2024-2025学年人教版八年级数学上册点拨训练第14章 第9讲 完全平方公式

2024-2025人教版八年级数学上 点拨*训练 第14章 第9讲 完全平方公式 学习目标 1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释. 2.灵活应用完全平方公式进行计算. 重点：完全平方公式的推导过程，结构特点与公式的应用. 难点：完全平方公式结构特点及其应用. 老师告诉你 1.利用完全平方公式化简求值时常常利用整体思想，即把a2+b2, ab, a+b分别看成一个整体，利用完全平方公式的变形，整体代换求值。 2.常见的变形公式有： 1、 知识点拨 1.知识点导航 2.知识点梳理 知识点1 完全平方公式 1. 完全平方公式： 语言描述：两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 图形表示： (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2. (a－b)2＝a2－2ab＋b2. 公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 拓展、补充公式 ；； ； 【新知导学】 例1-1 .下列各式正确的是（　　） A．（2a﹣1）2＝4a2﹣1 B．（x）2＝x2+x C．（3m+n）2＝9m2+n2 D．（﹣x﹣1）2＝x2﹣2x+1 例1-2 .若（x﹣4）2＝x2+kx+16，那么k的值是（　　） A．8 B．4 C．﹣4 D．﹣8 例1-3 .运用完全平方公式计算： （1）（﹣2a+3）2； （2）（﹣3x）2， （3）（﹣x2﹣4y）2； （4）（1﹣2b）2． 【对应导练】 1.已知多项式a2+8a+k为完全平方式，则常数k的值为 　 　． 2.课堂上老师布置了四个运算题目，小刚给出了四个题的答案，小刚做对的题数是（　　） 计算：①（﹣3a2）3＝﹣9a6；②（﹣a2）⋅a3＝a5；③（2x﹣y）2＝4x2﹣y2；④a2+4a2＝5a4 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3. 2.1232﹣4.246×5.123+5.1232＝　 　． 4 .如图，有甲、乙、丙三种纸片各若干张，其中甲、乙分别站边长为a、b的正方形，丙是长为b、宽为a的长方形．若同时用甲、乙、丙纸片分别为4张、9张、12张拼成正方形，则拼成的正方形的边长为（　　） A．a+2b B．a+3b C．2a+3b D．3a+2b 知识点2 完全平方公式的应用 1. 利用完全平方公式简便计算 转化成完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2. (a－b)2＝a2－2ab＋b2形式，利用公式计算 2. 利用完全平方公式化简求值 先利用公式化简，再代入求值 3完全平方公式与图形面积 【新知导学】 例2-1 .先化简，再求值：，其中       ． 例2-2 .运用完全平方公式计算： （1）632； （2）982； （3）700.12； （4）499.92． 例2-3 .如图所示分割正方形，各图形面积之间的关系，验证了一个等式，这个等式是（　　） A．（y+x）2＝y2+xy+x2 B．（y+x）2＝y2+2xy+x2 C．（y+x）（y﹣x）＝y2﹣x2 D．（y+x）2﹣（y﹣x）2＝4xy 【对应导练】 1.用简便方法计算：20032﹣2003×8+16＝　_______________． 2 先化简，再求值​， 其中​ 3 .如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是（　　） A．10 B．20 C．30 D．40 二、题型训练 1.利用完全平方公式化简求值 1.先化简，再求值 （1），其中； （2），其中． 2.先化简，再求值：，其中，． 3 .先化简再求值：已知，求代数式的值． 2.完全平方公式探索变式公式之间的关系 3 .已知x+y＝4，xy＝2，试求下列各式的值： （1）x2+y2； （2）x4+y4． 2 .已知（a﹣b）2＝25，ab＝﹣6，求下列各式的值． （1）a2+b2； （2）a4+b4． 3 .已知（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，求下列式子的值： （1）ab； （2）a3b+ab3． 3.利用整体思想代入求值 7 .如图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形．然后按图2形状拼成一个正方形． （1）图2中的空白部分的正方形的边长是多少？（用含a、b的式子表示） （2）已知a+b＝10，ab＝3，求图2中空白部分的正方形的面积． （3）观察图2，用一个等式表示下列三个整式：（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的数量关系． （4）拓展提升：当（x﹣10）（20﹣x）＝8时，求（2x﹣30）2． 8 .