精品解析：山东省春季高考研究联合体2024-2025学年高三上学期第一次联合考试数学试题

2024—2025学年山东省春季高考研究联合体第一次联合考试 数学试题 2024-11 1．本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟．考生请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，除题目有具体要求外，最后结果精确到0.01． 卷一（选择题 共60分） 一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上） 1. 已知集合，则等于（ ）． A. B. C. D. 2. 已知实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知复数的实部和虚部分别为5和，则实数和的值分别是（ ） A. 2， B. 2，1 C. ，2 D. 1， 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 5. 若是2和8的等比中项，则实数的值是（ ） A. 5 B. 或5 C. 4 D. 或4 6. 已知角终边上一点，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 过直线与的交点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，（　　） A. B. C. D. 9. 已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点为，离心率为，则椭圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 10. 某几何体的正视图和俯视图如图所示，则该几何体的左视图可以是（ ） A B. C. D. 11. 已知，且是第二象限角，则等于（ ） A. B. C. D. 12. 如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（ ）． A. B. C. D. 13. 已知向量，若，则向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 14. 已知圆的圆心为，且直线与圆相切，则圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 15. 计算：等于（ ） A. B. C. D. 16. 如图所示，在四棱锥中，分别为上点，且平面，则下列说法正确的是（ ） A B. C. D. 以上均有可能 17. 在的二项展开式中，所有二项式系数之和为64，则展开式的项数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 18. 将名志愿者分配到个不同的社区进行抗疫，每名志愿者只分配到个社区，每个社区至少分配名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 19. 在中国农历中，一年有24个节气，“立春”居首.北京2022年冬奥会开幕正逢立春，开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧.墩墩同学要从24个节气中随机选取4个介绍给外国的朋友，则这4个节气中含有“立春”的概率为（ ） A. B. C. D. 20. 如图所示，在等腰直角三角形中，斜边，过点作边的垂线，垂足为，过点作边的垂线，垂足为，过点作边的垂线，垂足为，…，依此类推．设，，，…，，则等于（ ） A. B. C. D. 卷二（非选择题 共60分） 二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分．请将答案填写在答题卡相应题号的横线上） 21. 已知正方体的表面积为24，若球与正方体的各个面均相切，则该球的体积是________． 22. 已知时，当时，________． 23. 某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名学生只参加一个小组)(单位：人).学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则的值为___________. 篮球组 书画组 乐器组 高一 45 30 高二 15 10 20 24. 设随机变量～，则 _____ 25. 已知且，若函数在上具有单调性，则实数的取值范围是________． 三、解答题（本大题5个小题，共40分．请将解答过程填写在答题卡相应题号的位置上） 26. 已知是二次函数，且． （1）求的解析式； （2）若，求函数的最小值和最大值． 27. 设等差数列满足， （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）求前项和及使得最大的序号的值 28. 如图所示，是海面上位于东西方向的两个观测点，海里，点位于观测点北偏东，且观测点北偏西的位置，点位于观测点南偏西，且海里．现点有一艘轮船发出求救信号，点处的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时．求： （1）的距离； （2）该救援船到达点所需要的时间． 29. 设函数，且． （1）求的值； （2）求使的的取值范围． 30. 已知函数 （1）求的周期及单调增区间； （2）若时，求最大值与最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年山东省春季高考研究联合体第一次联合考试 数学试题 2024-11 1．本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟．考生请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，除题目有具体要求外，最后结果精确到0.01． 卷一（选择题 共60分） 一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上） 1. 已知集合，则等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合集合的交集的概念与运算，即可求解. 【详解】由集合，根据交集的定义可知. 故选：A． 2. 已知实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】实数，则， 当时，，因此， 当时，而，则， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 3. 已知复数实部和虚部分别为5和，则实数和的值分别是（ ） A. 2， B. 2，1 C. ，2 D. 1， 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数的概念列式计算即得. 【详解】由复数的实部和虚部分别为5和，得， 所以. 故选：B 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由函数有意义得，解该不等式即可得解. 【详解】要使函数有意义，则，即， 所以或，解得或， 所以函数的定义域为. 故选：D. 5. 若是2和8的等比中项，则实数的值是（ ） A. 5 B. 或5 C. 4 D. 或4 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比中项的意义求得结果. 【详解】依题意，，所以. 故选：D 6. 已知角终边上一点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数定义和二倍角的正弦公式即可得到答案. 【详解】由题意得，， 所以. 故选：D. 7. 过直线与的交点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出两条直线的交点，设出所求直线的方程，并求出待定系数即得. 【详解】由，解得，则所求方程的直线过点， 设所求直线方程为，于是，解得， 所以所求直线方程为. 故选：D 8. 如图，在矩形中，（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量的加法法则计算即得. 【详解】在矩形中，. 故选：B 9. 已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点为，离心率为，则椭圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆焦点坐标与离心率公式得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】由题可得椭圆焦点在x轴上，且， 所以椭圆的标准方程是. 故选：C. 10. 某几何体的正视图和俯视图如图所示，则该几何体的左视图可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把几何体的正视图和俯视图置于长方体中，作出原几何体即可. 【详解】在长方体中，由俯视图为正方形及一条对角线知， 4条侧棱上各有一个点为几何体的顶点，则左视图不可能为圆，A不是； 正视图为直角三角形，则棱上各有一个点为几何体的顶点， 左视图若为B选项对应图形，则俯视图没有正方形的那条对角线，B不是； 左视图若为D选项对应图形，则棱上各有一个点为几何体的顶点，此时正视图不符合要求，D不是； 当点都为几何体的顶点时，几何体为四棱锥，其正视图和俯视图都符合题意， 左视图为选项C对应的三角形. 故选：C 11. 已知，且是第二象限角，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式和同角三角函数关系得到方程组，解出即可. 【详解】，则， 又因为，且第二象限角，所以. 故选：C. 12. 如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（ ）． A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分，，求出解析式，然后可知图象. 【详解】当时，，是一条过原点的线段； 当时，，是一段平行于轴的线段； 当时，，图象为一条线段. 故选：A． 13. 已知向量，若，则向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算求解. 【详解】向量，若， 则. 故选：D. 14. 已知圆的圆心为，且直线与圆相切，则圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由直线与圆相切结合点到直线距离公式求出圆的半径r即可得解. 【详解】因为直线与圆相切，设圆的半径为r， 则， 所以圆的标准方程为. 故选：A. 15. 计算：等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和余弦公式即可得到答案. 【详解】. 故选：A 16. 如图所示，在四棱锥中，分别为上的点，且平面，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 以上均有可能 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用线面平行的性质推理判断即可. 【详解】直线平面，平面，平面平面， 所以. 故选：B 17. 在的二项展开式中，所有二项式系数之和为64，则展开式的项数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】先由二项式系数公式求出n，再由二项式展开式定理即可得解. 【详解】由题得， 所以二项式的展开式的项数是. 故选：A. 18. 将名志愿者分配到个不同的社区进行抗疫，每名志愿者只分配到个社区，每个社区至少分配名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】将名志愿者分为组，每组的人数分别为、、、，再将这组志愿者分配到个不同的社区，利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】将名志愿者分为组，每组的人数分别为、、、，再将这组志愿者分配到个不同的社区， 由分步乘法计数原理可知，不同的分配方案种数为. 故选：B. 19. 在中国农历中，一年有24个节气，“立春”居首.北京2022年冬奥会开幕正逢立春，开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧.墩墩同学要从24个节气中随机选取4个介绍给外国的朋友，则这4个节气中含有“立春”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出从24个节气中选择4个节气的情况，和四个节气中含有“立春”的情况，利用古典概型求概率公式进行求解. 【详解】从24个节气中选择4个节气，共有种情况， 这四个节气中含有“立春”的情况有种情况， 故这4个节气中含有“立春”的概率为. 故选：B 20. 如图所示，在等腰直角三角形中，斜边，过点作边的垂线，垂足为，过点作边的垂线，垂足为，过点作边的垂线，垂足为，…，依此类推．设，，，…，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，结合等腰直角三角形的性质可得数列为等比数列，进而求出. 【详解】依题意，数列的相邻两项分别为同一个等腰直角三角形的底边和腰，即， 因此数列是首项，公比的等比数列，， 所以. 故选：B 卷二（非选择题 共60分） 二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分．请将答案填写在答题卡相应题号的横线上） 21. 已知正方体的表面积为24，若球与正方体的各个面均相切，则该球的体积是________． 【答案】## 【解析】 【分析】求出正方体的棱长，再利用球的体积公式求出体积. 【详解】设正方体的棱长为，由正方体的表面积为24，得，解得， 因此与正方体的各个面均相切的球半径， 所以该球的体积是. 故答案为： 22. 已知时，当时，________． 【答案】或. 【解析】 【分析】根据三角函数的性质即可得到答案. 【详解】因为，，则或. 故答案为：或. 23. 某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名学生只参加一个小组)(单位：人).学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则的值为___________. 篮球组 书画组 乐器组 高一 45 30 高二 15 10 20 【答案】30 【解析】 【分析】由篮球组的人数及抽取的人数求出分层抽样的抽样比，进而可得书画组、乐器组抽取的人数，再根据分层抽样的意义计算即得. 【详解】依题意，篮球组60人抽取12人，则分层抽样的抽样比为， 由分层抽样的意义知，书画组40人抽取的人数为人，从而乐器组抽取的人数为， 于是得，解得， 所以的值为30. 故答案：30 24. 设随机变量～，则 _____ 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：因为，满足二项分布，所以 考点：1．二项分布公式； 25. 已知且，若函数在上具有单调性，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性，结合指数函数单调性，按单调递减和单调递增分类列式求解. 【详解】函数在上单调， 当在上单调递减时，，解得； 当在上单调递增时，，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 三、解答题（本大题5个小题，共40分．请将解答过程填写在答题卡相应题号的位置上） 26. 已知是二次函数，且． （1）求的解析式； （2）若，求函数的最小值和最大值． 【答案】（1）； （2），． 【解析】 【分析】（1）设二次函数为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）根据二次函数的性质，求得函数的单调区间，进而求得其最值. 【小问1详解】 解：设二次函数为， 因为，可得，解得， 所以函数的解析式． 【小问2详解】 解：函数，开口向下，对称轴方程为， 即函数在单调递增，在单调递减， 所以，． 27. 设等差数列满足， （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）求的前项和及使得最大的序号的值 【答案】an=11-2n,n=5时，Sn取得最大值 【解析】 【详解】试题分析：解：（1）由an=a1+（n-1）d及a3=5，a10=-9得,a1+9d=-9，a1+2d=5,解得d=-2，a1=9，,数列{an}的通项公式为an=11-2n,（2）由（1）知Sn=na1+d=10n-n2．因为Sn=-（n-5）2+25．所以n=5时，Sn取得最大值． 考点：等差数列 点评：数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值，因此它具备函数的特性． 28. 如图所示，是海面上位于东西方向的两个观测点，海里，点位于观测点北偏东，且观测点北偏西的位置，点位于观测点南偏西，且海里．现点有一艘轮船发出求救信号，点处的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时．求： （1）的距离； （2）该救援船到达点所需要的时间． 【答案】（1）海里 （2）1小时 【解析】 【分析】（1）结合已知图形，在中利用正弦定理转化求解的长. （2）在中利用余弦定理求出，然后求解出该救援船到达D点所需的时间． 【小问1详解】 由题意可知，，， 则， 而， 在中，，由正弦定理可得， 即，即，解得（海里）． 【小问2详解】 在中，， 由余弦定理可得 ， 所以，则时间为（小时）， 所以该救援船到达点需要的时间为1小时. 29. 设函数，且． （1）求的值； （2）求使的的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用已知条件结合对数式与指数式的互化可求得实数的值； （2）利用对数函数的单调性可得出关于实数的不等式，即可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 解：由已知可得，可得，解得. 【小问2详解】 解：由（1）可得，由可得，解得. 因此，使的的取值范围为. 30. 已知函数 （1）求的周期及单调增区间； （2）若时，求的最大值与最小值. 【答案】（1），；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式化简，再根据正弦函数性质求周期与增区间，（2）根据正弦函数性质求最值. 【详解】（1） ，所以的周期 单调增区间： （2） 【点睛】本题考查正弦函数性质、二倍角公式以及辅助角公式，考查分析求解能力，属中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$