的计算 【解惑】（1）如图，点是线段上一点，是的三等分点（靠近），是的中点，若，求的长． （2）如图，已知点为直线上一点，，平分，，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的三等分线，平角的定义，根据图形确定所求角与已知角的关系是解题的关键．本题考查了线段的中点及三等分点，利用线段的和差是解题关键． （1）根据线段的和差及中点和三等分点，可得答案； （2）根据角平分线的性质得到，再根据角的三等分线定义得到，再由平角的定义得到，即可解答． 【详解】解：（1）， ， 是的中点， ， 则：， 又是的三等分点靠近， ， ． （2），平分， ， ， ， 又， ， ， ． 【融会贯通】 1．已知内部有三条射线，，． (1)如图1，若，，平分，平分．求的度数； (2)如图2，若，，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，以及角度的计算，正确理解角平分线的定义是解题的关键． （1）首先根据角平分线的定义求得，然后求得的度数，根据角平分线的定义求得，然后根据求解； （2）根据，，得出，，根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵，平分， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴ ． 2．【特例感知】如图1，已知线段，，点和点分别是，的中点．若，则__________；    【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部转动，射线和射线分别平分和；    ①若，，求的度数； ②请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？请说明理由． 【类比探究】如图3，在内部转动，若，，，，求的度数．（直接写出结果，用含有的式子表示）．    【答案】【特例感知】21；【知识迁移】①；②，理由见解析；【类比探究】 【分析】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义和角的和差； 【特例感知】欲求，需求．则需求．根据点C和点D分别是，的中点，得，进而解决此题． 【知识迁移】①欲求，需求．已知，需求．由射线和射线分别平分和，可求出，进而解决此题．②与①同理可证． 【类比探究】由，可得，，从而得到，再根据，即可求解． 【特例感知】∵，，， ∴， ∵点和点分别是，的中点， ∴， ∴． ∴． 故答案为：21． 【知识迁移】①∵射线和射线分别平分和， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴， ； ②．理由如下： ∵射线和射线分别平分和， ∴． ∴， ； 【类比探究】∵， ∵， ∴， ， ． 3．已知，射线在的内部，射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线． (1)若平分，求的度数； (2)小明说：当射线绕点O在的内部旋转时，的度数始终保持不变，你认为小明的说法是否正确？说明理由； (3)若、、、中有两条直线互相垂直，请直接写出所有可能的值． 【答案】(1) (2)正确，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查角平分线和角三等分线，角的和与差． （1）根据角平分线得到，再根据三等分线可得和的度数，最后利用可得答案； （2）正确，按照（1）的思路计算即可； （3）分和两种情况，再利用角的和差计算即可． 【详解】（1）∵，平分， ∴， ∵射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线， ∴， ， ∴； （2）小明是说法正确， ∵射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线， ∴，， ∴； （3）①当时， ∵，， ∴， ∵射线是的三等分线， ∴， ∴； ②当时， ∵，， ∴， ∵射线是的三等分线， ∴； 综上，的度数是或． 类型七、线段的新定义 【解惑】（1）【新知理解】 如图1，点在线段上，图中有3条线段，分别是，，，若其中任意一条线段是另一条线段的两倍，则称点是线段的“妙点”．根据上述定义，线段的三等分点______这条线段的“妙点”．（填“是”或“不是”） （2）【新知应用】 如图2，，为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为7，若点在线段上，且点为线段的“妙点”，当点在数轴的负半轴上时，点对应的数为______． （3）【拓展探究】   已知，为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为，且，满足，动点，分别从，两点同时出发，相向而行，若点的运动速度为每秒2个单位长度，点的运动速度为每秒3个单位长度，当点，相遇时，运动停止．求当点恰好为线段的“妙点”时，点在数轴上对应的数． 【答案】（1）是；（2）；（3）或 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确的理解题意和分类讨论的思想的应用． （1）根据“妙点”的定义即可判断； （2）根据点为线段的“妙点”，且点在数轴的负半轴上，则，设为，建立方程求解即可； （3）设当点恰好为线段的“妙点”时，的运动时间为，或，利用方程的思想解得，继而求得点在数轴上对应的数． 【详解】（1）如图1，∵C为线段的三等分点， ∴， ∴点为线段的“妙点” 故答案为：是 （2）如图2，∵点对应的数为，点对应的数为7， ∴， 又点为线段的“妙点”，当点在数轴的负半轴上时，设为， ∵， ∴， 解得：， 点对应的数为， 故答案为： （3）， ∴， ∴ 设当点恰好为线段的“妙点”时，的运动时间为，则， 依题意：或， 即或， 解得：或， 又当点，相遇时，，得， 即， 当时，，故点在数轴上对应的数为， 当时，，故点在数轴上对应的数为， 故答案为：或 【融会贯通】 1．定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1，点C在线段上，且，则点C是线段的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个． (1)已知：如图2，，点P是的三等分点，求的长； (2)已知，线段，如图3，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度在线段上向点B方向运动，点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度在线段上向点A方向运动，设运动时间为t秒． ①若点P点Q同时出发，且当点P与点Q重合时，求t的值； ②若点P点Q同时出发，且当点P是线段的三等分点时，求t的值． 【答案】(1)7或14； (2)①；②当或6时，点P是线段的三等分点． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、两点间的距离、线段的三等分点的定义等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键是解题的关键． （1）分，两种情况考虑：当时，由 结合的长度即可得出的长度；当时，由 结合的长度即可得出的长度； （2）①求出点P点和点Q相遇时间即可；②分点P、点Q相遇前及点P、Q相遇后两种情况解答即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，． 