已知m2+n2﹣6m+10n+34＝0，求m+n． 9 .阅读理解． 已知（a﹣12）2+（14﹣a）2＝6，求（a﹣13）2的值． 解：由（a﹣12）2+（14﹣a）2＝6，可得[（a﹣13）+1]2+[（a﹣13）﹣1]2＝6． 整理得（a﹣13）2+2（a﹣13）+1+（a﹣13）2﹣2（a﹣13）+1＝6． 2（a﹣13）2+2＝6 得（a﹣13）2＝2． 请仿照上述方法，完成下列问题： （1）已知（a﹣98）2+（96﹣a）2＝10，求（a﹣97）2的值． （2）已知（a﹣2024）2＝8，求（a﹣2025）2+（2023﹣a）2的值． 三、课堂达标 一、单选题：（每小题4分，共32分） 1．小华在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把中间一项的系数染黑了，得到正确的结果为，则中间一项的系数是（　　） A．6 B． C．6或 D．18 2．计算（a﹣2b）2＝（　　） A．a2﹣4ab+4b2 B．a2+4ab+4b2 C．a2﹣4ab﹣4b2 D．a2+4ab﹣4b2 3．下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 4．如果，则，的值是（    ） A．2，0 B．4，0 C．2， D． 4， 5．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·广东梅州·阶段练习）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式例如利用图可以得到，那么利用图所得到的数学等式是（ ） A． B． C． D． 7．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．若x2+y2＝（x+y）2+A＝（x﹣y）2﹣B，则A、B的数量关系为（　　） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．无法确定 二、填空题：（每小题4分，共20分） 9 .若是的小数部分，则 ． 10 .已知（2x+y）2＝58，（2x﹣y）2＝18，则xy＝　 　． 11 .已知（2021﹣a）•（2019﹣a）＝2020，那么（2021﹣a）2+（2019﹣a）2＝　 　． 12 .若，，则的值为 ． 13 .如图，边长为m，n（m＞n）的长方形，它的周长为12，面积为8，则（m﹣n）2的值为 　 　． 三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分） 14 .计算 （1）（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）2﹣2a（a+b） （2）9992﹣998×1002． 15 .先化简，再求值：，其中，． 16 .已知，满足方程组，求代数式的值． 17 .已知实数，满足，． (1)求的值； (2)求的值． 18 .数学活动课上，老师准备了如图1的一个长为4b，宽为a（a＞b）的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形． （1）图2中的阴影部分正方形的边长是 　a﹣b　（用含a，b的代数式表示）； （2）观察图1，图2，请写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系是：　 （3）已知（m+n）2＝25，（m﹣n）2＝16，求m2+n2的值． 19 .材料一：对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，如图1，可以得到 （a+b）2＝a2+2ab+b2． 材料二：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求 a2+b2 的值． 解：∵a+b＝﹣4，ab＝3， a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×3＝10 请你根据上述信息解答下面问题： ​ （1）写出图2中所表示的数学等式 　 ． （2）已知 a﹣b＝﹣3，ab＝﹣2，求 a2+b2 的值． （3）已知 （2022﹣a）（2023﹣a）＝2047，求 （2022﹣a）2+（2023﹣a）2 的值． （4）如图3，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点E、F是BC、CD上的点，且 BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为80，则图中阴影部分的面积和为 　 　． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025人教版八年级数学上 点拨*训练 第14章 第9讲 完全平方公式（解析版） 学习目标 1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释. 2.