15.2.1 分式的乘除（第一课时）（分层作业）-【上好课】八年级数学上册同步高效课堂（人教版）

15.2.1 分式的乘除（第一课时）分层作业 基础训练 1．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）计算下列四个算式：①；②；③；④，其结果是分式的是（    ）． A．①③ B．①④ C．②④ D．③④ 2．（21-22八年级上·全国·课后作业）下列各分式运算结果正确的是（    ） ①；②；③；④ A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 3．（23-24八年级上·河北沧州·期中），则等于（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·广西河池·期末）下列各式计算错误的是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级上·北京怀柔·期末）计算的结果为（    ） A． B．1 C． D． 6．（21-22八年级上·贵州铜仁·阶段练习）使式子有意义的的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．，且 7．（23-24八年级上·广西贵港·期中）若化简的结果为，则m的值是（　　） A． B．4 C． D．2 8．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）老师设计了接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简．规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，整个化简过程如图所示，接力中，自己负责的一步出现错误的同学是（    ）    A．甲和乙 B．乙和丙 C．丙和丁 D．甲和丁 9．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）下面是某同学化简分式的部分计算过程，则在化简过程中的横线上依次填入的卡片序号为（    ） ． ①  ②  ③  ④ A．③②① B．③①② C．④②① D．④①② 10．（23-24八年级上·全国·课堂例题）八年级的三位同学在一起讨论一个分式乘法题目： 甲：它是一个整式与一个分式相乘． 乙：在计算过程中，用到了平方差公式进行因式分解． 丙：计算结果是． 请你写出一个符合上述条件的题目： ． 11．（21-22八年级上·全国·课后作业）（1） ；（2） ． 12．（20-21八年级上·全国·课后作业）化简的结果是 13．（20-21八年级上·全国·课后作业）如果两种灯泡的额定功率分别是，，那么第一只灯泡的额定功率是第二只灯泡额定功率的 倍 14．（22-23八年级上·湖南怀化·期末）已知，，，，，，则 ． 15．（22-23七年级上·上海松江·阶段练习）我们定义一种新运算：记，如果设为代数式，则 （用含的代数式表示）． 16．（20-21八年级上·广东汕头·期末）小明同学不小心弄污了练习本的一道题，这道题是：“化简”，其中“”处被弄污了，但他知道这道题的化简结果是，则“”处的式子为 ． 17．（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：； （3）计算：． 18．（22-23七年级上·上海·期中）计算： 19．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算：． 原式第一步 ．第二步 回答： (1)上述过程中，第一步使用的公式用字母表示为______________________________； (2)由第一步得到第二步所使用的运算方法是__________； (3)以上两步中，第__________步出现错误，本题的正确答案是__________． 20．（23-24八年级上·全国·课后作业）给定一列分式：，，，，…，其中． (1)从第二个分式起，把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？ (2)根据你发现的规律，试写出给定的这列分式中的第n个分式． 21．（23-24八年级上·全国·课后作业）课堂上，李老师给大家出了这样一道题：当，，时，求式子的值．小明一看，“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？请你写出具体过程． 22．（22-23八年级上·云南楚雄·期末）如图，在进行的化简求值时，小宇把错看成，最后求值结果正确，请你通过化简求值解释这一现象． 23．（2023·湖南娄底·一模）先化简，然后从，，，中选一个合适的数代入求值． 能力提升 24．（23-24八年级上·河北邢台·期中）已知，关于甲、乙、丙的说法，下列判断正确的是（    ） 甲：的计算结果为； 乙：当时，； 丙：当时，的值为正数 A．乙错，丙对 B．甲和乙都对 C．甲对，丙错 D．甲错，丙对 25．（22-23八年级上·浙江舟山·期末）若，且，则下列说法正确的是（     ） A．有最小值 B．有最小值3 C．有最小值 D．有最小值 26．（22-23九年级上·湖北武汉·自主招生）已知数列，，……，，……，设，则与最接近的整数为 ． 27．（22-23八年级下·山西太原·阶段练习）有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行，这种运算的过程如下：    则第4次运算的结果 ． 28．（22-23七年级下·浙江金华·期末）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成（），其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为6，则称数M为“如意数”，并把数M分解成的过程，称为“快乐分解”．例如，因为，22和24的十位数字相同，个位数字之和为6，所以528是“如意数”． （1）最小的“如意数”是 ； （2）把一个“如意数”M进行“快乐分解”，即，A与B的和记为，A与B的差记为，若能被7整除，则M的值为 ． 29．（22-23八年级上·四川资阳·期中）阅读下列材料： 关于x的方程，方程两边同时乘以得：，即，，．根据以上材料，解答下列问题： 已知， (1)求的值； (2)求 ，的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 15.2.1 分式的乘除（第一课时）分层作业 基础训练 1．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）计算下列四个算式：①；②；③；④，其结果是分式的是（    ）． A．①③ B．①④ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，分式的运算，两个整式相除且分母含有未知数的式子为分式，据此进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：，故①是分式； ，故②不是分式； ，故③不是分式； ，故④是分式； 故选：B 2．（21-22八年级上·全国·课后作业）下列各分式运算结果正确的是（    ） ①；②；③；④ A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 【答案】C 【分析】根据分式乘除法则逐一计算判断即可． 【详解】解：①，计算正确； ②，计算正确； ③，计算错误； ④，计算错误； 故选C． 【点睛】本题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3．（23-24八年级上·河北沧州·期中），则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的除法运算，根据题意可得，根据分式的除法运算法则进行计算即可，熟练掌握分式的除法运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， ， 故选：C． 4．（23-24八年级上·广西河池·期末）下列各式计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的乘除运算．根据分式的乘除运算法则计算，即可求解． 【详解】解：A、，故本选项正确，不符合题意； B、，故本选项正确，不符合题意； C、，故本选项正确，不符合题意； D、，故本选项错误，符合题意； 故选：D． 5．（22-23八年级上·北京怀柔·期末）计算的结果为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先将分式的分子分母分别因式分解，将除法转化成乘法运算，然后分子与分母进行约分化简，即可得出答案． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 【点睛】此题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握分式的乘除运算法则是解答此题的关键． 6．（21-22八年级上·贵州铜仁·阶段练习）使式子有意义的的取值范围是(   ) A．且 B．且 C．且 D．，且 【答案】D 【分析】根据分式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：使式子有意义， ，且， 解得：，且． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，分式的除法运算，熟练掌握分式的分母不等于0是解题的关键． 7．（23-24八年级上·广西贵港·期中）若化简的结果为，则m的值是（　　） A． B．4 C． D．2 【答案】D 【分析】利用分式的乘除法的法则对式子进行化简，再结合条件进行分析即可．本题主要考查分式的乘除法，解答的关键是对相应的运算法则的熟练掌握． 【详解】解： ∵其结果为， ， 解得：． 故选：D． 8．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）老师设计了接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简．规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，整个化简过程如图所示，接力中，自己负责的一步出现错误的同学是（    ）    A．甲和乙 B．乙和丙 C．丙和丁 D．甲和丁 【答案】B 【分析】根据分式除法运算法则计算，即可判断． 【详解】解： ， ∴自己负责的一步出现错误的同学是乙和丙． 故选：B 【点睛】本题主要考查了分式除法运算，熟练掌握分式除法运算法则是解题的关键． 9．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）下面是某同学化简分式的部分计算过程，则在化简过程中的横线上依次填入的卡片序号为（    ） ． ①  ②  ③  ④ A．③②① B．③①② C．④②① D．④①② 【答案】C 【分析】先把除法化为乘法，再约分即可得到答案． 【详解】解： ； 故选C 【点睛】本题考查的是分式的除法运算，熟记分式的除法的运算的运算法则是解本题的关键． 10．（23-24八年级上·全国·课堂例题）八年级的三位同学在一起讨论一个分式乘法题目： 甲：它是一个整式与一个分式相乘． 乙：在计算过程中，用到了平方差公式进行因式分解． 丙：计算结果是． 请你写出一个符合上述条件的题目： ． 【答案】答案不唯一，如． 【分析】直接利用分式的性质结合因式分解的定义得出符合题意的一个算式． 【详解】解：由题意得：（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】此题主要考查了分式的乘法，正确掌握分式的乘法运算法则是解题关键． 11．（21-22八年级上·全国·课后作业）（1） ；      （2） ． 【答案】 【分析】（1）根据分式的除法运算进行计算，然后约分即可； （2）根据分式的乘法运算进行计算，然后约分即可． 【详解】（1） ； 故答案为：； （2） ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的乘除运算，掌握分式的乘除运算是解题的关键． 12．（20-21八年级上·全国·课后作业）化简的结果是 【答案】 【分析】由题意先因式分解并变除为乘，进而进行分式的乘法运算即可得出结果． 【详解】解： = =． 故答案为：． 【点睛】本题考查分式的乘除运算，熟练掌握分式的乘除运算法则是解题的关键． 13．（20-21八年级上·全国·课后作业）如果两种灯泡的额定功率分别是，，那么第一只灯泡的额定功率是第二只灯泡额定功率的 倍 【答案】5 【分析】分析题意可得，然后利用分式的除法转化为乘法，约分后即可求解． 【详解】解： 故答案为：5 【点睛】本题考查了分式的运算，解题的关键是要掌握分式 除法运算法则． 14．（22-23八年级上·湖南怀化·期末）已知，，，，，，则 ． 【答案】 【分析】先计算，，从而找到规律：（n为正整数），再根据规律求解． 【详解】解：∵，，，，，， ∴， ， ， ∴（n为正整数）， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的运算和规律探寻，正确找到规律是解题的关键． 15．（22-23七年级上·上海松江·阶段练习）我们定义一种新运算：记，如果设为代数式，则 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据可得，据此把变形求解即可． 【详解】∵ ， ∴可变形为： ， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义，以及分式的乘除混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法． 16．（20-21八年级上·广东汕头·期末）小明同学不小心弄污了练习本的一道题，这道题是：“化简”，其中“”处被弄污了，但他知道这道题的化简结果是，则“”处的式子为 ． 【答案】 【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得： 则“⊗”处的式子为. 故答案是：． 【点睛】考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 17．（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：； （3）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了分式的乘除运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）按照分式的乘法法则进行计算即可； （2）按照分式的除法法则进行计算即可； （3）将除法变成乘法，然后按照分式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ． 18．（22-23七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】根据分式乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： 【点睛】本题主要考查了分式乘除混合运算，解题的关键是对分子分母进行因式分解，准确进行计算． 19．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算：． 原式第一步 ．第二步 回答： (1)上述过程中，第一步使用的公式用字母表示为______________________________； (2)由第一步得到第二步所使用的运算方法是__________； (3)以上两步中，第__________步出现错误，本题的正确答案是__________． 【答案】(1)， (2)约分 (3)二， 【分析】先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 【详解】（1）解：第一步使用的公式是完全平方公式和平方差公式， 即，； 故答案为：，； （2）解：第二步所使用的运算方法是约分； 故答案为：约分； （3）解：第二步出现错误， ， 故答案为：二，． 【点睛】本题考查了分式的乘除混合运算：分式的乘除混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 20．（23-24八年级上·全国·课后作业）给定一列分式：，，，，…，其中． (1)从第二个分式起，把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？ (2)根据你发现的规律，试写出给定的这列分式中的第n个分式． 【答案】(1)可发现规律：从第二个分式起，任意一个分式除以前面一个分式的结果恒等于 (2)第n个分式为 【分析】（1）分别求出第二个分式除以第一个分式的值，第三个分式除以第二个分式的值，第四个分式除以第三个分式的值，找出规律即可； （2）根据解析（1）得出的规律，得出第n个式子为：即可． 【详解】（1）解：根据题设要求，可求出： ； ； ； …． 由此可发现规律：从第二个分式起，任意一个分式除以前面一个分式的结果恒等于． （2）解：第n个分式为． 【点睛】本题主要考查了分式规律探索，解题的关键是熟练掌握乘法和除法运算法则，准确计算． 21．（23-24八年级上·全国·课后作业）课堂上，李老师给大家出了这样一道题：当，，时，求式子的值．小明一看，“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？请你写出具体过程． 【答案】能，见解析 【分析】根据分式的除法计算法则进行求解即可． 【详解】解：能，计算过程如下： ， 因此，不管取何值（除外），这个式子的值都是． 【点睛】本题主要考查了分式的除法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 22．（22-23八年级上·云南楚雄·期末）如图，在进行的化简求值时，小宇把错看成，最后求值结果正确，请你通过化简求值解释这一现象． 【答案】见解析 【分析】先对小括号通分，然后化除为乘，根据，即可求解. 【详解】解： ∵， ∴原分式的值与的取值无关， ∴小宇把错看成，最后求值结果正确． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的化简求值，注意：． 23．（2023·湖南娄底·一模）先化简，然后从，，，中选一个合适的数代入求值． 【答案】； 【分析】先对小括号里的通分，然后化除为乘，根据，，对式子化简，选择合适的数代入，即可． 【详解】∵， ， ， ， ， ∵，， ∴，， ∴， ∴当时，原式． 【点睛】本题考查分式的知识，解题的关键是掌握分式的化简求值，，的运用． 能力提升 24．（23-24八年级上·河北邢台·期中）已知，关于甲、乙、丙的说法，下列判断正确的是（    ） 甲：的计算结果为； 乙：当时，； 丙：当时，的值为正数 A．乙错，丙对 B．甲和乙都对 C．甲对，丙错 D．甲错，丙对 【答案】C 【分析】此题考查了分式的乘除运算，分式的求值，首先将分式化简即可判定甲，然后将代入求解即可判断乙，然后根据x的范围即可判定A的正负，解题的关键是熟练掌握分式的乘除运算法则． 【详解】 ，故甲对； 当时，，故分式无意义，故乙错； 当时， ， ∴，故丙错． 故选：C． 25．（22-23八年级上·浙江舟山·期末）若，且，则下列说法正确的是（     ） A．有最小值 B．有最小值3 C．有最小值 D．有最小值 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式除法运算，解不等式，先根据，得出，根据，得出，根据，得出当时，有最大值求出最大值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴当时，有最大值，且最大值为：， ∴有最小值． 故选：D． 26．（22-23九年级上·湖北武汉·自主招生）已知数列，，……，，……，设，则与最接近的整数为 ． 【答案】4 【分析】先求出，则，进而得出，则，把代入进行计算即可． 【详解】解： ， ∴， ∴， ∴， ， 当时，， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则． 27．（22-23八年级下·山西太原·阶段练习）有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行，这种运算的过程如下：    则第4次运算的结果 ． 【答案】 【分析】根据题干中的程序图分别计算出，，，找到规律，可以得到． 【详解】解：， ， ， 观察上式可得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了找规律-数字的变化类，分式的运算，根据程序图计算找到规律是解题的关键． 28．（22-23七年级下·浙江金华·期末）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成（），其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为6，则称数M为“如意数”，并把数M分解成的过程，称为“快乐分解”．例如，因为，22和24的十位数字相同，个位数字之和为6，所以528是“如意数”． （1）最小的“如意数”是 ； （2）把一个“如意数”M进行“快乐分解”，即，A与B的和记为，A与B的差记为，若能被7整除，则M的值为 ． 【答案】 【分析】（1）根据“如意数”的定义进行判断即可得； （2）设两位数和的十位数字均为，的个位数字为，则的个位数字为，且m为1至9的自然数，从而可得，，再求出，根据，自然数M的个位数字不为0，以及 ，可得为5或者4 ，然后根据能被7整除分别求出、的值，由此即可得． 【详解】（1）∵自然数M的个位数字不为0， ∴根据“如意数”的定义可得最小的“如意数”为：， 故答案为：； （2）由题意，设两位数和的十位数字均为，的个位数字为，则的个位数字为，且m为1至9的自然数， ，， ，， ∵，自然数M的个位数字不为0， ∴为5 、4或者3， ∵， ∴为5或者4 ， ，即的分子时奇数， 当时，，分子是奇数，分母时偶数，则该数不是整数， 不符合题意，舍去； 当时，， 能被7整除，且m为1至9的自然数， 满足条件的整数只有6， ，， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的应用、整式加减的应用等知识点，正确理解“如意数”的定义是解题关键． 29．（22-23八年级上·四川资阳·期中）阅读下列材料： 关于x的方程，方程两边同时乘以得：，即，，．根据以上材料，解答下列问题： 已知， (1)求的值； (2)求 ，的值． 【答案】(1)4； (2)，． 【分析】（1）方程两边同时除以x，移项后即可求得的值； （2）对两边平方即可求出的值，然后再平方即可求出的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了分式的运算，完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$