3.3.2抛物线在生活中的应用四维限时练-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.3.2抛物线在生活中的应用-四维限时练 (考察范围： 利用抛物线的定义性质解决生活中的实际问题 ) 【1】知识总览（1-2分钟，快速阅读，重点查看不熟悉的知识点） 思考以下3个问题 ①抛物线的定义是？②抛物线的标准方程有几种，如何表示？ ③抛物线的焦点弦长公式是什么？ ******************************************************************************* 【2】限时练习（约30分钟，全心投入，旨在检测自己的解题能力） 一、单选题 1．图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，水面下降后，水面宽度为（   ） A． B． C． D． 2．如图，吊车梁的鱼腹部分是抛物线的一部分，宽6m，高1m，根据图中的坐标系．可得这条抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 3．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，一条平行于x轴的光线从点射出，经过抛物线E上的点B反射后，与抛物线E交于点C，若的面积是10，则(    ) A． B．1 C． D．2 4．如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构.如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端P到江面的距离为100m，且，则顶端到桥面的距离为（    ）    A．50m B． C．55m D． 5．如图，花坛水池中央有一喷泉，水管O′P＝1m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下．若最高点距水面2m, P距抛物线的对称轴1m，则水池的直径至少应设计多长(精确到整数位)? A．3m B．4m C．5m D．6m 6.图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，若是该抛物线上一点，点是圆上一点，则的最小值为（   ） A．4 B．3 C． D．5 二、多选题 7．如图，抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线的焦点为F，一束平行于x轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线了上另一点反射，沿直线射出，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．与之间的距离为5 8．2022年11月29日23时08分，我国自主研发的神舟十五号载人飞船成功对接于空间站“天和”核心舱前向端口，并实现首次太空会师．我国航天员在实验舱观测到一颗彗星划过美丽的地球，彗星沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于这条抛物线的焦点．当此彗星离地球4千万公里时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为，则彗星与地球的最短距离可能为（单位：千万公里）（    ） A． B． C．1 D．3 三、填空题 9．如图，某隧道内设双行线公路，同方向有两个车道（共有四个车道），每个车道宽为3m，此隧道的截面由一个长方形和一抛物线构成，如图所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设车辆顶部为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少为m，靠近中轴线的车道为快车道，两侧的车道为慢车道，则车辆通过隧道时，慢车道的限制高度为 m.（精确到0.1m） 10．省级保护文物石城永宁桥位于江西省赣州市石城县高田镇永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥当石拱桥拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为 米 四、解答题 11．如图，是抛物线型拱桥，当水面在时，水面宽16米，拱桥顶部离水面8米. (1)当拱顶离水面2米时，水面宽多少米？ (2)现有一艘船，可近似为长方体的船体高4.2米，吃水深2.7米（即水上部分高1.5米），船体宽为12米，前后长为80米，若河水足够深，要使这艘船能安全通过，则水面宽度至少应为多少米？（计算结果保留至小数点后一位，参考数据：） 12．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米. (1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程； (2)经过点C和焦点的直线l与抛物线交于另一点Q，求的值； (3)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到0.1米）？ ******************************************************************************* 【3】核对解析（5-10分钟，筛选需看题目，变“不会”为“会”） 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D A C A ABD CD 一、单选题 1．【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则点.设抛物线的方程为， 由点可得，解得，所以. 当时，，所以水面宽度为. 故选：C. 2．【详解】设这条抛物线的方程为， 由图可知点的坐标为，所以，得， 故这条抛物线的准线方程为． 故选：B. 3．【详解】由题知抛物线焦点为，AB∥x轴， 将y=2p代入得x=2p，则B为(2p，2p)， 由题可知B、F、C三点共线，BC方程为：，即， 代入抛物线方程消去y得，， 设方程两根为，则，则， 又到BC：的距离为：， ∴由得． 故选：D． 4．【详解】以为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，依题意可知， 设抛物线方程为，其中为点到桥面的距离， 则,解得．   故选：A 5．【详解】以抛物线的顶点为原点，过顶点与焦点的直线为y轴，建立平面直角坐标系． 设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则P(－1, －1)， 代入方程得p＝， 所以抛物线的方程为x2＝－y，又B(x, －2)． 令y＝－2，则x＝±，故O′B＝＋1， 所以，根据对称性知：水池直径为2(＋1) m，约为5 m. 故选：C 6.【详解】由题意设抛物线的方程为， 因为，， 所以点在抛物线上， 将的坐标代入到抛物线的方程中，可得，故， 所以抛物线的方程为， 所以抛物线的焦点的坐标为，准线方程为， 圆的圆心位,半径位，可知圆在抛物线内部，如图： 如图，过点作与准线垂直，为垂足， 点作与准线垂直，为垂足，则， 所以， 当且仅当，，三点共线时，所以的最小值为4． 故选：A 二、多选题 7．【详解】由抛物线的光学性质可知，直线过抛物线的焦点， 又是水平的，所以可得，因此，即选项B正确； 易知直线的方程为， 联立直线和抛物线，消去可得， 由韦达定理可知，故A正确； 由可得，所以点的坐标为， 利用抛物线定义可知，即C错误； 因为与两直线平行，所以与之间的距离为，即D正确. 故选：ABD 8.【详解】不妨假设该抛物线开口向右，如图所示，可设该抛物线的方程为， 地球即焦点坐标为，设彗星的坐标为， 当彗星离地球4千万公里时，设彗星此时处于A点，即， 作轴于，则， 当在的右侧时， ，所以， 代入抛物线可得，解得 则根据抛物线的定义可得彗星到地球的距离为， 则彗星与地球的最短距离可能为1千万公里， 当在的左侧时， ，所以， 代入抛物线可得，解得 则根据抛物线的定义可得彗星到地球的距离为， 则彗星与地球的最短距离可能为3千万公里， 故选：CD 三、填空题 9．【答案】4.3 【详解】以抛物线的对称轴为轴，路面为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为， 将点代入得， 故， 今，得， 故限高为， 故答案为：4.3. 10．【答案】 【详解】建利坐标系如图，设抛物线方程为且， 则根据题意可知图中坐标为， 所以，可得，所以抛物线方程为， 令，代入方程，解得， 可得到水面两点坐标分别为, 所以水面的宽度为米． 故答案为： 四、解答题 11．【详解】（1）如图建立平面直角坐标系，设抛物线型拱桥的方程为（） 由题意，可知抛物线经过点，代入抛物线方程可得，即得， 所以抛物线方程为. 当拱顶离水面2米时，即，代入抛物线方程可得，即水面宽为8米. （2）由于船体宽12米，则当船体恰好能通过时，令米， 代入抛物线方程中，则，解得米， 即拱顶与船顶的最近距离为4.5米. 又因船在水面上部分高为1.5米，故拱顶离水面6米. 在抛物线方程中，令，则， 故，所以水面宽度至少应为13.9米. 12．【详解】（1）如图所示. 依题意，设该抛物线的方程为， 因为点在抛物线上，所以，， 所以该抛物线的方程为； （2），焦点，，设，，则， 由解得，，， 所以， 则； （3）设车辆高为h，则，故， 代入抛物线方程，得，解得， 所以通过隧道的车辆限制高度为4.0米. ******************************************************************************* 【4】反思总结（3-5分钟，重在做好错因分析和查漏补缺，但不一定都写出来） 解题点睛: ①提取数学信息，建立坐标系；②巧用性质和公式. 个人感悟： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$