灵活应用完全平方公式进行计算. 重点：完全平方公式的推导过程，结构特点与公式的应用. 难点：完全平方公式结构特点及其应用. 老师告诉你 1.利用完全平方公式化简求值时常常利用整体思想，即把a2+b2, ab, a+b分别看成一个整体，利用完全平方公式的变形，整体代换求值。 2.常见的变形公式有： 1、 知识点拨 1.知识点导航 2.知识点梳理 知识点1 完全平方公式 1. 完全平方公式： 语言描述：两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 图形表示： (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2. (a－b)2＝a2－2ab＋b2. 公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 拓展、补充公式 ；； ； 【新知导学】 例1-1 .下列各式正确的是（　　） A．（2a﹣1）2＝4a2﹣1 B．（x）2＝x2+x C．（3m+n）2＝9m2+n2 D．（﹣x﹣1）2＝x2﹣2x+1 【分析】根据完全平方公式展开判断即可． 【解答】解：（2a﹣1）2＝4a2﹣4a+1，选项A错误； （x）2＝x2+x，B选项正确； （3m+n）2＝9m+6mn+n2，C选项错误； （﹣x﹣1）2＝x2+2x+1，选项D错误． 故选：B． 例1-2 .若（x﹣4）2＝x2+kx+16，那么k的值是（　　） A．8 B．4 C．﹣4 D．﹣8 【分析】运用完全平方公式将原式展开后化简即可． 【解答】解：（x﹣4）2＝x2+kx+16， x2﹣8x+16＝x2+kx+16， ﹣8x＝kx， ﹣8＝k， 故选：D． 例1-3 .运用完全平方公式计算： （1）（﹣2a+3）2； （2）（﹣3x）2， （3）（﹣x2﹣4y）2； （4）（1﹣2b）2． 【分析】（1）利用完全平方公式得到原式＝（﹣2a）2+2×（﹣2a）×3+32，然后整理即可； （2）利用完全平方公式得到原式＝（﹣3x）2+2×（﹣3x）（）2，然后整理即可； （3）利用完全平方公式得到原式＝（﹣x2）2+2×（﹣x2）×（﹣4y）+（﹣4y）2，然后整理即可； （4）直接利用完全平方公式计算． 【解答】解：（1）原式＝（﹣2a）2+2×（﹣2a）×3+32 ＝4a2﹣12a+9； （2）原式＝（﹣3x）2+2×（﹣3x）（）2 ＝9x2﹣3x； （3）原式＝（﹣x2）2+2×（﹣x2）×（﹣4y）+（﹣4y）2 ＝x4+8x2y+16y2； （4）原式＝1﹣4b+4b2． 【对应导练】 1.已知多项式a2+8a+k为完全平方式，则常数k的值为 　16　． 【答案】16． 【解答】解：∵a2+8a+k＝a2+8a+42， ∴k＝16， 故答案为：16． 2.课堂上老师布置了四个运算题目，小刚给出了四个题的答案，小刚做对的题数是（　　） 计算：①（﹣3a2）3＝﹣9a6；②（﹣a2）⋅a3＝a5；③（2x﹣y）2＝4x2﹣y2；④a2+4a2＝5a4 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】根据积的乘方的运算法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式、合并同类项法则分别判断得出答案． 【解答】解：①（﹣3a2）3＝﹣27a6，原计算错误； ②（﹣a2）⋅a3＝﹣a5，原计算错误； ③（2x﹣y）2＝4x2﹣4xy+y2，原计算错误； ④a2+4a2＝5a2，原计算错误． 所以小刚做对的题数是0个， 故选：A． 3. 2.1232﹣4.246×5.123+5.1232＝　9　． 【答案】9． 【解答】解：原式＝2.1232﹣2×2.123×5.123+5.1232 ＝（2.123﹣5.123）2 ＝（﹣3）2 ＝9． 故答案为：9． 4 .如图，有甲、乙、丙三种纸片各若干张，其中甲、乙分别站边长为a、b的正方形，丙是长为b、宽为a的长方形．若同时用甲、乙、丙纸片分别为4张、9张、12张拼成正方形，则拼成的正方形的边长为（　　） A．a+2b B．a+3b C．2a+3b D．3a+2b 【分析】先求出拼成后的正方形的面积，然后根据正方形的面积即可求出正方形的边长． 【解答】解：由题意可知拼成的正方形面积为：4a2+12ab+9b2， ∴正方形的边长为：2a+3b， 故选：C． 知识点2 完全平方公式的应用 1. 利用完全平方公式简便计算 转化成完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2. (a－b)2＝a2－2ab＋b2形式，利用公式计算 2. 利用完全平方公式化简求值 先利用公式化简，再代入求值 3完全平方公式与图形面积 【新知导学】 例2-1 .先化简，再求值：，其中       ． 【答案】； 【分析】先根据完全平方公式，平方差公式进行计算，再合并同类项，最后代入的值进行计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 【点睛】本题考查整式的混合运算—化简求值，涉及平方差公式，完全平方公式，去括号，合并同类项等知识点．