第21章 一元二次方程课件2024-2025学年人教版数学九年级上册

第二十一章 一元二次方程 1 一元二次方程 方程 概念：含有未知数的等式叫方程。 举例： ① ② 一元二次方程 概念：只含一个未知数，且未知数最高次数是2的 整式方程。 一般式： 二次项系数 二 次 项 一 次 项 常 数 项 一次项系数 ——使方程左右两边相等的未知数的值,也叫一元二次方程的根 将未知数的值带入方程左、右两边 判定→ 左边=右边 →是方程的根 左边≠右边→不是方程的根 一元二次方程的解 1.一元二次方程(m+3)x²+3x+m²-9=0有一个根为0，则m的值为____ 2 解一元二次方程 解方程 化简 3x=6 系数 化1 x=2 ① ② 消元法 3x=6 代入 x=2 y=2 转化 3x=6 检验 x=2 一元二次方程 转化 一元一次方程 降次 x2=36 开平方 x=±6 2x2=36 x2=18 x=± 开平方 2(x+1)2=36 (x+1)2=18 x=-1± 开平方 概念：利用平方根的定义,直接开平方,求一元二次 方程的解的方法。 表示：x2=p x=± p>0→有两个不相等的实数根： p=0→有两个相等的实数根：x1=x2=0 p<0→无实数根 直接开方法 概念：将方程左边配成完全平方式,右边配成非负常数,进而直接开平方求解的方法,叫做配方法。 目的：降次！ 配方法 用配方法解一元二次方程 的一般步骤： ①移：将含有未知数的项移到左边,常数项移到右边； ②化：两边同除以二次项的系数； ③配：左右两边同时加上一次项系数一半的平方； ④开：将方程变成 的形式;若n≥0,直接 开方求解；若n<0，原方程无解。 ③配方 ①移项 ②二次项系数化1 ④开平方求根 探究 用配方法解一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0) Δ（b2-4ac）≥0时， ——一般地,式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0 根的判别式。 希腊字母“Δ”表示,即Δ=b2－4ac。 Δ>0,有两个不等实数根 Δ=0,有两个相等实数根 Δ<0,无实数根 判别式 注意:当a、c异号时,方程一定有两个不等实数根！ ♣公式法：解一元二次方程时，将各系数直接代入求根公式，直接得出根的方法 ♣求根公式:当Δ≥0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为 的形式,这个式子叫求根公式. 公式法 公式法解一元二次方程的步骤： 因式分解法 (x+a)(x+b)=0,则：x+a=0或x+b=0 ——概念：通过因式分解使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种方法叫因式分解法. 因式分解的方法： ①提公因式法：pa+ pb + pc=p(a+b+c) ②平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) ③完全平方公式：x2±2bx+b2=(x±b)2 ④“十”字相乘法：x2+(p+q)x+pq =(x+p)(x+q) 因式分解法解一元二次方程的步骤： ①移项:使等式右边为0; ②分解:将左边分解为两个一次因式的积; ③赋值:令每个因式分别为0,得到两个一元一次方程 ④求解:解两个一元一次方程,即方程的解。 3 一元二次方程的根 与系数的关系 韦达定理 △≥0 设 的两个根为x1,x2，则： 一元二次方程的根与系数的关系 验证 常见变形 4 实际问题与 一元二次方程 1.审：分清已知、未知，明确数量关系； 2.设：设未知数； 3.列：列方程； 4.解：解方程； 5.验：验方程、验实际； 6.答：写出答案。 列方程解实际问题的步骤 【传播问题】 a表示传播前的人数，x表示每轮每人传播的人数，n表示传播的轮数，b表示总人数,则： b=a(1+x)n a为起始量，b为终止量，n为增长（或降低）的次数： 增长率公式：b=a(1+x)n 降低率公式：b=a(1-x)n 【增长率问题】 ①面积公式：S正方形=a2，S圆=πR2，S三角形= ab ②体积公式：V长方体=abh，V圆柱=πR2h，V圆锥= πR2h。 【几何图形问题】 ①两位数：十位上的数字×10+个位上的数字 ②三位数：百位上的数字×100+十位上的数字×10+个位上的数字 【数字问题】 （1）利润=售价-进价 （2） （3）售价=进价×（1+利润率） （4）总利润=每件利润×销售量=总销售额-总成本 【销售利润问题】 $$