4.7相似三角形的性质同步练习 2024-2025学年 北师大版数学九年级上册

4.7相似三角形的性质 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在边长为4的正方形中，点E在边上，，交于点F，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，，点P和点Q分别在边和上运动（不与A、C、D重合），满足，连接、交于点E，在运动过程中，则下列四个结论正确的是（    ） ①；②的度数不变；③；④． A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 3．如图，在中，，E、F分别是，的中点，动点P在射线上，交于点D，的平分线交于Q，当时，（　　） A．8 B． C．4 D．10 4．如图，点O是△ABC内任一点，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，则图中相似三角形有(         ) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 5．如图，正方形的边长是3，，连接、交于点，并分别与边、交于点、，连接，下列结论：①；②；③；④当时，．正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，，，相交于点O，若，则的长为（   ） A． B．4 C． D．5 7．如图，直线，每相邻两条直线之间的距离均相等，点A，B，C分别在直线a，c，e上，交于点，交于点，分别交直线b，c于点G，F．若四边形的面积为2，则的面积为（　　） A． B．5 C． D． 8．数学兴趣小组的同学们来到宝安区海淀广场，设计用手电来测量广场附近某大厦的高度，如图，点处放一水平的平面镜．光线从点出发经平面镜反射后刚好射到大厦的顶端处，已知，，且测得米，米，米，那么该大厦的高度约为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 9．如图，中，D、E两点分别在、上，且平分．若，，则与的面积比为（　　　） A．16∶45 B．2∶9 C．1∶9 D．1∶3 10．如图，在ABCD中，AE∶EB=1∶2，若，则等于（ ） A．54 B．18 C．12 D．24 11．把△ABC的各边分别扩大为原来3倍，得到△A1B1C1，下列结论不能成立的是（    ） A．△ABC∽△A1B1C1 B．△ABC与△A1B1C1的各对应角相等 C．△ABC与△A1B1C1的相似比为3:1 D．△ABC与△A1B1C1的相似比为1:3 12．如图，在中，中线，相交于点，连接，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 13．如图，在中，，连接，，分别交于点M，N．则的值为 ． 14．如图，在△ABC中，中线BE、CD相交于点G，则 ， 15．如图，平面内有16个格点，每个格点小正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积 16．在梯形中，，，，点、分别在边、上，且，如果，那么的长为 ． 17．如图，中，点D，E分别在AB，AC边上，，若，，，则BC的长是 ． 三、解答题 18．小玲用下面的方法来测量学校教学大楼的高度．在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离米．当她与镜子的距离米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端．已知她的眼睛距地面高度米，请你帮助小玲计算出教学大楼的高度是多少米．（注意：根据光的反射定律：反射角等于入射角） 19．【教材呈现】如图是苏科版版数学教材第86页的部分内容． 猜想：如图，在中，点D、E分别是与的中点，根据画出的图形，可以猜想：             ，且． 对此，我们可以用演绎推理给出证明．    (1)【定理证明】请根据教材内容，结合图①，写出证明过程． (2)【定理应用】如图②，四边形中，M、N、P分别为的中点，边延长线交于点E，，则______． (3)如图③，在中，，，E、F分别为上一点，M、N分别为的中点．当时，______． 20．如图，图1是可折叠的熨衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点O，，根据图2中的数据（米，米），求x的值． 21．如图，边长为的正方形内部有一点（不在边界上），过点分别作两边的平行线，，与各边的交点分别为，，，，记四边形面积为，四边形的面积分别为，四边形的面积为，四边形的面积为，，． (1)若，，求的值； (2)若，求证：； (3)对于确定的值，试讨论在线段上存在几个点，使得． 22．如图，河的两岸是平行的，两岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间距是10m，在距离岸边16m的A处看对岸，可以看到对岸的两棵树的树干恰好被这岸的两棵树的树干遮住，又知这岸的两棵树之间有一棵树，对岸的两棵树之间有四棵树，请你根据这些条件求出河宽． 23．如图1，在四边形ABCD中，，，． (1)求∠ACD的度数； (2)如图2，F为线段CD的中点，连接BF，求证：； (3)如图3，若，线段BC上有一动点M，连接OM，将沿OM所在直线翻折至的位置，P为B的对应点，连接PA，PC，当的值最小时，设O到直线PC的距离为，PC的长度为，直接写出的值． 24．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝3，AB＝6，DF⊥DC交AB于点E，交CB延长线于点F （1）当点E为边AB的中点时（如图1），求BC的长； （2）当点E在边AB上时（如图2），连接CE，求证：CD＝2DE； （3）连接AF（如图2），当△AEF的面积为3时，求△DCE的面积． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A D D C C A B A 题号 11 12 答案 C D 1．C 【分析】勾股定理求出的长，证明，求出与的比值，即可． 【详解】解：∵在边长为4的正方形中，点E在边上，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明三角形相似． 2．D 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识点是解题的关键． 证明可得，，，进而判断①；进而可得，进而判断②，根据，进而判断③；证明，进而判断④； 【详解】解：∵是菱形，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，，，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故选：D． 3．A 【分析】延长交射线于，根据三角形中位线定理可得，从而得到，由角平分线的性质可得，从而得到，即，得到，根据，求出，最后根据三角形相似的性质进行计算即可． 【详解】解：如图，延长交射线于， ，分别是，的中点， 是的中位线， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、角平分线的定义、三角形相似的判定与性质，等角对等边，熟练掌握三角形中位线定理、角平分线的定义、三角形相似的判定与性质，添加适当的辅助线，是解题的关键． 4．D 【分析】根据点D,E,F分别为OA,OB,OC的中点,可得DE是△AOB的中位线,DF是△AOC的中位线,EF是△BOC的中位线,可得DE//AB,DF//AC,EF//BC,进而可判定△DOE∽△AOD, △DOF∽△AOC, △EOF∽△BOC,根据中位线性质可得,, 继而可得，可判定△DEF∽△ABC. 【详解】因为点D,E,F分别为OA,OB,OC的中点, 所以DE是△AOB的中位线,DF是△AOC的中位线,EF是△BOC的中位线, 所以DE//AB,DF//AC,EF//BC, 所以△DOE∽△AOB, △DOF∽△AOC, △EOF∽△BOC, 因为DE是△AOB的中位线,DF是△AOC的中位线,EF是△BOC的中位线, 所以,, 所以， 所以△DEF∽△ABC, 因此有四对相似三角形, 故选D. 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定,解决本题的关键是要熟练掌握相似三角形的判定方法. 5．D 【分析】由四边形ABCD是正方形，得到AD=BC=AB，∠DAB=∠ABC=90°，即可证明△DAP≌△ABQ，根据全等三角形的性质得到∠P=∠Q，根据余角的性质得到AQ⊥DP；故①正确；根据相似三角形的性质得到AO2=OD•OP，故②正确；根据△CQF≌△BPE，得到S△CQF=S△BPE，根据△DAP≌△ABQ，得到S△DAP=S△ABQ，即可得到S△AOD=S四边形OECF；故③正确；根据相似三角形的性质得到BE的长，进而求得QE的长，证明△QOE∽△POA，根据相似三角形对应边成比例即可判断④正确，即可得到结论． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=BC=AB，∠DAB=∠ABC=90°． ∵BP=CQ， ∴AP=BQ． 在△DAP与△ABQ中，∵， ∴△DAP≌△ABQ， ∴∠P=∠Q． ∵∠Q+∠QAB=90°， ∴∠P+∠QAB=90°， ∴∠AOP=90°， ∴AQ⊥DP； 故①正确； ∵∠DOA=∠AOP=90°，∠ADO+∠P=∠ADO+∠DAO=90°， ∴∠DAO=∠P， ∴△DAO∽△APO， ∴， ∴AO2=OD•OP．故②正确； 在△CQF与△BPE中，∵， ∴△CQF≌△BPE， ∴S△CQF=S△BPE． ∵△DAP≌△ABQ， ∴S△DAP=S△ABQ， ∴S△AOD=S四边形OECF；故③正确； ∵BP=1，AB=3， ∴AP=4． ∵∠P=∠P，∠EBP=∠DAP=90°， ∴△PBE∽△PAD， ∴， ∴BE， ∴QE， ∵∠Q=∠P，∠QOE=∠POA=90°， ∴△QOE∽△POA， ∴， ∴，故④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解答本题的关键． 6．C 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定．先证明，进而得到，，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 7．C 【分析】根据以及每相邻两条直线之间的距离均相等，得到D，E，F分别为各边中点，G为中点，即可证明，可得，同理得到，，再推出，可利用得到方程，解之可得． 【详解】解：，每相邻两条直线之间的距离均相等， ∴D，E，F分别为各边中点，G为中点， ∴， ∴， ∴， 同理：，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是分析出平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． 8．A 【分析】因为同学和宝安区海淀广场均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，利用对应边成比例即可解答． 【详解】解：根据题意，可得到． 即， 故米；， 那么该大厦的高度是32米． 故选：A． 【点睛】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 9．B 【分析】根据已知条件先求得S△ABE：S△BED=2：1，再根据三角形相似求得S△ACD=S△ABE=S△BED即可求得． 【详解】解：∵AD：ED=3：1， ∴AE：AD=2：3， ∵∠ABE=∠C，∠BAE=∠CAD， ∴△ABE∽△ACD， ∴S△ABE：S△ACD=4：9， ∴S△ACD=S△ABE， ∵AE：ED=2：1， ∴S△ABE：S△BED=2：1， ∴S△ABE=2S△BED， ∴S△ACD=S△ABE=S△BED， ∴△BDE与△ADC的面积比为2：9， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，不同底等高的三角形面积的求法等，等量代换是本题的关键． 10．A 【详解】试题分析：在ABCD中，AE∶EB=1∶2，∴AE:AB=1:3,又∵AB=CD,∴AE:CD=1:3,在ABCD中AE//CD,∴与相似，∴与的高之比也为1:3，，=9*6=54 考点：相似三角形 点评：抓住题干的的条件，分析出与是相似三角形，它们的边的比跟高的比相等，找到它们面积之间的关系，相似三角形是常考点 11．C 【分析】根据相似三角形的判定与性质，对选项逐个判断即可． 【详解】解：由题意可得：，， 即 ∴，A选项正确，不符合题意； ∴，，，B选项正确，不符合题意； △ABC与△A1B1C1的相似比为1:3，C选项错误，符合题意，D选项正确，不符合题意； 故选：C 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与有关性质． 12．D 【分析】本题考查了中位线，重心的性质．熟练掌握中位线的性质，重心的性质是解题的关键． 是的中位线，根据三角形的中位线等于第三边长度的一半可判断①的正误；根据中线交点将中线分成的部分，以及等高，求面积比值，进而可判断②④的正误；根据比值进行判断③的正误即可． 【详解】解：∵中线，， ∴是的中位线， ∴，，①正确，故符合要求； ∵是中线交点，即重心， ∴，， ∵与、等高， ∴，，②、④正确，故符合要求； ∵， ∴，③正确，故符合要求； 故选：D． 13． 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，由平行四边形的性质得，，由，推导出，再证明，，则，，求得，，则，所以，于是得到问题的答案．证明，是解的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，同理：， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 14． 【解析】略 15． 【分析】可运用相似三角形的性质求出GF、MN，从而求出OF、OM，进而可求出阴影部分的面积． 【详解】 如图， ∵GF∥HC， ∴△AGF∽△AHC， ∴= =， ∴GF=HC=3， ∴OF=OG−GF=4−3=1. 同理MN=,则有OM=. ∴S△OFM=××1=， ∴S阴影=4−=. 故答案为. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质. 16．4 【分析】连接交于点P，先利用平行线分线段成比例定理求出、，再利用相似三角形的性质求出、，最后利用线段的和差求出． 【详解】解：如图，连接交于点P， ∵，， ∴． ∴． ∴，． ∵， ∴，． ∴，． ∵，， ∴，． ∵． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，掌握“平行线分线段成比例定理”、相似三角形的判定和性质是解决本题的关键． 17．5 【分析】根据，，易证△ADE～△ABC，再根据相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】∵， ∴∠B=∠ADE， 在△ADE和△ABC中：∠A=∠A， ∠B=∠ADE， ∴△ADE～△ABC， ∴，即：， 解得：BC=5， 故答案为：5 【点睛】本题主要考查了相似三角形得判断和性质，熟练地掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键． 18．13.44米 【分析】根据反射定律和垂直定义得到∠BAE=∠DCE，所以可得△BAE∽△DCE，再根据相似三角形的性质解答． 【详解】解：根据题意可得： ，， ∴， ∴， ∴， ∴(米) ∴教学大楼的高度是米． 【点睛】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 19．(1)证明过程见解析 (2) (3) 【分析】（1）由中点性质得到，根据，推出，据此即可证明结论成立； （2）根据（1）的结论推出，，根据即可求解； （3）取AB的中点G，求得，，根据（1）的结论得到，利用勾股定理即可求解. 【详解】（1）证明：∵点D、E分别是与的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，且； （2）解：∵M、N、P分别为的中点， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：如图③，取AB的中点G，连结，    ∵，， ∴，， ∴M、N分别为的中点， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴MN=， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定、三角形的外角等于与它不个邻的两个内角的和、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，属于考试压轴题． 20． 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质等知识，由直线平行得出三角形相似，根据相似三角形的对应高的比等于相似比列式计算即可，熟练运用三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【详解】解： ， ． 21．(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】 本题是正方形、全等三角形、一元二次方程等有关知识的综合考查． （1）根据题意用含字母的式子表示出相应的边长，即可求出答案； （2）构造全等三角形实现三角形边的等量代换，从而即可证明； （3）由题意得出三角形相似，从而列出比例式，化简得一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式即可得出答案． 【详解】（1） 解：四边形是正方形，，， ，， ，， ，， ， ，， ，， ； （2） 证明：过点作交于点， 四边形是正方形， ，， ，， ， ， 又， ， ， ， ， 即． ， ； （3） 当时，在与中， ， ， 即， 整理得：， 方程的判别式， 当时，，方程有两个解，此时，边上存在两点，即线段上有两个点使得； 当时，，方程有唯一解，此时，边上有唯一一点，即线段上有一个点使得； 当时，，方程无解，此时，边上不存在点，即线段上不存在点使得． 综上所述：当时，线段上有两个点使得； 当时，线段上有一个点使得； 当时，线段上不存在点使得． 【点睛】 本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的判定和性质、一元二次方程根的判别式等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 22．河宽为 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，正确作出辅助线、构造相似三角形成为解题的关键． 如图：过点A作于点M，交于点N，易证可得，由意义可得，代入可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：过点A作于点M，交于点N， ∵， ∴， ， ∴ ∵， ∴，解得：， ∴． 答：河宽为． 23．(1)； (2)证明见解析部分； (3)． 【分析】（1）如图1中，连接．求出，，可得结论； （2）如图2中，连接，延长到，使得，在上取一点，使得，连接．证明，推出，再证明，推出，可得结论； （3）如图3中，在上取一点，使得，连接．，过点作于点．证明，推出，推出，推出，由，推出当点与重合时，的值最小，求出，，，可得结论． 【详解】（1）解：如图1中，连接． ，， 是等边三角形， ，， ，， ，，， ， ； （2）证明：如图2中，连接，延长到，使得，在上取一点，使得，连接． ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， ，， ， ， ； （3）解：如图3中，在上取一点，使得，连接．，过点作于点． ， ，， ， 点在上运动，设交圆弧于点，连接． ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 当点与重合时，的值最小， ， ， ， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 24．（1）9，（2）见解析，（3）25或73 【分析】（1）证明△AED，△BEF，△DFC都是等腰直角三角形即可解决问题． （2）如图2中，连接BD．取EC的中点O，连接OD，OB．证明E，B，C，D四点共圆，可得∠DCE＝∠ABD即可解决问题． （3）有两种情况： ①如图3中，E在边AB上时，连接AF．设AE＝x，FB＝y，EB＝m，由S△AEF＝•AE•FB＝3，推出xy＝6，由AD∥FB，推出，推出，可得xy＝3m，推出6＝3m，推出m＝2，可得EB＝2，AE＝4，再利用勾股定理求出DE，DC即可解决问题． ②E在AB的延长线上时，同理可得结论． 【详解】解：（1）如图1中， ∵AD∥BC，AB⊥BC， ∴∠ABC＝∠A＝90°， ∵AE＝EB＝3，AD＝3， ∴AD＝AE， ∴∠AED＝∠ADE＝∠BEF＝∠F＝45°， ∴ ∵DF⊥DC， ∴∠FDC＝90°， ∴∠C＝∠F＝45°， ∴ ∴ ∴BC＝CF﹣BF＝12﹣3＝9． （2）如图2中，连接BD．取EC的中点O，连接OD，OB． ∵∠EBC＝∠EDC＝90°，EO＝OC， ∴OD＝OE＝OC＝OB， ∴E，B，C，D四点共圆， ∴∠DCE＝∠ABD， ∵tan∠ABD＝tan∠DCE＝ ∴CD＝2DE； （3）①当E在边AB上时，如图3，连接AF． 设AE＝x，FB＝y，EB＝m， ∵ ∴xy＝6， ∵AD∥FB， ∴ ∴ ∴xy＝3m， ∴6＝3m， ∴m＝2， ∴EB＝2，AE＝4， 在Rt△AED中，DE＝5， 在Rt△DEC中，∵tan∠DCE＝ ∴DC＝10， ∴ ②当点E在AB的延长线上时，如图4，同法可得AE＝8， ∴ ∴ 综上所述，△DEC的面积为25或73． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，四点共圆，平行线的性质，勾股定理，三角形的面积，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用四点共圆解决问题，属于中考压轴题． 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