能正确根据整式的运算法则进行化简是解题的关键． 例2-2 .运用完全平方公式计算： （1）632； （2）982； （3）700.12； （4）499.92． 【分析】（1）根据已知得出（60+3）2，根据完全平方公式展开得出602+2×60×3+32，求出即可； （2）根据已知得出（100﹣2）2，根据完全平方公式展开得出1002﹣2×100×2+22，求出即可； （3）根据已知得出（700+0.1）2，根据完全平方公式展开得出7002+2×700×0.1+0.12，求出即可； （4）根据已知得出（500﹣0.1）2，根据完全平方公式展开得出5002﹣2×500×0.1+0.12，求出即可． 【解答】解：（1）632＝（60+3）2 ＝602+2×60×3+32 ＝3600+360+9 ＝3939； （2）982 ＝（100﹣2）2 ＝1002﹣2×100×2+22 ＝10000﹣400+4 ＝9604； （3）700.12 ＝（700+0.1）2 ＝7002+2×700×0.1+0.12 ＝490000+140+0.01 ＝490140.01； （4）499.92 ＝（500﹣0.1）2 ＝5002﹣2×500×0.1+0.12 ＝250000﹣100+0.01 ＝249900.01． 例2-3 .如图所示分割正方形，各图形面积之间的关系，验证了一个等式，这个等式是（　　） A．（y+x）2＝y2+xy+x2 B．（y+x）2＝y2+2xy+x2 C．（y+x）（y﹣x）＝y2﹣x2 D．（y+x）2﹣（y﹣x）2＝4xy 【分析】此图形中，一个大正方形的面积﹣小正方形的面积＝四个矩形的面积． 【解答】解：如图，大正方形的面积＝（y+x）2， 小正方形的面积＝（y﹣x）2， 四个长方形的面积＝4xy， 则由图形知，大正方形的面积﹣小正方形的面积＝四个矩形的面积，即（y+x）2﹣（y﹣x）2＝4xy． 故选：D． 【对应导练】 1.用简便方法计算：20032﹣2003×8+16＝　_______________． 【分析】把8写成2×4的形式，再根据完全平方公式把20032﹣2003×8+16整理成两数差的平方的形式，然后再把1999写成2000﹣1，根据完全平方公式展开进行计算． 【解答】解：20032﹣2003×8+16， ＝20032﹣2×2003×4+42， ＝（2003﹣4）2， ＝19992， ＝（2000﹣1）2， ＝20002﹣2×2000×1+12， ＝3996001． 2 先化简，再求值​， 其中​ 【答案】，－4 【分析】根据完全平方公式，多项式乘以多项式，合并同类项化简括号内的，然后根据多项式除以单项式进行化简，最后将字母的值代入计算即可求解． 【详解】解：原式 当时，原式 【点睛】本题考查了整式的混合运算，正确的计算是解题的关键． 3 .如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是（　　） A．10 B．20 C．30 D．40 【分析】观察图形，阴影部分除了在正方形中，还以正方形边长为直角边构造三角形，因此阴影部分可看作由不同三角形组成，每个阴影部分都与其所在三角形有关系，由此可逐个分析：首先令直线BF与直线CD的交点为O（如图），则可看出△BDO与△EFO、△BGF有关，用△BCD与▱ECGF的面积和减去△BGF的面积可得阴影部分△BDO与△EFO的面积，阴影部分△DEF和△CGF的面积可依据正方形的边长a与b各自求出．至此，阴影部分面积可计和求出，然后利用已知条件进行完全平方公式再代入计算数值． 【解答】解：首先令直线BF与直线CD的交点为O； 则S△BDO+S△EFO＝S△BDC+S▱ECGF﹣S△BGF＝a•a÷2+b•b﹣（a+b）•b÷2；① S△DEF＝底EF•高DE÷2＝b•（a﹣b）÷2； ② S△CGF＝底CG•高GF÷2＝b•b÷2； ③ ∴阴影部分面积＝①+②+③ ＝a2÷2+b2﹣（ab+b2）÷2+（ab﹣b2）÷2+b2÷2 ＝{a2+2b2﹣（ab+b2 ）+（ab﹣b2）+b2}÷2 ＝（a2+b2）÷2，④ 由已知 a+b＝10，ab＝20，构造完全平方公式： （ a+b）2＝102， 解得a2+b2+2ab＝100， a2+b2＝100﹣2•20， 化简＝60代入④式， 得60÷2＝30， ∴S阴影部分＝30． 故选：C． 二、题型训练 1.利用完全平方公式化简求值 1.先化简，再求值 （1），其中； （2），其中． 【答案】（1），-3；（2），23 【分析】（1）利用平方差公式和完全平方公式计算，再化简，最后代入计算； （2）利用单项式乘单项式和单项式乘多项式法则计算，再化简，最后代入计算 解：（1） = = 将代入， 原式==-3； （2） = = 将代入， 原式==23． 【点拨】此题考查整式的混合运算的化简求值，注意利用计算公式计算，化简后进一步代入求得数值解决问题． 2.先化简，再求值：，其中，． 【答案】，25 【分析】先根据完全平方公式和平方差公式计算，合并同类项化简，再代值计算即可。 解：原式= = =． 当，时 原式= =8+17 =25 【点拨】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式，代数式的化简求值，准确计算是解题的关键． 3 .先化简再求值：已知，求代数式的值． 【答案】-4xy+3y2，0 【分析】先根据整式的混合运算法则计算化简原式，再把已知代入计算即可． 解： =x2-4xy+4y2-x2+y2-2y2 =-4xy+3y2， ∵4x=3y， ∴原式=-3y2+3y2=0. 【点拨】本题考查整式化简求值，熟练掌握整式运算法则和完全平方公式、平方差公式是解题的关键． 2.完全平方公式探索变式公式之间的关系 3 .已知x+y＝4，xy＝2，试求下列各式的值： （1）x2+y2； （2）x4+y4． 【分析】（1）先把原式配方化为（x+y）2﹣2xy形式，再根据x+y＝4，xy＝2计算； （2）先把x4+y4化为（x2+y2）2﹣2x2y2，把x2+y2＝12，xy＝2代入计算． 【解答】解：（1）∵x+y＝4，xy＝2， ∴x2+y2 ＝x2+2xy+y2﹣2xy ＝（x+y）2﹣2xy， ＝42﹣2×2 ＝16﹣4 ＝12； （2）x4+y4＝（x2+y2）2﹣2x2y2＝122﹣2×22＝136． 2 .已知（a﹣b）2＝25，ab＝﹣6，求下列各式的值． （1）a2+b2； （2）a4+b4． 【分析】（1）将“（a﹣b）2＝25，ab＝﹣6”代入a2+b2＝（a﹣b）2+2ab中，即可求出结论； （2）原式利用完全平方公式变形，把各自的值代入计算即可求出值． 【解答】解：（1）∵（a﹣b）2＝25，ab＝﹣6， ∴a2+b2＝a2+b2﹣2ab+2ab＝（a﹣b）2+2ab＝25+2×（﹣6）＝25﹣12＝13； （2）∵a2+b2＝13，ab＝﹣6， ∴a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2＝132﹣2×（﹣6）2＝169﹣72＝97． 3 .已知（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，求下列式子的值： （1）ab； （2）a3b+ab3． 【分析】（1）根据（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab求解； （2）根据条件得到a2+2ab+b2＝5，a2﹣2ab+b2＝3，两式相加求出a2+b2的值，对原式提公因式，代入求解即可． 【解答】解：（1）∵（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab， （a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3， ∴ab； （2）∵（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3， ∴a2+2ab+b2＝5， a2﹣2ab+b2＝3， 两式相加得2（a2+b2）＝8， ∴a2+b2＝4， 由（1）知道ab， ∴原式＝ab（a2+b2） 4 ＝2． 3.利用整体思想代入求值 7 .如图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形．然后按图2形状拼成一个正方形． （1）图2中的空白部分的正方形的边长是多少？（用含a、b的式子表示） （2）已知a+b＝10，ab＝3，求图2中空白部分的正方形的面积． （3）观察图2，用一个等式表示下列三个整式：（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的数量关系． （4）拓展提升：当（x﹣10）（20﹣x）＝8时，求（2x﹣30）2． 【分析】（1）通过观察图形发现空白部分的正方形的边长是a﹣b； （2）图2中空白部分的正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，从而求得空白部分的正方形面积； （3）通过观察图2发现，大正方形的面积＝空白部分的正方形面积+阴影的面积，从而得到三个式子之间的数量关系； （4）把（x﹣10）看作a，把（20﹣x）看作b，然后运用（3）中的数量关系（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，求得（a﹣b）2即（2x﹣30）2的值． 【解答】解：（1）图2中的空白部分的正方形的边长＝a﹣b． （2）图2中空白部分的正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积 ＝（a+b）2﹣4ab ＝102﹣4×3 ＝100﹣12 ＝88． （3）图2中大正方形的面积＝（a+b）2， 空白部分的正方形面积＝（a﹣b）2， 阴影的面积＝4ab， ∵图2中大正方形的面积＝空白部分的正方形面积+阴影的面积， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab． （4）∵（x﹣10）+（20﹣x）＝x﹣10+20﹣x＝10， ∴[（x﹣10）+（20﹣x）]2＝100， 由（3）的结论可知， [（x﹣10）+（20﹣x）]2＝[（x﹣10）﹣（20﹣x）]2+4（x﹣10）（20﹣x）， 把[（x﹣10）+（20﹣x）]2＝100，（x﹣10）（20﹣x）＝8代入， 得100＝[（x﹣10）﹣（20﹣x）]2+4×8， 100＝（x﹣10﹣20+x）2+32， 68＝（2x﹣30）2， 即（2x﹣30）2＝68． 8 .已知m2+n2﹣6m+10n+34＝0，求m+n． 【分析】把原式化成（m﹣3）2+（n+5）2＝0，得出m﹣3＝0，n+5＝0，求出m、n的值，代入求出即可． 【解答】解：∵m2+n2﹣6m+10n+34＝0， ∴m2﹣6m+9+n2+10n+25＝0， ∴（m﹣3）2+（n+5）2＝0， m﹣3＝0，n+5＝0， m＝3，n＝﹣5， ∴m+n＝3+（﹣5）＝﹣2． 9 .阅读理解． 已知（a﹣12）2+（14﹣a）2＝6，求（a﹣13）2的值． 解：由（a﹣12）2+（14﹣a）2＝6，可得[（a﹣13）+1]2+[（a﹣13）﹣1]2＝6． 整理得（a﹣13）2+2（a﹣13）+1+（a﹣13）2﹣2（a﹣13）+1＝6． 2（a﹣13）2+2＝6 得（a﹣13）2＝2． 请仿照上述方法，完成下列问题： （1）已知（a﹣98）2+（96﹣a）2＝10，求（a﹣97）2的值． （2）已知（a﹣2024）2＝8，求（a﹣2025）2+（2023﹣a）2的值． 【分析】（1）将（a﹣98）2+（96﹣a）2＝10变形为[（a﹣97）﹣1]2+[（a﹣97）+1]2＝10，然后利用完全平方公式展开并整理成2（a﹣97）2+2＝10，即可求出（a﹣97）2的值； （2）将（a﹣2025）2+（2023﹣a）2变形为[（a﹣2024）﹣1]2+[（a﹣2024）+1]2，然后利用完全平方公式展开并整理成2（a﹣2024）2+2，然后将已知条件代入求值即可． 【解答】解：（1）由（a﹣98）2+（96﹣a）2＝10，可得[（a﹣97）﹣1]2+[（a﹣97）+1]2＝10， 整理得（a﹣97）2﹣2（a﹣97）+1+（a﹣97）2+2（a﹣97）+1＝10， 2（a﹣97）2+2＝10， 得（a﹣97）2＝4； （2）（a﹣2025）2+（2023﹣a）2 ＝[（a﹣2024）﹣1]2+[（a﹣2024）+1]2 ＝（a﹣2024）2﹣2（a﹣2024）+1+（a﹣2024）2+2（a﹣2024）+1 ＝2（a﹣2024）2+2， 当（a﹣2024）2＝8时， 原式＝2×8+2＝18． 三、课堂达标 一、单选题：（每小题4分，共32分） 1．小华在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把中间一项的系数染黑了，得到正确的结果为，则中间一项的系数是（　　） A．6 B． C．6或 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，根据，直接作答即可． 【详解】解：∵， ∴染黑的部分为． 故选：C． 2．计算（a﹣2b）2＝（　　） A．a2﹣4ab+4b2 B．a2+4ab+4b2 C．a2﹣4ab﹣4b2 D．a2+4ab﹣4b2 【分析】根据完全平方公式的结构特征进行计算求解． 【解答】解：原式＝a2﹣2a•2b+（2b）2 ＝a2﹣4ab+4b2， 故选：A． 【点评】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的结构是解题关键． 3．下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的乘方．根据整式的乘方运算法则求解即可判断． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：C． 4．如果，则，的值是（    ） A．2，0 B．4，0 C．2， D． 4， 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式，把等式的右边展开，根据左右两边含x的平方的系数相等求出a的值，常数项相等求出b的值． 【详解】解： ， ，， ， 故选D． 5．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行计算和求算术平方根，根据计算即可得解，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴的值为， 故选：C． 6．（23-24七年级下·广东梅州·阶段练习）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式例如利用图可以得到，那么利用图所得到的数学等式是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形，利用两种方法表示大正方形的面积，即可得出结果． 【详解】解：由图可知：； 故选B． 7．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，将两式作差运算后即可求得答案，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：． 8．若x2+y2＝（x+y）2+A＝（x﹣y）2﹣B，则A、B的数量关系为（　　） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．无法确定 【分析】利用完全平方公式得到x2+y2＝（x+y）2+（﹣2xy）＝（x﹣y）2﹣（﹣2xy），则A＝﹣2xy，B＝﹣2xy，从而得到A、B的关系． 【解答】解：∵x2+y2＝（x+y）2+（﹣2xy）＝（x﹣y）2﹣（﹣2xy）， ∴A＝﹣2xy，B＝﹣2xy， ∴A＝B． 故选：A． 【点评】本题考查了完全平方公式：熟练运用完全平方公式是解决此类问题的关键．完全平方公式为：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 二、填空题：（每小题4分，共20分） 9 .若是的小数部分，则 ． 【答案】 【分析】先估算出的值的范围，从而求出的值，然后把的值代入式子中进行计算，即可解答． 【详解】解：， 的整数部分为，小数部分为， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 10 .已知（2x+y）2＝58，（2x﹣y）2＝18，则xy＝　 　． 【分析】由（2x+y）2﹣（2x﹣y）2＝4×2xy进行解答． 【解答】解：∵（2x+y）2＝58，（2x﹣y）2＝18， ∴（2x+y）2﹣（2x﹣y）2＝4×2xy， ∴58﹣18＝8xy， ∴xy＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了完全平方公式，解题关键是熟练掌握完全平方公式，并能进行应用． 11 .已知（2021﹣a）•（2019﹣a）＝2020，那么（2021﹣a）2+（2019﹣a）2＝　 　． 【分析】根据完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，即可求出答案． 【解答】解：设x＝2021﹣a，y＝2019﹣a， ∴x﹣y＝2021﹣a﹣2019+a＝2， ∵（2021﹣a）（2019﹣a）＝2020， ∴xy＝2020， ∴原式＝x2+y2 ＝（x﹣y）2+2xy ＝22+2×2020 ＝4044． 故答案为：4044． 【点评】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，本题属于基础题型． 12 .若，，则的值为 ． 【答案】14 【分析】本题主要考查了代数式求值、利用完全平方公式进行运算等知识，灵活运用完全平方公式是解题关键．将转换为，然后代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：14． 13 .如图，边长为m，n（m＞n）的长方形，它的周长为12，面积为8，则（m﹣n）2的值为 　 　． 【答案】4． 【解答】解：由题意，得：2（m+n）＝12，mn＝8， 所以m+n＝6， 所以（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝62﹣4×8＝36﹣32＝4． 故答案为：4． 三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分） 14 .计算 （1）（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）2﹣2a（a+b） （2）9992﹣998×1002． 【分析】（1）利用完全平方公式和平方差公式展开，然后合并同类项即可； （2）先利用平方差公式计算998×1002得到原式＝9992﹣10002+4，然后再利用平方差公式计算9992﹣10002即可． 【解答】解：（1）原式＝a2﹣b2+a2﹣2ab+b2﹣2a2﹣2ab ＝﹣4ab； （2）原式＝9992﹣（1000﹣2）（1000+2） ＝9992﹣（10002﹣4） ＝9992﹣10002+4 ＝（999+1000）（999﹣1000）+4 ＝1999×（﹣1）+4 ＝﹣1995． 【点评】本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．也考查了完全平方公式． 15 .先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先计算平方差公式和完全平方公式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后将的值代入计算即可得． 解： ， 当，时， 原式． 【点拨】本题考查了平方差公式和完全平方公式、单项式乘以多项式以及求值等知识点，熟练掌握整式的运算法则是解题关键． 16 .已知，满足方程组，求代数式的值． 【答案】7 【分析】利用加减消元法解方程组，求得与的值，再把与的值代入化简后的代数式求值即可． 