精品解析：福建省厦门市同安一中2024-2025学年上学期八年级期中综合考试数学试题

同安一中2024—2025学年（上）八年级期中综合练习 数学 命题人：冯燕、郑铭文 审核人：高丹、邱萍 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列四种图案是2024年巴黎奥运会部分运动项目的示意图，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的四根木棒中，能与长度分别为和长的木棒构成三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 八边形的外角和是（ ） A. 180° B. 360° C. 1080° D. 1440° 5. 如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，是高，是中线，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，，点D在边上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，已知，点P在边上，，点M，N在边上，，若，则的长为（　　） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 9. 如图，、是的角平分线，、交于点，，，以下结论错误的是（ ） A. B. 连接，则平分 C. D. 若的周长为，，则 10. 如图，边长为a的等边中，是上中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算（1）______；（2）______． 12. 如图，，是的高，且，判定的依据是______．（填写字母即可） 13. 已知一个凸多边形的内角和等于，则这个凸多边形的边数为_____． 14. 如图，中，，，D是的中点，交于E点，连接，，的周长是，那么的长是______． 15. 如图，在长方形中，．延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为__________秒时，和全等． 16. 如图，等腰，，，于，点是延长线上一点，点是线段上一点，，下面结论：；；．其中正确的有______．（填正确结论序号） 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算 （1）； （2）． 18. 如图所示，点C是线段AE的中点，AB＝CD，BC＝DE．求证：△ABC≌△CDE． 19. 如图，平面直角坐标系中，，，． （1）作出关于y轴对称的图形； （2）的坐标为______，的面积为______． 20. 如图，在中，平分，P为线段上一点，交的延长线于点E，若，求的度数． 21. 如图，已知． （1）尺规作图：作的角平分线（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，若，，且，求的长． 22. 如图，小明在游乐场玩两层型滑梯，每层楼梯高度相同（），都为2.5米，他想知道左右两个滑梯和的长度是否相等，于是制定了如下方案： 课题 探究两个滑梯的长度是否相等 测量工具 长度为6米的卷尺 测量步骤 ①测量线段的长度；②测量线段的长度 测量数据 米，米 （1）根据小明的测量方案和数据，判断两个滑梯和的长度是否相等？并说明理由； （2）猜想两个滑梯和所在直线的位置关系，并证明． 23. 如果a、b、c是整数，且，那么我们规定一种记号，例如，那么记作． （1）______； （2）若k、m、n、p均为整数，且，，，探究m、n、p之间满足的等量关系，并证明． （3）小明在研究这种记号时发现一个规律： （n是正整数），请你帮他完成证明． 24. 已知在中，，，点C是平面内一点，连接、、，． （1）如图1，点O在的内部， ①当时，求的度数； ②当CO平分时，判断的形状，并说明理由； （2）如果直线与直线相交于点D，是以为腰的等腰三角形，请画出示意图并直接写的度数（友情提示：为使图形清晰，一个图中只画一种情况；备用图的数量与本题答案无关）． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知分别在坐标轴的正半轴上． （1）如图1，若满足，以为直角顶点，为直角边在第一象限内作等腰直角，则点的坐标是______； （2）如图2，若，点是的延长线上一点，以为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角，连接，求证：； （3）如图3，设的平分线过点，请求出的值，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 同安一中2024—2025学年（上）八年级期中综合练习 数学 命题人：冯燕、郑铭文 审核人：高丹、邱萍 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列四种图案是2024年巴黎奥运会部分运动项目的示意图，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，熟练掌握轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：．是轴对称图形，故该选项符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列长度的四根木棒中，能与长度分别为和长的木棒构成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，设第三根木棒的长为，根据三角形三边关系分析即可． 【详解】解：设第三根木棒的长为， 由三角形的三边关系可知，， 即， 故选：B． 3. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方法则逐一判断即可． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、 ，故选项不符合题意； C、 与不是同类项，不能合并，故选项不符合题意； D、 ，故选项符合题意； 故选：． 4. 八边形的外角和是（ ） A. 180° B. 360° C. 1080° D. 1440° 【答案】B 【解析】 【分析】根据多边形的外角和都等于360°即可判断. 【详解】∵多边形的外角和都等于360° ∴八边形的外角和是360° 故选B. 【点睛】此题考查的是多边形的外角和，掌握多边形的外角和都等于360°是解决此题的关键. 5. 如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， A．若添加，满足边角边，能判定，故该选项不符合题意； B．若添加，满足斜边直角边对应相等，能判定，故该选项不符合题意； C．若添加，满足边边角，不能判定，故该选项符合题意； D．若添加，满足边边边，能判定，故该选项不符合题意； 故选：C． 6. 如图，在中，是高，是中线，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据高线求出，根据是中线即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵是中线， ∴ 故选：B 7. 如图，，点D在边上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可． 本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 8. 如图所示，已知，点P在边上，，点M，N在边上，，若，则的长为（　　） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质；过点P作于点D，则，由等腰三角形的性质可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：过点P作于点D， ∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故选：D． 9. 如图，、是的角平分线，、交于点，，，以下结论错误的是（ ） A. B. 连接，则平分 C. D. 若的周长为，，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，利用截长补短法，证明三角形全等，是解题的关键．利用三角形的内角和以及角平分线的定义，求出的度数，进行判断A正确；在上截取，证明，得到，再证明，得到，进而得到可判断C正确；连接，过点作，，垂足分别为、，利用角平分线的性质得出，即可判断B正确，根据，结合的周长为可判断D错误，综上即可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵、是的角平分线， ∴，， ∴，故A选项正确， 如图，在上截取， 在和中，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴，故C选项正确， 如图，连接，过点作，，垂足分别为、， ∵、是的角平分线，， ∴，， ∴， ∴平分，故B正确， ∵的周长为，，， ∴，故D选项错误， 故选：D． 10. 如图，边长为a的等边中，是上中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称最短问题和等边三角形的性质和判定以及全等三角形的判定和性质等知识，根据题意利用等边三角形性质和全等三角形判定得出，进而作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，最后依据周长的最小值，求值即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴点在射线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交直线于，此时的值最小， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴周长的最小值， 故选：B． 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算（1）______；（2）______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题考查整式乘法．根据同底数幂的法则、积的乘方法则进行计算． 【详解】解：（1）；（2）． 故答案为：；． 12. 如图，，是的高，且，判定的依据是______．（填写字母即可） 【答案】 【解析】 【分析】根据判定即可． 【详解】解：∵，是的高， ∴， 在与中， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 13. 已知一个凸多边形的内角和等于，则这个凸多边形的边数为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，能根据题意得出关于n的方程是解此题的关键，注意：边数为n的多边形的内角和． 设这个多边形的边数为n，根据题意得出，求出即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 则， 解得：， 故答案为：6． 14. 如图，中，，，D是的中点，交于E点，连接，，的周长是，那么的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，D是的中点得到，结合，的周长是即可得到的长度即可得到答案； 【详解】解：∵，D是的中点， ∴， ∵，的周长是， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 15. 如图，在长方形中，．延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为__________秒时，和全等． 【答案】1或7 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据题意可得当点P在上时，只有这种情况，当点P在上时，由于此时不是直角三角形，故此种情况不存在，当点P在上时，只有这种情况，根据全等三角形的性质求出点P的运动路程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 当点P在上时，若和全等，则只有这种情况， ∴， ∴； 当点P在上时，由于此时不是直角三角形，故此种情况不存在， 当点P在上时，同理可得只有这种情况， ∴， ∴点P的运动路程为， ∴； 综上所述，当t的值为1秒或7时，和全等． 故答案为：1或7． 16. 如图，等腰，，，于，点是延长线上一点，点是线段上一点，，下面结论：；；．其中正确的有______．（填正确结论序号） 【答案】 【解析】 【分析】连接，由线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，角的和差求出，，由三角形的内角和定理，角的和差求出 ，再由等边三角的判定证明是等边三角形，得出，从而求解． 【详解】如图，连接， ∵，， ∴， ∴垂直平分， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵在等腰中，， ∴， ∴， ∴， ∴，故正确； 又∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，，故正确； ∴， 即:，故正确； 综上可知：正确， 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质定理、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，角的和差，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法运算． （1）按照同底数幂的乘法运算法则计算即可． （2）先计算同底数幂的乘法以及积的乘方运算，然后再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 如图所示，点C是线段AE的中点，AB＝CD，BC＝DE．求证：△ABC≌△CDE． 【答案】 证明：∵点C是线段AE的中点， ∴AC=CE， 在△ABC和△CDE中， ， ∴△ABC≌△CDE（SSS）． 【解析】 【分析】根据线段中点定义可得AC=EC，再利用SSS定理判定△ABC≌△CDE即可． 【详解】略 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 19. 