专题05 一元一次方程（中等类型）-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版2024新教材）

专题05 一元一次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元一次方程的应用——数字问题 【解惑】在求一个两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行算，求解过程如图1~4所示，现仿照这几个图，用“列竖式”的方法计算一个两位数的平方，部分过程如图5所示，若这个两位数的个位数字为，则这个两位数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是对数字变化规律的考查．仔细观察图形，观察出前两行的数与两位数的十位和个位上的数字的关系是解题的关键． 观察图象可知，第一行从右向左分别为个位数和十位数字的平方，每个数的平方占两个空，平方是一位数的前面的空用0填补，第二行从左边第2个空开始向右是这个两位数的两个数字的乘积的2倍，然后相加即为这个两位数的平方，根据此规律求解．设这个两位数的十位数字为b，根据图3，利用十位数字与个位数字的乘积的2倍的关系列出方程求出b，然后写出答案即可． 【详解】解：设这个两位数的十位数字为b， 由题意得，， 解得， ∴这个两位数是． 故选：B． 【融会贯通】 1．九宫格是一款数学游戏，起源于河图洛书，河图与洛书是我国古代流传下来的两幅神秘图案，历来被认为是河洛文化的滥觞，中华文明的源头，被誉为“宇宙魔方”．将九个数分别填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，则的值为（    ） a 5 0 3 1 c b 4 A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，代数式求值，解题的关键是正确列出方程． 首先根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等分别列方程求出，，，然后代入求解即可． 【详解】解：∵每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， 同理可得，， ∴， ∴． 故选：D． 2．一个六位数的3倍等于，则这个六位数是 ． 【答案】285713 【分析】本题考查用一元一次方程解决数字问题，可设中2后面的五位数是未知数，等量关系为：未知数未知数，把相关数值代入求解即可． 【详解】解：设为x， ∵中的2在十万位上， ∴六位数可表示为， 同理可得可表示为， ∴， 解得． ∴这个6位数为， 故答案为：285713． 3．一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果，那么称这个四位数为“和平数”． (1)直接写出：最小的“和平数”是______；最大的“和平数”是______． (2)一个“和平数”，十位数字为方程的解，千位数字与个位数字的比为2∶3，百位数字比千位数字小1，求这个“和平数”． (3)将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后的这两个“和平数”为一组“相关和平数”．例如：1423与4132为一组“相关和平数”．请直接写出：和是3333的所有“相关和平数”是______． 【答案】(1)、； (2)； (3)和，和，和，和． 【分析】（1）根据“和平数”的定义，求解即可； （2）根据方程求得十位数字，设个位数字为，则千位数字为，百位数字为，根据“和平数”的定义，列方程求解即可； （3）根据“相关和平数”的定义求解即可． 【详解】（1）解：由“和平数”的定义可得： 最小的“和平数”是：； 最大的“和平数”是：； 故答案为：、； （2）解方程可得，，即十位数字为 设个位数字为，则千位数字为，百位数字为， 由题意可得： 解得， 则这个“和平数”是； （3）和是3333的所有“相关和平数”，其每个数位上的数字不超过3，且相应的数位和为3， 则所有的“相关和平数”有：和，和，和，和 【点睛】此题考查了新定义解题，涉及了一元一次方程的求解，理解新定义是解题的关键． 类型二、一元一次方程的应用——年龄问题 【解惑】(年龄问题)女儿今年(1994年)12岁．妈妈对女儿说∶“当你有我这么大岁数时，我已经60岁喽！”妈妈12岁时，是（   ）年． A．1969 B．1970 C．1972 D．1974 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设x年后妈妈60岁，等量关系式：女儿今年的年龄x年，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：设x年后妈妈60岁，由题意得 ， 解得：， （年）； 故选：B． 【融会贯通】 1．十年前A的年龄是B的年龄的4倍，现在A的年龄是B的年龄的2倍，A现在的年龄是（    ） A．20岁 B．24岁 C．30岁 D．15岁 【答案】C 【分析】设现在的年龄为岁，则现在的年龄为岁，根据十年前，的年龄是的年龄的4倍列出一元一次方程，求出的值即可． 