专题05 一元一次方程（优质类型）-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版2024新教材）

专题05 一元一次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元一次方程的整体代入 【解惑】已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由关于的一元一次方程的解为，可得出关于的一元一次方程的解为，解之即可得出关于的一元一次方程的解是． 【详解】解：关于的一元一次方程的解为：， 关于的一元一次方程的解为：， 解得：， 关于的一元一次方程的解是． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，利用整体思想，找出关于的一元一次方程的解为是解题的关键． 【融会贯通】 1．已知关于的一元一次方程的解是，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次方程的解的定义，可得，关于的方程化简为，解方程即可． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解是， 即的解是， ∴，即的解为 ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键． 2．已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程．熟练掌握一元一次方程的解是解题的关键． 由题意知，方程的解为，计算求解即可． 【详解】解：∵方程的解为， ∴方程的解为， 解得，， 故答案为：3． 3．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用整体思想，找出关于的一元一次方程的解为，解之即可得出结论． 【详解】解：关于的一元一次方程可变形为． 关于的一元一次方程的解为， 关于的一元一次方程的解为， 解得：， 关于的一元一次方程的解为． 故答案为：． 类型二、一元一次方程的整数解 【解惑】若关于x的方程的解是整数，则满足条件的整数k的值有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查的是一元一次方程，解题的关键是掌握一元一次方程的解法．解方程时，整理可得；要使方程的解为整数，则，或，或，由此即可得出k的值． 【详解】解：， 移项，得， 解得． ∵方程的解为整数， ∴，或，或， ∴或或0或或或． ∴k的值共有6个． 故选：D． 【融会贯通】 1．若整数a使关于x的一元一次方程有正整数解，则符合条件的所有整数a之和为（    ） A． B．3 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据一元一次方程的解的情况求参数，先按照去分母，移项，合并同类项解方程得到，再证明，推出，根据方程有正整数解得到是大于2的正整数，据此求出符合条件的a的值，然后求和即可． 【详解】解： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 当时，，不成立， ∴， ∴， ∵整数a使关于x的一元一次方程有正整数解， ∴是正整数，即是大于2的正整数， ∴时，，符合题意； 时，，符合题意； 时，，不符合题意； ∴符合条件的所有整数a之和为， 故选B． 2．关于的方程的解是正整数，则整数的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元一次方程的解，表示出方程的解，由解是正整数，准确讨论出整数的值是解题的关键． 【详解】解：去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 由方程的解是正整数，得到为正整数，即或或或或或， 解得：或不是整数，舍去或或（不是整数，舍去）或不是整数，舍去或不是整数，舍去． 故答案为：或． 3．已知关于x的一元一次方程的解为非负整数，则所有满足条件的正整数a的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，求出方程的解为，从而可得是整数，据此求出a的值，由此即可得, 熟练掌握方程的解法是解题关键． 【详解】解：， 去分母得：， 解得， ∵关于x的一元一次方程的解为非负整数， ， 又为正整数， ∴a的所有可能的取值为， ∴所有满足题意的整数a的和是， 故答案为：． 类型三、一元一次方程的应用——行程问题 【解惑】小浩和天天从相距的两地同时相向而行，小浩每小时走，后两人相遇．设天天的速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系，有的题目所含的等量关系比较隐蔽，需要仔细审题归纳得出．根据后两人相遇，即两人走的路程之和两地的距离千米，再根据此等量关系列方程即可． 【详解】解：设天天的速度为，根据题意： 可得到方程：， 故选：C． 【融会贯通】 1．元旦假期小李去歌乐山爬山，上山每小时走，下山时按原路返回，下山每小时走，结果上山比下山多花小时，设下山所用时间为x小时，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据实际问题列一元一次方程，根据上山和下山的路程相等，列出方程即可． 【详解】解：设下山所用时间为x小时，则上山的时间为小时，由题意，得： ； 故选B． 2．一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为米与米，它们相向行驶在平行的轨道上，若坐在高速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是秒，则坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是 秒． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，确定其中的等量关系是解题的关键． 先设坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是秒，路程为静止的人看到的车长；据此可得的一次方程，解方程即可． 【详解】解：设坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是秒，则 ， 解得． 故答案为： 3．甲站和乙站相距，一列慢车从甲站开出，速度为，一列快车从乙站开出，速度为． (1)若两车相向而行，慢车先开，快车开出多少小时后两车相遇？ (2)若两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距？ (3)若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，多少小时后两车相距（快车在慢车的后面）？ 【答案】(1)快车开出后两车相遇 (2)后两车相距 (3)后两车相距 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据每一问的速度和路程列出关于时间的方程式并求解是解题的关键． （1）设快车开出后两车相遇，根据两车行驶路程和为，列出方程式即可解题； （2）设后两车相距，两车行驶路程和再加上甲站和乙站的距离为，列出方程式即可解题； （3）设后两车相距，根据快车所走的路程比慢车所走的路程多，即可列出方程式，即可解题． 【详解】（1）解：设快车开出后两车相遇． ． 由题意，得， 解得． 答：快车开出后两车相遇． （2）解：设后两车相距． 由题意，得， 解得． 答：后两车相距． （3）解：设后两车相距． 由题意，得， 解得． 答：后两车相距． 类型四、一元一次方程的应用——销售问题 【解惑】某种商品的进价为80元，出售时的标价为110元．为了尽快减少库存，商店准备打折出售，但要使利润率，则该商品应打（　　） A．6折 B．7折 C．8折 D．9折 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找出数量关系，列出方程是解答关键． 设该商品打折销售，利用，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设该商品打折销售， 根据题意得：， 解得：， ∴该商品打8折销售． 故选：C． 【融会贯通】 1．已知某商店有两个进价不同的计算器都卖了80元，其中一个盈利，另一个亏损，在这次买卖中，这家商店盈利了？还是亏损了？（   ） A．盈利了 B．亏损了 C．不盈不亏 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正负数的应用， 设第一个计算器的进价为x元，第二个计算器的进价为y元，根据题意求出x，y 然后再用售价减去进价即可得出答案． 【详解】解：设第一个计算器的进价为x元，第二个计算器的进价为y元， 则，， 解得（元），（元）． ∴（元） 所以亏损了元． 故选：B． 2．张先生向商店订购某种商品80件，每件定价100元．张先生向商店经理说：“如果你肯减价，每减价1元，我就多订购4件．“商品店经理算了一下，如果减价，由于张先生多订购，仍可获得与原来一样多的利润，则这种商品的成本是 元． 【答案】75 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确列出方程． 根据两种方式获得的利润相等建立方程，并解方程即可得到结果． 【详解】设这种商品的成本是x元，减价5%则每件减元，可多买 （件）． ，解得． 故答案为：75． 3．某商场购进了A、B两种商品，其中A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，购进A种商品3件与购进B种商品4件的进价相同． (1)求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)该商场购进了A、B两种商品共100件，所用资金为6900元，出售时，A种商品按标价出售每件的利润率为25%，B种商品按标价出售每件可获利10元．若按标价出售A、B两种商品，则全部售完商场共可获利多少元？ 【答案】(1)A种商品每件的进价是80元，B种商品每件的进是60元； (2)全部售完共可获利1450元． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元一次方程解决问题． （1）设A种商品每件的进价是x元，由购进A种商品3件与购进B种商品4件的进价相同得：，即可解得答案； （2）设购进A种商品a件，则购进B商品件，由所用资金为6900元得 ，解出a的值，即可列式求出答案． 【详解】（1）设A种商品每件的进价是x元，则B种商品每件的进价是元， 由题意得：， 解得， ∴（元）， 答：A种商品每件的进价是80元，B种商品每件的进价是60元； （2）设购进A种商品a件，则购进B商品件， 由题意得 ， 解得， ∴， ∴（元）， 答：全部售完共可获利1450元． 类型五、一元一次方程的应用——电费和水费问题 【解惑】为了节约用水，某市规定，每户居民每月用水不超过，按每立方米2元收费，超过，则超过部分按每立方米4元收费，某户居民5月份交水费72元．该居民5月份实际用水（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先可判断该户村民实际用水超过20立方米，设实际用水为x，根据共交水费72元，可得出方程，解出即可． 【详解】解：设实际用水为x立方米， 由题意得，实际用水量超过20立方米， ， 解得：． 即该户居民九月份实际用水28立方米． 故选：C 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，涉及了阶级收费分问题，注意分段表示每部分所花费的钱数，利用方程思想解出答案． 【融会贯通】 1．小明所在城市的“阶梯水价”收费办法是：每户用水不超过5吨，每吨水费元；超过5吨，超过部分每吨加收3元，小明家今年5月份用水9吨，共交水费为44元，根据题意列出关于的方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， ， 化简，得 ， 故选B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，根据题中的数量关系列出方程． 2．某市近期公布的居民用天然气阶梯价格方案如下： 第一档天然气用量 第二档天然气用量 第三档天然气用量 年用天然气量360立方米及以下，价格为每立方米2元 年用天然气量超出360立方米，不足600立方米时，超过360立方米部分每立方米价格为2.5元． 年用天然气量600立方米以上，超过600立方米部分价格为每立方米3元． 若某户2023年实际缴纳天然气费2463元，则该户2023年使用天然气 立方米． 【答案】981 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分清各档用气量和对应价格是解答本题的关键．先计算出第一档和第二档中年用天然气量分别为360立方米和600立方米应缴纳的费用之和为1320元，由得出该户2023年使用天然气超过600立方米，设该户2023年使用天然气x立方米，根据等量关系“各档天然气费用之和等于2463元”列方程求解即可． 【详解】，， 该户2023年使用天然气超过600立方米， 设该户2023年使用天然气x立方米， 根据题意得：， 解得：， 该户2023年使用天然气981立方米， 故答案为：981． 3．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市民居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 超过17吨但不超过30吨的部分 b 超过30吨的部分 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量：②水费=自来水费用+污水处理费） 已知小王家2024年7月用水16吨，交水费元．8月份用水25吨，交水费元． (1)求a、b的值． (2)如果小王家9月份用水36吨，求小王家这个月上交水费多少元？ 【答案】(1) (2)上交水费元 【分析】本题考查了列代数式的应用—分段计费问题，有理数的运算，理解题意正确列出代数式是关键； （1）当用水16吨时，水费为元，根据水费为，则列式可求得a的值；当用水25吨时，由所求a的值，可计算出基本水费与超过部分水费，等于元减去污水处理费，由此列式计算求得b的值； （2）根据（1）所求a与b的值，直接计算出基本部分水费、超过部分水费、污水处理费，相加即可求解． 【详解】（1）解：当用水16吨时，水费为元，则， 则（元）； 当用水25吨时，17吨水的费用为（元），（元）， 所以， 得：； （2）解：（元）； 答：小王家9月份用水36吨，应上交水费元． 类型六、一元一次方程的应用——方案问题 【解惑】把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则缺25本．设这个班有学生x人，图书y本，则可以列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设这个班有学生x人，图书y本，根据每人分3本，则剩余20本可知图书数为本，班级人数为人；根据每人分4本，则缺25本可知图书数为本，班级人数为人，由此列出方程即可． 【详解】解：设这个班有学生x人，图书y本， 由题意得，，， 故选B． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 【融会贯通】 1．学校春游，如果每辆汽车坐45人，则有28人没有上车；如果每辆坐50人，则空出一辆汽车，并且有一辆车还可以坐12人，没有x辆汽车，可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】等量关系为：汽车辆数汽车辆数．依此列出方程即可求解． 【详解】解：设有x辆汽车，根据题意得： ． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是找出题目中的相等关系．一般地题目中有2个未知量时，应设数目较小的量为未知数，另一个量作为等量关系的依据． 2．美加外校七年级学生在班主任的带领下赶赴劳动实践基地开展实践劳动，七年级（1）班的同学在进行劳动前需要分成x组，若每小组分配12人，则余下5人；若每组14人，则有一组少5人；若每组分配13人时，则该班可分成 组． 【答案】5 【分析】先根据班级人数相同，结合每小组分配12人，则余下5人；若每组14人，则有一组少5人建立方程求出组数，进而求出班级人数即可得到答案． 【详解】解：设需要分成x组 由题意得 ， 解得， ∴七年级（1）班一共有人， ∴每组分配13人时，则该班可分成组， 故答案为：5．． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 3．随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的时间与方式有了更多的选择．某市有出租车、滴滴快车和神州专车三种网约车，收费标准见下表（该市规定网约车行驶的平均速度为公里/时）． 起步价：元 超公里费：超过公里元/公里 不足公里按公里计 滴滴快车 起步价：元 里程费：元/公里 时长费：元/分钟 神州专车 起步价：元 里程费：元/公里 时长费：元/分钟 问题一：“奋进小组”提出的问题是：如果乘坐这三种网约车的里程数都是公里，他们发现乘坐出租车最节省钱，费用为 ___________元； 问题二：请解答“质疑小组”提出的以下两个问题， （1）从甲地到乙地，乘坐出租车比滴滴快车节省13.6元，求甲、乙两地间的里程数； （2）神州专车和滴滴快车对第一次下单的乘客有如下优惠活动：神州专车收费打八折，另外加5.3元的空车费；滴滴快车超过8公里收费立减6.5元；如果两位顾客都是第一次下单，分别乘坐神州专车、滴滴快车且收费相同，求这两位顾客乘车的里程数． 【答案】问题一：；问题二：（1）甲、乙两地间里程数为12公里；（）两位顾客的里程数为5或30公里． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键． 问题一：根据出租车的收费标准解答； 问题二：（1）设甲、乙两地间里程数为x公里，分和两种情况列出方程并解答； （2）设两位顾客的里程数为x公里，分和两种情况，分别列出方程并解答． 【详解】解：问题一：（元）． 故答案为：30.8； 问题二：（1）解：设甲、乙两地间里程数为x公里， ①若，， 解得（舍）． ②若，． 解得． 答：甲、乙两地间里程数为12公里； （2）解：设两位顾客的里程数为x公里 ①若时，； 解得； ②若时，， 解得； 答：两位顾客的里程数为5或30公里． 类型七、一元一次方程的新定义 【解惑】用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．例如：． (1)计算：； (2)若，求的值． 【答案】(1)6； (2)的值为． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，有理数混合运算及新定义： （1）根据新定义可得，据此计算求解即可； （2）根据新定义可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， ∴ 解得：， 的值为． 【融会贯通】 1．定义运算例如：． (1)计算； (2)，求x的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查的是有理数的混合运算，根据新规定的运算法则列出算式和方程是解题的关键． （1）根据新定义的运算规则，将和代入计算即可； （2）根据新定义的运算规则，将和x代入可得关于x的一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， ， ， ． 2．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“统一方程”．例如，方程的解为，方程的解为，，所以方程与方程互为“统一方程”． (1)方程与方程互为“统一方程”吗？请说明理由； (2)若关于x方程与方程互为“统一方程”，求n的值． 【答案】(1)是，理由见解析． (2)． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用“统一方程”的定义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键． （1）分别求得两个方程的解，再利用“统一方程”的定义进行判断即可； （2）分别求得两个方程的解，利用“统一方程”的定义列出关于n方程． 【详解】（1）解：方程与方程是“统一方程”，理由如下： 由，解得； 由，解得， ， 方程与方程是“统一方程”． （2）解：由，解得； 由，解得； 关于方程与是“统一方程”， ， 解得． 3．方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”． (1)若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则___________； (2)若关于的方程的解也是“立信方程”的解，求的值． (3)关于的方程是“立信方程”，直接写出符合要求的正整数的值． 【答案】(1)3 (2) (3)4，6，18 【分析】（1）先求出的解，再将方程的解代入，求出的值即可； （2）由得，，利用整体思想，将代入，求出的值即可； （3）求出方程的解，根据方程是“立信方程”得到方程的解为整数，进行求解即可． 【详解】（1）解：，解得：， ∵的解也是关于的方程的解， ∴，解得：； 故答案为：3； （2）解：∵， ∴， ∵关于的方程的解也是“立信方程”的解， ∴， ∴，解得：； （3），解得：， ∵是“立信方程”， ∴是整数， ∴或， 解得：或或（不合题意，舍去）或， ∴符合要求的正整数的值为． 【点睛】本题考查方程的解，解一元一次方程．理解并掌握方程的解的定义，“立信方程”的定义，是解题的关键． 类型八、一元一次方程的数轴动点 【解惑】已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，且满足，．    (1)分别求a，b，c的值； (2)若点D在数轴上对应的数为x，当A、D间距离是B、C间距离的5倍时，请求出x的值； (3)若点A和点B分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒， ①当t为何值时，点A到点B、点C的距离之和是40？ ②是否存在一个常数k，使得的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)①；②存在， 【分析】（1）绝对值和平方具有非负性，由非负数的和等于0，每个非负数都为零，求出a，b，c； （2）由数轴上两点间的距离公式表示出和，建立方程求解x； （3）假设存在符合条件的k，表示，再利用整式的性质求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点A表示的数是1，B表示的数是，C表示的数是，点D表示的数是， ∴A、D间距离是，B、C间距离是， ∵当A、D间距离是B、C间距离的5倍， ∴， ∴， 当时，， 当时，， 综上：或； （3）解：①当运动时间为t秒时， 点A表示的数是，点B表示的数是， ∴点A、B间的距离， 点A、C间的距离， 当点A到点B、点C的距离之和是40时， ， ∴； ②∵，， ∴， ∵的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变， ∴， ∴， ∴存在符合条件的k，． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值以及偶次方的非负性，整式的加减，解题的关键是：（1）利用绝对值及偶次方的非负性，求出a，b的值；（2）①找准等量关系，正确列出一元一次方程；②用含t的代数式表示出的值． 【融会贯通】 1．点在数轴上分别表示有理数和两点之间的距离为，在数轴上两点之间的距离．例如点表示的数为，点到原点O的距离为；如图所示，点所表示的数为．点所表示的数为2．回答下列问题： (1)两点之间的距离______； (2)若动点分别从两点同时向左移动，点的速度分别为每秒2个单位长度和每秒4个单位长度，设移动时间为秒、秒后，点所表示的数为______，点所表示的数为______；（用含的代数式表示） (3)在运动过程中，试探究的值是否会随着的变化而改变？请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)不会随着的改变而变化，的值恒等于6 【分析】（1）利用两点间的距离公式进行计算即可； （2）根据数轴上点的移动：左移减，右移加，列出代数式即可； （3）分别求出，，计算出，即可得出结论． 【详解】（1）解：点所表示的数为，点所表示的数为2， 由题意可得， 故答案为：6； （2）解：由题意得点所表示的数，点所表示的数， 故答案为：，； （3）解：不会改变， 理由如下： 由（2）知所表示的数，点所表示的数， 点所表示的数为2， ，， ， 的值不随的变化而变化，为定值6． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，列代数式，整式的加减，一元一次方程的应用，数形结合，掌握两点间的距离公式是解题的关键． 2．如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”。图中点表示，点表示12，点表示20，我们称点和点在数轴上相距32个长度单位，记为．动点从点出发，以4单位/秒的速度沿着“折线数轴”正方向运动，从点运动到点期间，速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向运动，从点运动到点期间，速度变为原来的2倍，之后也立刻恢复原速．设运动时间为秒． (1)当时，，两点在数轴上相距多少个单位长度？ (2)当、两点相遇时，求运动时间的值． (3)若“折线数轴”上定点与，两点相距的长度相等，当为何值时，、与点相距的长度之和等于12？ 【答案】(1)14 (2) (3)或10 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找到相等关系是解题的关键． （1）由点，，，表示的数，可求出，及的值，利用时间路程速度，可求出点到达点及点到达点所需时间，结合，的出发点、运动速度、运动方向及运动时间，可找出当时，点，表示的数，进而可求出的长； （2）当时，点位于：，点位于点：， 设再过秒，、相遇，可得出关于的一元一次方程，解之即可求出结论； （3）由定点与，两点相距的长度相等，可得出点表示6，利用时间路程速度，结合（1）可求出点到达点及点到达点所需时间，分三种情况，可得出关于的含绝对值的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：点表示，点表示0，点表示12，点表示20， ，，， ∵动点从点出发，以4单位/秒的速度沿着“折线数轴”正方向运动，从点运动到点期间，速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速， ∴点到达点用时（秒），到达点用时（秒），到达点用时（秒）， ∵动点从点出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向运动，从点运动到点期间，速度变为原来的2倍，之后也立刻恢复原速， ∴点到达点用时（秒），到达点用时（秒），到达点用时（秒）， 当时，点已经过，在线段上，表示的数为，点还在线段，表示的数为， ， 答：当时，，两点在数轴上相距14个单位长度； （2）解：当时，点未到达点，此时点表示的数为，点刚好到达点， ∴当、两点相遇时，，且相遇点在上， 设当再过秒，、相遇， 则：， 解得：， ， 答：当，两点相遇时，运动时间的值为秒； （3）解：“折线数轴”上定点与，两点相距的长度相等， 点表示6， ∴当点到达点时（秒），当点到达点时（秒）， 当时，点在上运动，点在上运动，此时、与点相距的长度之和大于，不合题意； 当时，点在上运动但未到达点，点在上运动，此时点M表示为，点N表示为， ∵、与点相距的长度之和等于12， ∴， 解得：； 当时，点在上运动但已到达点，点在上运动，则点M表示为，点N表示为， ∵、与点相距的长度之和等于12， ∴， 解得：（不符合，舍去）； 当时，点在上运动但已到达点，点在上运动但未到达点，则点M表示为，点N表示为， ∵、与点相距的长度之和等于12， ∴， 方程无解，不合题意； 当时，点在上运动，点在上运动但未到达点，则点M表示为，点N表示为， ∵、与点相距的长度之和等于12， ∴， 解得：； 当时，点在到达点，点到达点，此时、与点相距的长度之和为， ∴时不可能使、与点相距的长度之和等于12， 综上所述，当的值为或10，、与点相距的长度之和等于12． 3．阅读材料： 数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，点A与点B之间的距离可以用表示．若点A在点B右侧，则；若点B在点A右侧，则；若点A与点B重合，则． 解决问题： 如图，点O是数轴的原点，点A，B，M分别表示数a，b，m，其中． (1)当a、b满足时， ①__________，__________，__________， ②若点B不动，当点A运动时，点M也随之运动，点A从原来位置沿数轴向右运动到与原点O重合时停止运动，则在此过程中，点M运动的路径总长为__________； (2)若，，求b的值； (3)当，时，点A，B分别以每秒3个单位长度，每秒个单位长度的速度，同时沿数轴向左运动，运动时间为t秒，当点A，B重合时他们都停止运动．在点A，B运动时，点M也随之运动，且使得点A，M之间的距离保持不变，求x及的值． 【答案】(1)①；；2；②5 (2) (3)； 【分析】（1）①根据绝对值的非负性和二次方的非负性，求出a、b的值，再根据题意求出m的值即可； ②根据点A运动过程中，的长度变化，求出点M运动的路径长即可； （2）根据，得出，根据，得出，解关于b的方程即可； （3）先求出当运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点M表示的数为：，然后用t表示出，令，求出x的值即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴，， 解得：，， ∴； ②当点A运动从点运动到点时，从2减小到0，当点A从运动到原点时，从0增大到3， ∴点M从2运动到0，再从0运动到3， ∴点M运动的路径长为； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； （3）解：当运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点M表示的数为： ， ∴ ， 令， 解得：， ∴当时，点A，M之间的距离保持不变， 此时． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，绝对值的非负性，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，熟练掌握数轴上两点间距离公式． 【一览众山小】 1．某商店以每套元的价格卖出两套喜乐牌套装书写笔，其中一套盈利，另一套亏损，则该商店在这次买卖中（   ） A．不赚不赔 B．赚了5元 C．亏了5元 D．赚了元 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是掌握利润等于进价乘以利润率，正确的列出方程． 设两种百乐牌套装书写笔的进价分别为，，根据题意，得到，，分别求出，的值，再利用，得出结果后即可得出结论． 【详解】解：设两种百乐牌套装书写笔的进价分别为，， 根据题意得：，， 解得：，， 元， 该商店在这次买卖中亏了元， 故选：C 2．已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，且、满足，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．若点、同时出发，当、两点相距个单位长度时，的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据可得，，由已知条件可得表示的数是，表示的数是，而、两点相距个单位长度，故可列方程，解之即可得出答案． 【详解】解：， ，， 解得：，， 动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒， 表示的数是，表示的数是， 根据题意可得： ， 即：， 解得：或， 故选：． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，绝对值的非负性，解一元一次方程，列代数式，整式的加减运算，绝对值方程等知识点，用含的代数式表示、表示的数并列方程解决问题是解题的关键． 3．方程与方程的解相同，则k的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了同解方程，先解方程，可得，然后把代入方程中得，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， 解得：， 把代入方程中得： ， ， ， ， 故选：C． 4．已知，，则式子的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查等式的性质，以及代数式求值，根据等式的性质得到，将其整理为求解，即可解题． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 5．参加保险公司的医疗保险，住院治疗的病人享受分段报销．保险公司制定的报销细则如下表：某人住院治疗得到保险公司报销金额是11000元，此人的住院医疗费为元 ． 住院医疗费（元） 报销率（） 不超过5000元的部分 0 5000—10000元的部分 60 超过10000元的部分 80 【答案】20000 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，第二档最多报元，确定这人住院医疗费在第三档，其中5000元不报销，5000元报销率是60%，其余的报销率是80%，据此求解即可． 【详解】设住院医疗费为x元． ∵此人得到的报销金额为11000元， ∴在第三档， 可得 解得， 所以此人住院的医疗费为20000元． 故答案为：20000． 6．已知a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是1，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查方程解的定义，熟练运用方程解的定义及由k可以取任何值得到a和b的值是解题的关键．把代入已知等式，得到，整理为的形式，令，由此求得，进而求得a、b的值，代入求值即可． 【详解】解：把代入方程，得： ，即， 整理得：， 无论k为何值，它的解总是1， ，， 解得：，， 则， 故答案为：4． 7．小明是个爱钻研的学生，遇到问题总是要一探究竟．现在他将形状、大小完全相同的两个长方形纸板放在数轴上（如图）． (1)一个长方形纸板的面积是_________； (2)小明将左边的长方形以每秒钟1个单位的速度沿着数轴向右移动，设移动时间为秒． ①他发现，在移动的过程中，有一段时间两个长方形重叠部分面积保持不变，那么两个长方形重叠部分面积保持不变的时间有多长？ ②当两个长方形重叠部分面积等于长方形面积一半时，求的值． 【答案】(1)6 (2)①1秒；②的值为或 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用： （1）根据数轴上点的位置结合数轴上两点距离计算公式可得长方形的长和宽，再根据长方形面积计算公式求出面积即可； （2）①从点与点重合开始，到点与点重合，这段时间内，两个长方形重叠部分面积保持不变，据此计算重叠面积不变的时长即可；②分当点在之间，当点在之间，两种情况根据重叠部分为长方形结合长方形面积计算公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，长方形的长为，宽为， ∴一个长方形的面积为， 故答案为：6； （2）解：①∵左边的长方形以每秒钟1个单位的速度沿着数轴向右移动， ∴从点与点重合开始，到点与点重合，这段时间内，两个长方形重叠部分面积保持不变，为； ∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为2，点表示的数为4， ∴，， （秒），（秒），（秒）， ∴在移动的过程中，两个长方形重叠部分面积保持不变的时间为1秒．             ②当两个长方形重叠部分面积等于长方形面积一半时，分两种情况： 当点在之间，此时点表示的数为，于是 ， 解得．             当点在之间，此时点表示的数为，于是 ， 解得． ∴当两个长方形重叠部分面积等于长方形面积一半时，的值为或． 8．如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为． 已知动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的3倍．经过点C后立刻恢复初始速度． (1)动点P从点A运动至点C需要多少时间？ (2)动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示）； (3)动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点P运动的时间． 【答案】(1)18.5秒 (2) (3)14.5或19.5 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及数轴， （1）利用时间路程速度，即可求出结论； （2）求出点运动到点所需时间，当时，利用点表示的数点表示的数点在线段段的运动速度（运动时间，即可用含的代数式表示出点表示的数； （3）由，及的长，可得出共有2种情况，当点在点和点之间，即时，点表示的数为，进而可得出，，结合，可列出关于的一元一次方程，解之可求出的值；当点在点的右侧，即时，点表示的数为，进而可得出，，结合，可列出关于的一元一次方程，解之可求出的值． 【详解】（1）解：根据题意得： （秒）； 答：动点从点运动至点需要18.5秒； （2）解：动点从点运动至点需要的时间为： （秒）， 运动t秒至点B和点C之间时，点P表示的数为： ， ∴当时，点表示的数为， 当动点运动至点和点之间时，点表示的数为； （3）解：，，， 共2两种情况． 当点在点和点之间，即时，点表示的数为， ，， ∴， 解得：； 当点在点的右侧，即时，点表示的数为， ，， ， 解得：． 答：动点的运动的时间是14.5秒或秒． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一元一次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元一次方程的整体代入 【解惑】已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知关于的一元一次方程的解是，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 2．已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 3．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解 ． 类型二、一元一次方程的整数解 【解惑】若关于x的方程的解是整数，则满足条件的整数k的值有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【融会贯通】 1．若整数a使关于x的一元一次方程有正整数解，则符合条件的所有整数a之和为（    ） A． B．3 C．0 D． 2．关于的方程的解是正整数，则整数的值为 ． 3．已知关于x的一元一次方程的解为非负整数，则所有满足条件的正整数a的和为 ． 类型三、一元一次方程的应用——行程问题 【解惑】小浩和天天从相距的两地同时相向而行，小浩每小时走，后两人相遇．设天天的速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．元旦假期小李去歌乐山爬山，上山每小时走，下山时按原路返回，下山每小时走，结果上山比下山多花小时，设下山所用时间为x小时，可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为米与米，它们相向行驶在平行的轨道上，若坐在高速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是秒，则坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是 秒． 3．甲站和乙站相距，一列慢车从甲站开出，速度为，一列快车从乙站开出，速度为． (1)若两车相向而行，慢车先开，快车开出多少小时后两车相遇？ (2)若两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距？ (3)若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，多少小时后两车相距（快车在慢车的后面）？ 类型四、一元一次方程的应用——销售问题 【解惑】某种商品的进价为80元，出售时的标价为110元．为了尽快减少库存，商店准备打折出售，但要使利润率，则该商品应打（　　） A．6折 B．7折 C．8折 D．9折 【融会贯通】 1．已知某商店有两个进价不同的计算器都卖了80元，其中一个盈利，另一个亏损，在这次买卖中，这家商店盈利了？还是亏损了？（   ） A．盈利了 B．亏损了 C．不盈不亏 D．不能确定 2．张先生向商店订购某种商品80件，每件定价100元．张先生向商店经理说：“如果你肯减价，每减价1元，我就多订购4件．“商品店经理算了一下，如果减价，由于张先生多订购，仍可获得与原来一样多的利润，则这种商品的成本是 元． 3．某商场购进了A、B两种商品，其中A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，购进A种商品3件与购进B种商品4件的进价相同． (1)求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)该商场购进了A、B两种商品共100件，所用资金为6900元，出售时，A种商品按标价出售每件的利润率为25%，B种商品按标价出售每件可获利10元．若按标价出售A、B两种商品，则全部售完商场共可获利多少元？ 类型五、一元一次方程的应用——电费和水费问题 【解惑】为了节约用水，某市规定，每户居民每月用水不超过，按每立方米2元收费，超过，则超过部分按每立方米4元收费，某户居民5月份交水费72元．该居民5月份实际用水（     ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．小明所在城市的“阶梯水价”收费办法是：每户用水不超过5吨，每吨水费元；超过5吨，超过部分每吨加收3元，小明家今年5月份用水9吨，共交水费为44元，根据题意列出关于的方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．某市近期公布的居民用天然气阶梯价格方案如下： 第一档天然气用量 第二档天然气用量 第三档天然气用量 年用天然气量360立方米及以下，价格为每立方米2元 年用天然气量超出360立方米，不足600立方米时，超过360立方米部分每立方米价格为2.5元． 年用天然气量600立方米以上，超过600立方米部分价格为每立方米3元． 若某户2023年实际缴纳天然气费2463元，则该户2023年使用天然气 立方米． 3．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市民居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 超过17吨但不超过30吨的部分 b 超过30吨的部分 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量：②水费=自来水费用+污水处理费） 已知小王家2024年7月用水16吨，交水费元．8月份用水25吨，交水费元． (1)求a、b的值． (2)如果小王家9月份用水36吨，求小王家这个月上交水费多少元？ 类型六、一元一次方程的应用——方案问题 【解惑】把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则缺25本．设这个班有学生x人，图书y本，则可以列方程为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．学校春游，如果每辆汽车坐45人，则有28人没有上车；如果每辆坐50人，则空出一辆汽车，并且有一辆车还可以坐12人，没有x辆汽车，可列方程（    ） A． B． C． D． 2．美加外校七年级学生在班主任的带领下赶赴劳动实践基地开展实践劳动，七年级（1）班的同学在进行劳动前需要分成x组，若每小组分配12人，则余下5人；若每组14人，则有一组少5人；若每组分配13人时，则该班可分成 组． 3．随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的时间与方式有了更多的选择．某市有出租车、滴滴快车和神州专车三种网约车，收费标准见下表（该市规定网约车行驶的平均速度为公里/时）． 起步价：元 超公里费：超过公里元/公里 不足公里按公里计 滴滴快车 起步价：元 里程费：元/公里 时长费：元/分钟 神州专车 起步价：元 里程费：元/公里 时长费：元/分钟 问题一：“奋进小组”提出的问题是：如果乘坐这三种网约车的里程数都是公里，他们发现乘坐出租车最节省钱，费用为 ___________元； 问题二：请解答“质疑小组”提出的以下两个问题， （1）从甲地到乙地，乘坐出租车比滴滴快车节省13.6元，求甲、乙两地间的里程数； （2）神州专车和滴滴快车对第一次下单的乘客有如下优惠活动：神州专车收费打八折，另外加5.3元的空车费；滴滴快车超过8公里收费立减6.5元；如果两位顾客都是第一次下单，分别乘坐神州专车、滴滴快车且收费相同，求这两位顾客乘车的里程数． 类型七、一元一次方程的新定义 【解惑】用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．例如：． (1)计算：； (2)若，求的值． 【融会贯通】 1．定义运算例如：． (1)计算； (2)，求x的值． 2．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“统一方程”．例如，方程的解为，方程的解为，，所以方程与方程互为“统一方程”． (1)方程与方程互为“统一方程”吗？请说明理由； (2)若关于x方程与方程互为“统一方程”，求n的值． 3．方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”． (1)若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则___________； (2)若关于的方程的解也是“立信方程”的解，求的值． (3)关于的方程是“立信方程”，直接写出符合要求的正整数的值． 类型八、一元一次方程的数轴动点 【解惑】已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，且满足，．    (1)分别求a，b，c的值； (2)若点D在数轴上对应的数为x，当A、D间距离是B、C间距离的5倍时，请求出x的值； (3)若点A和点B分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒， ①当t为何值时，点A到点B、点C的距离之和是40？ ②是否存在一个常数k，使得的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．点在数轴上分别表示有理数和两点之间的距离为，在数轴上两点之间的距离．例如点表示的数为，点到原点O的距离为；如图所示，点所表示的数为．点所表示的数为2．回答下列问题： (1)两点之间的距离______； (2)若动点分别从两点同时向左移动，点的速度分别为每秒2个单位长度和每秒4个单位长度，设移动时间为秒、秒后，点所表示的数为______，点所表示的数为______；（用含的代数式表示） (3)在运动过程中，试探究的值是否会随着的变化而改变？请说明理由． 2．如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”。图中点表示，点表示12，点表示20，我们称点和点在数轴上相距32个长度单位，记为．动点从点出发，以4单位/秒的速度沿着“折线数轴”正方向运动，从点运动到点期间，速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向运动，从点运动到点期间，速度变为原来的2倍，之后也立刻恢复原速．设运动时间为秒． (1)当时，，两点在数轴上相距多少个单位长度？ (2)当、两点相遇时，求运动时间的值． (3)若“折线数轴”上定点与，两点相距的长度相等，当为何值时，、与点相距的长度之和等于12？ 3．阅读材料： 数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，点A与点B之间的距离可以用表示．若点A在点B右侧，则；若点B在点A右侧，则；若点A与点B重合，则． 解决问题： 如图，点O是数轴的原点，点A，B，M分别表示数a，b，m，其中． (1)当a、b满足时， ①__________，__________，__________， ②若点B不动，当点A运动时，点M也随之运动，点A从原来位置沿数轴向右运动到与原点O重合时停止运动，则在此过程中，点M运动的路径总长为__________； (2)若，，求b的值； (3)当，时，点A，B分别以每秒3个单位长度，每秒个单位长度的速度，同时沿数轴向左运动，运动时间为t秒，当点A，B重合时他们都停止运动．在点A，B运动时，点M也随之运动，且使得点A，M之间的距离保持不变，求x及的值． 【一览众山小】 1．某商店以每套元的价格卖出两套喜乐牌套装书写笔，其中一套盈利，另一套亏损，则该商店在这次买卖中（   ） A．不赚不赔 B．赚了5元 C．亏了5元 D．赚了元 2．已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，且、满足，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．若点、同时出发，当、两点相距个单位长度时，的值为（   ） A． B． C．或 D．或 3．方程与方程的解相同，则k的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．已知，，则式子的值为 ． 5．参加保险公司的医疗保险，住院治疗的病人享受分段报销．保险公司制定的报销细则如下表：某人住院治疗得到保险公司报销金额是11000元，此人的住院医疗费为元 ． 住院医疗费（元） 报销率（） 不超过5000元的部分 0 5000—10000元的部分 60 超过10000元的部分 80 6．已知a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是1，则 ． 7．小明是个爱钻研的学生，遇到问题总是要一探究竟．现在他将形状、大小完全相同的两个长方形纸板放在数轴上（如图）． (1)一个长方形纸板的面积是_________； (2)小明将左边的长方形以每秒钟1个单位的速度沿着数轴向右移动，设移动时间为秒． ①他发现，在移动的过程中，有一段时间两个长方形重叠部分面积保持不变，那么两个长方形重叠部分面积保持不变的时间有多长？ ②当两个长方形重叠部分面积等于长方形面积一半时，求的值． 8．如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为． 已知动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的3倍．经过点C后立刻恢复初始速度． (1)动点P从点A运动至点C需要多少时间？ (2)动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示）； (3)动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点P运动的时间． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$