精品解析： 北京大学附属中学2024—2025学年上学期期中考试八年级数学试题

2024-2025学年度第一学期期中练习 八年级数学试卷 一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 奥林匹克运动会是世界规模最大的综合性运动会，每四年举办一届，下列四个图分别是历届奥运会会徽图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 2. 若一个三角形的两边长分别是，，则它的第三条边长不可能是（ ） A. B. C. D. 3. 点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知及其边上一点A，以点A为圆心，长为半径画弧，分别交，于点B和C，再以点C为圆心，长为半径画弧，恰好经过点B，错误的结论是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，点，是射线，上的动点，的平分线和的平分线所在直线相交于点，则的大小为（ ） A. B. C. D. 随点，的移动而变化 9. 如图，已知中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ） A. 3条 B. 4条 C. 5条 D. 6条 二、填空题（本题共24分，每小题3分） 10. 如图，在中，，是的外角，若，则______°． 11. 如图，，请你添加一个适当的条件_________，使得． 12. 若等腰三角形有一个角为，则它的顶角度数为______． 13. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 14. 如图，在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，，则的值为__________． 15. 若，则___________． 16. 如图甲所示三角形纸片中，，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到边上的E点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为（如图丙），则的大小为 _______． 17. 如图，中，，，．D为上一动点，连接的垂直平分线分别交于点E，F，则线段的长是______；线段长的最大值是______． 三、解答题（本题共46分，第19-21题每题5分，第22-23题每题6分，第24题5分，第25题8分，第26题6分） 18. 计算： （1） （2） 19. 已知，求代数式的值． 20. 已知：如图，F、C是上的两点，，，．求证：． 21. 数学课上，老师布置如下任务： 如图，已知，点是射线上的一个定点，在射线上求作点，使．下面是小李同学设计的尺规作图过程： 作法：①作线段的垂直平分线，直线交射线于点； ②以点为圆心，长为半径作弧，交射线于另一点，则点即为所求． 根据小李同学设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：连接． 直线为线段的垂直平分线， _____（_____）（填推理的依据） ， ． ， _____（_____）（填推理的依据） ． 22. 如图，在中，平分，E是上一点，，且． （1）如果，则的度数为______； （2）探究与的数量关系，并说明理由． 23. 若整式只含有字母，且的次数不超过次，令，其中，，，为整数，在平面直角坐标系中，我们定义：为整式的相关点，我们规定次数超过次的整式没有相关点． 例如，若整式，则，，，，故的相关点为． （1）若，则的相关点坐标为______； （2）若整式是只含有字母的整式，整式是与的乘积，若整式的相关点为，求整式的表达式． 24. 如图，在中，，点Q是的中点，点P是内部一点，连接，满足，点D、E分别在线段上，连接． （1）已知． ①如图1，直接写出的度数； ②如图2，若平分，，依题意补全图形，用等式表示和的数量关系，并证明； （2）如图3，连接，若，用等式表示和的数量关系，并证明． 25. 在平面直角坐标系中，对于点P和多边形G，给出如下的定义：如果点P到多边形G每一边所在直线的距离均不小于多边形G最短边长度的，则称P为多边形G的“长聚点”．已知点，，，． （1）在点，，，，______是正方形的“长聚点”； （2）已知点，点是正方形OABC在第一象限中的“长聚点”，且，结合图形，求a的最小值； （3）将点O、A、B、C分别向右平移个单位，得到点、、、，已知点，，．若对内（不含边界）的每一点Q，都有正方形的“长聚点”，将点关于直线的对称点记作，满足点Q和关于直线对称，直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中练习 八年级数学试卷 一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 奥林匹克运动会是世界规模最大的综合性运动会，每四年举办一届，下列四个图分别是历届奥运会会徽图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义，找出图形中的对称轴，数形结合分析是解题的关键． 根据轴对称图形的定义“平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴”即可求解． 【详解】解：A、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； B、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； C、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； D、有1条对称轴，是轴对称图形，符合题意； 故选：D ． 2. 若一个三角形的两边长分别是，，则它的第三条边长不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 【详解】解：设它的第三条边长为， ∴， 解得：， ∴选项中不在此范围内，符合题意， 故选：． 