浙江省杭州市西湖区保俶塔教育集团2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷

2024-2025学年浙江省杭州市西湖区保俶塔教育集团八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．（3分）如图，四个图标中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）一个三角形的两边长分别是2与3，第三边的长不可能为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（3分）下列不等式中，是一元一次不等式的是（　　） A．x2+1＞x B．﹣y+1＞y C．＞1 D．5+4＞8 4．（3分）不等式2x﹣1＜3的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 5．（3分）下列命题中的真命题是（　　） A．内错角相等 B．三角形内角和是180° C．是有理数 D．若|a|＝1，则a＝1 6．（3分）如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 7．（3分）如图，点B、D在AM上，点C、E在AN上，且AB＝BC＝CD＝DE，若∠A＝20°，则∠MDE的度数为（　　） A．70° B．75° C．80° D．85° 8．（3分）将已知关于x的不等式（a﹣2）x＞4﹣2a的解集为x＜﹣2，则a的取值范围是（　　） A．a＞2 B．a＜2 C．a≥2 D．a≠2 9．（3分）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CDA＝90°，以它的四条边为斜边分别向外作等腰直角三角形，其中3个三角形的面积分别为2，5，9，则第4个三角形的面积为（　　） A．6 B．9 C．11 D．12 10．（3分）如图，在Rt△ABC中，CA＝CB，D为斜边AB的中点，直角∠EDF在△ABC内绕点D转动，分别交边AC，BC点E，F（点E不与点A，C重合），下列说法：①∠DEF＝45°；②BF2+AE2＝EF2；③CD＜EF＜CD．其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共30分。 11．（3分）用不等式表示“2a与3b的和是正数”　 　． 12．（3分）写出命题“对顶角相等”的逆命题　 　． 13．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，斜边AB上的中线长为 　 　． 14．（3分）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC＝120°，∠C＝40°，则∠DAE的度数是　 　． 15．（3分）如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，过点B作BF⊥AD，交AD于点F，若AF：EF＝2：1，△CDE的面积为a，则△ABC的面积为 　 　.（用含a的代数式表示） 16．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE平分∠ADC，交AC于点E，EF⊥AB于点F，且交AD于点G，若AG＝1，BC＝6，则DG＝ 　 　，FG＝ 　 　． 三、解答题：本题共8小题，共72分。 17．（8分）解下列一元一次不等式： （1）4+3x＞10； （2）2x﹣1≤5x+2． 18．（8分）如图，在正方形网格中点A，B，C均为格点，按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）： （1）作出△ABC关于直线l的对称图形△A'B'C'； （2）在直线l上找一点D，使AD+CD最小． 19．（8分）已知：如图，∠A＝∠D＝90°，点E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：△OEF是等腰三角形． 20．（8分）证明命题：“全等三角形的对应角的平分线相等”是真命题． 21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，点D在BC上，将△ADC沿直线AD翻折，形成△ADC'． （1）若AC′∥CD，求∠CAD的度数； （2）若点C的对称点恰好落在AB上，求线段BD的长． 22．（10分）如图，已知点P是等边△ABC内一点，连接PA，PB，PC，D为△ABC外一点，且∠DAP＝60°，连接DP，DC，AD＝DP． （1）求证：△ADC≌△APB； （2）若PA＝15，PB＝8，PC＝17，求∠APB的度数． 23．（10分）用一条直线分割一个三角形，如果能分割出等腰三角形，那么就称这条直线为该三角形的一条等腰分割线，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6． （1）如图1，若O为AB的中点，求证：直线OC是△ABC的等腰分割线． （2）如图2，已知△ABC的一条等腰分割线BP交边AC于点P，且PB＝PA，请求出CP的长度． （3）如图3，在△ABC，点Q是边AB上的一点，如果直线CQ是△ABC的等腰分割线，求线段BQ的长度． 24．（12分）如图，在等腰Rt△ABC中，BC⊥AC，P是线段BC上的一个动点（与点B，C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AC于点N，交AB于点M，连结AQ． （1）若∠PAC＝α，求∠AMQ的度数．（用含α的式子表示）； （2）求证：QM＝AP； （3）在P点运动过程中线段MB与PQ的比值是否发生变化？若不变请计算它们的比值． 2024-2025学年浙江省杭州市西湖区保俶塔教育集团八年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．（3分）如图，四个图标中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的概念解答． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项错误． 故选：C． 2．（3分）一个三角形的两边长分别是2与3，第三边的长不可能为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围解答即可． 【解答】解：设第三边长x． 根据三角形的三边关系，得1＜x＜5， 第三边不可能为1， 故选：A． 3．（3分）下列不等式中，是一元一次不等式的是（　　） A．x2+1＞x B．﹣y+1＞y C．＞1 D．5+4＞8 【分析】根据一元一次不等式的定义逐个判断即可， 【解答】解：A、是一元二次不等式，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意； B、是一元一次不等式，故本选项符合题意； C、不等式的左边不是整式，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意； D、不是一元一次不等式，故本选项不符合题意； 故选：B． 4．（3分）不等式2x﹣1＜3的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据不等式解集的表示方法，可得答案． 【解答】解：由题意，得 x＜2， 故选：D． 5．（3分）下列命题中的真命题是（　　） A．内错角相等 B．三角形内角和是180° C．是有理数 D．若|a|＝1，则a＝1 【分析】根据平行线性质，三角形内角和定理，实数的分类，绝对值的概念逐项判断． 【解答】解：两直线平行，才有内错角相等，故A是假命题，不符合题意； 三角形内角和是180°，，故B是真命题，符合题意； 是无理数，故C是假命题，不符合题意； 若|a|＝1，则a＝±1，故D是假命题，不符合题意； 故选：B． 6．（3分）如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 【分析】根据全等三角形的判定定理SAS求解即可． 【解答】解：在△ABO和△DCO中， ， ∴△ABO≌△DCO（SAS）， 故选：B． 7．（3分）如图，点B、D在AM上，点C、E在AN上，且AB＝BC＝CD＝DE，若∠A＝20°，则∠MDE的度数为（　　） A．70° B．75° C．80° D．85° 【分析】根据AB＝BC＝CD＝DE，利用等腰三角形的性质即可找出各角的度数，再根据三角形外角的性质即可求出结论． 【解答】解：∵AB＝BC＝CD＝DE，且∠A＝20°， ∴∠ACB＝∠A＝20°，∠CBD＝∠CDB＝2∠A＝40°，∠DCE＝∠DEC＝∠A+∠BDC＝3∠A＝60°， ∴∠MDE＝∠A+∠DEC＝4∠A＝80°． 故选：C． 8．（3分）将已知关于x的不等式（a﹣2）x＞4﹣2a的解集为x＜﹣2，则a的取值范围是（　　） A．a＞2 B．a＜2 C．a≥2 D．a≠2 【分析】按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：∵（a﹣2）x＞4﹣2a， ∴（a﹣2）x＞﹣2（a﹣2）， ∵不等式的解集为x＜﹣2， ∴a﹣2＜0， 解得：a＜2， 故选：B． 9．（3分）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CDA＝90°，以它的四条边为斜边分别向外作等腰直角三角形，其中3个三角形的面积分别为2，5，9，则第4个三角形的面积为（　　） A．6 B．9 C．11 D．12 【分析】连接AC，根据等腰直角三角形的面积公式可求AB，BC，AD，根据勾股定理可求AC，CD，再根据等腰直角三角形的面积公式即可求解． 【解答】解：连接AC， ∵3个等腰直角三角形的面积分别为2，5，9， ∴AD＝2，AB＝2，BC＝2×＝6， 在Rt△ABC中，AC＝＝2， 在Rt△ADC中，CD＝＝4， 则第4个三角形的面积为4×（4÷2）÷2＝12． 故选：D． 10．（3分）如图，在Rt△ABC中，CA＝CB，D为斜边AB的中点，直角∠EDF在△ABC内绕点D转动，分别交边AC，BC点E，F（点E不与点A，C重合），下列说法：①∠DEF＝45°；②BF2+AE2＝EF2；③CD＜EF＜CD．