培优提升五 追及相遇问题 讲义 -2024-2025学年高一上学期物理人教版（2019）必修第一册

高一物理必修一培优提升系列 培优提升五　追及相遇问题 【专题解读】 1.追及相遇问题 两物体在同一直线上一前一后运动，速度不同时它们之间可能出现距离最大、距离最小或者碰撞的情况，这类问题称为追及相遇问题。 2.分析追及相遇问题的思路和方法 (1)讨论追及相遇问题的实质是分析两物体能否在同一时刻到达同一位置，注意抓住一个条件、用好两个关系。 一个条件 速度相等。这是两物体能否追上(或相撞)、距离最大、距离最小的临界点，是解题的切入点 两个关系 时间关系和位移关系。通过画示意图找出两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口 (2)常用方法 物理分析法 抓住“两物体能否同时到达同一位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，建立物体运动关系的图景，并画出运动情况示意图，找出位移关系 图像法 将两者的v－t图像画在同一坐标系中，然后利用图像求解 数学分析法 设从开始至相遇的时间为t，根据条件列位移关系方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次，若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ<0，说明追不上或不能相碰 总结提升 1.追及相遇问题的常见情况一(v2＜v1) 初速度小者追初速度大者 v－t图像 t＝t0以前(v2＜v1) 两物体距离增大 t＝t0时(v1＝v2) 两物体相距最远 t＝t0以后(v2＞v1) 两物体距离减小到零再逐渐增大 追及情况 能追上且只能相遇一次 2.追及相遇问题的常见情况二(v2＞v1) 初速度大者追初速度小者 v－t图像 t0时刻以前(v2＞v1) 两物体距离减小 t0时刻(v2＝v1) 若Δx＝x0，恰好追上 若Δx＜x0，追不上，有最小距离 若Δx＞x0，相遇两次 【高考题剖析】 【典例】.（2008·四川理综·23）A、B两辆汽车在笔直的公路上同向行驶。当 B车在A车前84 m处时，B车速度为4 m/s，且正以2 m/s2的加速度做匀加速运动；经过一段时间后，B车加速度突然变为零。A车一直以20 m/s的速度做匀速运动。经过12 s后两车相遇。问B车加速行驶的时间是多少？ 【针对性训练】 1 一辆汽车以3 m/s2的加速度开始启动的瞬间，一辆以6 m/s的速度做匀速直线运动的自行车恰好从汽车的旁边通过。试求： (1)汽车在追上自行车前运动多长时间与自行车相距最远？此时的距离是多少？ (2)汽车经多长时间追上自行车？追上自行车时汽车的瞬时速度是多大？ 2 (多选)甲、乙两物体先后从同一地点出发，沿同一条直线运动，它们的v－t图像如图所示，由图可知(　　) A.甲比乙运动快，且早出发，所以乙追不上甲 B.t＝20 s时，乙追上了甲 C.t＝20 s时，甲、乙之间的距离为乙追上甲前的最大距离，大小为150 m D.在t＝20 s之前，甲比乙运动得快；在t＝20 s之后，乙比甲运动得快 3 火车甲以v1＝288 km/h的速度匀速行驶，司机突然发现前方同轨道上相距s＝0.5 km处有一列火车乙正沿同方向以v2＝144 km/h的速度做匀速运动，司机立即以大小为a的加速度紧急刹车，要使甲、乙不相撞，a应满足什么条件？ 4 甲、乙两物体零时刻开始从同一地点向同一方向做直线运动，位移—时间图像如图所示，则在0～t1时间内(　　) A.甲的速度总比乙大 B.甲、乙位移相同 C.甲经过路程比乙小 D.甲、乙均做加速运动 5 汽车以20 m/s的速度在平直公路上行驶时，刹车后40 s停下来。现在同一平直公路上以20 m/s的速度行驶时发现前方200 m处有一货车以6 m/s的速度同向匀速行驶，司机以相同的加速度立即刹车，则： (1)汽车刹车时的加速度大小； (2)是否发生撞车事故？若发生撞车事故，在何时发生？若没有撞车，两车最近距离为多少？ 6 .(多选)A、B两物体在同一直线上运动的v－t图像如图所示，已知在第4 s末两物体相遇，则下列说法正确的是(　　) A.两物体从同一地点出发 B.出发时A在B前方4 m处 C.两物体运动过程中，A的加速度小于B的加速度 D.第4 s末两物体相遇之后，两物体可能再次相遇 7 .自动驾驶汽车又称无人驾驶汽车，是一种通过电脑系统实现无人驾驶的智能汽车。