3. 点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称．根据关于x轴对称的点的坐标的横坐标相同，纵坐标互为相反数，求解即可． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是； 故选B． 4. 如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】经过一个顶点作对边所在的直线的垂线段，叫做三角形的高，根据概念即可得出． 【详解】根据定义可得A选项是作BC边上的高，符合题意， B选项作的不是三角形ABC的高，不符合题意， C选项是作AB边上的高，不符合题意， D选项是作AC边上的高，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形高线的作法，熟练掌握定义是解题关键． 5. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方，同底数幂乘法和除法法则，解题的关键是掌握以上运算法则． 根据积的乘方，同底数幂乘法和除法法则，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、与不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 6. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形对应角相等是解题的关键．先根据三角形内角和定理求出，再根据全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图所示： ， 两个三角形全等，与是对应角， ， 故选：C． 7. 如图，已知及其边上一点A，以点A为圆心，长为半径画弧，分别交，于点B和C，再以点C为圆心，长为半径画弧，恰好经过点B，错误的结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质．此题难度不大，解题的关键是能根据题意得到． 由作图可得，可对B进行判断，根据等底同高面积相等可对D进行判断，根据是等边三角形，是等腰三角形可对C、D进行判断． 【详解】解：根据作图可知， 过作，垂足为，如图所示， ∵， ∴，故选项D正确，不符合题意； ∵， ∴是等边三角形， ∴，故C正确，不符合题意； ∴，故选项B错误，符合题意； ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； 故选：B． 8. 如图，，点，是射线，上的动点，的平分线和的平分线所在直线相交于点，则的大小为（ ） A. B. C. D. 随点，的移动而变化 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角性质和角平分线定义的应用．根据角平分线定义得出，，根据三角形外角性质得出，求出，即可求出答案． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 9. 如图，已知中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ） A. 3条 B. 4条 C. 5条 D. 6条 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，利用图形分类讨论是解题关键． 根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰的等腰三角形得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图所示，当，，，，都能得到符合题意的等腰三角形． 故选：B． 二、填空题（本题共24分，每小题3分） 10. 如图，在中，，是的外角，若，则______°． 【答案】70 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题的关键． 根据三角形外角的性质，得到，代入计算即可． 【详解】解：∵，是的外角，， ， ， 故答案为：70． 11. 如图，，请你添加一个适当的条件_________，使得． 【答案】（或） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理作答即可． 【详解】解：由题意知，，， 添加时，， 故答案为：． 12. 若等腰三角形有一个角为，则它的顶角度数为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理．注意：一个锐角可以是等腰三角形的顶角，也可以是底角；一个钝角只能是等腰三角形的顶角；分类讨论是正确解答本题的关键． 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解，由于本题中没有明确角是顶角还是底角，因此要分类讨论． 【详解】解：①当底角是时，顶角的度数为； ②顶角即为． 因此等腰三角形的顶角度数为或． 故答案为：或． 13. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和定理，掌握多边形内角和公式与外角和的性质是解题的关键，设多边形的边数为，根据内角和是外角和的2倍建立方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∴， 解得， 故答案为：． 14. 如图，在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，，则的值为__________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，先根据平分线的定义和平行线的性质得出，结合“等角对等边”得出，同理推导得出，再根据得出答案． 【详解】∵平分，， ∴，， ∴， ∴． 同理：． ∵，， ∴． 故答案为：10． 15. 若，则___________． 【答案】 16 【解析】 【分析】本题考查同底数幂相乘，幂的乘方的逆用，代数式求值． 由已知可得，将 转化为 ，，代入计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， 由 得 ， ∴ ． 故答案为：． 16. 如图甲所示三角形纸片中，，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到边上的E点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为（如图丙），则的大小为 _______． 【答案】72 【解析】 【分析】本题主要考查了翻折变换、三角形的内角和定理等知识点，设，根据翻折不变性可知，，利用三角形内角和定理构建方程即可解决问题，解题的关键是学会用方程的思想思考问题． 【详解】设，根据翻折不变性可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：72． 17. 如图，中，，，．D为上一动点，连接的垂直平分线分别交于点E，F，则线段的长是______；线段长的最大值是______． 【答案】 ①. 10 ②. 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角所对直角边是斜边的一半以及垂线段最短的性质，将的最大值转化为最小是解决本题的关键，属于压轴题． 先求出的长，过点作于，连接，若要使最大，则需要最小，然后根据垂线段最短列式求解即可． 【详解】解：连接， ∵中，， ， ∵垂直平分， ， 过点作于，若要使最大，则需要最小， 设，则， ， ， ， ， 解得． ∴最小值为的最大值为， 故答案为：10；． 三、解答题（本题共46分，第19-21题每题5分，第22-23题每题6分，第24题5分，第25题8分，第26题6分） 18. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查幂的混合运算，平方差公式； （1）先算同底数幂的乘法和幂的乘方，再算同底数幂的除法即可； （2）直接使用平方差公式计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式及求值，完全平方公式，合并同类项，先计算单项式乘以多项式，完全平方公式，再去括号，然后合并同类项化成最简，最后整体代入即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 20. 已知：如图，F、C是上的两点，，，．求证：． 【答案】 证明：， ， ， ， 即， 在和中 ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、线段的和差，全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 先根据平行线的性质得出，再根据线段的和差得出，然后利用证明，最后根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】略 21. 数学课上，老师布置如下任务： 如图，已知，点是射线上的一个定点，在射线上求作点，使．下面是小李同学设计的尺规作图过程： 作法：①作线段的垂直平分线，直线交射线于点； ②以点为圆心，长为半径作弧，交射线于另一点，则点即为所求． 根据小李同学设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：连接． 直线为线段的垂直平分线， _____（_____）（填推理的依据） ， ． ， _____（_____）（填推理的依据） ． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；；等边对等角； 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线和线段的尺规作图，线段垂直平分线的性质，等边对等角和三角形外角的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，根据等边对等角和三角形外角的性质得到，再由等边对等角可得，据此可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，在中，平分，E是上一点，，且． （1）如果，则的度数为______； （2）探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：． 证明：过点作于点， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义求出，根据三角形内角和计算，得到答案； （2）作于，根据等腰三角形的性质得到，证明，根据全等三角形的性质可得结论． 【小问1详解】 解：， ， ∵平分， ， ∵，即， ， 故答案为：． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质等知识，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键． 23. 若整式只含有字母，且的次数不超过次，令，其中，，，为整数，在平面直角坐标系中，我们定义：为整式的相关点，我们规定次数超过次的整式没有相关点． 例如，若整式，则，，，，故的相关点为． （1）若，则的相关点坐标为______； （2）若整式是只含有字母的整式，整式是与的乘积，若整式的相关点为，求整式的表达式． 【答案】（1）； （2）整式的表达式为． 【解析】 【分析】（）根据相关点的定义即可求解； （）设 ，则整式，又整式的相关点为，然后代入解方程组即可； 本题考查了多项式乘以多项式，多项式的有关概念，解方程组，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， 则，，，， ∴，， ∴的相关点坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设 ， 由， ∵整式是与的乘积， ∴ ， ∵整式的相关点为， ∴， 解得：， ∴整式的表达式为． 