第24章 圆（知识点及考点精讲）课件 2024—2025学年人教版数学九年级上册

第二十四章 圆 一 圆的有关性质 1 圆的有关概念 圆的概念 ——在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转 一周,另一个端点A所形成的图形叫圆 ——固定的端点O叫圆心 → 圆的位置 ——线段OA叫半径 → 圆的大小 ——以点O为圆心的圆,记作“⊙O” 读作“圆O” O r · A ①圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(r)； ②到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． O r · A 圆的特征 圆的相关概念 弦：连接圆上任意两点的线段(如AC)叫做弦 直径：经过圆心的弦(如AB)叫做直径 C B A · O [注]凡直径都是弦,是圆中最长的弦,但弦不一定是直径 弧：圆上任意两点间的部分叫圆弧,简称弧．例： ， 读作“圆弧AC”或“弧AC” 半圆：圆任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧, 每一条弧都叫做半圆 ⌒ AC C B A · O C B A · O 劣弧：小于半圆的弧(如图中的　　) 优弧：大于半圆的弧(用三个字母表示,如图中的 ) AC ⌒ ABC ⌒ 【注意】弧分为优弧、劣弧、半圆。 能够重合的两个圆是等圆 ①半径相等的两个圆是等圆 ②同圆或等圆的半径相等 同圆或等圆中,能够 互相重合的弧叫等弧 ①等弧的长度一定相等； ②长度相等的弧不一定是等弧。 2 相关定理 垂径定理★ ——垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧 O E D · A C B 符号语言： ∵① CD是直径，② CD⊥AB ∴③AE=BE，④AC=BC，⑤AD=BD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 垂径定理的推论 符号语言： ∵①CD是直径 ②AE=BE且AB不是直径 ∴③CD⊥AB，④AC=BC，⑤AD=BD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ——平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦 所对的两条弧. O E D · A C B 半径、半弦、弦心距之间 半弦 半径 弦心距 弦心距：圆心到弦的距离(即圆心到弦的垂线段长度) 圆心角定理★ 圆心角：顶点在圆心的角 定理：同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、弦相等. 推论：同圆或等圆中,相等的弦所对的圆心角相等, 所对优弧和劣弧分别相等. · A B O B1 A1 圆周角定理★ 圆周角：顶点在圆上,两边都和圆相交的角 定理：同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等， 且都等于这条弧所对的圆心角的一半． C O A B 推论1:同圆或等圆中,圆周角相等,所对的弧一定相等 推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90º圆周角所对的弦是直径． C B A · O 圆内接四边形 ♦圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫圆内接多边形 ♦性质:圆内接四边形对角互补,一个外角等于其内对角 C O A D B 二 点与圆的位置关系 · r C O A B 点A在圆内，OA < r， 点B在圆上，OB = r， 点C在圆外，OC > r. 点和圆的位置关系 位置关系 图形 d ? r 性质及判定 点在圆外 d>r 点P在⊙O的外部 点在圆上 d=r 点P在⊙O的圆周上 点在圆内 d<r 点P在⊙O的内部 条件 图形 个数 过一点 作圆 无数个，圆心为 点A以外任意一点 过两点 作圆 无数个，圆心都在 AB的垂直平分线上 过不在同一直线上的三点作圆 一个圆 A A B A C B 0 三角形的外接圆 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。 0 A B C A B C 外心位于 三角形内 A B C 外心位于 直角三角形斜边中点 B C A 外心位于 三角形外 三 直线与圆的位置关系 相切→1个公共点(切点)→d=r→圆的切线 0 r d 相交→2个公共点→d<r→圆的割线 0 r d 相离→没有公共点→d>r 0 r d 直线与圆的位置关系 切线的性质及判定★ 性质 圆的切线与圆只有一个公共点. 切线与圆心的距离等于半径(d=r) 圆的切线垂直于过切点的半径(定理) 判定定理：经过半径的外端且垂直于于这条半径的直线是圆的切线. 切线长定理 ——从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 P O A B 三角形内切圆和外切圆 三角形外接圆→外接圆圆心:三角形三边 垂直平分线的交点 A 0 B C 三角形内切圆→内切圆圆心:三角形三个 内角平分线的交点 0 A B C 四 正多边形和圆 正多边形与外接圆的有关概念 正多边形:各边相等，各内角也相等的多边形 中心:一个正多边形外接圆的圆心 半径:外接圆的半径 中心角:正多边形每条边所对的圆心角 边心距:中心到正多边形一边的距离 D C B E A O r d 内角和=(n-2)×180°→内角= 外角和=360°→外角= 中心角= 外角= 中心角 五 弧长和扇形的面积 弧长公式 ——设⊙O的半径为r，n∘圆心角所对弧长为l: o B n° r A 弧长公式： 扇形 ——概念：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形。 B A n° O r 扇形面积： 弧长公式： 圆锥 ——圆锥：由一个底面和一个侧面围成的几何体。 ——母线：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。 扇形侧面积： 扇形底面积： 扇形弧长： $$