15.2.2 分式的加减（讲+练，八大题型）-【划重点】2023-2024学年八年级数学上册同步讲与练（人教版）

15.2.2 分式的加减 1. 掌握同分母分式加减法的法则,会进行同分母分式的加减运算 2. 了解最简公分母的概念,会将几个异分母的分式转化为同分母的分式 3. 掌握异分母分式的加减法法则,能进行异分母分式的加减运算 4. 能熟练地进行分式的混合运算 知识点一 同分母分式加减法的法则 1.文字语言 同分母分式相加减，分母不变,分子相加减 2.符号语言 提示 (1)法则中的“分不变”就是加减运算时所取的分母是原分式中的分母 (2)“分子相加减”是指把各个分式的“分子的整体”相加减即各个分子都应有括号，当分子是单项式时,括号可以省略;当分子是多项式时,括号不可以省略 (3)分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式 即学即练1 计算： . 即学即练2 化简： ． 知识点二 通分和最简公分母 1.通分的意义 将几个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫做通分 2.最简公分母 (1)定义: 如果各分母的系数是整数，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母 (2)确定简公分的一方法 ①确定系数:把各分式中分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数; ②确定相同因式:把相同字母(或分解因式后得到的相同因式)的最高次幂作为最简公分母的一个因式 ③把只在一个分式的分母中出现的字母(或因式)连同它的指数作为最简公分母的一个因式 3.通分的方法 先求出各分式的最简公分母，再用最简公分母去除以每个分式的分母，用所得的商去乘以它的分子、分母 4.通分与约分的联系与区别 联系:通分与约分都是根据分式的基本性质进行的恒等变形 区别:①约分是分子分母都除以同一个不为零的整式,而通分是分子与分母都乘以同一个不为零的整式;②约分是针对一个分式而言的，而通分是针对几个分式而言的;③约分的结果可能是分式也有可能是整式,而通分的结果都是分式 即学即练 通分 (1)， (2)， (3)， (4)， 知识点三 异分母分式加减法的法则 1.文字语言 异分母分式相加减先将它们化为同分母的分式然后进行加减 2.符号语言 异分母分式加减运算的一般步骤 (1)通分: 将异分号的分式化成同分母的分式; (2)加减: 按同分母的分式加减法法则写成“分母不变、分子相加减”的形式; (3)合并:分子去括号、合并同类项; (4)约分:分子、分母约分，把结果化成最简分式或整式 简记为“一通分，二加减,三合并，因约分” 即学即练 计算： (1)； (2)． 知识点四 分式的混合运算 分式混合运算与分数的加减乘除及乘方混合运算一样,先算乘方，再算乘除最后进行加减运算，如果有括号的，一般要先算括号内的，再算括号外的 注意 (1)对于分式的混合运算,应先将除法运算转化为乘法运算，异分母分式相加减转化为同分母分式相加减； (2)要灵活运用交换律、结合律与分配律； (3)分式的运算结果一般化简成最简分式或整式. 即学即练 对于任意的x值都有，则M，N值为（　　） A．M＝1，N＝3 B．M＝﹣1，N＝3 C．M＝2，N＝4 D．M＝1，N＝4 题型一 同分母分式加减法 例1 计算：= ． 举一反三1 计算： ． 举一反三2 计算： ． 题型二 异分母分式加减法 例2 化简：． 举一反三1 计算：． 举一反三2 计算：． 题型三 整式与分式相加减 例3 计算：＝ ． 举一反三1 若，且，则 ． 举一反三2 计算： 题型四 分式加减混合运算 例4 已知分式，，其中x不等于2，则A与B的关系是（    ） A． B． C． D． 举一反三1 如果对于自然数成立，则 ， ． 举一反三2 已知，则的值为 ． 题型五 分式加减乘除混合运算 例5 计算的结果是（    ） A． B． C． D． 举一反三1 计算：． 举一反三2 计算： 题型六 分式化简求值 例6 先化简：，然后从挑选一个合适的整数代入求值． 举一反三1 先化简，再求值：，其中． 举一反三2 先化简分式：的 x 值，代入求值，然后在－1，0，1，2 中选一个你认为合适. 题型七 已知分式恒等式，确定分子或分母 例7 对于任意的值都有，则，值为（    ） A．， B．， C．， D．， 举一反三1 已知，求的值. 举一反三2 已如是恒等式，请分别求的a、b的值． 题型八 分式加减的实际应用 例8 小强上山和下山的路程都是千米，上山的速度为千米时，下山的速度为千米时，则小强上山和下山的平均速度为（    ） A．千米/时 B．千垙时 C