其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】由等腰直角三角形的性质得∠ACB＝90°，∠A＝45°，CD⊥AB，CD＝AD＝BD，∠ACD＝∠BCD＝45°，而∠EDF＝∠ADC＝90°，则∠ADE＝∠CDF，可证明△ADE≌△CDF，得DE＝DF，所以∠DEF＝∠DFE＝45°，可判断①正确；由CA＝CB，AE＝CF，推导出CE＝BF，由CE2+CF2＝EF2，得BF2+AE2＝EF2，可判断②正确；当E为AC的中点时，则DE⊥AC，ED＝EC＝EA，所以∠EDF＝∠DEC＝90°，DF＝EC，可证明△DEF≌△EDC，则EF＝CD，可判断③错误，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，CA＝CB， ∴∠ACB＝90°，∠A＝∠B＝45°， ∵D为斜边AB的中点， ∴CD⊥AB，CD＝AD＝BD＝AB，∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝45°， ∴∠A＝∠FCD， ∵∠EDF是直角， ∴∠EDF＝∠ADC＝90°， ∴∠ADE＝∠CDF＝90°﹣∠CDE， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（ASA）， ∴DE＝DF， ∴∠DEF＝∠DFE＝45°， 故①正确； ∵CA＝CB，AE＝CF， ∴CA＝AE＝CB﹣CF， ∴CE＝BF， ∵CE2+CF2＝EF2， ∴BF2+AE2＝EF2， 故②正确； 如图，当E为AC的中点时，则DE⊥AC，ED＝EC＝EA＝AC， ∴∠EDF＝∠DEC＝90°，DF＝EC， 在△DEF和△EDC中， ， ∴△DEF≌△EDC（SAS）， ∴EF＝CD， 故③错误， 故选：A． 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共30分。 11．（3分）用不等式表示“2a与3b的和是正数”　2a+3b＞0　． 【分析】先表示出2a与3b的和，再根据“和是正数”即“＞0”可列不等式． 【解答】解：根据题意，可列不等式：2a+3b＞0． 故答案为：2a+3b＞0． 12．（3分）写出命题“对顶角相等”的逆命题　如果两个角相等，那么这两个角是对顶角　． 【分析】根据逆命题的定义可以写出命题“对顶角相等”的逆命题，本题得以解决． 【解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角， 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角． 13．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，斜边AB上的中线长为 　5　． 【分析】根据勾股定理求出AB＝10，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到答案． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB＝＝＝10， ∴斜边AB上的中线长为， 故答案为：5． 14．（3分）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC＝120°，∠C＝40°，则∠DAE的度数是　10°　． 【分析】根据三角形内角和定理求出∠DAC，根据角平分线定义求出∠EAC，即可得出答案． 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∵∠C＝40°， ∴∠DAC＝50°， ∵AE是△ABC的角平分线，∠BAC＝120°， ∴∠EAC＝∠BAC＝60°， ∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝10°， 故答案为：10°． 15．（3分）如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，过点B作BF⊥AD，交AD于点F，若AF：EF＝2：1，△CDE的面积为a，则△ABC的面积为 　6a　.（用含a的代数式表示） 【分析】判定△BEF≌△CED（AAS），得到△BEF的面积＝△CDE的面积＝a，由三角形面积公式得到S△ABE＝3S△BEF＝3a，S△ABC＝2S△ABE＝6a． 【解答】解：∵AE是BC边上的中线， ∴EB＝EC， ∵CD⊥AE，BF⊥AD， ∴∠BFE＝∠CDE＝90°， ∵∠BEF＝∠CED， ∴△BEF≌△CED（AAS）， ∴△BEF的面积＝△CDE的面积＝a， ∵AF：EF＝2：1， ∴AE：EF＝3：1， ∴S△ABE＝3S△BEF＝3a， ∵BE＝CE， ∴S△ABC＝2S△ABE＝6a． 故答案为：6a． 16．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE平分∠ADC，交AC于点E，EF⊥AB于点F，且交AD于点G，若AG＝1，BC＝6，则DG＝ 　3　，FG＝ 　　． 【分析】由AAS可证△DGE≌△DCE，可得DG＝CD＝3，运用勾股定理可得AB＝5，利用面积法可求GF的长． 