24. 如图，在中，，点Q是的中点，点P是内部一点，连接，满足，点D、E分别在线段上，连接． （1）已知． ①如图1，直接写出的度数； ②如图2，若平分，，依题意补全图形，用等式表示和的数量关系，并证明； （2）如图3，连接，若，用等式表示和的数量关系，并证明． 【答案】（1）① ②，证明如下： 依题意，如图所示： 过Q分别作， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点Q是的中点， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴； （2） ，证明如下： 如图：将绕点A顺时针旋转与相等的角度，与重合，点E的对应点是点F， ∴， ∵点Q是的中点， ∴， 延长至点，使得，连接，，， ∵， ∴， 则，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， 则， ∴， ∵，， ∴是的中垂线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）①证明是等边三角形，则，结合，得，根据三角形内角和性质，进行列式计算，即可作答．②运用四边形内角和以及邻补角得，结合所对的直角边是斜边的一半，得，，结合点Q是的中点，得，所以证明，即可作答． （2）运用倍长中线法证明，通过角的运算，得出，证明，再运用垂直平分线的性质得出，因为，所以，然后证明，所以，因为，所以，即． 【小问1详解】 解：①∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 即， ∴在中，； ②略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和性质，旋转性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，垂直平分线的定义与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 25. 在平面直角坐标系中，对于点P和多边形G，给出如下的定义：如果点P到多边形G每一边所在直线的距离均不小于多边形G最短边长度的，则称P为多边形G的“长聚点”．已知点，，，． （1）在点，，，，______是正方形的“长聚点”； （2）已知点，点是正方形OABC在第一象限中的“长聚点”，且，结合图形，求a的最小值； （3）将点O、A、B、C分别向右平移个单位，得到点、、、，已知点，，．若对内（不含边界）的每一点Q，都有正方形的“长聚点”，将点关于直线的对称点记作，满足点Q和关于直线对称，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）和； （2）a的最小值为1； （3）t的取值范围为或． 【解析】 【分析】（1）先求得正方形的边长为4，并根据“长聚点”新定义可得，若题目所给的点到正方形的每一边直线的距离均不小于1，则为“长聚点”，否则不为“长聚点”，逐个验证四个点即可得到结论； （2）在坐标平面内作直线、直线、直线、直线，以及直线、直线、直线、直线，则这8条直线将平面分成25个区域，并由题意得，正方形的“长聚点”所围成的全部区域为标注序号的9个区域，由条件可以得到在的垂直平分线上，先利用C、D坐标得到直线：，再由垂直平分线的性质得到在直线上，然后结合图形可以求得a的范围，即可得a的最小值； （3）将向左平移个单位得到，并将关于直线对称得到，再将关于直线对称得到，则根据题意可将该问题转化为：若内的每一点都在正方形的“长聚点”所围成的区域内，求出t的取值范围，根据三个顶点的坐标，通过平移和对称的性质逐步算得三个顶点的坐标，然后结合图形并分9种情况讨论可以求得t的范围． 【小问1详解】 解：由题意得正方形的边长为4， P为正方形的“长聚点”， P到正方形每一边所在直线的距离均不小于1， 到直线的距离为，到直线的距离为， 和不是正方形的“长聚点”， 到直线的距离为，到直线的距离为，到直线的距离为，到直线的距离为， 是正方形的“长聚点”， 同理可得，是正方形的“长聚点”， 和是正方形的“长聚点”． 【小问2详解】 如图所示，在坐标平面内作直线、直线、直线、直线，以及直线、直线、直线、直线，则这8条直线将平面分成25个区域，并由题意得，正方形的“长聚点”所围成的全部区域为标注序号的9个区域． ， 直线：， ， 在的垂直平分线上， 设的垂直平分线：， 代入中点得，， 直线：， ， 点是正方形OABC在第一象限的“长聚点”， 在区域⑤或区域③， 结合图形得：或， 解得：或． a的最小值为1． 【小问3详解】 将向左平移个单位得到，并将关于直线对称得到，再将关于直线对称得到，则根据题意可将该问题转化为：若内的每一点都在正方形的“长聚点”所围成的区域内，求出t的取值范围． 向左平移个单位得到， 点，，， 关于直线对称得到，直线：， 点，，， 关于直线对称得到，直线：， 点，，， 内的每一点都在正方形的“长聚点”所围成的区域内， 在如图所示标注序号的9个区域内． 下面分9种情况讨论： 若在区域①内，则结合图形得，无解； 若在区域②内，则结合图形得，无解； 若在区域③内，则结合图形得，； 若在区域④内，则结合图形得，无解； 若在区域⑤内，则结合图形得，无解； 若在区域⑥内，则结合图形得，无解； 若在区域⑦内，则结合图形得，； 若在区域⑧内，则结合图形得，无解； 若在区域⑨内，则结合图形得，无解； 综上所述，t的取值范围为或． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合、坐标与图形综合、坐标系中的平移与对称、解一元一次不等式（组），解题的关键是熟练运用一次函数的图象与性质和待定系数法求解析式，学会理解新定义并结合图形解一元一次不等式（组），学会分类讨论处理复杂的情景问题，题目综合性较强，适合有能力解决难题的学生． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $