5.3 实际问题与一元一次方程（第1课时 配套问题与工程问题）（教学课件）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版2024）

5.3 实际问题与一元一次方程 人教版（2024）七年级数学上册 第五章 一元一次方程 第一课时 配套问题与工程问题 目录/CONTENTS 数学活动 考点梳理 知识导图 课本复习题 学习目标 1. 会运用一元一次方程解决物品配套问题和工程问题. 2. 掌握用一元一次方程解决实际问题的基本思路和步骤. 情景导入 小优与同学一起完成为教室设计了创意书架，在购买书架材料时，发现 1 个横板需要配 2 个竖板.销售商出了如下问题，考考同学们： 一个材料厂有 56 名工人加工横板和竖板，平均每小时每名工人能够加工横板 90 块或竖板 100 块，为了使得横板和竖板刚好配套，工人们应如何分配？ 新知探究 思考1 它的等量关系是什么？ 1 个横板需要配 2 个竖板 配套关系： __________＝2×__________ 横板总数量 竖板总数量 新知探究 解：设分配 x 名工人加工横板，(56－x) 名工人加工竖板. 根据竖板总数量是横板的总数量的两倍，列出方程 100×(56－x)＝90×x×2. 5600－100x＝180x. －100x－180x＝－5600. x＝20. －280x＝－5600. 所以加工竖板工人 56－20＝36 (人). 答：应安排 20 名工人生产横板，36 名工人生产竖板. 思考2 请列出合适的未知数，并求解. 课本例题 分析：每天生产的螺母数量是螺栓数量的2倍时，它们刚好配套. 例1 某车间有 22 名工人，每人每天可以生产 1200 个螺栓或 2000 个螺母. 1 个螺栓需要配 2 个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 解：设应安排 x 名工人生产螺栓，(22－x) 名工人生产螺母. 根据螺母数量应是螺栓数量的 2 倍，列出方程 2000(22－x)＝2×1200x . 解方程，得 x＝10. 进而 22－x＝12. 答：应安排 10 名工人生产螺栓，12 名工人生产螺母. 如果设 x 名工人生产螺母，怎样列方程？ 2000x = 2×1200(22-x). 这类问题中配套的物品之间具有一定的数量关系，这可以作为列方程的依据. 课本例题 例 2 整理一批图书，由 1 人整理需要 40 h 完成. 现计划由一部分人先整理 4 h，然后增加 2 人与他们一起整理 8 h，完成这项工作. 假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理？ 分析：如果把总工作量设为 1，则人均效率（一个人1h完成的工作量）为， x 人先整理 4 h完成的工作量为增加 2 人后再做 8 h 完成的工作量为，这两个工作量之和应等于总工作量. 解：设先安排 x 人整理 4 h. 根据先后两个时段的工作量之和等于总工作量， 答：应先安排 2 人进行整理. 列得方程 ，解得 x = 2. 这类问题中常常把总工作量看作1，并利用“工作量 = 人均效率×人数×时间”的关系考虑问题. 归 纳 用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下： 实际问题 一元一次方程 实际问题 的答案 一元一次方程的解 （x = m） 设未知数， 列方程 检 验 解方程 这一过程一般包括设、列、解、检、答等步骤，即设未知数、列方程、解方程、检验所得结果、确定答案.正确分析问题中的相等关系是列方程的基础. 课堂练习 1. 一条地下管线由甲工程队单独铺设需要 12 天，由乙工程队单独铺设需要 24 天，如果由这两支工程队从两端同时施工，需要多少天可以铺好这条管线？ 解: 设需要 x 天可以铺好这条管线. 根据题意，得 . 解得 x ＝ 8. 答: 需要 8 天可以铺好这条管线. 2. 在一次劳动课上，有 27 名同学在甲处劳动，有 19 名 同学在乙处劳动. 现在从其他班级另调 20 人去支援， 使得在甲处的人数为在乙处人数的 2 倍，应调往甲、乙两处各多少人？ 解：设调往甲处 x 人，则调往乙处 (20 - x) 人. 根据题意，得 27 + x = 2(19 + 20 - x). 解得 x = 17. 所以 20 - x = 3. 答：应调往甲处 17 人，乙处 3 人. 3. 一台仪器由 1 个 A 部件和 3 个 B 部件构成. 用 1 m3 钢材可以做 40 个 A 部件或 240 个 B 部件，现要用 6 m3 钢材制作这种仪器，应用多少立方米钢材做 A 部件，多少立方米钢材做 B 部件，才能制作尽可能多的仪器？最多能制成多少台仪器？ 解：设用 x m3 钢材做 A 部件，则用 (6 - x) m3 钢材做 B 部件. 根据题意，3×40x = 240(6 - x). 解得 x = 4. 所以 6 - x = 2，40x = 160. 答:应用 4 m3 钢材做A部件，2 m3 钢材做 B 部件，才能制作 尽可能多的仪器，最多能制成 160 台仪器. 分层练习-基础 1. [教材P133例1变式]某车间有26名工人，每人每天可以生 产800个螺钉或1 000个螺母.1个螺钉需要配2个螺母，为 使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，设安排 x 名工人生产 螺钉，则下面所列方程正确的是(　C　) C A. 2×1 000(26－ x )＝800 x B. 1 000(13－ x )＝800 x C. 1 000(26－ x )＝2×800 x D. 1 000(26－ x )＝800 x 2. [教材P133例2变式]学校要制作一块广告牌，请来两名工人，已知甲单独完成需4天，乙单独完成需6天，若先由乙做1天，再由两人合作完成，完成任务后共得到报酬900元，若按各人的工作量计算报酬，则分配方案为(　B　) B A. 甲360元，乙540元 C. 甲300元，乙600元 B. 