15.2.4 分式的混合运算（第二课时）（分层作业）-【上好课】八年级数学上册同步高效课堂（人教版）

15.2.4 分式的混合运算（第二课时）分层作业 基础训练 1．（2023·河北承德·模拟预测）若 的运算结果为整式，则“”中的式子可能为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）一块麦田有，甲收完这块麦田需要，乙比甲少用就能收割完这块麦田，两人一起收割完这块麦田需要（    ）小时． A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，小辰在复习老师已经批阅的作业本时，发现有一道题破了一个洞，■表示破损的部分，则破损部分的式子是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级下·河南郑州·期末）试卷上一个正确的式子被莹莹不小心滴上墨汁，被墨汁遮住的部分的代数式是（　　）​ A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期末）在课堂上老师给出了一道分式化简题：化简，以下是甲、乙、丙、丁四位同学的变形过程： 甲：原式      乙：原式 丙：原式     丁：原式   其中正确的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．（22-23八年级下·甘肃定西·期末）当时，计算的值为（    ） A．2023 B． C． D． 7．（20-21八年级下·河北保定·期末）下面是涂涂同学完成的一组分式化简的练习题，每小题20分，他能得的分数是（　　） ①x+1；②3﹣x•2；③11；④；⑤（）•． A．40分 B．60分 C．80分 D．100分 8．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 9．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）计算结果为（    ） A． B． C． D． 10．（2021·山东济宁·中考真题）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）计算：的结果为（   ） A．1 B． C． D． 12．（22-23八年级下·四川宜宾·期末）计算： ． 13．（20-21八年级上·广东潮州·期末）式子称为二阶行列式，规定它的运算法则为，则二阶行列式 ． 14．（20-21八年级下·四川成都·期中）已知，其中A、B是常数，则 ． 15．（21-22八年级上·河北沧州·阶段练习）已知． （1）化简后的结果为 ； （2）若是整数，且，则的值为 ． 16．（23-24八年级上·湖南岳阳·阶段练习）计算 (1) (2)． 17．（23-24八年级上·山东泰安·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) 18．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）下面是小星同学进行分式化简的过程： 化简 解：原式    第一步                第二步                             第三步 (1)小星同学的化简过程从第_____________步开始出现错误； (2)请写出正确的化简过程，并从，0，1，2中选择合适的数带入求值． 19．（22-23八年级下·山东青岛·阶段练习）观察下列各式： ，，， (1)由此推测________ (2)请你用含字母m的等式表示一般规律（m表示整数） (3)请直接用（2）的规律计算的值． 20．（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）有这样一道题：求的值，其中小明不小心把错抄成，但他的计算结果却是正确的，请说明原因． 21．（23-24八年级上·甘肃庆阳·期末）先化简，再求值：，其中 22．（23-24八年级上·全国·课堂例题）已知为整数，，．若的值为正整数，求所有符合条件的的值． 能力提升 23．（22-23八年级下·湖南永州·期中）已知为整数，且为正整数，求所有符合条件的的值的和（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 24．（22-23八年级上·贵州铜仁·期末）已知（且），，则等于（　　） A． B． C． D． 25．（19-20八年级上·湖北武汉·期末）已知，为实数且满足，，设，．①若时，；②若时，；③若时，；④若，则．则上述四个结论正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 26．（22-23八年级下·重庆·期中）已知代数式，第一次操作将作为新的x代入中化简后得到新的式子记为，第二次操作将作为新的x代入中化简后得到新的式子记为，第三次操作将作为新的x代入中化简后得到新的式子…以此类推重复上述操作，以下结论中正确的有（    ） ①； ②若，则； ③不存在整数x使得的值为负整数； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 27．（22-23八年级上·河北邯郸·期末）阅读下面的材料，并解答问题： 分式的最大值是多少？ 解：， 因为，所以的最小值是2，所以的最大值是2，所以的最大值是4，即的最大值是4 根据上述方法，试求分式的最大值是 ． 28．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）1.如图，甲杯和乙杯中分别盛有体积均为的橙汁和苹果汁（如下操作，果汁均不溢出）． （1）当时，从甲杯取橙汁放入乙杯并搅拌均匀，则乙杯中橙汁与混合果汁的体积比为 ； （2）把两杯中的果汁进行如下操作： 第一步：从甲杯取出橙汁，倒入乙杯并搅拌均匀．此时，乙杯中的橙汁与混合果汁的体积比为 第二步：从乙杯取出混合果汁，倒入甲杯并搅拌均匀．经过两次调和后，设此时甲杯中含苹果汁，乙杯中含橙汁，则 . 29．（23-24八年级上·云南昆明·期末）阅读下面的解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即． 因此，所以的值为． 该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知，求的值． 30．（22-23八年级下·山西临汾·阶段练习）阅读与理解： 阅读下列材料，完成后面的任务： 在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若 求代数式 的值． 解：∵， ∴，即， ∴． 任务：已知 (1)求的值． (2)求的值． 31．（20-21八年级上·全国·课后作业）[核心素养] 阅读材料： 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式． 解：由分母为，可设（b为整数）， 则． ∵对于任意x，上述等式均成立， ∴解得 ∴ ． 这样，分式就被拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式． 解决问题：将分式，分别拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 15.2.4 分式的混合运算（第二课时）分层作业 基础训练 1．（2023·河北承德·模拟预测）若 的运算结果为整式，则“”中的式子可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的混合运算，把四个选项中的式子代入，再根据分式的运算法则进行计算，最后根据求出的结果得出选项即可． 【详解】解：A．，是分式，不是整式，故本选项不符合题意； B．，是分式，不是整式，故本选项不符合题意； C．，是整式，故本选项符合题意； D．是分式，不是整式，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）一块麦田有，甲收完这块麦田需要，乙比甲少用就能收割完这块麦田，两人一起收割完这块麦田需要（    ）小时． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式（分式），解题的关键是熟悉工作总量、工作时间和工作效率之间的关系．先得到乙收割完这块麦田需要的时间，根据工作总量÷工作时间=工作效率，分别求出甲、乙的工作效率，再用工作总量÷甲、乙的工作效率和求出两人一起收割完这块麦田需要的工作时间． 【详解】解∶ 乙收割完这块麦田需要的时间是， 甲的工作效率是， 乙的工作效率， 故两人一起收割完这块麦田需要的工作时间为， 故选∶A． 3．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，小辰在复习老师已经批阅的作业本时，发现有一道题破了一个洞，■表示破损的部分，则破损部分的式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的混合运算，按照运算法则，遵循运算顺序计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 故选B． 4．（22-23八年级下·河南郑州·期末）试卷上一个正确的式子被莹莹不小心滴上墨汁，被墨汁遮住的部分的代数式是（　　）​ A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的混合运算，据已知分式得出被墨汁遮住部分的代数式是，再根据分式的运算法则进行进行化简是解此题的关键，注意运算顺序． 【详解】解：由题意可得： 被墨汁遮住部分的代数式是， ， 故选：D． 5．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期末）在课堂上老师给出了一道分式化简题：化简，以下是甲、乙、丙、丁四位同学的变形过程： 甲：原式      乙：原式 丙：原式     丁：原式   其中正确的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查了分式的四则混合运算，掌握除以一个数等于乘以这个数的倒数是解题的关键．根据分式的加减乘除混合运算即可得到答案． 【详解】解： ， 观察四位同学的变形过程，丁同学的正确， 故选：D． 6．（22-23八年级下·甘肃定西·期末）当时，计算的值为（    ） A．2023 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的加减乘除混合运算法则先化简，再根据，即可得出答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查分式的加减乘除混合运算，正确得出化简结果是解题的关键． 7．（20-21八年级下·河北保定·期末）下面是涂涂同学完成的一组分式化简的练习题，每小题20分，他能得的分数是（　　） ①x+1；②3﹣x•2；③11；④；⑤（）•． A．40分 B．60分 C．80分 D．100分 【答案】A 【分析】根据分式的乘除和加减法对每个式子进行化简，然后判断即可． 【详解】解：① ，化简正确； ② ，化简错误； ③ ，化简错误； ④ ，化简正确； ⑤ 化简错误； ∴正确的化简有2个一共得分40分， 故选A． 【点睛】本题主要考查了分式的化简，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则． 8．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的混合运算，根据分式的减法和乘法可以解答本题． 【详解】解： ， 故选：D． 9．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）计算结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果 【详解】解： = = = 故选：B 【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 10．（2021·山东济宁·中考真题）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的混合运算法则进行计算，先算小括号里面的加减，后算乘除，即可求得结果． 【详解】解： ． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算的运算顺序和计算法则是解题的关键． 11．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）计算：的结果为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握分式混合运算的运算法则是解题的关键．原式利用除法法则变形，计算分式乘法，再计算加法即可得到结果． 【详解】解：原式 ， 故选：A． 12．（22-23八年级下·四川宜宾·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键，根据分式的基本运算法则，先算括号内，再算除法. 【详解】解： ， 故答案为： 13．（20-21八年级上·广东潮州·期末）式子称为二阶行列式，规定它的运算法则为，则二阶行列式 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算和新定义，能正确根据运算法则进行化简是解此题的关键． 先根据题意进行变形，再根据分式的乘法法则和整式的乘法法则算乘法，最后算减法即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 14．（20-21八年级下·四川成都·期中）已知，其中A、B是常数，则 ． 【答案】/ 【分析】将分式方程转化为整式方程，再由等式的性质得到，，分别求出、即可． 【详解】解：分式的最简公分母是， 方程两边同时乘以最简公分母，得 ， ，， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式加减法；熟练掌握分式加减法运算，同时能结合二元一次方程组求解与． 15．（21-22八年级上·河北沧州·阶段练习）已知． （1）化简后的结果为 ； （2）若是整数，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】（1）根据分式的通分、分式的除法法则把A化简； （2）根据分式有意义的条件确定m的值，代入计算即可． 【详解】解：（1） ； （2），是整数， 、、， 由题意可知，和， 当时，原式， 故答案为：（1）；（2）． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 16．（23-24八年级上·湖南岳阳·阶段练习）计算 (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了分式的混合运算，正确化简分式是解题关键． （1）先计算乘法，再进行通分，最后相减即可； （2）先将括号内通分并相加，并将除法化为乘法，再约分即可． 【详解】（1）解：原式， ， ； （2）解：原式， ， ， 17．（23-24八年级上·山东泰安·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的相关运算法则是解答的关键． （1）根据分式的乘除法运算法则求解即可； （2）根据分式的乘除法运算法则，结合完全平方公式和平方差公式求解即可； （3）根据分式的加减运算法则求解即可； （4）先根据分式的除法运算法则，结合乘法公式化简，再利用分式加法运算法则求解即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）下面是小星同学进行分式化简的过程： 化简 解：原式    第一步                第二步                             第三步 (1)小星同学的化简过程从第_____________步开始出现错误； (2)请写出正确的化简过程，并从，0，1，2中选择合适的数带入求值． 【答案】(1)二 (2)，当时，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值． （1）根据分式的混合运算顺序和运算法则逐步进行判断即可； （2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简，再根据分式有有意义的条件，得出x的值，最后将x的值代入进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：第二步计算减法时，没有变号， ∴小星同学的化简过程从第二步开始出现错误， 故答案为：二； （2）解： ； ∵， ∴， 当时，原式． 19．（22-23八年级下·山东青岛·阶段练习）观察下列各式： ，，， (1)由此推测________ (2)请你用含字母m的等式表示一般规律（m表示整数） (3)请直接用（2）的规律计算的值． 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】本题考查数字的变化类以及分式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化规律，求出所求式子的值． （1）根据题目中的例子的计算方法可以解答本题； （2）根据（1）中的例子可以写出含m的等式； （3）根据（2）中的规律进行分式的混合运算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：由（）可得 ； （3）解： ． 20．（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）有这样一道题：求的值，其中小明不小心把错抄成，但他的计算结果却是正确的，请说明原因． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键． 先根据分式的混合运算顺序进行化简，化简得结果与a无关，即可说明理由． 【详解】解：， 原式的值与无关， 小明不小心把错抄成，但他的计算结果却是正确的． 21．（23-24八年级上·甘肃庆阳·期末）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，先根据分式的混合运算法则将式子进行化简，再代值计算即可． 【详解】解： ， 将代入，得： 原式 ． 22．（23-24八年级上·全国·课堂例题）已知为整数，，．若的值为正整数，求所有符合条件的的值． 【答案】，0，1，4 【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键，因此此题可根据分式的运算进行求解，然后再根据题意再进行求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 要使为正整数，则或或或，即，0，1，4． 能力提升 23．（22-23八年级下·湖南永州·期中）已知为整数，且为正整数，求所有符合条件的的值的和（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】根据分式混合运算法则先对题中分式化简，再按照要求得到所有符合条件的的值，求和即可得到答案． 【详解】解： ， 为整数，且为正整数， 当时，为正整数，解得； 当时，为正整数，解得； 所有符合条件的的值的和， 故选：D． 