【详解】解：由得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， ， 当，时， 原式． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，整式的化简求值．掌握解二元一次方程组的方法和整式的混合运算法则是解题的关键． 17 .已知实数，满足，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)42 【分析】（1）根据整式乘法运算法则，去括号之后整体代入求值即可得到答案； （2）根据完全平方公式的变式，即可解答． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，， ． 【点睛】本题考查了整式乘法的计算法则和完全平方公式及其变形的运用，熟练掌握法则及公式是解答的关键． 18 .数学活动课上，老师准备了如图1的一个长为4b，宽为a（a＞b）的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形． （1）图2中的阴影部分正方形的边长是 　a﹣b　（用含a，b的代数式表示）； （2）观察图1，图2，请写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系是：　 （3）已知（m+n）2＝25，（m﹣n）2＝16，求m2+n2的值． 【答案】（1）a﹣b； （2）（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2； （3）． 【解答】解：（1）由图2可知阴影部分正方形的边长是a﹣b， 故答案为：a﹣b； （2）大正方形的面积为：（a+b）2，小正方形的面积为：（a﹣b）2，长方形的面积为：ab， 由图2可知，大正方形的面积减去4个长方形的面积等于小正方形的面积， 因此（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2， 故答案为：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2； （3）∵（m+n）2＝25，（m﹣n）2＝16， ∴（m+n）2+（m﹣n）2＝25+16＝41， 又∵（m+n）2+（m﹣n）2＝m2+2mn+n2+m2﹣2mn+n2＝2（m2+n2）， ∴2（m2+n2）＝41， ∴． 19 .材料一：对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，如图1，可以得到 （a+b）2＝a2+2ab+b2． 材料二：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求 a2+b2 的值． 解：∵a+b＝﹣4，ab＝3， a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×3＝10 请你根据上述信息解答下面问题： ​ （1）写出图2中所表示的数学等式 　 ． （2）已知 a﹣b＝﹣3，ab＝﹣2，求 a2+b2 的值． （3）已知 （2022﹣a）（2023﹣a）＝2047，求 （2022﹣a）2+（2023﹣a）2 的值． （4）如图3，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点E、F是BC、CD上的点，且 BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为80，则图中阴影部分的面积和为 　 　． 【答案】（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； （2）5； （3）4095； （4）176． 【解答】解：（1）从“整体”上看是边长为（a+b+c）的正方形，因此面积为（a+b+c）2，也可以看作9个“小部分”的面积和，即a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， 因此（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， 故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； （2）∵a﹣b＝﹣3，ab＝﹣2， ∴a2+b2 ＝（a﹣b）2+2ab ＝9﹣4 ＝5； （3）设m＝2022﹣a，n＝2023﹣a，则m﹣n＝﹣1， ∵（2022﹣a）（2023﹣a）＝2047，即mn＝2047， ∴（2022﹣a）2+（2023﹣a）2 ＝m2+n2 ＝（m﹣n）2+2mn ＝1+4094 ＝4095； （4）由题意可得，FC＝PE＝10﹣x，CE＝PF＝6﹣x， 设p＝10﹣x，q＝6﹣x，则p﹣q＝4， ∵长方形CEPF的面积为80， ∴（10﹣x）（6﹣x）＝pq＝80， ∴图中阴影部分的面积和为：（10﹣x）2+（6﹣x）2 ＝p2+q2 ＝（p﹣q）2+2pq ＝16+160 ＝176， 故答案为：176． 学科网（北京）股份有限公司 $$