15.3.2 分式方程及其解法（第二课时）（分层作业）-【上好课】八年级数学上册同步高效课堂（人教版）

15.3.2 分式方程及其解法（第二课时）分层作业 基础训练 1．如图所示，小琳总结了“解可化为一元一次方程的分式方程”的运算流程，那么A和分别代表的是（    ）    A．分式的基本性质1，最简公分母 B．分式的基本性质1，最简公分母 C．等式的基本性质2，最简公分母 D．等式的基本性质2，最简公分母 【答案】C 【分析】根据等式的基本性质：去分母变形是两边同时乘以最简公分母；当整式方程的解使最简公分母为0时，原方程无解． 【详解】解：根据分式方程的解题步骤，去分母依据是等式的基本性质2，整式方程的根使分母为0时，原方程无解． 故选：C 【点睛】本题考分式方程的求解，理解分式方程求解步骤的依据是解题的关键． 2．（22-23八年级下·甘肃陇南·期末）关于x的分式方程有增根，则m的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】去分母，分式方程化为整式方程，由增根的定义，则整式方程根为，代入求解参数值． 【详解】解：分式方程变形，得， 把代入，得； 故选：B． 【点睛】本题考查分式方程的求解，增根的定义；理解增根的定义是解题的关键． 3．（22-23八年级上·河北邢台·期末）小明和小亮解答“解分式方程：”的过程如下，对他们的解答过程有以下判断，判断正确的是（    ）． 小明的解法： 解：去分母，得，① 去括号，得，② 移项，得，③ 合并同类项，得，④ 系数化为1，得，⑤ 经检验是原分式方程的解．⑥ 小亮的解法： 解：去分母，得，① 去括号，得，② 移项，得，③ 合并同类项，得，④ 系数化为1，得，⑤ 经检验是原分式方程的解．⑥ A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确 C．两人都正确 D．两人都错误 【答案】B 【分析】观察解方程的步骤，找出出错的即可． 【详解】解：根据题意得： 小亮的解答正确； 小明的步骤错误，漏乘， 小明的步骤、、、都正确， 故选：B． 【点睛】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键． 4．（22-23九年级下·全国·期末）若分式方程无解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解确定参数，用含字母的代数表示出是解题的关键． 根据题意求出方程无解时的值，代入得出的值． 【详解】解：解：去分母得：， 分式方程无解， 则， 故选：A． 5．（22-23八年级下·江苏常州·期末）若关于的方程的解为正数，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，注意分式方程的解为正数包含两个含义，（1）所得整式方程的解不是增根，即使分式分母不为0，（2）解为正数． 先解分式方程，根据分式方程的解为正数和分式方程无意义的情况，即可得出m的取值范围． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， 由分式方程的解为正数，得到，且， 解得：且， 故选：B． 6．（22-23八年级下·河北保定·期末）若关于x的分式方程的解为非负数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】分式方程依次去分母、去括号、移项、合并同类项，求出分式方程的解，再根据分式方程的解是非负数，且分母不能为零，得到关于a的不等式，求解即可得到答案． 【详解】解：原分式方程可化为， 去括号，可得：， 移项，可得：， 合并同类项，可得， 解得：， 根据题意可得：，且， 解得：，且． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握分式方程和一元一次不等式的解法并注意分式方程有意义的条件是解题的关键． 7．（21-22七年级下·福建福州·期末）关于的分式方程，下列说法正确的是（    ） A．方程的解是 B．当时，方程的解是正数 C．当时，方程的解为负数 D．当时，方程无解 【答案】B 【分析】先解分式方程，再检验，再逐一分析各选项即可． 【详解】解：， 去分母得： 解得： 当时，是方程的解，故A不符合题意； 当时， 方程的解是正数，故B符合题意； 当且时，方程的解是负数，故C不符合题意； 当时，方程无解，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是分式方程的解法，分式方程的解，掌握“解分式方程的方法与步骤，理解分式方程的解的含义”是解本题的关键． 8．（2022·贵州毕节·中考真题）小明解分式方程的过程下． 解：去分母，得         ．① 去括号，得             ．② 移项、合并同类项，得   ．③ 化系数为1，得          ．④ 以上步骤中，开始出错的一步是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】写出分式方程的正确解题过程即可作出判断． 【详解】解：， 去分母，得  ， 去括号，得  ， 移项，得， 合并同类项，得   ， ∴以上步骤中，开始出错的一步是②． 故选：B 【点睛】此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键． 9．（22-23八年级下·四川宜宾·期末）关于x的分式方程无解，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程、分式方程的无解等知识点．熟练掌握分母等于零时分式方程无解是解题的关键． 分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，求出x的值，然后代入整式方程计算即可． 【详解】解： 去分母得，， 由分式方程无解，得到，即：， 把代入整式方程得，解得：． 故答案为：． 10．（22-23八年级上·山东菏泽·期末）代数式与代数式的值互为相反数，则 ． 【答案】7 【分析】利用相反数的性质列出方程，求出方程的解即可得到x的值． 【详解】解：根据题意得：， 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴分式方程的解为． 故答案为：7． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 11．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）已知关于的方程 （1）当时，方程的解为 ； （2）若方程的解是非负数，则的取值范围是 ． 【答案】 且 【分析】（1）把代入方程，再方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可； （2）先求出方程的解是，根据方程的解是非负数得出，求出，再根据分母求出，把代入整式方程求出，再得出答案即可． 【详解】解：（1）， 当时，方程为， 方程两边都乘，得， 解得：， 检验：当时，， 所以分式方程的解是． 故答案为：； （2）， 方程两边都乘，得， 解得：， 方程的解是非负数， ，即， ， ， 当时，方程为， 解得：， 且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查了解分式方程和分式方程的解，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． 12．（22-23八年级下·四川达州·期末）若去分母解分式方程会产生增根，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据解分式方程的方法，分式方程产生增根的概念，即可求解． 【详解】解： 移项得， 分式加减得， 去分母得， 去括号，移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， ∵原分式方程会产生增根，即， ∴， ∴，解得，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解分式方程，增根的概念的理解，掌握解分式方程的方法，分式方程增根的概念是解题的关键． 13．（22-23八年级上·湖北黄石·期末）若三角形的三边为4、7、x且x是关于x的方程的解，则a的范围为 ． 【答案】，且 【分析】根据三角形三边关系得：，解方程求出方程的解，然后根据的范围求出的范围即可． 【详解】解：由题意得， 解方程， 得， ∴，且， 解得，且， 故答案为：，且． 【点睛】本题考查了一元一次不等式、分式方程、三角形三边关系等知识点，分式的分母不为零是本题正确的关键 ． 14．（23-24八年级上·山东泰安·期末）分式方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)无解； (4)． 【分析】（）根据解分式方程的步骤解答即可求解； （）根据解分式方程的步骤解答即可求解； （）根据解分式方程的步骤解答即可求解； （）根据解分式方程的步骤解答即可求解； 本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：方程两边同时乘以得，， 解得， 检验：代入中得，， ∴是原方程的解； （2）解：方程变形得，， 方程两边同时乘以得，， 解得， 检验：把代入中得，， ∴是原方程的解； （3）解：方程两边同时乘以得，， 解得， 检验：把代入中得，， ∴不是原方程的解， ∴原方程无解； （4）解：方程两边同时乘以得，， 解得， 检验：把代入中得，， ∴是原方程的解． 15．（22-23八年级下·浙江温州·期末）阅读下列解题过程，回答所提出的问题： 题目：解分式方程： 解：方程两边同时乘以（第1步） 得：（第2 步） 去括号得：（第3步） 解得：（第4 步） 所以原分式方程的解是：（第5 步） (1)上述计算过程中，哪一步是错误的？请写出错误步骤的序号：　　 ； (2)订正错误，并写出正确的解题过程． 【答案】(1)2 (2)见解析 【分析】本题考查解分式方程，根据解分式方程的步骤，即可判断哪一步是错误的，再写出正确解题步骤即可． 【详解】（1）解：方程两边同时乘以 得：， ∴第2步是错误的． 故答案为：2 （2）解： 方程两边同时乘以 得：， 去括号得：， 解得：， 检验：时，， ∴不是原分式方程的解，原分式方程无解． 16．（22-23七年级下·浙江·期末）若方程组的解满足方程，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解分式方程，正确发现方程组与其解满足的等式之间的联系是解题关键． 根据已知的方程组求得，的值，将，的值代入关于的方程，进而可得答案． 【详解】解：， 得， ∴，把代入①得， ∴， 把代入得：， 解得， 经检验是方程的解， ∴ 17．（21-22八年级上·河北唐山·期末）嘉淇准备完成题目：解分式方程：，发现数字◆印刷不清楚． (1)他把“◆”猜成5，请你解方程：； (2)老师说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“◆”是几？ 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程利用了转化的思想． （1）分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）设原题中“◆”是a，分式方程变形后去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到，代入整式方程计算即可求出a的值． 【详解】（1）解：， 去分母得： 解得， 检验：当时，， ∴分式方程的解为； （2）解：设原题中“◆”是a， 方程变形得：， 去分母得：， 由分式方程无解，得到， 把代入整式方程得：． 18．（23-24八年级上·广东阳江·期末）阅读理解，并解决问题 小明同学在一次教学活动中发现，存在一组都不为0的数，，，，使得等式成立（即，，，成比例）．并对证明如下： 证明：∵， ∴． ∴． 问题解决： (1)写出一组使得等式成立的，，，的数； (2)若，求的值； (3)解分式方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了等式的基本性质，分式化简求值，解分式方程，解题的关键是根据等式的性质灵活变形． （1）根据题意写出答案即可； （2）将等式两边都加1，计算即可； （3）将等式两边都减1，计算即可，注意检验． 【详解】（1）解：， ，答案不唯一； （2）解：， ， ， ； （3）， ， ， ， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解． 19．（23-24八年级上·贵州铜仁·阶段练习）观察下列算式：①，②，③…… (1)由上式可以类似推出④式为： ； (2)用含字母n的等式表示（1）中的一般规律（n为非零自然数）； (3)用以上方法解方程： 【答案】(1) (2)它的一般规律是（n为非零自然数）； (3) 【分析】此题考查了解分式方程，以及规律型：数字的变化类． （1）仿照已知等式推理得出下一个等式即可； （2）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （3）利用拆项的方法化简方程，求出解即可． 【详解】（1）解：∵①，②，③， ∴由上式可以类似推出④式为：； 故答案为：； （2）解：根据题意可得：它的一般规律是（n为非零自然数）； （3）解：将方程化为：， 即， 解得：， 经检验是原分式方程的解， ∴原方程的解为． 能力提升 20．（22-23八年级上·四川绵阳·期末）关于的分式方程（，且为整数）的解为整数，则的可能取值的和为（    ） A．15 B．17 C．22 D．28 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程得出，结合，且为整数，为整数，得出可取，，，即可得解． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 系数化为1得：， ∵，且为整数，为整数， ∴ ∴可取，，， ∴的可能取值的和为， 故选：B． 21．（22-23八年级下·河南郑州·期末）已知不等式的负整数解是关于x的方程的解，则a的值为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 【答案】A 【分析】先求出不等式的解集，然后取x的负整数解代入方程，化为关于a的一元一次方程，解方程即可得出a的值． 【详解】解：解不等式得， 故满足不等式的负整数解为， 将代入方程，得：， 解得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解，将x的值解出再代入方程得出关于a的方程是关键． 22．（22-23八年级上·山东淄博·期末）已知： ①可转化为，解得， ②可转化为，解得， ③可转化为，解得， 根据以上规律，关于的方程(为常数)的解为 ． 【答案】， 【分析】根据已知数列找出规律进而得出的解． 【详解】解：∵①可转化为，解得， ②可转化为，解得， ③可转化为，解得， ∴规律为：，其解为：， ∴关于的方程(为常数)， ∴， ， ∴，， ∴，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了分式方程，利用转化思想是解题的关键． 23．（22-23八年级上·广西桂林·期中）若正整数a满足关于x的分式方程的解为非负数，则符合条件的所有正整数a的和为（     ） A．6 B．10 C．15 D．12 【答案】D 【分析】根据解分式方程的一般步骤得出，再由解为非负数，得出，然后确定a的取值，求和即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵分式方程的解为非负数， ∴， ∴， ∴a的值为， ∵分式方程中，即， ∴， ∴a的值为 其和为：， 故选：D． 【点睛】题目主要考查解分式方程的一般步骤及不等式的应用，熟练掌握解分式方程的方法步骤是解题关键． 24．（22-23八年级上·重庆北碚·期中）若整数a满足关于x的分式方程的解为非负整数，且使关于y的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数a的和为（　　 ） A．5 B．8 C．9 D．12 【答案】A 【分析】解分式方程，根据解是非负整数解，且不是增根，化简一元一次不等式组，根据解集为得到a的取值范围，得到a的最终范围，这个范围内能使y是整数的a确定出来求和即可． 【详解】解：分式方程两边都乘以得：， 解得， ∵分式方程有非负整数解，且， ∴且， 解得：且， 解不等式得到：， 解不等式得到：， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， ∴且， ∵为非负整数， ∴符合条件的整数a的值为：，1，5， ∴和为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解集，考虑解分式方程可能产生增根是解题的关键．注意：在求出a的取值范围后，一定记住a的值要满足使为非负整数． 25．（22-23七年级下·浙江嘉兴·期末）方程组的解为 ． 【答案】 【分析】先设，，则，再用加减法求解得，然后代入得，，即可求解，最后检验即可得出答案． 检验即可求解． 【详解】解：设，，则， 解得：， ∴，解得：； ，解得：， 经检验，，是原方程组的解， ∴原方程组的解为． 故答案为：． 【点睛】本题考查用换元法解分式方程，熟练掌握用换元法解分式方程是解题的关键． 26．（20-21八年级下·江苏南京·期末）若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正整数解，则符合条件的整数m的和是 . 【答案】 【分析】根据二次根式有意义可得，再解出关于x的分式方程 的解为，由解为正整数数解，进而确定m的取值范围，再排除增根，确定m的所有可能的整数值，最后求和即可． 【详解】解：,解得：， ∵关于x的分式方程有正数解， ∴， ∴， 又∵是增根， ∴当时，，即， ∴， ∵有意义， ∴，即， ∴且， ∵m为整数，方程有正整数解 ∴m可以为，其和为． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的意义、分式方程的解法、分式方程产生增根的条件等知识点，理解正数解、整数m的意义是正确解答的关键． 27．（2023·重庆·中考真题）若关于x的一元一次不等式组，至少有2个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【答案】4 【分析】先解不等式组，确定a的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程有正整数解，确定出a的值，相加即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式的解集为， ∵不等式组至少有2个整数解， ∴， 解得：； ∵关于y的分式方程有非负整数解， ∴ 解得：， 即且， 解得：且 ∴a的取值范围是，且 ∴a可以取：1，3， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题关键． 28．（23-24八年级上·山东威海·期末）学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须才行． (1)请回答：______的说法是正确的，正确的理由是______； (2)已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围； (3)若关于的方程无解，求的值． 【答案】(1)小聪，分式的分母不能为零（分式方程的解不能是增根） (2)且 (3)当或时原方程无解 【分析】本题考查了解分式方程以及根据分式方程的解确定参数范围，重点要掌握解分式方程的步骤：去分母化成整式方程；再解整式方程；验根．理解当分式方程无解时包含整式方程无解和有曾根两种情况． （1）根据分式有意义的条件：分母不能为0，即可知道小聪说得对； （2）首先按照解分式方程的步骤得到方程的解，再利用解是非负数即可求出的取值范围； （3）按照解分式方程的步骤去分母得到整式方程，若分式方程无解，则得到增根或者整式方程无解，即可求出的范围． 【详解】（1）解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0 ∴小聪说得对，分式的分母不能为0． 故答案为：小聪，分式的分母不能为零（分式方程的解不能是增根）； （2）解方程，得， 方程的解为非负数， ， ， ， ， 且； （3）原方程化简为： 原方程无解， 或 ①当时，解得； ②当时，解得 当或时原方程无解． 29．（22-23八年级上·甘肃庆阳·期末）小明、小华、小颖三名同学解这样一个问题： 求为何值时成立？ 小明：因为，从分式的右边知，分式的分子和分母同时除以，只需即可，故的取值范围是； 小华：因为也不能为零，故还应加上这个条件，即的取值范围就是且； 小颖：因为，要使分子、分母约去，则必须满足，结合和，解出，即的取值范围为； 三名同学中，谁说的有道理呢？请你给出完整的解题过程． 【答案】小颖有道理，理由见解析 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 利用绝对值的代数意义，根据的范围化简即可验证． 【详解】解：小颖有道理， 当，且和， 即时，， 原式． 30．（23-24八年级上·四川广安·期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：，则分式与互为“3阶分式”． (1)分式与互为“__________阶分式”； (2)设正数x，y互为倒数，求证：分式与互为“2阶分式”； (3)若分式与互为“1阶分式”（其中a，b为正数），求ab的值． 【答案】(1)5 (2)详见解析 (3) 【分析】（1）根据提议，计算与的和即可； （2）根据题意首先利用倒数关系，将x，y进行消元，然后通过分式的加法化简即可得解； （3）根据1阶分式的要求对两者相加进行分式加法化简，通过通分化简即可得解． 本题主要考查了分式的加减，熟练掌握分式的通分约分运算知识是解决此类问题的关键． 【详解】（1），     分式与互为“5阶分式”； （2）∵正数x，y互为倒数， ， ， ∴分式与互为“2阶分式”； （3）∵分式与互为“1阶分式”， ， 去分母，得，     ， ， ， ， ∵a，b为正数， ∴， 解得． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 15.3.2 分式方程及其解法（第二课时）分层作业 基础训练 1．如图所示，小琳总结了“解可化为一元一次方程的分式方程”的运算流程，那么A和分别代表的是（    ）    A．分式的基本性质1，最简公分母 B．分式的基本性质1，最简公分母 C．等式的基本性质2，最简公分母 D．等式的基本性质2，最简公分母 2．（22-23八年级下·甘肃陇南·期末）关于x的分式方程有增根，则m的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（22-23八年级上·河北邢台·期末）小明和小亮解答“解分式方程：”的过程如下，对他们的解答过程有以下判断，判断正确的是（    ）． 小明的解法： 解：去分母，得，① 去括号，得，② 移项，得，③ 合并同类项，得，④ 系数化为1，得，⑤ 经检验是原分式方程的解．⑥ 小亮的解法： 解：去分母，得，① 去括号，得，② 移项，得，③ 合并同类项，得，④ 系数化为1，得，⑤ 经检验是原分式方程的解．⑥ A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确 C．两人都正确 D．两人都错误 4．（22-23九年级下·全国·期末）若分式方程无解，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级下·江苏常州·期末）若关于的方程的解为正数，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 6．（22-23八年级下·河北保定·期末）若关于x的分式方程的解为非负数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 7．（21-22七年级下·福建福州·期末）关于的分式方程，下列说法正确的是（    ） A．方程的解是 B．当时，方程的解是正数 C．当时，方程的解为负数 D．当时，方程无解 8．（2022·贵州毕节·中考真题）小明解分式方程的过程下． 解：去分母，得         ．① 去括号，得             ．② 移项、合并同类项，得   ．③ 化系数为1，得          ．④ 以上步骤中，开始出错的一步是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 9．（22-23八年级下·四川宜宾·期末）关于x的分式方程无解，则m的值为 ． 10．（22-23八年级上·山东菏泽·期末）代数式与代数式的值互为相反数，则 ． 11．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）已知关于的方程 （1）当时，方程的解为 ； （2）若方程的解是非负数，则的取值范围是 ． 12．（22-23八年级下·四川达州·期末）若去分母解分式方程会产生增根，则的值为 ． 13．（22-23八年级上·湖北黄石·期末）若三角形的三边为4、7、x且x是关于x的方程的解，则a的范围为 ． 14．（23-24八年级上·山东泰安·期末）分式方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 15．（22-23八年级下·浙江温州·期末）阅读下列解题过程，回答所提出的问题： 题目：解分式方程： 解：方程两边同时乘以（第1步） 得：（第2 步） 去括号得：（第3步） 解得：（第4 步） 所以原分式方程的解是：（第5 步） (1)上述计算过程中，哪一步是错误的？请写出错误步骤的序号：　　 ； (2)订正错误，并写出正确的解题过程． 16．（22-23七年级下·浙江·期末）若方程组的解满足方程，求的值． 17．（21-22八年级上·河北唐山·期末）嘉淇准备完成题目：解分式方程：，发现数字◆印刷不清楚． (1)他把“◆”猜成5，请你解方程：； (2)老师说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“◆”是几？ 18．（23-24八年级上·广东阳江·期末）阅读理解，并解决问题 小明同学在一次教学活动中发现，存在一组都不为0的数，，，，使得等式成立（即，，，成比例）．并对证明如下： 证明：∵，∴．∴． 问题解决： (1)写出一组使得等式成立的，，，的数； (2)若，求的值； (3)解分式方程：． 19．（23-24八年级上·贵州铜仁·阶段练习）观察下列算式：①，②，③…… (1)由上式可以类似推出④式为： ； (2)用含字母n的等式表示（1）中的一般规律（n为非零自然数）； (3)用以上方法解方程： 能力提升 20．（22-23八年级上·四川绵阳·期末）关于的分式方程（，且为整数）的解为整数，则的可能取值的和为（    ） A．15 B．17 C．22 D．28 21．（22-23八年级下·河南郑州·期末）已知不等式的负整数解是关于x的方程的解，则a的值为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 22．（22-23八年级上·山东淄博·期末）已知： ①可转化为，解得， ②可转化为，解得， ③可转化为，解得， 根据以上规律，关于的方程(为常数)的解为 ． 23．（22-23八年级上·广西桂林·期中）若正整数a满足关于x的分式方程的解为非负数，则符合条件的所有正整数a的和为（     ） A．6 B．10 C．15 D．12 24．（22-23八年级上·重庆北碚·期中）若整数a满足关于x的分式方程的解为非负整数，且使关于y的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数a的和为（　　 ） A．5 B．8 C．9 D．12 25．（22-23七年级下·浙江嘉兴·期末）方程组的解为 ． 26．（20-21八年级下·江苏南京·期末）若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正整数解，则符合条件的整数m的和是 . 27．（2023·重庆·中考真题）若关于x的一元一次不等式组，至少有2个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 28．（23-24八年级上·山东威海·期末）学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须才行． (1)请回答：______的说法是正确的，正确的理由是______； (2)已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围； (3)若关于的方程无解，求的值． 29．（22-23八年级上·甘肃庆阳·期末）小明、小华、小颖三名同学解这样一个问题： 求为何值时成立？ 小明：因为，从分式的右边知，分式的分子和分母同时除以，只需即可，故的取值范围是； 小华：因为也不能为零，故还应加上这个条件，即的取值范围就是且； 小颖：因为，要使分子、分母约去，则必须满足，结合和，解出，即的取值范围为； 三名同学中，谁说的有道理呢？请你给出完整的解题过程． 30．（23-24八年级上·四川广安·期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：，则分式与互为“3阶分式”． (1)分式与互为“__________阶分式”； (2)设正数x，y互为倒数，求证：分式与互为“2阶分式”； (3)若分式与互为“1阶分式”（其中a，b为正数），求ab的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$