15.2.3 分式的加减（第一课时）（分层作业）-【上好课】八年级数学上册同步高效课堂（人教版）

15.2.3 分式的加减（第一课时）分层作业 基础训练 1．（23-24八年级上·天津红桥·期末）计算的结果是（　　） A．1 B． C． D． 2．（22-23八年级下·河南平顶山·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）下列式子运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·福建福州·期末）若，则的值是______． A． B．2 C． D． 5．（22-23八年级下·山西临汾·期末）已知，，则，的关系为（　　） A． B． C． D．不能确定 6．（22-23八年级上·河南许昌·期末）一根蜡烛经凸透镜成一实像，物距u，像距v和凸透镜的焦距f满足关系式：．已知u和v，则（    ） A． B． C． D． 7．（22-23八年级上·山东淄博·期末）已知分式的计算结果为负，则的值可以是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．（22-23八年级上·山东聊城·期末）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 9．（22-23八年级上·河北唐山·期末）下面是甲、乙、丙三位同学在黑板上计算的做法：则关于这三位同学的做法，你认为（    ） A．甲同学的做法正确 B．乙同学的做法正确 C．丙同学的做法正确 D．三位同学的做法都不正确 10．（22-23八年级上·山东临沂·期末）对于正数x，规定，例如，则的值是（    ） A．9 B．10 C．9.5 D．10.5 11．（22-23八年级上·重庆江津·期末）我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比真分数、假分数，我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”．当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．假分式也可以化为带分式．如：；．则下列说法中正确的个数是（    ） ①分式是真分式；②分式是假分式；③把分式化为带分式的形式为；④将假分式化为带分式的形式为． A．1 B．2 C．3 D．4 12．（22-23八年级上·北京房山·期中）定义：如果两个分式的积等于这两个分式的差乘以一个常数，那么这两个分式叫做和谐分式．如，则与是和谐分式．下列每组两个分式是和谐分式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 13．（23-24八年级上·山东济南·期末）计算 ． 14．（23-24八年级上·重庆九龙坡·期末）已知，则的值为 ． 15．（23-24八年级上·河北承德·期末）“■”覆盖了两个分式之间的运算符号：． （1）若“■”表示的是“＋”，其运算结果为 ； （2）若“■”表示的是“÷”，并且其运算结果为1，则x的值为 ． 16．（20-21八年级下·江苏南京·期中）已知，则的值是 ． 17．（20-21八年级下·四川成都·期末）定义新运算：，若，则的值是 ． 18．（23-24八年级上·天津南开·期末）2001年、2002年、2003年某地的森林面积分别是，，，2003与2002年相比，森林面积增长率提高了 ． 19．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）甲、乙两位采购员同去一家面粉公司购买两次面粉，两次面粉的单价不同，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买，乙每次用去600元，设两次购买的面粉单价分别为a元/kg和b元/kg（a，b 是正数，且），那么甲所购面粉的平均单价是 元/kg，乙所购面粉的平均单价是 元/kg；在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为 元/kg．（结果用含a， b的代数式表示，需化为最简形式） 20．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）计算： (1) (2) 21．（22-23八年级上·浙江台州·期末）先化简，再求值：，其中的值从0，1中选取合适的数代入求值． 22．（23-24八年级上·河北承德·期末）嘉嘉和淇淇在玩猜式子游戏，其规则如下：题目中“□”代表一个单项式，请你根据如下不完整的解题过程，求出“□”所代表的单项式，并完成本题的解答． 先化简，再求值：，其中 解：原式 …… 能力提升 23．（22-23八年级上·浙江台州·期末）当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 24．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如果，，那么，的值为（    ） A．36 B．16 C．14 D．3 25．（22-23八年级上·河北邢台·期末）已知，，设，. 对于结论和，判断正确的是（   ） 结论I：当时，；结论：当时， A．I不对对 B．I对不对 C．I和都对 D．I和都不对 26．（22-23八年级下·重庆沙坪坝·期末）对于两个实数x，y，我们定义：，有下列说法： ①； ②； ③若，则． 其中说法正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 27．（23-24八年级上·四川广安·期末）若，则的值为 ． 28．（23-24八年级上·河南许昌·期末）对于实数，规定：．例如： ，，． (1)求值：_______；_______． (2)猜想：________，并证明你的结论． (3)求：的值． 29．（23-24八年级上·福建厦门·期末）对于，，等代数式，如果交换和的位置，式子的值不变，我们把这样的式子叫做完美对称式．若关于，的分式是完美对称式，则： (1) ； (2)若完美对称式，满足：，且，，求的值． 30．