综上所述：的长为或． 故答案为14或7． （2）解：①由题意可得：， ∵点P点Q同时出发，且当点P与点Q重合， ∴,，解得：． ②当点P、点Q重合前点P是线段的三等分点时， 当时，有，解得：； 当时，有，解得：； 当点P、点Q重合后，点P是线段的三等分点时，显然不符合题意． 2．对数轴上的点和线段，给出如下定义：点是线段的中点，点是线段的中点，称线段的长度为线段与的“中距离”． 已知数轴上，线段（点在点的左侧），（点在点的左侧）． (1)当点表示1时， ①若点表示，点表示，点表示4，则线段与的“中距离”为________，线段与的“中距离”为________； ②若线段与的“中距离”为2，则点表示的数是________． (2)线段、同时在数轴上运动，点从表示1的点出发，点从原点出发，线段的速度为每秒1个单位长度，线段的速度为每秒2个单位长度，开始时，线段，都向数轴正方向运动；当点与点重合时，线段随即向数轴负方向运动，仍然向数轴正方向运动．运动过程中，线段、的速度始终保持不变． 设运动时间为秒．当线段与的“中距离”恰好等于线段的长度时，则________． 【答案】(1)①，1②3或7 (2)或或 【分析】本题主要考查数轴上点之间和线段之间的中点，并结合给出的新定义求解， （1）①利用点A和线段求得点B，得到线段中点表示的数，根据点C和点D求得其中点表示的数，即可求得“中距离”，根据点C和点H表示的数即可求得线段与的“中距离”；②设中点表示的数为x，根据题意列出含绝对值方程，求得中点表示的数，结合的位置关系和长度即可求得点F表示的数 （2）设和的中点分别为M和N，由题意得t秒后点M表示的数，点N表示的数为，点E表示的数为，进一步得到；当点E与点B重合时，B表示的数为t+3，有成立，时，求得点E和点N表示的数，有解方程即可． 【详解】（1）解：①∵点A表示的数为1，，且点A在点B的左侧， ∴点B表示的数为， 则线段中点表示的数为， ∵点表示，点表示， ∴线段中点表示的数为， 线段与的“中距离”为， ∵C表示的数为，点表示4， ∴线段中点表示的数为， 则线段与的“中距离”为． ②设中点表示的数为x， ∵线段与的“中距离”为2，线段AB中点表示的数为2， ∴，解得或， ∵，点E在点F的左侧， ∴点F表示的数为或， 则点F表示的数为3或7； （2）设和的中点分别为M和N， 由题意得开始时M表示的数为2，N表示的数为3，E表示的数为0， ∵运动时间为t秒，段AB的速度为每秒1个单位长度，线段EF的速度为每秒2个单位长度， ∴点M表示的数，点N表示的数为，点E表示的数为， ∵， ∴，解得， 当点E与点B重合时，线段随即向数轴负方向运动，仍然向数轴正方向运动时， ∵E与B重合时，点B表示的数为， ∴，解得， 当时，点E表示的数为，点N表示的数为， 则， 那么，解得或， 故或或． 3．定义：数轴上的三个点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如数轴上点所表示的数分别为、0、2，且满足，则点是点的“倍分点”．已知多项式的一次项系数是，次数是．若两数在数轴上所对应的点为．    (1)点与点之间的长度是=_____________． (2)①在三个点中，点_____________是点的“倍分点”； ②若数轴上点是点的“倍分点”，则点在数轴上对应的数有_____________个． (3)若数轴上点是点的“倍分点”，求点在数轴上表示的数． 【答案】(1)9 (2)①；②4 (3)、、或 【分析】（1）根据、分别是多项式的一次项系数和次数，可得到的值 ，从而得到在数轴上所对应的点，进而得到的长度； （2）①由三个点和点的位置，再根据题中“倍分点”的定义，即可得到答案；②由点和点的位置，再根据题中“倍分点”的定义对点的位置分类讨论，即可求出点在数轴上对应的数的个数； （3）由点是点的位置，根据题中“倍分点”的定义对点的位置分类讨论，即可得到点在数轴上表示的数． 【详解】（1）解：∵、分别是多项式的一次项系数和次数， ∴，， ∴， 故答案为：． （2）解：①∵，， ∴ ∵根据题中“倍分点”的定义可得：点是点的“倍分点”， 故答案：． ②由题可得：，则设点坐标为， 当时，，则 解得：， 当时，，则 解得：， 综上所述：点在数轴上对应的数分别是、、、，共4个． 故答案为：4． （3）解：， 当点在点的左侧时， ∵点是点、的“倍分点”， ∴，， ∴此时点表示的数为， 当点在点、之间时， ∵点是点、的“倍分点” ∴此时点表示的数为， 当点在点的右侧时，有两种情况： ①当时，， ∴此时点表示的数为， ②当时，， ∵点在点的右侧， ∴此时点表示的数为， 综上所述，点表示的数为、、或． 【点睛】本题考查了数轴的应用，熟练掌握数轴上两点间的位置关系，能够理解题中的新定义“倍分点”，两者相结合进行根据情况分类讨论是解题的关键． 类型八、角的新定义 【解惑】新定义：若两个角的和为，我们则称这两个角互为“百度角”；例如，，则与互为“百度角”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．）    (1)如图1，如果，与互为“百度角”，则______． (2)为内部的两条射线，若与互为“百度角”，射线平分角，且满足，求的值． (3)如图2，已知，射线从出发，以每秒的速度绕O点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒．若三条射线形成的角互为“百度角”求运动的时间t的值． 【答案】(1) (2)或 (3)3秒或4秒或10秒或秒 【分析】本题考查新定义的角度关系，找到新定义的角度关系是解题的关键． （1）根据新定义，找到角度关系，求解即可； （2）分情况讨论与的位置关系，画出图像，求解即可． （3）分情况讨论与的位置关系，画出图像，根据新定义列出各个角度关于时间t的一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：∵与互为“百度角”， ∴， ， ， ； （2）解：如图，当在上方时，    ∵平分角， ∴， 根据题意得， ， 同理，当在下方时    综上所述，为或 （3）解：①如图    根据题意得，运动的时间为t秒时， ， 当和互为“百度角”时， ， 秒． 当和互为“百度角”时， ， 秒． ②如图    根据题意得，运动的时间为t秒时， ， 当和互为“百度角”时， ， 秒． 当和互为“百度角”时， ， 秒． 综上所述，三条射线形成的角互为“百度角”时，t为3秒或4秒或10秒或秒． 【融会贯通】 1．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若，则是的内半角．    (1)如图①所示，已知，，是的内半角，则_____； (2)如图②，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？ (3)已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点以秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线，，，能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)当旋转的角度为时，是的内半角 (3)射线，，，能构成内半角，旋转的时间为秒或秒或秒 【分析】（1）由内半角的定义得，再由即可求解； （2）由旋转得：，由角的和差得，，再由内半角的定义得，即可求解； （3）设三角板绕顶点以秒的速度按顺时针方向旋转秒，按射线所在范围的时间进行分类讨论：①当时，由角的和差得，，由内半角的定义列方程即可求解；②当时，同理①即可求解；③当时，此时是的内对角，由旋转过程得，，由内半角的定义列方程，即可求解． 【详解】（1）解：，是的内半角， ， ； 故答案：； （2）解：当旋转的角度为时，是的内半角； 理由如下： 由旋转得：， ， ， 是的内半角， ， ， 解得：； （3）解：设三角板绕顶点以秒的速度按顺时针方向旋转秒， （秒）， （秒）， （秒）， ①当时 如图④，    此时是的内对角， ， ， ， ， 解得：； ②当时，如图    此时是的内对角， ， ， ， ， 解得：； ③当时，如图      此时是的内对角， ， ， ， 解得：； 综上所述：射线，，，能构成内半角，旋转的时间为秒或秒或秒． 【点睛】本题考查了新定义，旋转的性质，角的和差，一元一次方程的应用，理解新定义，能根据旋转的过程确定时间范围，进行分类讨论是解题的关键． 2．定义：如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“妙分线”． (1)如图1，若，且射线是的“妙分线”，求的度数． (2)如图2，若，射线绕点P从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转，同时，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，当与成时，射线，射线同时停止旋转，设旋转的时间为秒，求为何值时，射线是的“妙分线”． 【答案】(1)或或； (2)当t为或12或20时，射线是的“妙分线” 【分析】本题考查了本题考查了角度的计算，一元一次方程的应用，妙分线定义； （1）根据妙分线定义即可求解； （2）分3种情况：当时，当时，当时，根据妙分线定义即可求解． 【详解】（1）解：∵，且射线在的“妙分线”， ∴或或， ∴或或； （2）解：根据题意得： 当时， ， 解得； 当时， ， 解得； 当时， ， 解得． 故当t为或或时，射线是的“妙分线”． 3．定义：如果两个角的度数的和是，那么这两个角叫做互为半余角，其中一个角称为另一个角的半余角，例如：，，因为，所以和互为半余角． (1)如果，是的半余角，那么的度数是_______； (2)如图，已知，射线在的内部，满足，是的平分线． ①在的内部画射线，使．并写出图中的半余角：________； ②是的半余角，当是的时，求的度数． 【答案】(1) (2)①画图见解析；，. ②度数为或 【分析】（1）根据半余角的定义进行计算即可得； （2）①在的内部画射线，使，则，，根据是的平分线得，即可得；②设，则，，根据是的半余角得，当是的时，，若射线在内，则，即，计算得；若射线在外，则，则，计算得；即可得． 【详解】（1）解：∵，是的半余角， ∴， 故答案为：； （2）解：①在的内部画射线，使，如图所示： 则， ， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴的半余角有：，； ②设，则， ∴， ∵是的半余角， ∴， 当是的时，， 如图所示，若射线在内， 则， ∴， ， ； 如图所示，若射线在外， 则， ∴， ， ； 综上，的度数为或． 【点睛】本题考查了半余角，角平分线的定义，解题的关键是掌握这些知识点，分类讨论． 类型九、射线旋转求t 【解惑】如图，直线，相交于点，且，射线（与射线重合）绕点按逆时针方向旋转，速度为，射线（与射线重合）绕点按顺时针方向旋转，速度为．两射线，同时运动，运动时间为． (1)当时，　　，　　． (2)当时，若，试求出的值． 【答案】(1)， (2)秒或10秒 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，角的和差关系的计算，解决问题的关键是将相关的角用含的代数式表示出来，并根据题意列出方程进行求解，以及进行分类讨论，解题时注意方程思想和分类思想的灵活运用． （1）根据时间和速度分别计算和的度数，再根据角的和与差可得结论； （2）分两种情况：①如图所示，当时，②如图所示，当时，分别根据已知条件列等式可得的值； 【详解】（1）解：由题意得：， ， 故答案为：，； （2）当与重合时，， 当与重合时，， ①如图所示，当时，，， 由，可得， 解得， ②如图所示，当时，，， 由，可得， 解得， 综上，的值为秒或10秒． 【融会贯通】 1．已知：如图1，，的补角是的3倍， (1)求的度数； (2)如图2，若射线从开始绕点O以每秒旋转10°的速度逆时针旋转，同时射线从开始绕点O以每秒旋转6°的速度逆时针旋转；其中射线到达OC后立即改变运动方向，以相同速度绕O点顺时针旋转，当射线OQ到达时，射线，同时停止运动．设旋转的时间为t秒，当时，试求t的值； (3)如图3，若射线从开始绕O点逆时针旋转一周，作平分，平分，试求在运动过程中，的度数是多少？（请直接写出结果） 【答案】(1) (2)5，10，12.5或13.75 (3)或 【分析】本题主要考查角度的和差运算，涉及一元一次方程的应用，角度的双角平分线问题，在解题过程中根据角度的变化进行合适分段讨论是解题关键． （1）由题意可得，，可直接求解； （2）由射线的运动可知，需要分两种情况讨论，①逆时针运动时，，相遇前和相遇后；②顺时针旋转，，相遇前和相遇后，分别画图求解即可； （3）根据射线的运动，需要分四种情况，①当射线与重合前，②当射线与重合后，前，③前，④与重合前，画出图形，结合角平分线求解即可． 【详解】（1）解：（1），， ∴， ∵， ∴； （2）由（1）知，，， ①逆时针运动时，即时， 由，的运动可知，，， ，相遇前，如图2（1），，即，解得， ，相遇后，如图2（2），，即，解得； ②顺时针旋转时，，， ，相遇前，如图（3），，即，解得， ，相遇后，如图（4），，即，解得， 综上，当t的值为5，10，12.5或13.75时，． （3）由（1）知， 根据射线的运动，需要分四种情况， ①当射线与重合前，如图3（1）， ∵平分，平分， ∴，， ∴； ②当射线OP与OA重合后，∠AOP＝180°前，如图3（2）， ∵平分，平分， ∴，， ∴； ③∠CON＝180°前，如图3（3）， ∵平分，平分， ∴，， ∴； ④OP与OQ重合前，如图3（4）， ∵平分，平分， ∴，， ∴； 综上，的度数为或． 2．如图，点O是直线上的一点，从点O引出一条射线，使，射线、同时绕点O旋转． (1)若两条射线、旋转方向相反，在两射线均旋转一周之内，射线、同时与射线重合，则射线与旋转的速度之比为____； (2)若两条射线、同时绕点O顺时针旋转，射线每秒旋转，射线每秒旋转，设旋转时间为t秒，，当时，求t的值． 【答案】(1)或 (2)45或50或110或135或170 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算，找到等量关系式是解题的关键． （1）设旋转时间为x秒，分两种情况：①射线顺时针旋转、逆时针旋转时；②射线逆时针旋转、顺时针旋转时，根据射线与旋转的角度即可得出答案； （2）分四种情况讨论：①当即时，②当时，③当即时，④当时，根据即可得出答案． 【详解】（1）解：设旋转时间为x秒，①射线顺时针旋转、逆时针旋转时， 由题意得： ， ∴， ∴射线OA与OB旋转的速度之比为1：2； ②射线OA逆时针旋转、OB顺时针旋转时， 由题意得：， ∴， ∴射线与旋转的速度之比为5：4； 综上，射线与旋转的速度之比为1：2或5：4， 故答案为：1：2或5：4； （2）解：①当即时， 由题意得：， 解得：； ②当时， 由题意得：， 解得：； ③当即时， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）； ④当时， 由题意得：或或， 解得：或135或170； 综上，t的值为45或50或110或135或170． 3．如图，点是直线上的一点． (1)如图，，，求的度数： (2)在中，绕着点顺时针转动（与重合即停止）如图，、分别平分、，则在转动过程中，的大小是否变化？若不变，求出的大小；若改变，请说明理由； (3)在中，线段、绕着点顺时针转动，速度分别为每秒和每秒当与重合时停止转动，、分别平分、，设转动的时间为秒，则当等于多少时？ 【答案】(1) (2)不变； (3)秒 【分析】本题考查直角的定义，互余角的关系，角平分线的定义，解题关键是结合图形找出各个角之间的倍数关系； （1）根据直角的定义求出，再根据可得的度数，又因为与互余，即可解答； （2）根据（1）求出的度数，从而求得的值， 再利用角平分线定义求出，最后根据即可解答； (3) 设秒时，；用含的式子表示出、，从而列出方程求解； 【详解】（1）解：是直角， ， ， ， ； （2）不会变化，理由如下： 、分别平分、， ，， ， ， ； （3）如图， 设运动时间为秒， 则，， ，， ， 解得， 所以秒时． 类型十、三角板旋转求t 【解惑】请阅读以下信息：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所组成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的“内半角”．如图①，若射线，在的内部，且，则称是的“内半角”． 请根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图①，，．若是的“内半角”，则_______． (2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至，即，其中．若是的“内半角”，求的度数． (3)把一块含的三角板按如图③方式放置，使边与边重合，边与边重合．如图④，将三角板绕顶点O以每秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为t秒．当射线，，，构成“内半角”时，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)t的值为或30 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算： （1）根据题意算出的度数，利用即可算出的度数； （2）根据旋转性质可推出和，然后可用含有α的式子表示和的度数，根据是的内半角，即可求出α的值； （3）根据旋转一周构成内半角的情况总共有两种，分别画出图形，求出对应t值即可． 【详解】（1）解：∵是的内半角，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵是的内半角， ∴，即， 解得：， ∴α的值为； （3）解：①如图所示，此时是的内半角， 由旋转性质可知：， ∴， ∵是的内半角， ∴，即， 解得：； ②如图所示，此时是的半角， 由旋转性质可得：， ∴， ∵是的内半角， ∴，即， 解得：； 综上所述：当射线构成内半角时，t的值为或30． 【融会贯通】 1．如图1，点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图1中的三角板绕点处逆时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数； (2)在图3中，延长线段得到射线，判断是否平分，请说明理由； (3)将图1中的三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，则的值为______．(直接写出答案) 【答案】(1) (2)平分，理由见解析. (3)60或24 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，角的运算以及角平分线的定义，解题关键：一是理解角平分线的定义，二是确定旋转到某一条件时旋转的度数． （1）根据题意可求出的度数，根据角平分线求出的度数，把的度数与的度数相加，即可求出的度数； （2）根据（1）中的结论可得出，根据对顶角相等得出，此时，即可推出平分； （3）根据题中条件算出旋转到射线和射线的延长线恰好平分锐角时所旋转的度数，再除以速度即可得的值． 【详解】（1）解：， ， 此时在的内部．且恰好平分， ， 根据题意知：， ； （2）解：是平分的，理由如下： 由（1）知，，， ， 延长线段得到射线， ， ， ， 平分； （3）解：当直线恰好平分锐角， 此时， 则从图1中的位置旋转到射线恰好平分锐角时所旋转的度数为：， 速度为每秒， ， 解得； 当射线的反向延长线恰好平分时，    此时旋转的角度为：， 速度为每秒， ， 解得． 故答案为：24或60． 2．如图1，点O是直线上一点，三角板（其中）的边与射线重合，将它绕O点以每秒m°顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕O点以每秒n°逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)若，，秒时，________°； (2)若，，当在的左侧且平分时，求t的值； (3)如图2，在运动过程中，射线始终平分． ①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出________秒； ②当在的左侧，且与始终互余，求m与n之间的数量关系． 【答案】(1)100； (2)； (3)①12或30或48；② 【分析】本题考查的是角平分线的性质，平角的定义，解题的关键是能采用数形结合的思想和分类讨论的思想解答． （1）根据，即可求解； （2）根据平分线的性质得，再由平角为即可求解； （3）①当是的角平分线，当是的角平分线时，当是的角平分线时，分三种情况进行计算即可， ②由与始终互余，得出，进而可求解． 【详解】（1）解：当，，秒时， ，， ， ； 故答案为：100； （2）解：， 又在的左侧且平分， 解得：， （3）解：①当是的角平分线时，如图所示： 又始终平分， ∴， 当是的角平分线时，如图所示： 又始终平分， ，此时射线与重合， 解得：， 当是的角平分线时，如图所示： 又始终平分， ， 又， ， 解得：， 故答案为：或30或48； ②当在的左侧时，如图所示： 又始终平分， 与始终互余， ， 化简得：． 3．如图两个形状、大小完全相同的含有，的三角板如图1放置，，、与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点旋转． (1)将图1中的三角板保持不动，三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过秒后，平分，求此时的值； (2)将图1三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周的同时，三角板也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间边与首次重合； (3)如图③，将图1三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，(当转到与重合时，两三角板都停止转动)，在旋转过程中，、、三条射线中，得到三个角，，，当这三个角中有一个角是另外一个角的2倍时，直接写出旋转的时间的值． 【答案】(1)秒 (2)秒 (3)t的值为或或或或或 【分析】本题考查一元一次方程的应用与角平分线，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． （1）由得，又平分，根据题意列方程求解即可． （2）设经过m秒，与首次重合，，根据题意可列方程求解． （3）分情况讨论，将N点分在三角板内外两种情况，列出各角度的关系式，列方程求解既可． 【详解】（1）解：平分， ， ， ， 根据题意得：， 解得， 的值为秒； （2）当边与首次重合时，， ， 解得， 经过秒边与首次重合； （3）转到与所需时间为秒；与经过秒重合； 当时，，，， ①若，则， 解得舍去； ②若，则， 解得； ③若，则， 解得； ④若，则， 解得； ⑤若，则， 解得； ⑥若，则， 解得舍去； 当时，，，， ①若，则， 解得； ②若，则， 解得； ③若，则， 解得舍去； ④若，则， 解得； ⑤若，则， 解得舍去； ⑥若，则， 解得； 综上所述，当这三个角中有一个角是另外一个角的倍时旋转的时间t的值为或或或或或． 【一览众山小】 1．如图，是的平分线，是内部一条射线，过点O作射线，在平面内沿箭头方向转动，使得，若，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．无法计算 【答案】C 【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，明确题意，理清图中各角度之间的数量关系是解答本题的关键．由是的平分线得，进而求得，结合得，再分两种情况：当在下方时，，当在上方时，分别讨论即可求解． 【详解】解：∵，是的平分线， ∴， 又∵， ∴， 而， ∴， 如图，当在下方时， 此时，； 如图，当在上方时， 此时，； 即：或， 故选：C． 2．下图中，有个无阴影的正方形，从中选出个和个有阴影的正方形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有个，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要是正方体的展开图形，将一个正方体展开，可能得到的形状有以下几种：①“一四一”型；②“二三一”型或“一三二”型；③“二二二”型；④“三三”型；结合题中所给的图形，运用正方体常见展开的几种形式分析求解即可． 【详解】解：根据正方体的表面展开图，选A、B、C、D四个位置即可． 故选：D． 3．如图，一个直角梯形，绕着它的高旋转一周，形成的立体图形的体积是（　　）立方厘米．（单位：厘米）（结果保留π） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查点、线、面、体，组合图形的体积，根据题意可知，图形沿虚线旋转一周，形成的图形为一个圆台，用大锥体积-小圆锥体积=圆台体积，运用圆锥体积公式把数代入，进行计算即可． 【详解】解：延长交于点，如图， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴圆台体积=大锥体积-小圆锥体积 故选： C 4．一根绳子长为，，是绳子上任意两点（在的左侧）．将，分别沿，两点翻折（翻折处长度不计），，两点分别落在上的点，处． （1）当时，，两点间的距离为 ． （2）当，两点间的距离为时，的长为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了线段的和差，两点间距离，翻折，分类讨论思想； （1）由已知，翻折后，则，两点间的距离为，由此即可求解； （2）分两种情况：及，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， 由于翻折，如图，则， ∴， ∴，两点间的距离为； （2）当时，如图， 由于翻折，则， 由图知，，即， ∴， ∴； 当时，如图， 则，即， ∴， ∴； 综上，的长为或． 5．已知，平分，，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角平分线的定义、几何图中角度的计算，先由角平分线的定义得出，再分两种情况：如答图①，当在的同侧时，如答图②，当在的异侧时，分别求解即可得解，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵，平分， ∴． 分两种情况：如答图①，当在的同侧时， ， 此时； 如答图②，当在的异侧时， ， 此时． 综上，的度数为或， 故答案为：或． 6．在直线上任取一点O，过点O作射线、，使，当时，的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂直的定义，分两种情况讨论是解题的关键； 根据题意，分、在同侧和异侧两种情况讨论，并画出图，然后根据，，计算的度数即可． 【详解】解：当、在直线同侧时，如图： ，， ； 当、在直线异侧时，如图： ，， ， 故答案为：或 7．如图，直线交于点分别在内部，且平分． (1)的对顶角是___________； (2)若，则的度数为___________； (3)若平分，求的度数； (4)若，判断是否平分，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)平分，理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，对顶角的性质，几何中角度的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线的定义． （1）根据对顶角的定义即可解答； （2）根据角平分线的定义得出，再根据，求出结果即可； （3）由，得到，根据角平分线的定义得出，根据，求出，根据角平分线的定义得出，根据，求出结果即可； （4）由，利用平角的定义得到，再根据，求出，结合得出结论． 【详解】（1）解：根据题意：的对顶角是； （2）解：平分， ， ； （3）解：与为对顶角， ， ，即． 平分， ， ， ， ． 又平分， ， ； （4）解：平分，理由如下： ， ． ， ， ， ， 平分． 8．将三角板的直角顶点O放置在直线上． (1)如图，且，射线平分，则的大小为 ； (2)在（1）的条件下，射线平分，射线平分，求的度数； (3)若将三角板绕点O旋转，射线平分，射线平分．请写出与度数的等量关系： ． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查角平分线的定义以及角的计算，掌握角平分线的定义以及平角，周角的定义是正确解答的前提，注意分类讨论，避免漏接； （1）根据角平分线的定义以及平角的定义进行计算即可； （2）由平角的定义，角平分线的定义以及角的和差关系即可得出答案； （3）分两种情况讨论，射线与线段不相交和射线与线段相交，再根据角平分线的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， 故答案为：； （2）解：， ， 平分， ， ； （3）解：或，理由如下： 当射线与线段不相交时，如图： 射线平分，射线平分， ， ， 当射线与线段相交时，如图： 射线平分，射线平分， ， ， ， 故答案为：或． 9．如图所示，O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，求的度数． (2)在图1中，若，直接写出的度数： （用含的代数式表示）． (3)将图1中的绕顶点O顺时针开始旋转． ①当旋转至如图2的位置时，请探究与的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②过点O的一条射线，使得恰好平分，在图1和图2中分别探究与的度数之间的关系，请直接写出结论． 【答案】(1) (2) (3)①．理由见解析；②， 【分析】本题主要考查角的运算、角平分线的定义，解题关键是正确运用相关定义，利用角的和差倍分关系进行计算． （1）利用平角的定义可得，由角平分线的定义得，则． （2）利用平角的定义可得，由角平分线的定义得，则． （3）①当旋转至题图2的位置时，设，同理可得，则，即，由，，两式相减即可得到结果； ②在图1中，反向延长得到射线  ，由对顶角和角平分线的性质易得，于是，由（2）可知，进而，即；在图1中，由角平分线的性质和平角的定义易得，即，由知，于是，将代入上式，化简即可得到结果． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， 是直角，即， ； （2）解：， ， 平分， ， 是直角，即， ， 故答案为：； （3）解：①．理由如下： 当旋转至题图2的位置时， 设，则， 平分， ， ， ，即， ， ， ， ； ②在图1中，．理由如下： 由已知，过点O的一条射线，使得恰好平分，反向延长得到射线，如图， 则平分， ， 又， ， ， 由（2）知，若，则， ， ，即； 在图2中，．理由如下： 平分， ， 又， ，即， 由①知，， ， ， ， 将代入，得， 整理得． 10．【问题背景】如图1，已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“量尺金线”． 【问题感知】 （1）一个角的平分线________这个角的“量尺金线”；（填“是”或“不是”） 【问题初探】 （2）如图2，．若射线是的“量尺金线”，则的度数为________； 【问题推广】 （3）在（2）中，若，，射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点P按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为．当t为何值时，射线是的“量尺金线”？（用含x的式子表示出t即可） 【答案】（1）是；（2）20或30或40；（3），，； 【分析】本题主要考查新定义下的角的计算，几何图形中的角度计算，理解题意，列出相应的式子求解，是解题关键． （1）根据“量尺金线”的定义进行判断即可； （2）根据“量尺金线”的定义分三种情况讨论计算即可； （3）射线是的“量尺金线”，在的内部，在的外部，然后分三种情况求解即可． 【详解】解：（1）一个角的平分线中，大角是小角的2倍，满足“量尺金线”的定义， 故答案为：是； （2），射线是的“量尺金线”，根据“量尺金线”的定义分三种情况讨论： 当时，如图， ∵， ∴； 当时，如图， ∵ ∴； 当时，如图， ∵， ∴； 综上：当为，，时，射线是的“量尺金线”． （3）∵射线是的“量尺金线”， ∴在的内部， ∴在的外部； 分三种情况： ①如图，当时，如图所示： ∴， ∴； ②如图，当时，如图所示： ∴， ∴； ③当时，如图所示： ∵， ∴， ∴； 综上：当t为或或时，射线是的“量尺金线”． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 图形的初步认识思维导图 【类型覆盖】 类型一、七巧板问题 【解惑】七巧板被西方人称为“东方魔板”．如图的两幅图是由同一副七巧板拼成的．已知七巧板拼成的正方形的边长为，则“一帆风顺”图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【融会贯通】 1．若用如图①这样一副七巧板，拼成图②的图案，若七巧板面积为，则图②中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 2．如图所示的七巧板起源于我国先秦时期，由古算书《周髀算经》中关于正方形的分割术，经过历代演变而成，19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”）．图2是由边长为2的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的“叶问蹬”图，则图中拍起的“腿”（即阴影部分）的面积为 ．    3．七巧板被西方人称为“东方魔术”，如图所示的两幅图是由同一个七巧板拼成的．已知七巧板拼成的大正方形（如图）的边长为，若图2的“小狐狸”图案中阴影部分面积记为．则 ．    类型二、线段的中点问题 【解惑】如图，线段，点为线段上的一点，点，分别为线段，的中点．则线段的长为（   ）． A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知点是线段的中点，点是线段的三等分点．若线段，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 2．如图所示，若C为线段的中点，D在线段上，，则的长度是 ． 3．如下图所示，点P在线段上，，M为的中点，N为的中点．求的长． 类型三、几何图形中的角度计算问题 【解惑】如图，已知，若，则的度数为（    ）. A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．已知：将一副三角板如图1摆放，，，平分，平分． （1）将图1中的三角板绕点O旋转到图2的位置，则的度数是 ． （2）将图1中的三角板绕点O旋转到图3的位置，则的度数是 ． 3．如图（a），将两块直角三角尺的直角顶点  叠放在一起． (1)若，_______；若，则______ (2)猜想与的大小有何关系： ； (3)如图（b），若是两个同样的三角尺锐角的顶点  重合在一起，则与的大小有何关系： ； (4)已知（都是锐角），如图（c），若把它们的顶点  重合在一起，则与的大小有何关系．请说明理由． 类型四、角平分线的计算 【解惑】如图，是平角，，分别是的平分线，则（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，是的平分线，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，点O在直线上，平分，，，则 ． 3．已知射线在的内部，射线平分，射线平分． (1)如图①，，则_________； (2)如图②，若，射线在的内部绕点O旋转，求的度数． 类型五、线段n等分点的计算 【解惑】如图，线段AB上有两点M，N，点M将线段AB分成两部分，点N将线段AB分成两部分，且MN＝8，求线段AM，NB的长分别是多少？ 【融会贯通】 1．已知点C在线段AB上，，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧．若，，线段DE在线段AB上移动． (1)如图1，当E为BC中点时，求AD的长； (2)点F（异于A，B，C点）在线段AB上，，，求AD的长． 2．如图，已知点C在线段上，M是的中点，点N在线段上，且． (1)若，求线段的长； (2)若，则________（直接写出结果）； (3)若已点知C在线段的延长线上，M是的中点，点N在线段上，，求的长． 3．如图，C为线段AD上一点，点B是线段CD的中点，，． (1)求线段AC的长； (2)若点E是线段AB的三等分点，求线段DE的长． 类型六、角n等分角的计算 【解惑】（1）如图，点是线段上一点，是的三等分点（靠近），是的中点，若，求的长． （2）如图，已知点为直线上一点，，平分，，求的度数． 【融会贯通】 1．已知内部有三条射线，，． (1)如图1，若，，平分，平分．求的度数； (2)如图2，若，，，求的度数． 2．【特例感知】如图1，已知线段，，点和点分别是，的中点．若，则__________；    【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部转动，射线和射线分别平分和；    ①若，，求的度数； ②请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？请说明理由． 【类比探究】如图3，在内部转动，若，，，，求的度数．（直接写出结果，用含有的式子表示）．    3．已知，射线在的内部，射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线． (1)若平分，求的度数； (2)小明说：当射线绕点O在的内部旋转时，的度数始终保持不变，你认为小明的说法是否正确？说明理由； (3)若、、、中有两条直线互相垂直，请直接写出所有可能的值． 类型七、线段的新定义 【解惑】（1）【新知理解】 如图1，点在线段上，图中有3条线段，分别是，，，若其中任意一条线段是另一条线段的两倍，则称点是线段的“妙点”．根据上述定义，线段的三等分点______这条线段的“妙点”．（填“是”或“不是”） （2）【新知应用】 如图2，，为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为7，若点在线段上，且点为线段的“妙点”，当点在数轴的负半轴上时，点对应的数为______． （3）【拓展探究】   已知，为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为，且，满足，动点，分别从，两点同时出发，相向而行，若点的运动速度为每秒2个单位长度，点的运动速度为每秒3个单位长度，当点，相遇时，运动停止．求当点恰好为线段的“妙点”时，点在数轴上对应的数． 【融会贯通】 1．定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1，点C在线段上，且，则点C是线段的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个． (1)已知：如图2，，点P是的三等分点，求的长； (2)已知，线段，如图3，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度在线段上向点B方向运动，点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度在线段上向点A方向运动，设运动时间为t秒． ①若点P点Q同时出发，且当点P与点Q重合时，求t的值； ②若点P点Q同时出发，且当点P是线段的三等分点时，求t的值． 2．对数轴上的点和线段，给出如下定义：点是线段的中点，点是线段的中点，称线段的长度为线段与的“中距离”． 已知数轴上，线段（点在点的左侧），（点在点的左侧）． (1)当点表示1时， ①若点表示，点表示，点表示4，则线段与的“中距离”为________，线段与的“中距离”为________； ②若线段与的“中距离”为2，则点表示的数是________． (2)线段、同时在数轴上运动，点从表示1的点出发，点从原点出发，线段的速度为每秒1个单位长度，线段的速度为每秒2个单位长度，开始时，线段，都向数轴正方向运动；当点与点重合时，线段随即向数轴负方向运动，仍然向数轴正方向运动．运动过程中，线段、的速度始终保持不变． 设运动时间为秒．当线段与的“中距离”恰好等于线段的长度时，则________． 3．定义：数轴上的三个点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如数轴上点所表示的数分别为、0、2，且满足，则点是点的“倍分点”．已知多项式的一次项系数是，次数是．若两数在数轴上所对应的点为．    (1)点与点之间的长度是=_____________． (2)①在三个点中，点_____________是点的“倍分点”； ②若数轴上点是点的“倍分点”，则点在数轴上对应的数有_____________个． (3)若数轴上点是点的“倍分点”，求点在数轴上表示的数． 类型八、角的新定义 【解惑】新定义：若两个角的和为，我们则称这两个角互为“百度角”；例如，，则与互为“百度角”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．）    (1)如图1，如果，与互为“百度角”，则______． (2)为内部的两条射线，若与互为“百度角”，射线平分角，且满足，求的值． (3)如图2，已知，射线从出发，以每秒的速度绕O点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒．若三条射线形成的角互为“百度角”求运动的时间t的值． 【融会贯通】 1．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若，则是的内半角．    (1)如图①所示，已知，，是的内半角，则_____； (2)如图②，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？ (3)已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点以秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线，，，能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 2．定义：如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“妙分线”． (1)如图1，若，且射线是的“妙分线”，求的度数． (2)如图2，若，射线绕点P从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转，同时，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，当与成时，射线，射线同时停止旋转，设旋转的时间为秒，求为何值时，射线是的“妙分线”． 3．定义：如果两个角的度数的和是，那么这两个角叫做互为半余角，其中一个角称为另一个角的半余角，例如：，，因为，所以和互为半余角． (1)如果，是的半余角，那么的度数是_______； (2)如图，已知，射线在的内部，满足，是的平分线． ①在的内部画射线，使．并写出图中的半余角：________； ②是的半余角，当是的时，求的度数． 类型九、射线旋转求t 【解惑】如图，直线，相交于点，且，射线（与射线重合）绕点按逆时针方向旋转，速度为，射线（与射线重合）绕点按顺时针方向旋转，速度为．两射线，同时运动，运动时间为． (1)当时，　　，　　． (2)当时，若，试求出的值． 