第22章 二次函数（知识点与例题精讲）课件2024-2025学年人教版数学九年级上册

第二十二章 二次函数 一 二次函数 1 函数 ——在某个变化过程中，有两个变量x和y ，若对于x的每一个值，都有唯一一个y值与它对应，那么称y为x的函数。 函数 列表：取较为代表性的x值及对应的函数值y； 描点：以x为横坐标，y为纵坐标，描出相应各点； 连线：按横坐标由小到大的顺序把各点用平滑曲线 连起来。 函数图象的画法(描点法) 例：画出函数y=x+0.5的图像 解：(1)从函数可看出x的取值范围是：全体实数 ①列表如下： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … 2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 … ②描点(x,y)； ③连线 2.5 1.5 0.5 y x 1 2 -1 O y=x+0.5 ①列表法：一目了然,但数值有限,不易看出对应规律 ②解析式法：简单明了,可反映自变量与函数之间的关系；但有些实际问题不能用解析式表示 ③图象法：形象直观,但只能近似表示两者关系。 函数的表示方法 2 一次函数 解析式 k 图象 性质 y=kx (k≠0) k＞0 一,三象限 y随x增大而增大 k＜0 二,四象限 y随x增大而减小 x y x y ★正比例函数——图像:过原点的直线！取点(0,0)(1,k) 一次函数 解析式 k 图象 性质 y=kx+b k＞0 b＞0 一,二,三象限 y随x增大 而增大 b＜0 一,三,四象限 k＜0 b＞0 一,二,四象限 y随x增大 而减小 b＜0 二,三,四象限 x y x y x y x y ★一次函数图像:与x轴交( ,0),与y轴交(0,b)的直线！ 3 二次函数 二次函数 概念：一般的,形如:y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0) 的函数叫二次函数。 一般式： 二次项系数 二 次 项 一 次 项 常 数 项 一次项系数 注:先化简后判断 观察y=x2表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表： x … -3 -2 -1 0 1 2　 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … 列表： 二次函数图像的画法 y=x2 x y 0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 10 8 6 4 2 描点 - 连线 特殊式： ①y=ax² (a≠0) ②y=ax²+k (a≠0) ③y=a(x-h)²+k (a≠0) 上下平移(上加下减) 左右平移(左加右减) ——二次函数的图象都是抛物线,开口向上或向下． 3 6 y O -3 3 x P(-1,1) P’(1,1) 每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫抛物线的顶点. 【切记】顶点是抛物线的最低点或最高点 二次函数的图像和性质 3 y 0 -3 3 x y=x2 y=2x2 开口 对称轴 顶点 增减性 a>0 向上 a越大 口越小 y轴 最小值 x<0,y随x增大而减小 x>0,y随x增大而增大 开口 对称轴 顶点 增减性 a<0 向下 a越小 口越小 y轴 最大值 x<0,y随x增大而减大 x>0,y随x增大而增小 -3 y -3 3 x y=-x2 y=-2x2 y x y=ax2的图象性质 a﹥0 对称轴 顶点 最值 增减性 开口 向上 y轴 (0,0) 当x=0时 最小值为0 x<0,y随x增大而减小 x>0,y随x增大而增大 y x a﹤0 对称轴 顶点 最值 增减性 开口 向下 y轴 (0,0) 当x=0时 最大值为0 x<0,y随x增大而减大 x>0,y随x增大而增小 y=2x2+2 y=2x2 y=2x2-2 向上平移 2个单位 向下平移 2个单位 2 -2 y O x y=-2x2+2 y=-2x2 y=-2x2-2 向上平移 2个单位 向下平移 2个单位 2 y O x -2 y=ax2+k的图象性质 a﹥0 对称轴 顶点 最值 增减性 开口 向上 y轴 (0,k) 当x=0时 最小值为k x<0,y随x增大而减小 x>0,y随x增大而增大 y x y x a﹤0 对称轴 顶点 最值 增减性 开口 向下 y轴 (0,k) 当x=0时 最大值为k x<0,y随x增大而减大 x>0,y随x增大而增小 y O -2 2 x y=2(x+2)2 y=2(x-2)2 y=2x2 左移2个单位 右移2个单位 y=a(x-h)² 的图像和性质 y=-2(x+2)2 y=-2x2 y=-2(x-2)2 左移2个单位 右移2个单位 -2 2 -2 y x 0 y=a(x-h)2 a>0 a<0 图 象 h>0 h<0 对称轴 直线x=h 直线x=h x O y O y x O x y y O x 顶点坐标 (h，0) (h，0) 增减性 x<h,y随x增大而减小 x>h,y随x增大而增大. x<h,y随x增大而增大 x>h,y随x增大而减小. 