【详解】解：设现在的年龄为岁，则现在的年龄为岁， 十年前，的年龄为岁，的年龄为岁， 根据题意可知：， 解得， 即现在的年龄为30岁， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 2．今年，小王同学的年龄比他妈妈小27岁，6年后妈妈的年龄是小王年龄的5倍，设今年，小王同学的年龄是岁，由题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意，得妈妈的年龄为岁，6年后妈妈的年龄是岁，小王年龄是岁，列出方程即可． 本题考查了一元一次方程的应用，正确找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设小王同学的年龄是岁，妈妈的年龄为岁， 6年后妈妈的年龄是岁，小王年龄是岁， 根据题意，得． 故答案为：． 3．小敏和妈妈的年龄和为50，3年后妈妈比小敏大22岁，三年后小敏和妈妈各多少岁？ 【答案】三年后小敏和妈妈分别为17岁和39岁 【分析】本题考查年龄问题，设小敏现在的年级为岁，根据现在和3年后妈妈与小敏的年龄差不变，得到现在妈妈的年龄为岁，根据小敏和妈妈的年龄和为50，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设小敏现在的年级为岁，则现在妈妈的年龄为岁，由题意，得： ， 解得：， 答：三年后小敏和妈妈分别为17岁和39岁． 类型三、一元一次方程的应用——和差倍分问题 【解惑】“3·5”学雷锋日“献上一杯姜茶”活动中，小明为环卫工刘爷爷献上热茶并帮助刘爷爷打扫卫生，小明了解到，再过5年，刘爷爷的年纪正好是自己的4倍，小明今年13岁，设刘爷爷今年x岁，则可列方程为：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设刘爷爷今年x岁，根据再过5年，刘爷爷的年纪正好是自己的4倍列方程即可． 【详解】解：设刘爷爷今年x岁， 根据题意得，． 故选：A． 【融会贯通】 1．一个数的与2的差等于这个数的一半，这个数是（   ） A．12 B． C．18 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题关键是审题，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 设这个数为x，一个数的与2的差就是：，这个数的一半就是，根据题意列方程解出即可． 【详解】解：设这个数为x， 根据题意列方程得：， 去分母得， 解得：， ∴这个数是． 故选：B． 2．甲队有工人272人，乙队有工人196人，如果要求甲队人数是乙队的人数的3倍，应从乙队调多少人去甲队．如果设应从乙队调x人到甲队，列出的方程正确的是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系列出方程是本题的关键．应从乙处调x人到甲处，则甲处现有的工作人数为人，乙处现有的工作人数为人，根据甲处的人数是乙处人数的3倍，列出方程即可． 【详解】解：设应从乙处调x人到甲处，则甲处现有的工作人数为人，乙处现有的工作人数为人． 根据“甲处的人数是乙处人数的3倍”列方程得：， 故答案为：． 3．一只两层书架，上层放的书比下层的3倍还多18本，如果把上层的书拿出101本放到下层，那么两层所放的书本数相等．原来上下层各有书几本？ 【答案】原来上层有294本，原来下层有92本 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用题，找准题中的数量关系列方程是解题的关键；设原来下层有书x本，则上层有本，然后根据上层书本数101下层书本数101列出方程求解即可． 【详解】解：设原来下层有x本，则原来上层有本， 由题意得，， 解得：， ， 答：原来上层有294本，原来下层有92本． 类型四、一元一次方程的应用——配套问题 【解惑】某车间有30名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺栓22个或螺母16个．若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，若分配x名工人生产螺栓，则生产螺母的人数为人，根据由一个螺栓套两个螺母为等量关系列出关于x的一元一次方程即可． 【详解】解：若分配x名工人生产螺栓，则生产螺母的人数为人， 根据题意有：， 故选：A． 【融会贯通】 1．某车间有技工85人，平均每人每天能生产甲种零件16个或乙种零件10个．已知每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套，通过合理安排，分配恰当的人数生产甲或乙种零件，可以使得每天生产的配套零件最多，最多为（    ） A．200套 B．201套 C．202套 D．203套 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确用代数式表示生产的甲种零件的个数和乙两种零件的个数及所配成的套数是解题的关键． 设分配x人生产甲种零件，则分配人生产乙种零件，可生产甲种零件个，乙种零件个，由每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套列方程求解即可． 【详解】解：设分配x人生产甲种零件，则分配人生产乙种零件，可生产甲种零件个，乙种零件个， 根据题意得：，解得：（人）， 所以每天最多生产的配套零件的套数为：套． 故选：A． 2．某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母．1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排 名工人生产螺钉，其余的工人生产螺母，才能使每天生产的产品刚好配套． 【答案】10 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，掌握列一元一次方程的方法； 设安排x人生产螺母，则人生产螺钉，由一个螺钉配两个螺母可知螺母的个数是螺钉个数的2倍从而得出等量关系，列方程求解，即可得到答案． 【详解】解：设安排x人生产螺母，则人生产螺钉，由题意得： ， 解得：， ， 则应安排10人生产螺钉， 故答案为：10． 3．七年级四班共有学生48人，其中男生人数比女生人数多2人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底26个 (1)七年级四班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【答案】(1)男25人，女23人 (2)3人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用． （1）设女生人数为x人，则男生人数为人，根据七年级四班共有学生48人列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． （2）设a名男生去支援女生，根据每个盒身匹配2个盒底为等量关系，列出关于a的一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设女生人数为x人，则男生人数为人， 根据题意可得：， 解得： 则， 答：七年级四班有男生25人，女生23人． （2）解：设a名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套， 根据题意有：， 整理得：， 解得：， 答：需要3名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 类型五、一元一次方程的应用——比例分配问题 【解惑】“和尚分馒头”问题是我国古代的数学名题之一，它出自明代数学家程大位写的《算法统宗》．书中的题目是这样的：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？设有小和尚人，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设有小和尚人，则大和尚的人数为（ ）人，然后根据三个小和尚一个馒头，一个大和尚三个馒头即可列出方程． 【详解】解：设有小和尚人，则大和尚的人数为（ ）人， 由题意得， 故选B． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键在于能够根据题意找到等量关系列方程． 【融会贯通】 1．有一所寄宿制学校，开学安排宿舍时，如果每间宿舍安排4人，将会空出5间宿舍；如果每间宿舍安排3人，就有100人没床位，那么在学校住宿的学生有多少人？若设在学校住宿的学生有人，那么根据题意，可列出的方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设在学校住宿的学生有x人，根据学校宿舍间数一定，列出一元一次方程即可． 【详解】解：设在学校住宿的学生有x人， 每间宿舍安排住4人，需要宿舍 间， 每间宿舍安排住3人，100人没有床位， 则x-100人住上宿舍，宿舍房间为 即 故选：A 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程的知识，解题的关键是根据宿舍间数一定列方程． 2．将一个圆分割成四个扇形，使四个扇形的面积之比为，则四个扇形圆心角度数最大的是 ． 【答案】/144度 【分析】本题主要考查了求扇形的圆心角，由四个扇形的面积之比可得它们的圆心角的度数之比为，设其分别为，，，，再根据四个圆心角的度数之和等于列出方程，是解题的关键． 【详解】解：∵四个扇形的面积之比为， ∴它们的圆心角的度数之比为：， 设它们的圆心角的度数分别为，，，， 则，解得：， ∴，，，即四个扇形圆心角度数最大的是． 故答案为：． 3．为鼓励学生参加体育锻炼，某学校计划购买一批篮球和排球．已知篮球和排球的单价比为，单价之和为70元，则篮球和排球的单价分别为多少钱？ 【答案】篮球的单价为40元，排球的单价为30元． 【分析】设篮球的单价为x元，则排球的单价为元，然后根据篮球和排球的单价之和为70元，列出方程求解即可． 【详解】解：设篮球的单价为x元，则排球的单价为元， 根据题意得，， 解得， 故． 答：篮球的单价为40元，排球的单价为30元． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 类型六、一元一次方程的应用——日历问题 【解惑】如图，是2024年1月的月历，任意选取“十”字型中的五个数（比如图中阴影部分），若移动“十”字型后所得五个数之和为，那么该“十”字型中正中间的号数为（   ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程，准确计算．设中心数为x，根据5个数之和等于115，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设中心数为x，根据题意得： ， 解得：， ∴该“十”字型中正中间的号数为23， 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“凹”型框中的5个数（如阴影部分所示）．请你运用所学的数学知识来研究，这5个数的和不可能是（　　） A．31 B．56 C．67 D．126 【答案】C 【分析】本题主要考查了运用一元一次方程解答生活实际问题，找到框中7个数字的排列规律是解题的关键． 设“凹”型框中左上角的数字为x，则其他5个数字为，，，，代入验证67不是整数解。 【详解】解：设“凹”型框中左上角的数字为x，则其他5个数字为，，，， 则这5个数的和为， 令，得，符合实际，故A选项不符合题意； 令，得，符合实际，故B选项不符合题意； 令，得，不符合实际，故C选项符合题意； 令，得，符合实际，故D选项不符合题意； 故选：C． 2．如图1是2023年10月的日历，用笔在日历中任意框出两组呈斜对角线交叉的5个代表日期的数．如图2，若设交叉框中的五个数分别为，，，，，且，则的值为 ． 【答案】14 【分析】本题主要考查了日历中的方程，根据图1得出，，再根据，列出关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：根据图1中，所框出的这5个数的规律得：， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：14． 3．下图是2023年10月的月历，观察月历，回答问题： (1)小明国庆假期外出旅行三天，三天日期之和是12，小明是星期几出发的？ (2)“S型”这个阴影图形覆盖四个方格，设“S型”阴影覆盖的最小数字为m，四个数字之和为S，2023年是建国74周年，S的值能否等于74？若能，求m的值；若不能，说明理由； 【答案】(1)小明是星期二出发的 (2)的值不能等于74，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用： （1）设小明出发的日期是10月的第x天，可得一元一次方程，然后解方程即可； （2）根据月历的特点可得另外三个数为，则解方程得到，由于10月15日在第一列，故此时不能出现“S型”，据此可得结论． 【详解】（1）解：设小明出发的日期是10月的第x天， 根据题意得：， 解得， ∴小明出发的日期是10月的第3天， 由月历表可知，10月3号为星期二， 答：小明是星期二出发的； （2）解：的值不能等于74，理由如下： ∵“S型”阴影覆盖的最小数字为m， ∴另外三个数为， 若，则， ∵10月15日在第一列， ∴此时不能出现“S型” ∴的值不能等于74． 类型七、一元一次方程的应用——古代问题 【解惑】《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有多少亩？设出租的田有亩，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的运用，理解题目中的数量关系列式即可，掌握一元一次方程解实际问题的方法是解题的关键． 根据题意，设出租的田有亩，第一年3亩1钱的费用为，第二年4亩1钱的费用为，第三年5亩1钱的费用为，由此即可求解． 【详解】解：根据题意可得，， 故选：B ． 【融会贯通】 1．《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有x辆车，则可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据每三人乘一车，最终剩余2辆车，每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，进而表示出总人数得出等式即可． 【详解】解：由题知， 因为每3人乘一车，最终剩余2辆车， 所以总人数可表示为：， 因为每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘， 所以总人数可表示为：， 则可建立方程：． 故选：B． 2．古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两，今有干丝一十二斤，问生丝几何？”现有一类似问题：今有新鲜冬笋30斤，干燥后会损耗24斤，若干燥后得到的干冬笋是12斤，则原有新鲜冬笋 斤． 【答案】60 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确找到等量关系是解题关键．可设原有生丝为斤，根据比值是一定的，列出方程计算即可求解． 【详解】解：设新鲜冬笋为斤， ， 解得． 故新鲜冬笋为斤． 故答案为：． 3．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作．书中记载这样一个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这个问题的意思是：今有若干人乘车，每3人共乘1辆车，最终剩余2辆车；若每2人共乘1辆车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 【答案】39人，15辆车 【分析】设有辆车，根据题意列出一元一次方程，然后求解即可． 【详解】解：设有辆车，根据题意， 可得 ， 解得 ， 所以，． 答：共有39人，15辆车． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程在实际生活中的应用，根据题意找出等量关系列出方程是解题的关键． 类型八、一元一次方程的应用——工程问题 【解惑】幸福片区改造地下管线，若由甲队单独铺设需要20天，由乙队单独铺设需要30天，现计划由乙队先从一端铺设5天，然后增加甲队从另一端和乙队同时铺设．设甲乙两队共同铺设天后，恰好完成任务，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据乙独做5天的工作量加上甲乙合作x天的工作量=1，进而得出答案．本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 【详解】解：设甲乙工程队共同铺设天后，恰好完成这条地下管线的铺设， 则：， 故选：D． 【融会贯通】 1．一项工程，甲独做3天完成，乙独做7天完成，两人共同合作，需x天完成，可列方程（　　） A．． B． C．． D．． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．把总工作量当做单位1，分别表示出甲乙二人每天的工作量，根据两人合作天完成，列方程即可． 【详解】解：根据题意可知：甲的工作效率为，乙的工作效率为， 则， 故选：B． 2．某车间每天需生产50个零件，才能在规定时间内完成一批任务，实际上该车间每天比计划多生产了6个零件，结果比规定的时间提前3天完成且超额生产了120个零件．若设该车间要完成的零件任务为x个，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，能够用含有未知数的代数式表示相关的量，再根据题中的等量关系列方程，根据“实际生产所用时间比规定的时间提前3天完成且超额生产了120个零件”列方程即可． 【详解】解：利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合提前3天完成任务， 依题意，得． 3．甲、乙两人共同承包一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做20天完成，合同规定15天完成，否则每超过1天罚款1000元． (1)在规定时间内，甲、乙两人能否完成这项工程？ (2)现两人合作了这项工程的，因别处有急事，必须调走1人．调走谁更合适？ 【答案】(1)在规定时间内，甲、乙两人能完成这项工程 (2)调走甲更合适 【分析】本题考查了一元一次方程的应用－工程问题． （1）设甲乙合作需要x天完成，建立方程求出合作时间，再与15进行比较可以得出结论； （2）先求出完成需要的时间，再求出完成剩余工作量所用的时间及完成剩余工作量的工作效率，然后与甲、乙独自完成这项工作的工作效率进行比较，可以求出结论． 【详解】（1）解：设甲、乙两人合作完成此项工程需x天． 则，解得． 因为， 所以在规定时间内，甲、乙两人能完成这项工程； （2）解：设两人合作a天完成工程的． 则 解得． 若调走甲，则乙还需（天）； 若调走乙，侧甲还需（天）． 因为（天）天， （天）天， 所以调走甲更合适． 【一览众山小】 1．用一根24厘米长的铁丝围成一个直角三角形，若使三条边长的比是，则这个三角形的面积是（   ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，直角三角形面积，求直角三角形的直角边长是解题的关键，属基础题目． 设直角三角形三条边长分别为， ，，根据直角三角形的周长等于24厘米，列方程求解，然后求出直角三角形的两直角边长，然后根据直角三角形面积公式计算好戏可． 【详解】解：设直角三角形三条边长分别为， ，，根据题意，得 ， 解得：， ∴直角三角形三条边长分别为，，， ∴这个三角形的面积． 故选：B． 2．有一所寄宿制学校，开学安排宿舍时，如果每间宿舍安排住4人，将会空出5间宿舍；如果每间宿舍安排住3人，就有100人没床位，设学校住宿的学生人数为x，则以下列出的方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，解题的关键是找出题目中的等量关系，列出方程． 学校的宿舍数不变，可根据两种安排宿舍的方法分别表示出宿舍数，如果每间宿舍安排4人，将会空出5间宿舍，则宿舍数可表示为；如果每间宿舍安排3人，就会有100人没床位，则宿舍数可表示为，从而列出方程． 【详解】解：学校住宿的学生人数为x，根据题意得： ， 故选：C． 3．如图，按英文字母表A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K……的顺序有规律排列而成的鱼状图案中，如果某个字母出现的个数是37，则这个字母是（   ） A．K B．Q C．R D．S 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，一元一次方程的应用，观察图形可知，从A开始每个字母的个数是从1开始的连续的奇数，则第n个字母有个，据此根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：从A开始，第一个字母有1个， 第2个字母有3个， 第3个字母有5个， 第4个字母有7个， ……， 以此类推，可知第n个字母有个， 当时，解得， ∴这个字母是S， 故选：D． 4．如图有一种足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮可以看作正五边形，白皮可看作正六边形，设白皮有x块，则黑皮有块，则x的值为 ．（提示：每个白皮有6条边，共条边，每块白皮有3条边和黑皮连在一起） 【答案】20 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，因为每块白皮有3条边和黑皮连在一起，故黑皮共有条边，由此列一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设白皮有x块，则黑皮有块， 由题意得，， 即， 解得， 故答案为：20． 5．有一组数列，按一定规律排列：，2，，8，，32， ……，其中某三个数之和为1536，这三个数中最小的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出这三个数的关系，正确列出方程．仔细观察发现这一列数相邻三个数的关系，然后设出未知数，根据三个相邻数之和为1536列方程求解，进而可得答案． 【详解】解：设中间的数为x，则前面的数是，后面的数是， 依题意得：， 解得：， 则前面的那个数是512，后面的那个数是2048， 故这三个数中最小的是． 故答案为：． 6．足球比赛的计分方法为胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．一个队共踢了14场比赛，负5场，得了19分．设该队共平了x场，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设该队共平了x场，则胜了场，再根据总得分为19分，列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 7．在2022年女足亚洲杯决赛中，中国女足以逆转韩国女足，时隔16年再夺亚洲杯冠军！某学校掀起一股足球热，举行了班级联赛，九（1）班开局11场保持不败，共积25分，按照比赛规则，胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，求该班获胜的场数． 【答案】九（1）班获胜7场 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设九（1）班获胜x场，则平场，根据九（1）班开局11场共积25分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设九（1）班获胜x场，则平场， 根据题意得：， 解得：． 答：九（1）班获胜7场． 8．已知一块A型纸板可以制成1个C型正方形纸板和2个D型长方形纸板，一块B型纸板可以制成2个C型正方形纸板和1个D型长方形纸板，现有A、B两种纸板共20块，设A型纸板有x块（x为正整数） (1)求总共可以制成多少个C型正方形纸板（用含有x的式子表示） (2)出售一个C型正方形纸板可以获利10元，出售1个D型长方形纸板可以获利12元．若将所制成的C型、D型纸板全部售出可以获利650元，求x的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查列代数式和解一元一次方程， （1）根据题意即可求得B型纸板数，进一步即可求得C型正方形纸板； （2）首先求得C型正方形纸板和D型长方形纸板数，根据获利列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，B型纸板为块， 则总共可以制成C型正方形纸板个数为： ； （2）解：根据题意，列方程得： 化简得： ， 答：x的值为5． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一元一次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元一次方程的应用——数字问题 【解惑】在求一个两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行算，求解过程如图1~4所示，现仿照这几个图，用“列竖式”的方法计算一个两位数的平方，部分过程如图5所示，若这个两位数的个位数字为，则这个两位数为（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．九宫格是一款数学游戏，起源于河图洛书，河图与洛书是我国古代流传下来的两幅神秘图案，历来被认为是河洛文化的滥觞，中华文明的源头，被誉为“宇宙魔方”．将九个数分别填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，则的值为（    ） a 5 0 3 1 c b 4 A．1 B．0 C． D． 2．一个六位数的3倍等于，则这个六位数是 ． 3．一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果，那么称这个四位数为“和平数”． (1)直接写出：最小的“和平数”是______；最大的“和平数”是______． (2)一个“和平数”，十位数字为方程的解，千位数字与个位数字的比为2∶3，百位数字比千位数字小1，求这个“和平数”． (3)将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后的这两个“和平数”为一组“相关和平数”．例如：1423与4132为一组“相关和平数”．请直接写出：和是3333的所有“相关和平数”是______． 类型二、一元一次方程的应用——年龄问题 【解惑】(年龄问题)女儿今年(1994年)12岁．妈妈对女儿说∶“当你有我这么大岁数时，我已经60岁喽！”妈妈12岁时，是（   ）年． A．1969 B．1970 C．1972 D．1974 【融会贯通】 1．十年前A的年龄是B的年龄的4倍，现在A的年龄是B的年龄的2倍，A现在的年龄是（    ） A．20岁 B．24岁 C．30岁 D．15岁 2．今年，小王同学的年龄比他妈妈小27岁，6年后妈妈的年龄是小王年龄的5倍，设今年，小王同学的年龄是岁，由题意可列方程为 ． 3．小敏和妈妈的年龄和为50，3年后妈妈比小敏大22岁，三年后小敏和妈妈各多少岁？ 类型三、一元一次方程的应用——和差倍分问题 【解惑】“3·5”学雷锋日“献上一杯姜茶”活动中，小明为环卫工刘爷爷献上热茶并帮助刘爷爷打扫卫生，小明了解到，再过5年，刘爷爷的年纪正好是自己的4倍，小明今年13岁，设刘爷爷今年x岁，则可列方程为：（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．一个数的与2的差等于这个数的一半，这个数是（   ） A．12 B． C．18 D． 2．甲队有工人272人，乙队有工人196人，如果要求甲队人数是乙队的人数的3倍，应从乙队调多少人去甲队．如果设应从乙队调x人到甲队，列出的方程正确的是 ． 3．一只两层书架，上层放的书比下层的3倍还多18本，如果把上层的书拿出101本放到下层，那么两层所放的书本数相等．原来上下层各有书几本？ 类型四、一元一次方程的应用——配套问题 【解惑】某车间有30名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺栓22个或螺母16个．若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．某车间有技工85人，平均每人每天能生产甲种零件16个或乙种零件10个．已知每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套，通过合理安排，分配恰当的人数生产甲或乙种零件，可以使得每天生产的配套零件最多，最多为（    ） A．200套 B．201套 C．202套 D．203套 2．某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母．1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排 名工人生产螺钉，其余的工人生产螺母，才能使每天生产的产品刚好配套． 3．七年级四班共有学生48人，其中男生人数比女生人数多2人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底26个 (1)七年级四班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 类型五、一元一次方程的应用——比例分配问题 【解惑】“和尚分馒头”问题是我国古代的数学名题之一，它出自明代数学家程大位写的《算法统宗》．书中的题目是这样的：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？设有小和尚人，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．有一所寄宿制学校，开学安排宿舍时，如果每间宿舍安排4人，将会空出5间宿舍；如果每间宿舍安排3人，就有100人没床位，那么在学校住宿的学生有多少人？若设在学校住宿的学生有人，那么根据题意，可列出的方程为（       ） A． B． C． D． 2．将一个圆分割成四个扇形，使四个扇形的面积之比为，则四个扇形圆心角度数最大的是 ． 3．为鼓励学生参加体育锻炼，某学校计划购买一批篮球和排球．已知篮球和排球的单价比为，单价之和为70元，则篮球和排球的单价分别为多少钱？ 类型六、一元一次方程的应用——日历问题 【解惑】如图，是2024年1月的月历，任意选取“十”字型中的五个数（比如图中阴影部分），若移动“十”字型后所得五个数之和为，那么该“十”字型中正中间的号数为（   ） A．20 B．21 C．22 D．23 【融会贯通】 1．如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“凹”型框中的5个数（如阴影部分所示）．请你运用所学的数学知识来研究，这5个数的和不可能是（　　） A．31 B．56 C．67 D．126 2．如图1是2023年10月的日历，用笔在日历中任意框出两组呈斜对角线交叉的5个代表日期的数．如图2，若设交叉框中的五个数分别为，，，，，且，则的值为 ． 3．下图是2023年10月的月历，观察月历，回答问题： (1)小明国庆假期外出旅行三天，三天日期之和是12，小明是星期几出发的？ (2)“S型”这个阴影图形覆盖四个方格，设“S型”阴影覆盖的最小数字为m，四个数字之和为S，2023年是建国74周年，S的值能否等于74？若能，求m的值；若不能，说明理由； 类型七、一元一次方程的应用——古代问题 【解惑】《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有多少亩？设出租的田有亩，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有x辆车，则可列方程（　　） A． B． C． D． 2．古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两，今有干丝一十二斤，问生丝几何？”现有一类似问题：今有新鲜冬笋30斤，干燥后会损耗24斤，若干燥后得到的干冬笋是12斤，则原有新鲜冬笋 斤． 3．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作．书中记载这样一个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这个问题的意思是：今有若干人乘车，每3人共乘1辆车，最终剩余2辆车；若每2人共乘1辆车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 类型八、一元一次方程的应用——工程问题 【解惑】幸福片区改造地下管线，若由甲队单独铺设需要20天，由乙队单独铺设需要30天，现计划由乙队先从一端铺设5天，然后增加甲队从另一端和乙队同时铺设．设甲乙两队共同铺设天后，恰好完成任务，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．一项工程，甲独做3天完成，乙独做7天完成，两人共同合作，需x天完成，可列方程（　　） A．． B． C．． D．． 2．某车间每天需生产50个零件，才能在规定时间内完成一批任务，实际上该车间每天比计划多生产了6个零件，结果比规定的时间提前3天完成且超额生产了120个零件．若设该车间要完成的零件任务为x个，则可列方程为 ． 3．甲、乙两人共同承包一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做20天完成，合同规定15天完成，否则每超过1天罚款1000元． (1)在规定时间内，甲、乙两人能否完成这项工程？ (2)现两人合作了这项工程的，因别处有急事，必须调走1人．调走谁更合适？ 【一览众山小】 1．用一根24厘米长的铁丝围成一个直角三角形，若使三条边长的比是，则这个三角形的面积是（   ） A． B． C． D．以上都有可能 2．有一所寄宿制学校，开学安排宿舍时，如果每间宿舍安排住4人，将会空出5间宿舍；如果每间宿舍安排住3人，就有100人没床位，设学校住宿的学生人数为x，则以下列出的方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，按英文字母表A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K……的顺序有规律排列而成的鱼状图案中，如果某个字母出现的个数是37，则这个字母是（   ） A．K B．Q C．R D．S 4．如图有一种足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮可以看作正五边形，白皮可看作正六边形，设白皮有x块，则黑皮有块，则x的值为 ．（提示：每个白皮有6条边，共条边，每块白皮有3条边和黑皮连在一起） 5．有一组数列，按一定规律排列：，2，，8，，32， ……，其中某三个数之和为1536，这三个数中最小的数为 ． 6．足球比赛的计分方法为胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．一个队共踢了14场比赛，负5场，得了19分．设该队共平了x场，则可列方程为 ． 7．在2022年女足亚洲杯决赛中，中国女足以逆转韩国女足，时隔16年再夺亚洲杯冠军！某学校掀起一股足球热，举行了班级联赛，九（1）班开局11场保持不败，共积25分，按照比赛规则，胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，求该班获胜的场数． 8．已知一块A型纸板可以制成1个C型正方形纸板和2个D型长方形纸板，一块B型纸板可以制成2个C型正方形纸板和1个D型长方形纸板，现有A、B两种纸板共20块，设A型纸板有x块（x为正整数） (1)求总共可以制成多少个C型正方形纸板（用含有x的式子表示） (2)出售一个C型正方形纸板可以获利10元，出售1个D型长方形纸板可以获利12元．若将所制成的C型、D型纸板全部售出可以获利650元，求x的值 6 学科网（北京）股份有限公司 $$