【点睛】本题考查分式混合运算，熟练掌握分式混合运算法则是解决问题的关键． 24．（22-23八年级上·贵州铜仁·期末）已知（且），，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键；由题意易得，然后可得规律为每3个一循环，进而问题可求解． 【详解】解：∵（且），， ∴，……； 由上可知规律为每3个等式为一循环， ∵， ∴； 故选C． 25．（19-20八年级上·湖北武汉·期末）已知，为实数且满足，，设，．①若时，；②若时，；③若时，；④若，则．则上述四个结论正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先求出 对于①当时，可得，所以①正确； 对于②当时，不能确定的正负，所以②错误； 对于③当时，不能确定的正负，所以③错误； 对于④当时，，④正确． 【详解】， ①当时，，所以，①正确； ②当时，，如果，则 此时，，②错误； ③当时，，如果，则 此时，，③错误； ④当时， ，④正确． 故选B． 【点睛】本题关键在于熟练掌握分式的运算，并会判断代数式的正负． 26．（22-23八年级下·重庆·期中）已知代数式，第一次操作将作为新的x代入中化简后得到新的式子记为，第二次操作将作为新的x代入中化简后得到新的式子记为，第三次操作将作为新的x代入中化简后得到新的式子…以此类推重复上述操作，以下结论中正确的有（    ） ①； ②若，则； ③不存在整数x使得的值为负整数； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律题，分式的值，分式的混合运算，根据题意得出，进而逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：依题意，，，……，故①不正确； ∴ ∵ 又 ∴ ∴，故②正确； ∵ ∵为负整数，则， ∴ ∴ 而，无意义， ∴ ∴不存在整数x使得的值为负整数，故③正确 故选：C． 27．（22-23八年级上·河北邯郸·期末）阅读下面的材料，并解答问题： 分式的最大值是多少？ 解：， 因为，所以的最小值是2，所以的最大值是2，所以的最大值是4，即的最大值是4 根据上述方法，试求分式的最大值是 ． 【答案】5 【分析】仿照阅读材料，根据分式混合运算和的基本性质解答即可． 【详解】解：， 因为，所以的最小值是2，所以的最大值是3，所以的最大值是5，即的最大值是5． 故答案为5． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算、分式的基本性质等知识点，根据分式的运算法则对分式进行变形是解题的关键． 28．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）1.如图，甲杯和乙杯中分别盛有体积均为的橙汁和苹果汁（如下操作，果汁均不溢出）． （1）当时，从甲杯取橙汁放入乙杯并搅拌均匀，则乙杯中橙汁与混合果汁的体积比为 ； （2）把两杯中的果汁进行如下操作： 第一步：从甲杯取出橙汁，倒入乙杯并搅拌均匀．此时，乙杯中的橙汁与混合果汁的体积比为 第二步：从乙杯取出混合果汁，倒入甲杯并搅拌均匀．经过两次调和后，设此时甲杯中含苹果汁，乙杯中含橙汁，则 . 【答案】 1 【分析】本题主要考查了列代数式，分式混合运算的应用； （1）根据题意列出代数式即可； （2）第一步：根据题意列出代数式即可； 第二步：先求出此时甲杯中含苹果汁，乙杯中含橙汁，即可求出结果． 解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 【详解】解：（1）从甲杯取橙汁放入乙杯并搅拌均匀，乙杯中的果汁总体积为：，则乙杯中橙汁混合果汁的体积比为：； 故答案为：； （2）第一步：从甲杯取出橙汁，倒入乙杯并搅拌均匀，乙杯中的果汁总体积为：，则乙杯中橙汁与混合果汁的体积比为：； 第二步：从乙杯取出混合果汁，则此时混合果汁中含有苹果汁：， 即此时甲杯中含苹果汁； 此时乙杯中含橙汁， 即此时乙杯中含橙汁， ∴． 故答案为：；1． 29．（23-24八年级上·云南昆明·期末）阅读下面的解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即． 因此，所以的值为． 该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．先根据题意求出的值，再求出代数式倒数的值，进而得出结论． 【详解】解：由知 ，即 ， ． 30．（22-23八年级下·山西临汾·阶段练习）阅读与理解： 阅读下列材料，完成后面的任务： 在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若 求代数式 的值． 解：∵， ∴，即， ∴． 任务：已知 (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的有关运算，理解材料中的计算方法，掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）利用倒数法进行约分化简解题； （2）先求出倒数的值，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即； （2）解：设，则， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴， 即的值为． 31．（20-21八年级上·全国·课后作业）[核心素养] 阅读材料： 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式． 解：由分母为，可设（b为整数）， 则． ∵对于任意x，上述等式均成立， ∴解得 ∴ ． 这样，分式就被拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式． 解决问题：将分式，分别拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式． 【答案】， 【分析】本题考查了多项式乘多项式、同分母分式加减法，掌握同分母分式加减法是解题的关键． 根据所给的材料，将分式拆成，再运算化简即可作答．将分式拆成，再运算化简即可作答． 【详解】解：由的分母为， 可设（n为整数）， 则 ∵对于任意x，上述等式均成立， ∴ 解得 ∴ 由的分母为， 可设（d为整数）， 则． ∵对于任意x，上述等式均成立， ∴ 解得 ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$