精品解析：广东省深圳市华中师范大学龙岗附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

深圳华附2024-2025学年第一学期期中考试 高一数学 命题人：陈萍萍 审题人：李志峰 （本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.） 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校､姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁､不污损. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上. 3.非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效， 4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答. 5.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回. 第I卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 函数（，且）的图象过的定点是（ ） A. B. C. D. 4. “关于的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 5. 已知偶函数，当时，，则当时，（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于实数，下列命题为假命题的有（ ） A. 若，则. B. 若，则. C. 若则. D. 若，则. 10. 有以下判断，其中是正确判断的有（ ） A. 与表示同一函数 B. 函数的图象与直线的交点最多有个 C. 与是同一函数 D. 函数的定义域为，则函数的定义域为 11. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数，被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则以下关于狄利克雷函数的结论中，正确的是（ ） A. 函数满足： B. 函数的值域是 C. 对于任意的，都有 D. 在图象上不存在不同的三个点，使得为等边三角形 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________. 13. 学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加田径一项比赛的人数是___________ 14. 在人与自然的斗争中，病毒是一个可怕的敌人，为了抗击某种“疫情”，某制药厂最近新增了一条生产线，该生产线的年固定成本为250万元，每生产千箱防疫物资需另投入成本万元.当年产量大于或等于80千箱时，（万元）；当年产量不足80千箱时，（万元）.每千箱产品的售价为60万元，该厂生产的产品能全部售完.年产量为__________千箱时，该厂当年的利润最大. 第II卷 四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 16. 已知命题：对任意实数，不等式恒成立；命题：关于的方程无实数根. （1）若p为真命题，求实数的取值范围， （2）若的题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围. 17. 已知函数（，且）. （1）若函数的图象过和两点，求在上的值域； （2）若，且函数在区间上的最大值比最小值大，求的值. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求，的值： （2）试判断函数的单调性，并证明你的结论； （3）求使成立的实数的取值范围. 19. 若二次函数对任意都满足，其最小值为，且有 （1）求的解析式； （2）解关于的不等式； （3）设函数，求在区间的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳华附2024-2025学年第一学期期中考试 高一数学 命题人：陈萍萍 审题人：李志峰 （本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.） 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校､姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁､不污损. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上. 3.非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效， 4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答. 5.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回. 第I卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的交集即可求解. 【详解】由图知阴影部分为的元素去掉的元素组成的集合，因为， 所以阴影部分表示的集合为. 故选:A. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由特称命题否定定义可得答案. 【详解】由题可得命题“”的否定是“”. 故选：D 3. 函数（，且）的图象过的定点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的图象过定点，从而可求解. 【详解】由指数函数的图象过定点， 所以函数的图象过定点，故C正确. 故选：C. 4. “关于的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数不等式恒成立，转化为，即可求解. 【详解】不等式对恒成立， 所以，则. 则不等式恒成立的一个必要不充分条件是. 故选：B 5. 已知偶函数，当时，，则当时，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，可得出，求出的表达式，利用偶函数的性质可得出函数在时的解析式. 【详解】当，则，， 又为偶函数，所以，当时，． 故选：D. 6. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由题意知1和3为方程的两个根，由韦达定理可得，，且，则不等式等价于，即，由此即可写出答案. 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为， 所以1和3为方程的两个根， 由韦达定理有：， 所以，，且， 则，等价于，即， 故不等式的解集为. 故选：C. 7. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性以及指数函数的性质求解即可. 【详解】由指数函数的底数要求只讨论且， 由题意得为单调递增， 因为双勾函数在单调递减，单调递增， 所以，故； 又时，为单调递增，故； 再由，得； 综上，， 故选：B. 8. 已知，，，则的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件及指数运算性质，结合指数函数和幂函数的单调性即可求解. 【详解】由题意可知，， 因为在上是单调递增，且， 所以，即， 由题意可知，， 因为在上是单调递增，且， 所以，即， 所以. 故选: B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于实数，下列命题为假命题的有（ ） A. 若，则. B. 若，则. C. 若则. D. 若，则. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用特殊值可判断AB均为假命题，再由作差法以及不等式性质可得C为真命题，D为假命题. 【详解】对于A，不妨取，则，即A为假命题； 对于B，若，当时，满足，即B为假命题； 对于C，由可得，易知， 所以，可得C为真命题； 对于D，由可得， 所以，因为的符号不确定，所以不一定正确，即D为假命题； 故选：ABD 10. 有以下判断，其中是正确判断的有（ ） A. 与表示同一函数 B. 函数的图象与直线的交点最多有个 C. 与是同一函数 D. 函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，先求出两函数定义域，由两函数定义域不同即可判断；对于B，由函数定义分函数在处有没有定义即可判断；对于C，由函数的定义域和对应关系即可判断；对于D，先由函数定义域为得，从而得函数有，解该不等式即可得解. 【分析】对于A，函数的定义域为，函数定义域为， 故函数和不是同一函数，故A错误； 对于B，若函数在处有定义，则的图象与直线的交点有个， 若函数在处没有定义，则的图象与直线的没有交点； 所以函数的图象与直线的交点最多有个，故B正确； 对于C，因为函数与的定义域均为， 且两函数对应关系相同，所以函数与是同一函数，故C正确； 对于D，对函数，其定义域为， 所以对函数有，解得， 所以函数的定义域为，故D正确. 故选：BCD. 11. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数，被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则以下关于狄利克雷函数的结论中，正确的是（ ） A. 函数满足： B. 函数的值域是 C. 对于任意的，都有 D. 在图象上不存在不同的三个点，使得为等边三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】利用，对选项A，B和C逐一分析判断，即可得出选项A，B和C的正误，选项D，通过取特殊点，此时为等边三角形，即可求解. 【详解】由于， 对于选项A，设任意，则； 设任意，则，总之，对于任意实数恒成立，所以选项A正确， 对于选项B，的值域为，又，所以选项B错误， 对于选项C，当，则，当，则，所以选项C正确， 对于选项D，取，此时，得到为等边三角形，所以选项D错误， 故选：AC． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂的运算性质即可求解. 【详解】. 故答案为： 13. 学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加田径一项比赛的人数是___________ 【答案】2 【解析】 【分析】依题意，可画出该问题对应的韦恩图表示出参加各项比赛的人数，再由全班总人数列方程可解得结果为2. 【详解】根据题意可知，可设只参加田径一项比赛的人数是人， 又有8人参加田径比赛，3人同时参加游泳比赛和田径比赛，所以可得有人同时参加球类和田径比赛； 又有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛， 可得有人只参加球类一项比赛，9人参加一项游泳比赛，画出韦恩图表示如下图所示： 所以可得，解得； 即只参加田径一项比赛的人数是2人. 故答案为：2 14. 在人与自然的斗争中，病毒是一个可怕的敌人，为了抗击某种“疫情”，某制药厂最近新增了一条生产线，该生产线的年固定成本为250万元，每生产千箱防疫物资需另投入成本万元.当年产量大于或等于80千箱时，（万元）；当年产量不足80千箱时，（万元）.每千箱产品的售价为60万元，该厂生产的产品能全部售完.年产量为__________千箱时，该厂当年的利润最大. 【答案】100 【解析】 【分析】根据题意写出利润y与年产量x的函数关系式，再根据函数计算当y取最大值时x的取值是多少. 【详解】设年产量为千箱，当年的利润为万元， 由于利润等于收入减去成本，即， 又因为， 则由已知有， 即， 当时，， 由二次函数的性质可知当时取最大值950， 当时，， 当且仅当即时，取得最大值1000， 又，所以当年产量为100千箱时，该厂当年的利润取得最大值1000万元. 故答案为：100 第II卷 四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）代入值，根据交集和并集含义即可； （2）分析得，分和讨论即可. 【小问1详解】 时，， 则，. 【小问2详解】 若，则以， 当时，则； 当时，则，则. 综上，的取值范围为. 16. 已知命题：对任意实数，不等式恒成立；命题：关于的方程无实数根. （1）若p为真命题，求实数的取值范围， （2）若的题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由一元二次不等式恒成立，列式求出的范围. （2）求出命题真时的范围，结合（1）分类求出实数的取值范围. 【小问1详解】 对任意实数，不等式都成立， 当时，不等式对于任意实数不恒成立，不符合题意； 当时，，解得， 所以命题真时，实数的取值范围是. 【小问2详解】 若真，即方程无实数根，则，解得， 即命题真时，，由（1）知，命题真时，， 由命题、中有且仅有一个是真命题， 得当真假时，，且或，因此； 当假真时，，且，因此， 所以实数的取值范围为. 17. 已知函数（，且）. （1）若函数的图象过和两点，求在上的值域； （2）若，且函数在区间上的最大值比最小值大，求的值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入解析式，列出方程组求出，再根据函数的单调性求出值域； （2）根据函数单调性求出最大值和最小值，列出方程，求解的值. 【小问1详解】 由题意，，， 又，解得，，所以. 因为在上单调递增，所以， 所以在上的值域为. 【小问2详解】 当时，在区间上单调递减， 所以，， 因此，解得或（舍去）， 所以. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求，的值： （2）试判断函数的单调性，并证明你的结论； （3）求使成立的实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 在上单调递增，证明如下： 取任意，且， 则； 因为，且， 所以，，即， 所以，即， 因此在上单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）由奇函数性质利用以及可得结果； （2）利用函数单调性定义按步骤即可证得在上单调递增； （3）由函数奇偶性及其单调性解不等式即可得a的取值范围为. 【小问1详解】 由题意可知，故， 又由可得，解得； 所以， 此时定义域关于原点对称，且， 故是定义在上的奇函数，满足题意， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）（2）知，是在上单调递增的奇函数， 所以由，得， 因此需满足，解得，即， 故实数a的取值范围为. 19. 若二次函数对任意都满足，其最小值为，且有 （1）求的解析式； （2）解关于的不等式； （3）设函数，求在区间的最小值. 【答案】（1） （2） 不等式的解集为： 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. （3） . 【解析】 【分析】（1）设出二次函数的解析式，代入条件运算得解； （2）将代入，对其对应方程的两根大小讨论得解； （3）求得的解析式和对称轴，根据对称轴和区间的位置关系进行分类讨论，根据二次函数的单调性结合对称轴，求得函数在区间上的最小值. 【小问1详解】 由，则的对称轴为，且最小值为， 所以设，，又， ，解得， . 【小问2详解】 由（1），，即， 其对应方程的根为， 当即时，解不等式得或， 当即时，解不等式得， 当即时，解不等式得或， 综上，不等式的解集为： 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 【小问3详解】 由（1），，对称轴，， 当即时，在上单调递增，则； 当即时，在上单调递减，在上单调递增， 则； 当即时，在上单调递减，则. . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $