4.1.1数列的概念（1）课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

数列的概念（1） 人教A版2019 选择性必修第二册 学习目标 1. 经历数列概念的抽象过程，了解数列的定义、数列的表示方法， 了解数列是一类特殊的函数. 2. 理解数列的通项公式. 3. 理解数列递推公式的含义，会用递推公式解决有关问题. 4. 会由数列的前n项和公式求数列的通项公式. 学习 内容： 1. 数列的概念与表示方法. 2. 数列的递推公式. 3. 数列的前n项和与通项的关系. 学习 重点： 理解数列的概念与表示方法. 学习 难点： 数列的递推公式及数列的前n项和与通项的关系. 新知探究 问题1：观察下列这组数的规律，你能完成填空吗？ 1，1，2，3，5，8，____，____，…. 1 2 3 5 8 阅读课本P10-P11 认识斐波那契数列，思考如下问题. 13 21 高中数学 情境导入 水星 金星 地球 火星 木星 土星 实际距离 0.39 0.72 1.0 1.52 5.2 9.5 ··· 计算距离 ··· 问题1：德国天文学家提丢斯 (Titius, 1729—1796) 研究了一列数： 3，6，12，24，48，96，192，··· 他由此得出太阳到行星平均距离的经验定律! 注:表中数据的单位为天文单位, 1个天文单位等于太阳到地球的距离. 0， 天王星 19.2 谷神星 0.4 0.7 1.0 1.6 2.8 5.2 10.0 19.6 2.7 如果你是天文学家，通过这列数，你有什么大胆的猜测？ 高中数学 研究路径 问题2：如何研究“数列”这一新的概念？ 事实 下定义 表示方法 性质 特殊元素 问题3：如何给“数列”下定义？ 追问（1）：王芳从1岁到17岁每年的身高依次排成一列数： 75，87，96，103，110，116，120，128，138， 145，153，158，160，162，163，165，168. 它们之间能否交换位置？具有确定的顺序吗？ 不能交换位置， 具有确定顺序. 新知探究 概念形成 新知探究 追问（2）：在两河流域发掘的一块泥版上，有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数： 5，10，20，40，80， 96，112，128，144，160， 176，192，208，224，240. 它们之间能否交换位置？具有确定的顺序吗？ 记第i天月亮可见部分的数为si，那么 s1＝5，s2＝10，s3＝20，…，s15＝240. 不能交换位置， 具有确定顺序. 概念形成 高中数学 概念形成 新知探究 追问（3）： 的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数： 你能仿照上面的叙述，说明这也是具有确定顺序的一列数吗？ …. 问题5：上述例子的共同特征是什么？ 75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168. ① 5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240. ② ③ 一列数 有顺序 数列中的数只要求按一定顺序排列，并没有规定数列中的数必须不同，同一个数可以在数列中重复出现. 理解数列的概念，要抓住两个关键词： 数列定义的理解 一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 追问（1）：1，3，5，7是一个数列，7，5，3，1也是一个数列，这两个数列是不是同一个数列？ 追问（2）：1，1，1，1，1…是不是一个数列？ 概念形成 数列的概念 概念形成 问题5：如何用一般的符号来表示数列？ 首项 第二项 第n项 数列的一般形式是 简记为 追问：在数列中，符号 与 所表示的意义是否相同？ {an}表示一个数列：a1，a2，a3，…，an，…. ； an表示数列{an}中的第n项 概念形成 问题6：对于不同的数列，它们的项数有何特点呢？ 75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168. 5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240. 有穷数列：项数有限的数列 无穷数列：项数无限的数列 ① ② ③ 数列中的各项 与各项序号k（k＝1，2，3，…，n，…）之间有怎样的对应关系？ 序号 项 正整数集 实数集 （或它的有限子集 ） 二、概念辨析 例如： 问题7：数列的本质是什么？ 函数关系 所以数列{an}的本质是从正整数集N*(或它的有限子集{1, 2, ··· , n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an ，记为an = f(n). 高中数学 概念辨析 追问1： 和 是同一个数列吗？能否从函数的角度解释一下？ 因为定义域不同，所以不是同一个数列 数列的定义域是正整数集或它的有限子集 数列 是从正整数集（或它的有限子集）到实数集的函数 记为an＝f（n） 图4.1-1 75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168. ① 表4.1-1 问题8：数列有哪些表示方法？ 列表法、图像法、解析法 数列的表示法 如果数列 的第n项 an 与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就是数列的函数解析式，叫做这个数列的通项公式． 根据通项公式可以写出数列的各项. an = f(n) 称为{an}的通项公式 数列的通项公式 = f(n) 高中数学 概念辨析 问题9：数列的单调性是怎样定义的？ 75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168. ① 高中数学 概念辨析 问题9：数列的单调性是怎样定义的？ 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列. 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列． 特别地，各项都相等的数列叫做常数列. 如：1，1，1，1，1…． 1. 以项数来分类： (1) 有穷数列： (2) 无穷数列： 2. 以各项的大小关系来分类： (1) 递增数列： (2) 递减数列： (3) 常 数 列： (4) 摆动数列： 各项都相等的数列； 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 项数有限的数列； 项数无限的数列. 对任意n∈N*，总有an+1>an (或an+1-an>0). 对任意n∈N*，总有an+1<an (或an+1-an<0). 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列. 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列. 数列的分类 高中数学 巩固新知 例1 根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象． n 1 2 3 4 5 an （1） （2） n 1 2 3 4 5 an 1 0 -1 0 1 1 3 6 10 15 巩固新知 例1 根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象． n 1 2 3 4 5 an （1） 1 3 6 10 15 追问：你能判断（1）中数列： 1，3，6，10，15的单调性吗？ 递增数列 巩固新知 例2 根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式： 方法总结： 通过观察、分析、联想、比较，发现项与项的序号之间的关系. 1.先写出各项结构的相同部分. 2.找出各项不同的部分与序数的关系. 3.如果项与项的序号之间的关系不明显，那么可将该数列中的项同时加上或减去一个数，或分解、还原等，使规律呈现出来. 4.正、负数值间隔的数列可用 或 来表示其正负号. 高中数学 课堂小结 问题10：回顾本节课所学的知识，思考： （1）什么是数列？数列的本质是什么？ （2）我们研究数列的基本路径是什么？ 现实生活、数学史、数学 按照确定的顺序排列的一列数 表格、图象、通项公式 本质：函数 递增数列、递减数列、常数列 高中数学 拓展反思 （1）为什么例2中只要求写出数列的“一个”通项公式？ （2）你能写出前四项为0，2，0，2的数列的其它通项公式吗？ （3）你认为每个数列都有通项公式吗？ 高中数学 课后作业 1. 根据数列的通项公式填表： 2. 根据下列数列的前5项，写出数列的一个通项公式： $$