某次自动驾驶汽车以恒定的加速度启动，同时一辆货车以恒定速度从其旁边驶过，自动驾驶汽车再次与货车相遇之前已达到最大速度，则下列图像正确的是(　　) 8 .(多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，它们的v－t图像如图所示。已知两车在t＝3 s时并排行驶，则(　　) A.在t＝1 s时，甲车在乙车后 B.在t＝0时，甲车在乙车前7.5 m C.两车另一次并排行驶的时刻是t＝2 s D.甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m 9 .在同一水平面上，一辆小车从静止开始以1 m/s2的加速度前进，有一人在车后与车相距25 m处，同时开始以6 m/s的速度匀速追车，人与车前进的方向相同，则人追车过程中，人与车的最小距离为(　　) A.5 m B.6 m C.7 m D.9 m 10 .如图甲所示小明姐姐骑电动自行车带着小明去学校，在笔直的公路上以某一速度匀速行驶，发现正前方30 m处有一条小狗趴在地上，小明姐姐立马刹车以免撞到小狗。刹车过程中电动自行车运动的－图像如图乙所示，则电动自行车(　　) A.刹车的加速度大小为1 m/s2 B.在10 s时停下来 C.最终没有撞上小狗 D.在6 s内行驶的位移大小为36 m 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一物理必修一培优提升系列 培优提升五　追及相遇问题 【专题解读】 1.追及相遇问题 两物体在同一直线上一前一后运动，速度不同时它们之间可能出现距离最大、距离最小或者碰撞的情况，这类问题称为追及相遇问题。 2.分析追及相遇问题的思路和方法 (1)讨论追及相遇问题的实质是分析两物体能否在同一时刻到达同一位置，注意抓住一个条件、用好两个关系。 一个条件 速度相等。这是两物体能否追上(或相撞)、距离最大、距离最小的临界点，是解题的切入点 两个关系 时间关系和位移关系。通过画示意图找出两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口 (2)常用方法 物理分析法 抓住“两物体能否同时到达同一位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，建立物体运动关系的图景，并画出运动情况示意图，找出位移关系 图像法 将两者的v－t图像画在同一坐标系中，然后利用图像求解 数学分析法 设从开始至相遇的时间为t，根据条件列位移关系方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次，若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ<0，说明追不上或不能相碰 总结提升 1.追及相遇问题的常见情况一(v2＜v1) 初速度小者追初速度大者 v－t图像 t＝t0以前(v2＜v1) 两物体距离增大 t＝t0时(v1＝v2) 两物体相距最远 t＝t0以后(v2＞v1) 两物体距离减小到零再逐渐增大 追及情况 能追上且只能相遇一次 2.追及相遇问题的常见情况二(v2＞v1) 初速度大者追初速度小者 v－t图像 t0时刻以前(v2＞v1) 两物体距离减小 t0时刻(v2＝v1) 若Δx＝x0，恰好追上 若Δx＜x0，追不上，有最小距离 若Δx＞x0，相遇两次 【高考题剖析】 【典例】.（2008·四川理综·23）A、B两辆汽车在笔直的公路上同向行驶。当 B车在A车前84 m处时，B车速度为4 m/s，且正以2 m/s2的加速度做匀加速运动；经过一段时间后，B车加速度突然变为零。A车一直以20 m/s的速度做匀速运动。经过12 s后两车相遇。问B车加速行驶的时间是多少？ 解析：设A车的速度为vA，B车加速行驶时间为t，两车在t0时相遇。则有 sA=vA t0， sB=vB t+at2+( vB +at)( t0-t)， sA= sB +s， 联立解得： 代入题给数据： vA＝20 m/s，vB＝4 m/s，a＝2 m/s2， 有： 解得： t1＝6 s，t2＝18 s（舍去） 因此，B车加速行驶的时间为 6 s。 【点评】此题以两辆汽车的相遇切入，意在考查匀变速直线运动规律及其相关知识的应用。 【针对性训练】 1 一辆汽车以3 m/s2的加速度开始启动的瞬间，一辆以6 m/s的速度做匀速直线运动的自行车恰好从汽车的旁边通过。试求： (1)汽车在追上自行车前运动多长时间与自行车相距最远？此时的距离是多少？ (2)汽车经多长时间追上自行车？追上自行车时汽车的瞬时速度是多大？ 答案　(1)2 s　6 m　(2)4 s　12 m/s 解析　(1)法一　基本规律法 汽车与自行车的速度相等时两车相距最远，设此时经过的时间为t1，汽车的速度为v1，两车间的距离为Δxm，则有 v1＝at1＝v自 所以t1＝＝2 s Δxm＝v自t1－at＝6 m。 法二　极值法或数学分析法 设汽车在追上自行车之前经过时间t1两车间的距离为Δx＝x1－x2＝v自t1－at 代入已知数据得Δx＝6t1－t 由二次函数求极值的条件知t1＝2 s时，Δx最大，最大值Δxm＝6 m。 法三　图像法 自行车和汽车运动的v－t图像如图所示，由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积。 t1＝＝＝2 s Δxm＝＝＝6 m。 (2)当两车位移相等时，汽车追上自行车，设此时经过的时间为t2，汽车的瞬时速度为v2，则有 v自t2＝at 解得t2＝4 s v2＝at2＝3 m/s2×4 s＝12 m/s。 2 (多选)甲、乙两物体先后从同一地点出发，沿同一条直线运动，它们的v－t图像如图所示，由图可知(　　) A.甲比乙运动快，且早出发，所以乙追不上甲 B.t＝20 s时，乙追上了甲 C.t＝20 s时，甲、乙之间的距离为乙追上甲前的最大距离，大小为150 m D.在t＝20 s之前，甲比乙运动得快；在t＝20 s之后，乙比甲运动得快 答案　CD 解析　由图可知，乙在0～10 s内速度为零，甲先出发，但乙出发后做匀加速直线运动，甲做匀速直线运动，两物体出发地点相同，则乙可以追上甲，故A错误；在v－t图像中，图线与时间轴所围面积即为物体运动的位移，故20 s内甲的位移大于乙的位移，乙不可能追上甲，故B错误；在10～20 s内，甲的速度大于乙的速度，甲在乙的前方，两者距离逐渐增大，20 s后乙的速度大于甲的速度，两者距离逐渐减小，在t＝20 s时两者距离最大，最大距离为s＝10×20 m－×10×10 m＝150 m，所以C、D正确。 3 火车甲以v1＝288 km/h的速度匀速行驶，司机突然发现前方同轨道上相距s＝0.5 km处有一列火车乙正沿同方向以v2＝144 km/h的速度做匀速运动，司机立即以大小为a的加速度紧急刹车，要使甲、乙不相撞，a应满足什么条件？ 答案　a≥1.6 m/s2 解析　法一　物理分析法 甲、乙不相撞的条件是当甲、乙速度相等时，甲、乙仍相距一段距离，即 v1－at＝v2 x1≤x2＋s 其中x1＝v1t－at2 x2＝v2t 联立解得a≥1.6 m/s2 即a≥1.6 m/s2时，甲、乙不会相撞。 法二　数学分析法 设甲减速t时间后，甲、乙恰好相撞 则有x1＝x2＋s 即v1t－at2＝v2t＋s 整理得at2－2(v1－v2)t＋2s＝0 若甲、乙不相撞，则以上方程不能有两个解 即判别式应满足Δ＝4(v1－v2)2－8as≤0 解得a≥＝1.6 m/s2。 法三　图像法 分别画出甲、乙的v－t图像，如图所示 刚好不相撞时图中阴影部分面积为s 有(v1－v2)t1＝s a＝ 故a＝，且s＝0.5 km 若要使甲、乙不相撞 则a≥＝1.6 m/s2。 4 甲、乙两物体零时刻开始从同一地点向同一方向做直线运动，位移—时间图像如图所示，则在0～t1时间内(　　) A.甲的速度总比乙大 B.甲、乙位移相同 C.甲经过路程比乙小 D.甲、乙均做加速运动 答案　B 解析　位移—时间图像中，图线斜率大小等于物体速度大小。由题图可知，甲做匀速直线运动，乙做变速直线运动，D错误；靠近t1时刻时乙的斜率大于甲的斜率，即乙的速度大于甲的速度，故A错误；在0～t1时间段内，甲、乙物体的初位置和末位置相同，故位移相同，B正确；甲、乙物体做的是单向直线运动，两者的位移大小相等，路程也相同，故C错误。 5 汽车以20 m/s的速度在平直公路上行驶时，刹车后40 s停下来。现在同一平直公路上以20 m/s的速度行驶时发现前方200 m处有一货车以6 m/s的速度同向匀速行驶，司机以相同的加速度立即刹车，则： (1)汽车刹车时的加速度大小； (2)是否发生撞车事故？若发生撞车事故，在何时发生？若没有撞车，两车最近距离为多少？ 答案　(1)0.5 m/s2　(2)不会相撞　4 m 解析　(1)汽车刹车时加速度大小为 a＝＝0.5 m/s2。 (2)当汽车减速到与货车速度相同时，所用时间 t0＝＝28 s 汽车运动的位移x1＝＝364 m 此时间内货车运动的位移为 x2＝v1t0＝168 m 由于x2＋200 m＝368 m＞x1 故汽车与货车不会发生相撞 两车最近距离为 Δx＝x2＋200 m－x1＝4 m。 6 .(多选)A、B两物体在同一直线上运动的v－t图像如图所示，已知在第4 s末两物体相遇，则下列说法正确的是(　　) A.两物体从同一地点出发 B.出发时A在B前方4 m处 C.两物体运动过程中，A的加速度小于B的加速度 D.第4 s末两物体相遇之后，两物体可能再次相遇 答案BC 解析由v－t图像与t轴所围的“面积”表示位移可知，两物体在0～4 s内的位移不相等，而在第4 s末相遇，可知出发点不同，A错误；在4 s内，A的位移xA＝×4×4 m＝8 m，B的位移xB＝×6×4 m＝12 m，已知在第4 s末相遇，则出发时A在B前方4 m处，B正确；由于A图线的斜率小于B图线的斜率，可知A的加速度小于B的加速度，C正确；相遇后A的速度始终小于B的速度，所以两物体不会再次相遇，D错误。 7 .自动驾驶汽车又称无人驾驶汽车，是一种通过电脑系统实现无人驾驶的智能汽车。某次自动驾驶汽车以恒定的加速度启动，同时一辆货车以恒定速度从其旁边驶过，自动驾驶汽车再次与货车相遇之前已达到最大速度，则下列图像正确的是(　　) 答案　D 解析v－t图像的斜率代表加速度，由于自动驾驶汽车以恒定加速度启动，则自动驾驶汽车加速时的v－t图线为直线，A错误；v－t图线与t轴围成的面积表示位移，由题可知自动驾驶汽车再次与货车相遇之前已达到最大速度，B项中t0时刻自动驾驶汽车刚好达到最大速度，且由图像中几何关系可知此时两车位移相等，则此时相遇，B错误；x－t图像的斜率表示速度大小，图线交点表示两车位移相同，C项中自动驾驶汽车与货车相遇时其速度还未达到最大，C错误；D项中两车x－t图线交点表示两车再次相遇，且自动驾驶汽车在再次相遇之前已经达到最大速度，D正确。 8 .(多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，它们的v－t图像如图所示。已知两车在t＝3 s时并排行驶，则(　　) A.在t＝1 s时，甲车在乙车后 B.在t＝0时，甲车在乙车前7.5 m C.两车另一次并排行驶的时刻是t＝2 s D.甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m 答案　BD 解析　因v－t图像与坐标轴围成的面积等于位移，根据v－t图像可知在1～3 s内两车位移相等，可以判断在t＝1 s时，甲、乙车并排行驶，故A、C错误；在t＝0时，甲车在乙车前Δx＝ m－×1×10 m＝7.5 m处，故B正确；甲、乙两车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离也就是从第1 s末到第3 s末两车运动的位移Δx′＝ m＝40 m，故D正确。 9 .在同一水平面上，一辆小车从静止开始以1 m/s2的加速度前进，有一人在车后与车相距25 m处，同时开始以6 m/s的速度匀速追车，人与车前进的方向相同，则人追车过程中，人与车的最小距离为(　　) A.5 m B.6 m C.7 m D.9 m 答案　C 解析当小车与人的速度相等时，小车与人相距最近，即v车＝v人＝6 m/s，又v车＝at，则t＝＝6 s，在6 s内小车行驶的距离x车＝at2＝18 m，人运动的距离x人＝v人t＝36 m，由于x车＋25 m＞x人，所以人不能追上车，人与车的最小距离Δs＝x车＋s0－x人＝7 m，故C正确。 10 .如图甲所示小明姐姐骑电动自行车带着小明去学校，在笔直的公路上以某一速度匀速行驶，发现正前方30 m处有一条小狗趴在地上，小明姐姐立马刹车以免撞到小狗。刹车过程中电动自行车运动的－图像如图乙所示，则电动自行车(　　) A.刹车的加速度大小为1 m/s2 B.在10 s时停下来 C.最终没有撞上小狗 D.在6 s内行驶的位移大小为36 m 答案　C 解析　由x＝v0t＋at2，变形可得＝＋a，由数学知识可知－图像的斜率表示初速度v0，截距表示a，即v0＝10 m/s，a＝－2 m/s2，A错误；由0－v0＝at可得，刹车时间t＝5 s，刹车位移x＝t＝25 m＜30 m，故电动自行车最终没有撞上小狗，B错误，C正确；由于电动自行车在5 s时就停止运动，故6 s内行驶的位移为25 m，D错误。 学科网（北京）股份有限公司 $$