【解答】解：如图，连接BG， ∵DE平分∠ADC， ∴∠EDC＝∠EDG， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠CAD，BD＝CD＝BC＝3，∠CAD+∠C＝90°， ∵EF⊥AB， ∴∠BAD+∠AGF＝90°， 又∵∠AGF＝∠DGE， ∴∠DGE＝∠C， 在△DGE和△DCE中， ， ∴△DGE≌△DCE（AAS）， ∴DG＝CD＝3， ∴AD＝AG+DG＝1+3＝4， 在Rt△ABD中，AB＝＝5， ∵S△ABG＝AB•GF＝AG•BD， ∴GF＝＝＝， 故答案为：3，． 三、解答题：本题共8小题，共72分。 17．（8分）解下列一元一次不等式： （1）4+3x＞10； （2）2x﹣1≤5x+2． 【分析】（1）按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答； （2）按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）4+3x＞10， 3x＞10﹣4， 3x＞6， x＞2； （2）2x﹣1≤5x+2， 2x﹣5x≤2+1， ﹣3x≤3， x≥﹣1． 18．（8分）如图，在正方形网格中点A，B，C均为格点，按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）： （1）作出△ABC关于直线l的对称图形△A'B'C'； （2）在直线l上找一点D，使AD+CD最小． 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可． （2）连接AC'交直线l于点D，则点D即为所求． 【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求． （2）如图，连接AC'交直线l于点D，连接CD， 此时AD+CD＝AD+C'D＝AC'，为最小值， 则点D即为所求． 19．（8分）已知：如图，∠A＝∠D＝90°，点E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：△OEF是等腰三角形． 【分析】证明Rt△ABF≌Rt△DCE，根据全等三角形的性质得到∠AFB＝∠DEC，根据等腰三角形的判定定理证明结论． 【解答】证明：∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE， 在Rt△ABF和Rt△DCE中， ， ∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL） ∴∠AFB＝∠DEC， ∴OE＝OF， ∴△OEF是等腰三角形． 20．（8分）证明命题：“全等三角形的对应角的平分线相等”是真命题． 【分析】由题意画出图形，写出已知和求证，由全等三角形的性质推出AB＝A′B′，∠B＝∠B′，∠BAC＝∠B′A′C′，由角平分线定义得到∠BAD＝∠B′A′D′，判定△ABD≌△A′B′D′（ASA），推出AD＝A′D′． 【解答】证明：如图，△ABC≌△A′B′C′，AD和A′D′分别是两个三角形的角平分线， 求证：AD＝A′D′． 证明：∵△ABC≌△A′B′C′， ∵AB＝A′B′，∠B＝∠B′，∠BAC＝∠B′A′C′， ∵AD平分∠BAC，A′D′平分∠B′A′C′， ∴∠BAD＝∠BAC，∠B′A′D′＝∠B′A′C′， ∴∠BAD＝∠B′A′D′， 在△ABD和△A′B′D′中， ， ∴△ABD≌△A′B′D′（ASA）， ∴AD＝A′D′， ∴全等三角形的对应角的平分线相等． 21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，点D在BC上，将△ADC沿直线AD翻折，形成△ADC'． （1）若AC′∥CD，求∠CAD的度数； （2）若点C的对称点恰好落在AB上，求线段BD的长． 【分析】（1）由AC′∥CD，得∠C′AD＝∠CDA，由翻折得∠C′AD＝∠CAD，则∠CAD＝∠CDA，因为∠C＝90°，所以∠CAD＝∠CDA＝45°； （2）由∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，求得AC＝＝6，由翻折得AC′＝AC＝6，C′D＝CD＝8﹣BD，∠AC′D＝∠C＝90°，则BC′＝4，∠BC′D＝90°，所以42+（8﹣BD）2＝BD2，求得BD＝5． 【解答】解：（1）如图1，∵AC′∥CD， ∴∠C′AD＝∠CDA， 由翻折得∠C′AD＝∠CAD， ∴∠CDA＝∠CAD， ∵∠C＝90°， ∴∠CDA+∠CAD＝2∠CAD＝90°， ∴∠CAD＝45°， ∴∠CAD的度数是45°． （2）如图2，点C′在AB上， ∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝8， ∴AC＝＝＝6， 由翻折得AC′＝AC＝6，C′D＝CD＝8﹣BD，∠AC′D＝∠C＝90°， ∴BC′＝AB﹣AC′＝10﹣6＝4，∠BC′D＝90°， ∴BC′2+C′D2＝BD2， ∴42+（8﹣BD）2＝BD2， 解得BD＝5， ∴线段BD的长是5． 22．（10分）如图，已知点P是等边△ABC内一点，连接PA，PB，PC，D为△ABC外一点，且∠DAP＝60°，连接DP，DC，AD＝DP． （1）求证：△ADC≌△APB； （2）若PA＝15，PB＝8，PC＝17，求∠APB的度数． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AC＝AB，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到CD＝PB＝5，∠APB＝∠ADC，推出△ADP是等边三角形，得到∠ADP＝60°，PD＝PA＝15，根据勾股定理的逆定理得到∠PDC＝90°，于是得到结论． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB，∠BAC＝60°， ∵∠DAP＝60°，AD＝DP， ∴△ADP是等边三角形， ∴∠DAP＝60°＝∠BAC， ∴∠DAC＝∠PAB＝60°﹣∠PAC， 在△ADC与△APB中， ， ∴△ADC≌△APB（SAS）； （2）解：∵△ADC≌△APB， ∴CD＝PB＝8，∠APB＝∠ADC， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∵∠PAD＝60°，AD＝AP， ∴△ADP是等边三角形， ∴∠ADP＝60°，PD＝PA＝15， ∵PC＝17， ∴CD2+PD2＝PC2， ∴∠PDC＝90°， ∴∠APB＝∠ADC+∠ADP＝∠ADP+∠PDC＝60°+90°＝150°． 23．（10分）用一条直线分割一个三角形，如果能分割出等腰三角形，那么就称这条直线为该三角形的一条等腰分割线，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6． （1）如图1，若O为AB的中点，求证：直线OC是△ABC的等腰分割线． （2）如图2，已知△ABC的一条等腰分割线BP交边AC于点P，且PB＝PA，请求出CP的长度． （3）如图3，在△ABC，点Q是边AB上的一点，如果直线CQ是△ABC的等腰分割线，求线段BQ的长度． 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得两个等腰三角形； （2）设CP＝x，则PA＝PB＝8﹣x，根据勾股定理列方程得：62+x2＝（8﹣x）2，解出即可； （3）分情况进行讨论：先分△ACQ是等腰三角形时，分三种情况讨论；再分△BCQ是等腰三角形时，同理分三种情况讨论． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，O为AB中点， 在Rt△ACB中，OC＝AB＝AO＝BO， ∴等腰△AOC和等腰△BOC． 则直线OC是△ABC的等腰分割线； （2）由题可知PA＝PB，BC＝6， 设CP＝x，则PA＝PB＝8﹣x， 在Rt△BPC中，BC2+PC2＝PB2， ∴62+x2＝（8﹣x）2， x＝． 即：CP＝． （3）BQ＝5或2或6或． ①若△ACQ为等腰三角形， 如图（3），当AC＝AQ时，AQ＝8，BQ＝AB﹣AQ＝2， 如图（4），当QC＝QA时，Q为AB中点，BQ＝AB＝5． 当CA＝CQ时，Q不在线段AB上，舍去． ②若△BCQ为等腰三角形． 如图（5），当CQ＝CB时，过C作CM⊥AB于M，此时M为BQ的中点， S△ABC＝BC•AC＝AB•CM＝×6×8＝×10×CM CM＝． Rt△CMQ中，BM＝＝， ∴BQ＝2QM＝． 如图（6），当BC＝BQ时，BQ＝BC＝6． 如图（7），当QC＝QB时，Q为AB中点，BQ＝AB＝5． 综上，BQ＝2或5或或6． 故答案为：5或2或6或． 24．（12分）如图，在等腰Rt△ABC中，BC⊥AC，P是线段BC上的一个动点（与点B，C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AC于点N，交AB于点M，连结AQ． （1）若∠PAC＝α，求∠AMQ的度数．（用含α的式子表示）； （2）求证：QM＝AP； （3）在P点运动过程中线段MB与PQ的比值是否发生变化？若不变请计算它们的比值． 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠BAC＝∠B＝45°，∠PAB＝45°﹣α，由直角三角形的性质即可得出结论； （2）作ME⊥QB，证明AQ＝QM，即可解决问题； （3）由AAS证明△APC≌△QME，得出PC＝ME，△MEB是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得出结论． 【解答】（1）解：∵∠PAC＝α，△ACB是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝∠B＝45°，∠PAB＝45°﹣α， ∵QH⊥AP， ∴∠AHM＝90°， ∴∠AMQ＝180°﹣∠AHM﹣∠PAB＝45°+α； （2）证明：作ME⊥QB，如图所示： ∵AC⊥QP，CQ＝CP， ∴∠QAC＝∠PAC＝α，AQ＝AP， ∴∠QAM＝45°+α＝∠AMQ， ∴AQ＝QM， ∴QM＝AP； （3）解：＝不发生变化，理由如下： ∵ME⊥QB，BC⊥AC， ∴∠QEM＝∠ACP＝90°， ∵AC⊥QP，QH⊥AP， ∴∠ACQ＝∠AHQ＝90°， ∵∠QNC＝∠ANH， ∴∠MQE＝∠PAC， 在△APC和△QME中， ， ∴△APC≌△QME（AAS）， ∴PC＝ME， ∵ME⊥QB，∠B＝45°， ∵△MEB是等腰直角三角形， ∴MB＝ME， ∴MB＝PC＝PQ， ∴＝． 学科网（北京）股份有限公司 $$