如图，平面直角坐标系中，，，． （1）作出关于y轴对称的图形； （2）的坐标为______，的面积为______． 【答案】（1） 如下图所示： （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了作轴对称图形，直接写出坐标系中的点的坐标，利用网格求三角形面积等知识． （1）根据题意找到点，，关于y轴的对称点，，，顺次连接即可， （2）根据坐标系写出的坐标即可，根据坐标与网格的特点用长方形减去三个三角形的面积求解即可． 【小问1详解】 解：，，关于y轴对称的点分别为，， 【小问2详解】 解：由（1）知： 20. 如图，在中，平分，P为线段上一点，交的延长线于点E，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形外角的定义即可求出的度数，进一步求得的度数． 【详解】∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，已知． （1）尺规作图：作的角平分线（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，若，，且，求的长． 【答案】（1） 根据尺规作图，作图如下： （2）8 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的尺规作图，作图即可． （2）过点D作于点G，根据角的平分线性质定理，直角三角形的性质解答即可． 本题考查了角的平分线尺规作图，角的平分线性质定理，直角三角形的性质，熟练掌握作图和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：则即为所求． 【小问2详解】 解：过点D作于点G， ∵平分，且，， ∴，， ∴． 22. 如图，小明在游乐场玩两层型滑梯，每层楼梯高度相同（），都为2.5米，他想知道左右两个滑梯和的长度是否相等，于是制定了如下方案： 课题 探究两个滑梯的长度是否相等 测量工具 长度为6米的卷尺 测量步骤 ①测量线段的长度；②测量线段的长度 测量数据 米，米 （1）根据小明的测量方案和数据，判断两个滑梯和的长度是否相等？并说明理由； （2）猜想两个滑梯和所在直线的位置关系，并证明． 【答案】（1） ． 理由：∵米，米 ∴米，， ∵米， ∴， 在和中， ∴ ∴，即和的长相等． （2） ． 理由：延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，直角三角形的性质，关键是掌握全等三角行的判定以及性质． （1）证明，由全等三角形的性质得出； （2）延长交于点，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如果a、b、c是整数，且，那么我们规定一种记号，例如，那么记作． （1）______； （2）若k、m、n、p均为整数，且，，，探究m、n、p之间满足的等量关系，并证明． （3）小明在研究这种记号时发现一个规律： （n是正整数），请你帮他完成证明． 【答案】（1）3 （2） （3） 设，则，，则， 故， ∴， ∴， ∵n是正整数， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据，根据定义，得，解答即可； （2）根据，，，得，，， 根据，得，解答即可． （3）利用定义证明即可． 【小问1详解】 解：∵，根据定义，得， 故答案为：3． 【小问2详解】 解：m、n、p之间满足的等量关系为：．理由如下： 根据题意，，，， 得，，， 又， 故， 故． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了新定义运算，同底数幂的乘法，幂的乘方，幂的性质，熟练掌握定义，幂的乘方是解题的关键． 24. 已知在中，，，点C是平面内一点，连接、、，． （1）如图1，点O在的内部， ①当时，求的度数； ②当CO平分时，判断的形状，并说明理由； （2）如果直线与直线相交于点D，是以为腰的等腰三角形，请画出示意图并直接写的度数（友情提示：为使图形清晰，一个图中只画一种情况；备用图的数量与本题答案无关）． 【答案】（1）①； ②为等边三角形，理由如下： 如图1所示： 平分， 设，则， 在中，， ， 在中，， ， 在中，，， ， ，， 在中，， ， ，，， 为等边三角形； （2）的度数为或 【解析】 【分析】（1）①根据，得，则，进而得，再根据，得，进而得，然后根据，得，由此可得的度数； ②根据平分，设，则，根据得，根据得，则，，再根据三角形内角和定理得，则，进而得，，，由此可判定的形状； （2）分两种情况讨论如下：①当直线与线段交于点时，设，则，，再根据得，再根据三角形内角和定理得，则，②当直线与的延长线交于点时，设，则，再求出，得，根据得，再根据三角形内角和定理得，则，综上所述即可得出的度数． 【小问1详解】 解：①在中，，， ， ， 又， ， ，， ， 在中，，， ； ②略 【小问2详解】 解：的度数为或，理由如下： 直线与直线相交于点，且是以为腰的等腰三角形， 有以下两种情况： ①当直线与线段交于点时，如图2①所示： 设， 是以为腰的等腰三角形，即， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 即， ②当直线与的延长线交于点时，如图2②所示： 设， ， ， 是以为腰的等腰三角形，即， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 综上所述：的度数为或． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知分别在坐标轴的正半轴上． （1）如图1，若满足，以为直角顶点，为直角边在第一象限内作等腰直角，则点的坐标是______； （2）如图2，若，点是的延长线上一点，以为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角，连接，求证：； （3）如图3，设的平分线过点，请求出的值，并说明理由． 【答案】（1） （2） 证明：如图，过作轴于，则， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形，， ， ，， ， ， ， ，，， ， ， ，即， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ； （3） ， 理由：如图，过点作轴于，轴于，交的延长线于， ， ， 平分，，， ， ， ， 同理可得：， ， ，，， ， 即． 【解析】 【分析】（1）由偶次方和绝对值的非负性得出，，则，，证明，得到，，，即可得解； （2）过作轴于，则，证明，得到，，，再证明是等腰直角三角形，得，然后由三角形外角的性质即可得出结论； （3）过点作轴于，轴于，交的延长线于，则，由角平分线的性质可得，证明得到，同理证明得到，即可求解． 【小问1详解】 解：，，， ，， ，， ， ，， 如图，过点作轴于， 则， ， ，， ， ，， ， ，， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、角平分线的性质、非负数的性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质、证明三角形全等是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $