4.6利用相似三角形测高同步练习 2024—2025学年北师大版数学九年级上册

4.6利用相似三角形测高 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一百五十寸，立一标杆，长一十五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一百五十寸，同时立一根一十五寸的小标杆，它的影长五寸，则竹竿的长为（    ） A．寸 B．寸 C．寸 D．寸 2．如图，已知△ABC中，∠B＝α，∠C＝β，（α＞β）AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，则∠DAE的度数为（　　） A．α﹣β B．2（α﹣β） C．α﹣2β D．（α﹣β） 3．某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2米，则这个坡面的坡度为（ ） A．1：2 B．1：3 C．1： D．：1 4．如图，已知等边△ABC外有一点P，P落在∠BAC内，设P到BC、CA、AB的距离分别为h1，h2，h3，满足h2+h3﹣h1＝6，那么等边△ABC的面积为（　　） A．4 B．8 C．9 D．12 5．如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为3，宽为1，A、B两点在网格格点上．若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为3，则满足条件的点C有（　　） A．4个 B．7个 C．9个 D．10个 6．彭老师身高，在某一时刻测得她站在阳光下的影子长为，紧接着她把手臂竖直举起，测得影子长为，那么彭老师举起的手臂超出头顶的长度为（    ） A． B． C． D． 7．是的高，，，则的度数为( ) A． B． C． D．或 8．在边长为 1 的小正方形组成的网格中,有如图  所示的 A．B 两点,在格点中任 意放置点 C,恰好能使△ABC 的面积为 1,则这样的 C 点有 (       )个 A．5 个 B．6 个 C．7 个 D．8 个 9．△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高AD=12，则BC的长为（      ） A．25 B．7 C．25或7 D．14或4 10．在中，点分别在上，且与相交于点，已知的面积为10，的面积为20，的面积为16，则四边形区域的面积等于（    ） A．22 B．24 C．36 D．44 11．如图，AD，CE是△ABC的两条高，已知AD=10，CE=9，AB=12，则BC的长是（　　）    A．10 B．10.8 C．12 D．15 12．已知：如图，小华在打羽毛球时，扣球要使球恰好能打过网，而且落在离网前4米的位置处，则球拍击球的高度h应为（　　） A．1.55m B．3.1m C．3.55m D．4m 二、填空题 13．等腰三角形腰上的高与腰的夹角为47°，则这个三角形的顶角为 ． 14．如图，在△ABC中，，，，，，则CE的长为 ． 15．如图所示，在△ABC中，AB=AC，BD=DC，DE∥AB交AC于点E，BF⊥AC于F，交AD于P，PM⊥AB于M，下面五个结论中，正确的有 ．（只填序号） ①PM=PF；②S△ABD=2S△DCE；   ③四边形AMPF是正方形；   ④∠BPD=∠BPM；⑤． 16．如图所示，某种品牌小轿车左右两个参照点A和F的距离为米，这两个参照点到地面的距离米，若驾驶员的眼睛点P到地面的距离米，则驾驶员的视野盲区的长度为 米．    17．如图，阳光通过窗口照到室内，在地面上留下1.6m宽的亮区DE ， 已知亮区一边到窗下的墙脚距离CE=3.6m，窗高AB=1.2m，那么窗口底边离地面的高度BC= m． 三、解答题 18．小强在地面E处放一面镜子，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时EA＝25米，CE＝2.5米．已知眼睛距离地面的高度DC＝1.6米，请计算出教学楼AB的高度．（根据光的反射定律，反射角等于入射角） 19．如图，点，，都落在网格的格点上． （1）写出点，，的坐标； （2）求的面积： （3）把先向左平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度，得，画出． 20．每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B的位置，被遮挡部分的水平距离为的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A的影子D到点C的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设的长为x米，的长为y米． 测量数据（精确到0.1米）如表所示： 直杆高度 直杆影长 的长 第一次 1.0 0.6 15.8 第二次 1.0 0.7 20.1 (1)由第一次测量数据列出关于x，y的方程是______，由第二次测量数据列出关于x，y的方程是______； (2)该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得，则钟楼的高度约为______米． 21．景区有一口水井，距离井边米处是最深的井底，小明想知道井有多深，于是走进观察，在距离井边米处刚好能看见井底，如果小明眼睛离地面的高度米，你能计算出水井的深度吗？ 22．如图，晓波拿着一根笔直的小棍，站在距某建筑物约30米的点N处（即米），把手臂向前伸直且让小棍竖直，，晓波看到点B和建筑物顶端D在一条直线上，点C和底端E在一条直线上．已知晓波的臂长约为60厘米，小棍的长为24厘米，，，．求这个建筑物的高度． 23．在中，，，．如图1，若时，根据勾股定理有． （1）如图2，当为锐角三角形时，类比勾股定理，判断与的大小关系，并证明； （2）如图3，当为钝角三角形时，类比勾股定理，判断与的大小关系，并证明； （3）如图4，一块四边形的试验田，已知，米，米，米，米，求这块试验田的面积． 24．如图，中，，是上的高，平分． （1）若，，求与的度数． （2）聪明的你再取两组和的度数，算一算，想一想，请直接写出求、、之间的关系，你的结论是______．（不必写出证明过程） 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A D C A D B C D 题号 11 12 答案 B B 1．B 【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论． 【详解】解：设竹竿的长度为x寸，  竹竿的影长=150寸，标杆长=15寸，影长=5寸，  , 解得：． 答：竹竿长为450寸，  故选：B． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键． 2．D 【分析】先将∠BAC用α和β表示出来,再算出∠EAC,在直角三角形中利用两锐角互余的性质解出∠DAE即可. 【详解】解：∵在△ABC中，∠B＝α，∠C＝β， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣α﹣β， ∵AE是∠BAC的平分线， ∴∠EAC＝∠BAC＝90°﹣（α+β）， 在直角△ADC中，∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣β， ∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝90°﹣β﹣90°+（α+β）＝（α﹣β）， 故选：D． 【点睛】本题考查直角三角形中的角度计算,关键在于正确利用角平分线和直角三角形两锐角互余的性质. 3．A 【详解】试题分析：根据坡面距离和垂直距离，利用勾股定理求出水平距离，然后求出坡度． 解：水平距离==4， 则坡度为：2：4=1：2． 故选A． 考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 4．D 【分析】设等边三角形ABC的边长为，可求S△ABC=，连结PA、PB、PC，可求S△ABP=，S△ACP=，S△BCP=，利用面积差可求S△ABC= S△ABP + S△ACP - S△BCP，利用同一个三角形面积构造方程=，解方程求出即可解决问题． 【详解】解：设等边三角形ABC的边长为， ∴S△ABC=， 连结PA、PB、PC， ∵S△ABP=，S△ACP=，S△BCP=， ∴S△ABC= S△ABP + S△ACP - S△BCP =+-=， ∴=， 解得（舍去）， S△ABC． 故选择：D． 【点睛】本题考查等边三角形面积，掌握三角形面积公式，利用面积差求出△ABC的面积，构造方程是解题关键． 5．C 【分析】根据三角形的面积与底和高的关系进行分析即可. 【详解】解：如图，满足条件的点C共有9个．标注来的七个加C4斜右上方的两个点 故选C． 【点睛】考核知识点：三角形的面积与底和高的关系.理解公式是关键. 6．A 【分析】此题考查相似三角形的应用，能够根据同一时刻物高与影长成比例，列出正确的比例式，然后根据比例的基本性质进行求解即可． 【详解】解：解：设彭老师举起的手臂超出头顶是，根据同一时刻物高与影长成比例，得， 解得：． 故选：A． 7．D 【分析】分高AD在△ABC内部和外部两种情况讨论求解即可． 【详解】①如图1，当高AD在△ABC的内部时， ∠BAC=∠BAD+∠CAD=80°+20°=100°； ②如图2，当高AD在△ABC的外部时， ∠BAC=∠BAD-∠CAD=80°-20°=60°， 综上所述，∠BAC的度数为100°或60°． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的高线，难点在于要分情况讨论． 8．B 【分析】按照题意分别找出点C所在的位置：当点C与点A在同一条网格直线上时，AC边上的高为1，AC=2，找到符合的C点，当点C与点B在同一条网格直线上时，BC边上的高为1，BC=2，找到符合的C点，即可得出一共的点个数. 【详解】如图所示： 按照题意分别找出点C所在的位置：当点C与点A在同一条网格直线上时，AC边上的高为1，AC=2，符合条件的点C有4个，为C1、C2、C3、C4；当点C与点B在同一条网格直线上时，BC边上的高为1，BC=2，符合条件的点C有2个，为C5、C6，则一共有6个，故选B. 【点睛】本题主要考查网格中三角形的面积，一定要找完所有符合条件的C点. 9．C 【分析】已知三角形两边的长和第三边的高，未明确这个三角形为钝角还是锐角三角形，所以需分类讨论，即∠ABC是钝角还是锐角，然后利用勾股定理求解． 【详解】（1）如图1，△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上高AD=12， 在Rt△ABD中：AB=15，AD=12，由勾股定理得 ， 在Rt△ADC中AC=20，AD=12，由勾股定理得 ， ∴BC的长为：． 如图2，△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上高AD=12， 在Rt△ABD中AB=15，AD=12，由勾股定理得 ， 在Rt△ACD中AC=20，AD=12，由勾股定理得 ， ∴BC的长为：． 综上所述，BC的长为：25或7． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解决问题的关键是在直角三角形中用勾股定理求得线段的长．当已知条件中没有明确角的大小时，要注意分类讨论． 10．D 【分析】连接AF，设S△ADF=m，根据题中条件可得出三角形的面积之比与边长之比的关系，进而用m表示出S△AEF，S△ABF，进而得到关于m的方程，即可求出m的值，进而可得四边形的面积． 【详解】连接AF，设S△ADF=m， ∵S△BDF：S△BCF=10：20=1：2=DF：CF， ∴2m=S△AEF+S△EFC， ∴S△AEF=2m−16， ∵S△BFC：S△EFC=20：16=5：4=BF：EF， ∴S△ABF：S△AEF=BF：EF=5：4， ∵S△ABF=m+S△BDF=m+10， ∴S△ABF：S△AEF=BF：EF=5：4=(m+10)：(2m−16)， 解得：m=20． ∴S△AEF=2×20−16=24， S四边形ADEF=S△AEF+S△ADF=24+20=44． 故选D．    【点睛】本题主要考查三角形的面积，掌握高相同的两个三角形的面积之比等于底边长之比，是解题的关键． 11．B 【详解】∵AD，CE是△ABC的两条高，AD=10，CE=9，AB=12， ∴△ABC的面积=×12×9=BC⋅AD=54， 即12BC⋅10=54，解得BC=10.8. 故选B. 12．B 【分析】根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即DE∥BC可知，△ADE∽△ACB，根据其相似比即可求解． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ACB， 即， 则， ∴h＝3.1m． 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质． 13．43°或137° 【分析】由于已知条件没有明确这条高在三角形内部还是外部两种情况进行分析． 【详解】解：当高在内部时，顶角=90°-47°=43°； 当高在外部时，得到顶角的外角=90°-47°=43°， 则顶角=137°． 故答案为：43°或137°． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理及三角形外角性质的运用；分类讨论的应用是正确解答本题的关键． 14． 【分析】根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】∵，， ∴， 即， 解得：CE=， 故答案是： 【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，掌握面积公式，是解题的关键． 15．①②⑤ 【详解】解：①∵在△ABC中，AB=AC，BD=DC，∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC,∵BF⊥AC,PM⊥AB，∴PM=PF，故正确；②∵BD=DC，∴S△ABD=S△ACD，∵DE∥AB，∴E是AC的中点，所有S△ABD=S△ACD=2S△DCE，故正确；③∵∠BAC不一定为直角，∴四边形AMPF不一定是正方形，故错误；④∵BF不是角平分线，∵∠ABP≠∠DBP，∵∠BMP=∠BDP=90°，所有∠BPM≠∠BPD，故错误；⑤∵∠AMP=∠BDP=90°，又∵∠APM=∠APF=∠BPD,∴△APM∽△BPD，∴，故正确. 16．9 【分析】本题考查视点、视角和盲区，相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明，推出，由此求解即可． 【详解】解：设与交于， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：9．    17．1.5 【详解】解：∵光是沿直线传播的， ∴BD∥AE， ∴△CBD∽△CAE， 解得BC=1.5m． 18．教学楼AB的高度为16米 【分析】根据反射角等于入射角可得∠AEB＝∠CED，则可判断Rt△AEB∽Rt△CED，根据相似三角形的性质得，即可求出AB． 【详解】解：根据题意得∠AEB＝∠CED，∠BAE＝∠DCE＝90°， ∴Rt△AEB∽Rt△CED， ∴，即 解得：AB＝16（米）． 答：教学楼AB的高度为16米． 【点睛】此题考查了相似三角形的实际应用，利用入射角与反射角相等得到相似三角形是解题关键． 19．（1）点，，的坐标分别是，，；（2）3；（3）见解析 【分析】（1）根据点，，所在位置直接写出的坐标即可； （2）先求出BC，点A到BC边的距离，利用面积公式BC边上的高求即可； （3）先求A′（-4，-4），B（-3，-2），C（0，-2）三点坐标，再描出A′、B′、C′三点坐标，连结A′B′、B′C′、C′A′即可． 【详解】解：（1）点，，的坐标分别是，，； （2）BC=4-1=3，点A到BC边的距离为：3-1=2， ∴BC边上的高= ； （3）先把A、B、C三点向左平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到A′（-4，-4），B（-3，-2），C（0，-2）三点坐标，再描出A′、B′、C′三点坐标，连结A′B′、B′C′、C′A′， 则为所求如图所示． 【点睛】本题考查点的坐标，三角形面积，平移性质，掌握点的坐标，三角形面积，平移性质，作图先平移点，再连线得图是解题关键． 20．(1)， (2)43 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由同一时刻测量，得到是本题的关键． （1）由同一时刻测量，可得，分别代入第一次测量、第二次测量的数值，可得其关于、的方程； （2）已经求得，将代入任一个方程，可求得的值，即得钟楼的高度． 【详解】（1）由同一时刻测量，可得， 第一次测量：，化简得，， 第二次测量：，化简得，， 故答案为：，； （2）对于，代入， 得，， 解得：， 钟楼米， 故答案为：43． 21．10米 【分析】本题考查的是相似三角形的应用举例，先证明，可得，从而可得答案； 【详解】解：， ， ， ， ， ， 米． 22．这个建筑物的高度为12米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题的关键．过点A作，交于点F，垂足为G，根据，得到，根据相似三角形的性质列方程并求解，即得答案． 【详解】如图，过点A作，交于点F，垂足为G， 由题意，得厘米米，米，厘米米， ， ， ， ， 米． 答：这个建筑物的高度为12米． 23．（1）猜想： ，证明见解析；（2）猜想：，证明见解析；（3）四边形ABCD的面积是米2． 【分析】（1）先作高线如图2，过点作于点，构造两个直角三角形，设，则，由勾股定理和AD构造等式 ，利用放缩法可得    （2）先作高线如图3，过点作，交的延长线于点，构造两个直角三角形设，则，利用勾股定得，整理得，利用放缩法 （3）如图4，连接．过点作于点E，由勾股定理求出 设，则EC=100-x，由勾股定理构造方程，解方程的，再求出DE，利用分割法求面即可 【详解】解：（1）猜想： ， 证明：如图2，过点作于点，设，则， 在Rt中，有,     在Rt中，有 ， ∴    ，         解之：， ∵均为正数，∴ ； （2）猜想： 证明：如图3，过点作，交的延长线于点，设，则， 在Rt中，有， 在Rt中，有 ， ∴， 解之：， ∵均为正数，∴ ； （3）如图4，连接． 在Rt中，有， ∴， ∵，∴ ， 过点作于点E， 设，则EC=100-x， 在Rt中，有，即， 在Rt中，有，即 ， ∴， 解之：， 在Rt中，有， ∴DE=（取正）， ∴DE=， ∴， =， =（米2）， ∴四边形ABCD的面积是米2． 【点睛】本题考查作高线，勾股定理，利用勾股定理推出锐角三角形，钝角三角形结论，用分割法求四边形面积，掌握高线最烦，利用勾股定理构造方程，判读锐角三角形与钝角三角形，利用分割法四边形求面是解题关键． 24．（1），；（2） 【分析】（1）根据三角形内角和等于180°可求∠BAC的度数为180°-75°-45°=60°，又根据AE平分∠BAC可求∠BAE的度数，在△ABE中又可求∠AED的度数，根据平角的定义可求角AEC的度数，在三角形ADE中又可求角DAE的度数，即可求出答案． （2）再取两组和的度数，，利用（1）的方法求出的度数，即可求出答案． 【详解】解：（1）在△ABC中 ∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-75°-45°=60° 因为AE平分∠BAC 所以∠BAE=60°÷2=30° 在△ABE中∠AEB=180°-∠B-∠BAE=180°-75°-30°=75° 所以∠AEC=180°-75°=105° 在△ADE中，AD是BC上的高， 所以∠DAE=180°-75°-90°=15°； （2）①∠B=65°，∠C=45° 在△ABC中 ∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-65°-45°=70° 因为AE平分∠BAC 所以∠BAE=70°÷2=35° 在△ABE中∠AEB=180°-∠B-∠BAE=180°-65°-35°=80° 在△ADE中，AD是BC上的高， 所以∠DAE=180°-80°-90°=10°； ②∠B=60°，∠C=30° 在△ABC中 ∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-60°-30°=90° 因为AE平分∠BAC 所以∠BAE=90°÷2=45° 在△ABE中∠AEB=180°-∠B-∠BAE=180°-60°-45°=75° 在△ADE中，AD是BC上的高， 所以∠DAE=180°-75°-90°=15° ∴、、之间的关系是：． 【点睛】本题综合考查三角形内角和定理和三角形的角平分线、高，解题的关键是根据三角形的内角和是180°，分别求出各个角的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$