最值 x=h时,y最小值=0 x=h时,y最大值=0 y=2(x-2)2 y=2(x-2)2-2 y=2x2 下移2个单位 右移2个单位 2 y O -2 2 x -2 y=a(x-h)² +k的图像和性质 上下平移|k|个单位长度 左右平移|h|个单位长度 先左右平移|h|个单位长度 再上下平移|k|个单位长度 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k ★上加下减,左加右减,平移问题！ y=a(x-h)²+k (a≠0) 开 口 顶点 对称 轴 增减性 最值 a＞0 向 上 (h,k) 直线x=h x<h,y随x增大而减小x>h,y随x增大而增大 x=h时ymin=k a＜0 向 下 x<h,y随x增大而增大x>h,y随x增大而减小 x=h时ymax=k y=ax²+bx+c的图像和性质 y x a>0 对称轴 顶点 增减性 开口 向上 y随x增大而减小 y随x增大而增大 y x a<0 对称轴 顶点 增减性 开口 向下 y随x增大而减大 y随x增大而增小 一般式:y=ax2+bx+c(a≠0) 顶点式:y=a(x-h)²+k 两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 解析式 a>0,b>0或a<0,b<0 “a、b同号, 对称轴在左侧” y x y x a>0,b<0或a<0,b>0 “a、b异号, 对称轴在右侧” 4 常考题型 ※题型一：利用二次函数性质比较大小 1、设A(-2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线y=-(x+1)2+a的三点,则y1、y2、y3的大小关系是y1＞y2＞y3( ) A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y3>y2>y1 D.y2>y1>y3 ★比较二次函数中函数值大小的三种常用方法 ①直接代入x的值，求得y值后比较大小 ②当x的取值在对称轴同侧时,根据二次函数增减性判断 ③当x的取值在对称轴两侧时，根据自变量到对称轴的距离及二次函数的增减性判断。 ※题型二：利用二次函数的对称性解题 2、小明在用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像时，列了如下表格： 根据表格中的信息同答问题：该二次函数y=ax2+bx+c在x=3时，y=_________. ※题型三：确定二次函数的最大(小)值 3、求二次函数 的最小值。 求最大(小)值、对称轴与顶点坐标 ①配方法:y=a(x-h)²+k,顶点(h,k),对称轴x=h ②顶点坐标公式: ※题型四：二次函数的图像应用 4、如图为y=ax2+bx+c图像一部分,对称轴为直线x=-1,且过点(-3,0),下列说法：①abc<0;②2a-b=0;③4a+2b+c<0;④若(-5，y1),( ，y2)是抛物线上两点,则y1>y2．其中正确的是(　　) A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④ ※题型五：二次函数图像的平移、翻折问题 5、二次函数y=x2+bx+c的图像向左平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度得到二次函数y=x²-2x+1的图像,求b与c. 6、将抛物线y=2x2-12x+16绕它的顶点旋转180º，所得抛物线的解析式是( ) A．y=-2x2-12x+16 B．y=-2x2+12x-16 C．y=-2x2+12x-19 D．y=-2x2+12x-20 一般式:y=ax2+bx+c(a≠0) 顶点式:y=a(x-h)²+k 两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 解析式 ※题型六：利用待定系数法求二次函数解析式 ▶顶点式[y=a(x-h)2]已知抛物线的顶点是(1,2),且过点(2,3) ▶两根式:已知抛物线过点(-1,0),(3,0),(2,-6) ▶三点式:已知二次函数图像过点(-1，2),(0,1),(2，-7) ※题型七：二次函数与一次函数的综合应用 8、同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b(a≠0)和二次函数y=ax2+bx(a≠0)的图像可能为( ) A B C D 二 二次函数与 一元二次方程 已知二次函数y的值为m,求自变量x的值,就是求相应一元二次方程的解. 例如:已知二次函数y=-x2+4x的值为3,求自变量x的值.就是求方程3=-x2+4x(即x2-4x+3=0)的解。反过来，解方程x2-4x+3=0，就是已知二次函数y=x2-4x+3的值为0,求自变量x的值. 二次函数与一元二次方程之间的联系 y=ax2+bx+c(a≠0) 与x轴交点个数 ax2+bx+c=0(a≠0) 根的情况 b2-4ac>0 有两个 有两个不等实数根 b2-4ac=0 有一个 有两个相等实数根 b2-4ac<0 没有交点 没有实数根 判别式(△) b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0) 图象 一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根 b2-4ac>0 与x轴有两个不同交点 (x1，0)(x2，0) 有两个不同解 x=x1，x=x2 b2-4ac=0 b2-4ac<0 与x轴没有交点 没有实数根   x y O x y O x y O   $$