（23-24八年级上·吉林长春·期末）观察下列各式：，，， (1)由此可推测： ______； (2)依照上述规律，写出的推测过程； (3)请你猜想出能表示以上式子的一般规律，用含（表示整数）的等式表示出来，并说明理由； (4)请直接用（3）中的规律计算的值． 31．（23-24八年级上·吉林长春·期末）阅读：分式可进行如下变形：． 探索：如果，则 ； 总结：如果（其中a，b，c为常数），则 ； 应用：利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 15.2.3 分式的加减（第一课时）分层作业 基础训练 1．（23-24八年级上·天津红桥·期末）计算的结果是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是分式的加减，先通分最简公分母是，再根据分母不变，把分子相加减约分后可得答案． 【详解】解：原式 ， 故选：A． 2．（22-23八年级下·河南平顶山·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的加减运算法则计算即可． 【详解】A、，选项不符合题意； B、，选项不符合题意； C、，选项不符合题意； D、，选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查分式的加减，关键是要掌握分式的加减法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式相加减． 3．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）下列式子运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查分式的约分以及计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．分别将式子进行约分计算即可得到答案． 【详解】解：，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； ，故选项C不符合题意； ，故选项D不符合题意． 故选D． 4．（23-24八年级上·福建福州·期末）若，则的值是______． A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是分式的求值，分式的加减运算，掌握整体代入法求解分式的值是解本题的关键；把化为，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选C 5．（22-23八年级下·山西临汾·期末）已知，，则，的关系为（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】利用分式的加减运算判断即可． 【详解】解：由, , 比较可知： 故选：． 【点睛】此题考查了分式的运算，解题的关键是熟练掌握分式的运算及其应用． 6．（22-23八年级上·河南许昌·期末）一根蜡烛经凸透镜成一实像，物距u，像距v和凸透镜的焦距f满足关系式：．已知u和v，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把u、v当作常数，即可求解． 【详解】解：方程两边同时乘以，得 ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查分式的加减，关键是会正确对分式进行变形． 7．（22-23八年级上·山东淄博·期末）已知分式的计算结果为负，则的值可以是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据分式的加减法法则化简，又因为结果为负，可得出取值范围，即可得出答案． 【详解】根据题意，原式 结果为负 ，则 根据选项只有A选项符合 故答案选A． 【点睛】本题考查了分式的加减法，掌握分式的加减法法则是解题的关键． 8．（22-23八年级上·山东聊城·期末）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件可得，从而可得，再解方程组即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，解得：， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查的是分式的加减运算的逆运算，二元一次方程组的应用，理解题意，建立方程组解题是关键． 9．（22-23八年级上·河北唐山·期末）下面是甲、乙、丙三位同学在黑板上计算的做法：则关于这三位同学的做法，你认为（    ） A．甲同学的做法正确 B．乙同学的做法正确 C．丙同学的做法正确 D．三位同学的做法都不正确 【答案】D 【分析】异分母分式加减，先通分，分子加减，约分化简． 【详解】解： ， ∴三位同学的做法都不正确， 故选：D． 【点睛】此题考查了异分母分式的加减，解题的关键是熟悉异分母分式加减的步骤，即先通分，分子加减后再约分． 10．（22-23八年级上·山东临沂·期末）对于正数x，规定，例如，则的值是（    ） A．9 B．10 C．9.5 D．10.5 【答案】A 【分析】根据，进而进行求解即可． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴， =， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了运算的规律，分式的混合运算，函数值的计算，正确读懂运算的规律是解题的关键． 11．（22-23八年级上·重庆江津·期末）我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比真分数、假分数，我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”．当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．假分式也可以化为带分式．如：；．则下列说法中正确的个数是（    ） ①分式是真分式；②分式是假分式；③把分式化为带分式的形式为；④将假分式化为带分式的形式为． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】①根据新定义即可判定；②根据新定义即可判定；③把分式化为带分式的形式，即可判定；④将假分式化为带分式的形式，即可判定 【详解】解：①分式是真分式，故①正确； ②分式是假分式，故②正确； ③把分式化为带分式的形式为： ，故③正确； ④将假分式化为带分式的形式为为： ，故④正确， 故正确的有4个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查分式的概念，分式的混合运算，分解因式，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则及新定义的理解和运用． 12．（22-23八年级上·北京房山·期中）定义：如果两个分式的积等于这两个分式的差乘以一个常数，那么这两个分式叫做和谐分式．如，则与是和谐分式．下列每组两个分式是和谐分式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】分别算出各分式的差与积，再由和谐分式的定义即可得出结论． 【详解】解：A.∵， ， ∴与不是和谐分式，故A不符合题意； B.∵， ， ∴与不是和谐分式，故B不符合题意； C.∵， ， ∴，故C符合题意； D.， ， ∴与不是和谐分式，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的加减运算和乘法运算，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则和乘法运算法则． 13．（23-24八年级上·山东济南·期末）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算，根据分式的加减运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 14．（23-24八年级上·重庆九龙坡·期末）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的基本性质，分式的加减． 由可得，即，代入，约分即可求解． 【详解】∵， ∴ ∴， ∴． 故答案为： 15．（23-24八年级上·河北承德·期末）“■”覆盖了两个分式之间的运算符号：． （1）若“■”表示的是“＋”，其运算结果为 ； （2）若“■”表示的是“÷”，并且其运算结果为1，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的加法与除法运算，利用平方根的含义解方程，掌握运算法则是解本题的关键； （1）按照同分母分式的加法运算法则计算即可； （2）先计算分式的除法运算，再建立方程，利用平方根的含义解方程即可． 【详解】解：（1）； （2）， 而， ∴， 解得：，经检验符合题意； 故答案为：（1）；（2）； 16．（20-21八年级下·江苏南京·期中）已知，则的值是 ． 【答案】4 【分析】先把等式的右边通分作分式加法计算，再根据对应系数相等即可得出关于、、的方程组，求出方程组的解，即可得出答案． 【详解】解： ， ， ， ， 解得，， ． 故答案为：4． 【点睛】此题考查了分式的加减，根据恒等式的意义得出关于、、的方程组是解题的关键． 17．（20-21八年级下·四川成都·期末）定义新运算：，若，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】根据新定义的运算，由得到，代入代数式求解即可得到答案． 【详解】解： ， ，即， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查代数式求值，读懂题意，得到是解决问题的关键． 18．（23-24八年级上·天津南开·期末）2001年、2002年、2003年某地的森林面积分别是，，，2003与2002年相比，森林面积增长率提高了 ． 【答案】 【分析】本题考分式的减法，分别表示出两年的增长率，然后求差，进行分式的减法运算即可． 【详解】解：2002年的增长率是：， 2003年的增长率是：， 则森林面积增长率提高：． 故答案为：． 19．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）甲、乙两位采购员同去一家面粉公司购买两次面粉，两次面粉的单价不同，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买，乙每次用去600元，设两次购买的面粉单价分别为a元/kg和b元/kg（a，b 是正数，且），那么甲所购面粉的平均单价是 元/kg，乙所购面粉的平均单价是 元/kg；在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为 元/kg．（结果用含a， b的代数式表示，需化为最简形式） 【答案】 【分析】根据题意可用含的代数式表示出平均单价，根据总价除以总重量即可求得，进而根据甲的单价减去乙的单价进而求得其差值． 【详解】解：由题意可得，甲购买面粉的平均单价是： ， 乙购买面粉的平均单价是： ， 在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为： ， ， 高的平均单价与低的平均单价的差值为：． 故答案为：；；． 【点睛】本题考查了列代数式，分式的减法运算，理解题意列出代数式是解题的关键． 20．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）直接利用整式的乘除法法则计算即可； （2）据分式的加法计算可得． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．（22-23八年级上·浙江台州·期末）先化简，再求值：，其中的值从0，1中选取合适的数代入求值． 【答案】，1 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，先根据分式的混合运算法则进行化简，再代入，计算即可得出答案，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴当时，原式． 22．（23-24八年级上·河北承德·期末）嘉嘉和淇淇在玩猜式子游戏，其规则如下：题目中“□”代表一个单项式，请你根据如下不完整的解题过程，求出“□”所代表的单项式，并完成本题的解答． 先化简，再求值：，其中 解：原式 …… 【答案】，，，过程见解析 【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据通分的步骤得到“□”，再对原式进行化简，最后代入计算即可． 【详解】解：由题意，第一步进行的是通分， ， ， ， 原式 ； 当时，原式． 能力提升 23．（22-23八年级上·浙江台州·期末）当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了分式的加减法，先对分式进行约分，再利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ， ， ， ， 故选：． 24．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如果，，那么，的值为（    ） A．36 B．16 C．14 D．3 【答案】A 【分析】利用完全平方公式，得，利用这个公式变形即可得出答案． 【详解】解：由，去分母，得 ， 则 ∵， ∴原式． 故选：A． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式是解题的关键． 25．（22-23八年级上·河北邢台·期末）已知，，设，. 对于结论和，判断正确的是（   ） 结论I：当时，；结论：当时， A．I不对对 B．I对不对 C．I和都对 D．I和都不对 【答案】C 【分析】根据分式的加法法则即可解答． 【详解】对于结论I，当时， ，故结论I正确； 对于结论，当时，则， ∴， ， ∴，结论正确； 综上，结论I和都正确， 故选：C． 【点睛】本题主要考查分式的加减运算，解题的关键是熟练掌握以上知识点并灵活运用等量代换处理代数式． 26．（22-23八年级下·重庆沙坪坝·期末）对于两个实数x，y，我们定义：，有下列说法： ①； ②； ③若，则． 其中说法正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据定义新运算的规则，逐一进行计算，进而得出结论即可． 【详解】解：∵， ∴，故①错误； ∵， ∴ ；故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴，即：， 无法得到；故③错误； 综上：正确的有1个； 故选B． 【点睛】本题考查定义新运算，有理数的加减运算，分式的运算．理解并掌握定义新运算的规则，是解题的关键． 27．（23-24八年级上·四川广安·期末）若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查分式的性质及化简求值，由可得，进而得到，然后分情况讨论即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 即， 当时，，即，此时； 当时，； 故答案为：或． 28．（23-24八年级上·河南许昌·期末）对于实数，规定：．例如： ，，． (1)求值：_______；_______． (2)猜想：________，并证明你的结论． (3)求：的值． 【答案】(1)1；1 (2)1，证明结论见解析 (3) 【分析】（1）分别算出，，，的值，再求和即可； （2）首先求出，然后计算即可得出结论； （3）按照定义式发现规律，首尾两两组合相加，剩下中间的，最后再求和即可． 本题考查了定义新运算在有理数的混合运算中的应用，分式的运算，读懂定义，发现规律，是解题的关键． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：1；1． （2）猜想：， 证明：∵； ∴1； 故答案为：1 （3） ． 29．（23-24八年级上·福建厦门·期末）对于，，等代数式，如果交换和的位置，式子的值不变，我们把这样的式子叫做完美对称式．若关于，的分式是完美对称式，则： (1) ； (2)若完美对称式，满足：，且，，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，分式的加减计算，完全平方公式的变形求值： （1）根据新定义得到，化简得到，解得； （2）根据题意可得，进而得到，再由可得答案． 【详解】（1）解：∵关于，的分式是完美对称式， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴； （2）解：∵完美对称式，满足：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 30．（23-24八年级上·吉林长春·期末）观察下列各式：，，， (1)由此可推测： ______； (2)依照上述规律，写出的推测过程； (3)请你猜想出能表示以上式子的一般规律，用含（表示整数）的等式表示出来，并说明理由； (4)请直接用（3）中的规律计算的值． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 (4)0 【分析】本题考查了分式的规律探究，分式的加减运算．根据题意推导出一般性规律是解题的关键． （1）根据题意求解即可； （2）将分解成两个相邻整数的乘积，进而可得结果； （3）根据题意可推导一般性规律，然后证明即可； （4）根据题意进行拆分，然后加减运算即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：由题意知， ； （3）解：，理由如下： 右边． ． （4）解： ． 31．（23-24八年级上·吉林长春·期末）阅读：分式可进行如下变形：． 探索：如果，则 ； 总结：如果（其中a，b，c为常数），则 ； 应用：利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 【答案】探索：；总结：；应用：2或0 【分析】本题主要考查了分式化简求值，准确分析计算是解题的关键． 探索：把已知式子展开成求解即可； 总结：根据条件化式子为计算即可； 应用：根据已知条件得到，再根据代数式的值为整数计算即可； 【详解】解：探索：， 所以； 总结：， ∴； 应用：∵， 又∵代数式的值为整数， ∴为整数， ∴或， ∴或0． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$