15.3分式方程 分式方程应用题2024-2025学年人教版数学八年级上册

分式方程应用题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分 一、解答题 1．为了倡导学生科学探索精神，某校八年级计划开展自制竞速轮船模型活动．小明报名参加活动，需购买A型和B型两种材料，以下是小明和网店商家沟通中的对话． 根据小明的需要，商家应给小明发货A型材料和B型材料的数量分别是多少件？ 2．为了响应打赢“蓝天保卫战”的号召，刘老师上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，刘老师家距离学校的路程是6千米，在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车的平均速度的3倍，所以刘老师每天上班要比开车早出发20分钟，才能按原驾车的时间到达学校． (1)求刘老师驾车的平均速度； (2)据测算，刘老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量约为2.4千克，按这样计算，求刘老师一天（按一个往返计算）可以减少的碳排放量． 3．南沙区某中学为满足学生的需求，丰富大课间运动项目，决定购入、两款运动器材，其中款器材单价是款器材单价的1.2倍，用9900元购买的款器材数量比用7500元购买的款器材数量多5套．分别求出、两款器材的单价． 4．一辆汽车开往距离出发地km的目的地，出发后第一小时内按照原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶．设原计划的行驶速度为x km/h． (1)原计划到达目的地所用的时间为______h，实际用时为______h； (2)若实际比原计划提前20min到达，求这辆汽车原计划到达目的地所用的时间， 5．某校八年级学生去距学校15km的课外实践基地活动，一部分学生骑自行车先走，过了45min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的4倍，求骑车学生的速度． 6．为加快臻美区公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩，已知B型充电桩是A型充电桩单价的1.5倍，且用9万元购买A型充电桩比用18万元购买B型充电桩的数量少5台． (1)问A，B两种型号充电桩的单价各是多少万元？ (2)若停车场买了A型充电桩n台，B型充电桩比A型充电桩多10台，问B型充电桩总费用比A型充电桩总费用高多少万元？（结果用n表示） 7．春节即将到来，家家户户贴春联，挂中国结，欢天喜地迎新年．某百货超市计划购进春联和中国结这两种商品．已知每个中国结的进价比每副春联的进价多25元，超市用350元购进的中国结数量和用100元购进的春联数量相同．求每个中国结的进价和每副春联的进价各是多少元？ 8．列分式方程解下列应用题： (1)为响应国家节能减排的号召，某公司计划购买A，B两种型号的新能源电动汽车．已知A型车比B型车的单价少3万元，且用180万元购买A型车与用240万元购买B型车的数量相等．求A型车的单价． (2)用电脑程序控制小型赛车进行比赛，“畅想号”和“和谐号”两辆赛车进入了决赛，比赛前的练习中，两辆车从起点同时出发，“畅想号”到达终点时，“和谐号”离终点还差．已知“畅想号”的平均速度为．如果两车重新开始比赛，“畅想号”从起点向后退，两车同时出发，两车能否同时到达终点？若能，求出两车到达终点的时间；若不能，请说明理由，并调整其中一辆车的平均速度，使两车能同时到达终点． 9．某中学为了创设“书香校园”，准备购买两种书架，用于放置图书．在购买时发现，种书架的单价比种书架的单价多20元，用600元购买种书架的个数与用480元购买种书架的个数相同． （1）求两种书架的单价各是多少元？ （2）学校准备购买两种书架共15个，且购买的总费用不超过1400元，求最多可以购买多少个种书架？ 10．某校为了准备“迎新活动”，用700元购买了甲、乙两种小礼品共130个，其中购买甲种礼品比乙种礼品少用了100元． (1)购买乙种礼品花了______元； (2)如果甲种礼品的单价比乙种礼品的单价高，求乙种礼品的单价．（列分式方程解应用题） 11．某工厂准备生产A和B两种零件，已知每个A零件成本比每个B零件成本多50元．经计算，用600元生产A零件的个数与用450元生产B零件的个数相等，请解答下列问题： (1)求每个A，B两种零件的成本； (2)该工厂计划用不超过9000元同时生产A和B两种零件共50个，且B零件不超过22个，该工厂有几种生产方案？ 12．某地对一段长达2400米的河堤进行加固，在加固800米后，采用新的加固模式，每天的工作效率比原来提高25%，用26天完成了全部加固任务． （1）原来每天加固河堤多少米？ （2）若承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增加了20%，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？ 13．为了增强体质，某学校组织徒步活动．两小组都走完了3千米的绿道，第一小组的速度是第二小组速度的倍，第一小组比第二小组提早小时到达目的地． (1)求两个小组的速度分别是多少？ (2)假设绿道长为a千米，第一小组走完绿道需要m（）小时，第二小组走完绿道的时间是第一小组时间的倍还要多小时，是否存在m，使得第一小组的速度是第二小组速度的2倍？请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．商家应给小明发货A型材料12件和B型材料6件． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设购买B型材料的数量为x件，则购买A型材料的数量为件．根据题意列出关于x的分式方程， 解方程即可求解． 【详解】解：设购买B型材料的数量为x件，则购买A型材料的数量为件． 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 则， ∴商家应给小明发货A型材料12件和B型材料6件． 2．(1)刘老师驾车的平均速度为36千米/小时 (2)可以减少碳排放量0.8千克 【分析】本题考查分式方程的实际应用． （1）设刘老师驾车的平均速度为x千米/小时，根据时间的等量关系列出方程即可求解； （2）由（1）可得刘老师开车的平均速度，再计算黄老师一天（按一个往返计算）可以减少碳排放量多少千克． 读懂题意，正确的列出方程，是解题的关键． 【详解】（1）解：设刘老师驾车的平均速度为x千米/小时，由题意，得： ， 解得：； 经检验：，是原方程的解． 答：刘老师驾车的平均速度为36千米/小时； （2）（千克）； 故可以减少碳排放量0.8千克． 3．A款器材的单价为180元，B款器材的单价为150元 【分析】本题考查分式方程的应用，设B款器材的单价为x元，则A款器材的单价为，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设B款器材的单价为x元，则A款器材的单价为， 根据题意，得， 解得， （元）， 答：A款器材的单价为180元，B款器材的单价为150元． 4．(1)， (2)小时 【分析】本题考查分式方程实际应用． （1）根据题意可分别得出原计划所用时间和实际所用时间； （2）根据题意用原计划所用时间减去实际所用时间等于20分钟，注意单位换算即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵开往距离出发地km的目的地，原计划的行驶速度为x km/h， ∴原计划所用时间为：h， ∵一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶， ∴实际速度为：km/h， ∴根据题意实际用时为：h； 综上所述：原计划到达目的地所用的时间为h，实际用时为h； （2）解：∵实际比原计划提前20min到达，即：， ∴可列方程：，解得：， 检验：把代入最简公分母中，， 故为方程的解且符合题意， ∴这辆车原计划到达目的地所用的时间：小时． 5．15km/h 【分析】找到等量关系式：骑自行车所用时间=乘汽车所用时间+，设骑车学生的速度为，列方程求解，注意分式方程检验. 【详解】解：设骑车学生的速度为，则汽车的速度为． 由题意，得． 解得． 检验：当时，，所以原方程的解为，且符合题意． 答：骑车学生的速度为15km/h． 【点睛】本题主要考查利用分式方程解决实际问题，找到等量关系式是解决应用题的关键，分式方程注意要检验. 6．(1)型充电柱的单价为0.6万元，型充电桩的单价为0.9万元 (2)B型充电桩总费用比A型充电桩总费用高万元 【分析】本题考查了分式的应用以及列代数式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出代数式． （1）设型充电桩的单价为万元，则型充电桩的单价少万元，根据“用9万元购买A型充电桩比用18万元购买B型充电桩的数量少5台”列出分式方程，求解即可； （2）若购买型充电柱个，则购买型充电桩个，则A型充电桩总费为万元，B型充电桩总费用为万元，两个相减即可解答； 【详解】（1）设型充电桩的单价为万元，则型充电桩的单价万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：型充电柱的单价为0.6万元，型充电桩的单价为0.9万元； （2）若购买型充电柱个，则购买型充电桩个， 则A型充电桩总费为万元，B型充电桩总费用为万元， 故B型充电桩总费用比A型充电桩总费用高万元． 答：B型充电桩总费用比A型充电桩总费用高万元． 7．每个中国结的进价是元，每幅春联的进价是元 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设每幅春联的进价是元，则每个中国结的进价是元，根据题意，列出方程求解即可． 【详解】解：设每幅春联的进价是元，则每个中国结的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：每个中国结的进价是元，每幅春联的进价是元． 8．(1)A型车的单价为9万元 (2)两车不能同时到达终点，理由见解析；当调整后“畅想号”的速度不变，“和谐号”的速度为时，两车能同时到达终点． 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． （1）设A型车的单价为x万元，则B型车的单价为万元，根据用180万元购买A型车与用240万元购买B型车的数量相等列出方程求解即可； （2）设“和谐号”的速度为，根据“畅想号”到达终点时，“和谐号”离终点还差列出方程求出“和谐号”的速度，进而求出重新比赛后两辆车到达终点的时间即可得到结论；设调整后“畅想号”的速度不变，“和谐号”的速度为，根据时间路程速度列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设A型车的单价为x万元，则B型车的单价为万元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：A型车的单价为9万元； （2）解：两车不能同时到达终点，理由如下： 设“和谐号”的速度为， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴“和谐号”的速度为； ∴重新比赛时，“畅想号”到达终点的时间为，“和谐号”到底终点的时间为 ∴两车不能同时到达终点； 设调整后“畅想号”的速度不变，“和谐号”的速度为， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴当调整后“畅想号”的速度不变，“和谐号”的速度为时，两车能同时到达终点． 9．（1）购买种书架需要100元，种书架需要80元；（2）最多可购买10个种书架． 【分析】（1）根据题意以书架个数为等量关系列出分式方程求解即可； （2）根据题意用代数式表示总费用，小于等于1400，列出不等式求解即可． 【详解】解：（1）设种书架的单价为元，根据题意，得 解得 经检验：是原分式方程的解     答：购买种书架需要100元，种书架需要80元． （2）设准备购买个种书架，根据题意，得   解得     答：最多可购买10个种书架． 【点睛】本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题关键在于根据题意列出方程和不等式． 10．(1) (2)乙种礼品的单价元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． （1）设购买乙种礼品花了元，则购买甲种礼品花了元，根据“用700元购买了甲、乙两种小礼品共130个”列出一元一次方程，解方程即可得出答案； （2）设乙种礼品的单价元，则甲种礼品的单价为元，根据“购买了甲、乙两种小礼品共130个”列出分式方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：设购买乙种礼品花了元，则购买甲种礼品花了元， 由题意得：， 解得：， 购买乙种礼品花了元， 故答案为：； （2）解：设乙种礼品的单价元，则甲种礼品的单价为元， 购买甲种礼品花了（元）， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 乙种礼品的单价元． 11．(1)A零件的成本为200元/个，B零件的成本为150元/个 (2)3种 【分析】（1）解：设B零件的成本为x元/个，则A零件的成本为元/个，根据题意列出分式方程，解方程即可； （2）设生产m个B零件，则生产个A零件，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组，再求出答案． 【详解】（1）解：设B零件的成本为x元/个，则A零件的成本为元/个， 依题意得： 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：A零件的成本为200元/个，B零件的成本为150元/个； （2）解：设生产m个B零件，则生产个A零件， 依题意得： 解得：． 又∵m为整数， ∴m可以为20，21，22． 答：该工厂共有3种生产方案． 【点睛】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，正确理解题意列出分式方程和不等式组是解题的关键． 12．（1）80米；（2）43800元 【分析】（1）设原来每天加固河堤米，则采用新的加固模式后每天加固米，然后根据用26天完成了全部加固任务，列方程求解即可； （2）先算出提高工作效率后每天加固的长度，然后进行求解即可． 【详解】解：（1）设原来每天加固河堤米，则采用新的加固模式后每天加固米．        根据题意得：， 解这个方程得： 经检验可知，是原分式方程的根，并符合题意； 答：原来每天加固河堤80米； （2）（米） 所以，承包商支付给工人的工资为：（元）． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程求解． 13．(1)千米/时、千米/时 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）设第二小组速度是千米/时，根据题意列方程解题即可； （2）根据题意列方程解出解题即可． 【详解】（1）解：设第二小组速度是千米/时，列方程得： ， 解得： 经检验：是原方程的解， ∴第一小组的速度为：千米/时 答：两个小组的速度分别是千米/时、千米/时． （2）不存在，理由为： 由题可知： 解得： 经检验：是原方程的解， ∵，不符合题意， ∴不存在m的值． 【点睛】本题考查分式方程的应用，注意分式方程解应用题需要检验． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$