【融会贯通】 1．已知：如图1，，的补角是的3倍， (1)求的度数； (2)如图2，若射线从开始绕点O以每秒旋转10°的速度逆时针旋转，同时射线从开始绕点O以每秒旋转6°的速度逆时针旋转；其中射线到达OC后立即改变运动方向，以相同速度绕O点顺时针旋转，当射线OQ到达时，射线，同时停止运动．设旋转的时间为t秒，当时，试求t的值； (3)如图3，若射线从开始绕O点逆时针旋转一周，作平分，平分，试求在运动过程中，的度数是多少？（请直接写出结果） 2．如图，点O是直线上的一点，从点O引出一条射线，使，射线、同时绕点O旋转． (1)若两条射线、旋转方向相反，在两射线均旋转一周之内，射线、同时与射线重合，则射线与旋转的速度之比为____； (2)若两条射线、同时绕点O顺时针旋转，射线每秒旋转，射线每秒旋转，设旋转时间为t秒，，当时，求t的值． 3．如图，点是直线上的一点． (1)如图，，，求的度数： (2)在中，绕着点顺时针转动（与重合即停止）如图，、分别平分、，则在转动过程中，的大小是否变化？若不变，求出的大小；若改变，请说明理由； (3)在中，线段、绕着点顺时针转动，速度分别为每秒和每秒当与重合时停止转动，、分别平分、，设转动的时间为秒，则当等于多少时？ 类型十、三角板旋转求t 【解惑】请阅读以下信息：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所组成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的“内半角”．如图①，若射线，在的内部，且，则称是的“内半角”． 请根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图①，，．若是的“内半角”，则_______． (2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至，即，其中．若是的“内半角”，求的度数． (3)把一块含的三角板按如图③方式放置，使边与边重合，边与边重合．如图④，将三角板绕顶点O以每秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为t秒．当射线，，，构成“内半角”时，请直接写出t的值． 【融会贯通】 1．如图1，点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图1中的三角板绕点处逆时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数； (2)在图3中，延长线段得到射线，判断是否平分，请说明理由； (3)将图1中的三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，则的值为______．(直接写出答案) 2．如图1，点O是直线上一点，三角板（其中）的边与射线重合，将它绕O点以每秒m°顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕O点以每秒n°逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)若，，秒时，________°； (2)若，，当在的左侧且平分时，求t的值； (3)如图2，在运动过程中，射线始终平分． ①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出________秒； ②当在的左侧，且与始终互余，求m与n之间的数量关系． 3．如图两个形状、大小完全相同的含有，的三角板如图1放置，，、与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点旋转． (1)将图1中的三角板保持不动，三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过秒后，平分，求此时的值； (2)将图1三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周的同时，三角板也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间边与首次重合； (3)如图③，将图1三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，(当转到与重合时，两三角板都停止转动)，在旋转过程中，、、三条射线中，得到三个角，，，当这三个角中有一个角是另外一个角的2倍时，直接写出旋转的时间的值． 【一览众山小】 1．如图，是的平分线，是内部一条射线，过点O作射线，在平面内沿箭头方向转动，使得，若，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．无法计算 2．下图中，有个无阴影的正方形，从中选出个和个有阴影的正方形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有个，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．如图，一个直角梯形，绕着它的高旋转一周，形成的立体图形的体积是（　　）立方厘米．（单位：厘米）（结果保留π） A． B． C． D． 4．一根绳子长为，，是绳子上任意两点（在的左侧）．将，分别沿，两点翻折（翻折处长度不计），，两点分别落在上的点，处． （1）当时，，两点间的距离为 ． （2）当，两点间的距离为时，的长为 ． 5．已知，平分，，则的度数为 ． 6．在直线上任取一点O，过点O作射线、，使，当时，的度数是 ． 7．如图，直线交于点分别在内部，且平分． (1)的对顶角是___________； (2)若，则的度数为___________； (3)若平分，求的度数； (4)若，判断是否平分，并说明理由． 8．将三角板的直角顶点O放置在直线上． (1)如图，且，射线平分，则的大小为 ； (2)在（1）的条件下，射线平分，射线平分，求的度数； (3)若将三角板绕点O旋转，射线平分，射线平分．请写出与度数的等量关系： ． 9．如图所示，O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，求的度数． (2)在图1中，若，直接写出的度数： （用含的代数式表示）． (3)将图1中的绕顶点O顺时针开始旋转． ①当旋转至如图2的位置时，请探究与的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②过点O的一条射线，使得恰好平分，在图1和图2中分别探究与的度数之间的关系，请直接写出结论． 10．【问题背景】如图1，已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“量尺金线”． 【问题感知】 （1）一个角的平分线________这个角的“量尺金线”；（填“是”或“不是”） 【问题初探】 （2）如图2，．若射线是的“量尺金线”，则的度数为________； 【问题推广】 （3）在（2）中，若，，射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点P按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为．当t为何值时，射线是的“量尺金线”？（用含x的式子表示出t即可） 6 学科网（北京）股份有限公司 $$