甲450元，乙450元 D. 甲540元，乙360元 点拨：设两人合作了 x 天， 由题意，得 x ＋ x ＝1－ ，解得 x ＝2. 所以甲的工作量为 ×2＝ ， 所以甲的报酬为900× ＝450(元)， 所以乙的报酬为900－450＝450(元). 3. [2024重庆北碚区期末]某工厂安排60名工人加工一批桌子，每张桌子由1张桌面和4条桌腿组成.每名工人每天可以加工2张桌面或者4条桌腿(每人只加工桌面或桌腿)，为了使每天加工的桌面和桌腿恰好配套，每天应该安排 名工人生产桌面. 20　 点拨：设应分配 x 名工人生产桌面，则(60－ x )名工人生产桌腿， 由题意，得2 x ×4＝4(60－ x )，解得 x ＝20， 所以每天应该安排20名工人生产桌面. 4. 【新趋势32】问题：师徒二人检修管道， 　　，求师傅与徒弟每小时各检修多长的管道？ 条件：①该管道长270 m； ②师傅每小时比徒弟多检修10 m； ③两人从管道两端同时开始检修，3 h后完成任务； ④师傅先检修70 m，两人再一起检修2 h后完成任务； 在上述四个条件中选择 (选3个，填序号，写一种即可)，并完成解答. 解：设师父每小时检修 x m，则徒弟每小时检修( x －10)m， 由题意，得3 x ＋3( x －10)＝270， 解得 x ＝50，所以 x －10＝40. 答：师父每小时检修50 m，徒弟每小时检修40 m. 答案不唯一.选择①②③　 分层练习-巩固 5. 【教材P140习题T2变式2024山西太原期末】某家具加工厂有21名木工加工桌子和椅子，一张桌子配4把椅子，已知每名木工一天能加工5张桌子或者8把椅子，若安排 x 名木工加工桌子，则恰好一天加工的桌子能与椅子配套，可列方程为(　B　) B A. 5 x ＝(21－ x )×8 B. 4×5 x ＝(21－ x )×8 C. 8 x ＝(21－ x )×5×4 D. 5 x ＝(21－ x )×8×4 6. [2024重庆巴川中学月考]某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线.在一天内，A生产线共加工 a t原材料，加工时间为(4 a ＋1)h；在一天内，B生产线共加工 b t原材料，加工时间为(2 b ＋3)h.第一天，该企业将5 t原材料分配到A，B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为 .第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5 t原材料后，又给A生产线分配了 m t原材料，给B生产线分配了 n t原材料.若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则 的值为 　 　. 2∶3　 　 7. 【情境题·生活应用】某防护服厂有54名工人，每人每天可加工防护服8件或防护面罩10个，已知一件防护服配一个防护面罩. (1)为了使每天生产的防护服与防护面罩正好配套，需要安排多少名工人生产防护服？ 解： (1)设需要安排 x 名工人生产防护服，则有(54－ x )名工人生产防护面罩， 根据题意，得8 x ＝10(54－ x )， 解得 x ＝30， 答：需要安排30名工人生产防护服. (2)该厂接到任务，要在10天内加工3 000件防护服和3 000个防护面罩，按照(1)中的安排，在不增加工人工作量的情况下，该厂是否能按时完成任务？为什么？ 解： (2)不能.理由如下： 因为30×8×10＝2 400(件)， 且2 400＜3 000， 所以在不增加工人工作量的情况下，该厂不能按时完成任务. 8. 【立德树人·低碳环保】为了美化环境，建设生态桂林，某社区需要进行绿化改造，现有甲、乙两个绿化工程队可供选择，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多200平方米，甲队与乙队合作一天能完成800平方米的绿化改造面积. (1)甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？ 解： (1)设乙工程队每天能完成 x 平方米的绿化改造面积， 则甲工程队每天能完成( x ＋200)平方米的绿化改造面积. 依题意得 x ＋200＋ x ＝800，解得 x ＝300. 所以 x ＋200＝300＋200＝500. 答：甲工程队每天能完成500平方米的绿化改造面积， 乙工程队每天能完成300平方米的绿化改造面积. (2)该社区需要进行绿化改造的区域共有12 000平方米，甲队每天的施工费用为600元，乙队每天的施工费用为400元，比较以下三种方案： ①甲队单独完成；②乙队单独完成；③甲、乙两队全程合作完成. 哪一种方案的施工费用最少？ 解： (2)选择方案①所需施工费用为600× ＝14 400(元)； 选择方案②所需施工费用为400× ＝16 000(元)； 选择方案③所需施工费用为(600＋400)× ＝15 000(元). 因为14 400＜15 000＜16 000， 所以方案①的施工费用最少. 分层练习-拓展 9. 【情境题·方案策略型教材P140习题T4变式】某中学开展假期社会实践活动，七年级(1)班与(2)班承担了某片果林的施肥任务，已知单独做，(1)班需7.5 h完成，(2)班需6 h完成. (1)现在由(1)班先做2 h，再由两个班合作完成，前后共需几小时？ 解： (1)设前后共需 t h. 由题意得 ＋ ＝1，解得 t ＝4 . 答：前后共需4 h. (2)如果需要在一个上午内(不超过4 h)完成施肥任务，你将如何安排这项活动？列出三种安排方案. 解：(2)(安排方案不唯一)方案① 课堂小结 弄清题意，分清____量和____量 设_______，用式子表示相关量 找出相等关系，列出______ 解方程，求出________的值 是否为所列方程的___ 是否符合_________ 根据题意写答案 审 设 列 解 检 答 未知数 已知 未知 方程 未知数 解 实际意义 $$