专题强化06：一元一次方程的实际问题和几何问题【12大题型 培优】-2024-2025学年七年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版2024）

专题强化06：一元一次方程的实际问题和几何问题 【题型归纳】 · 题型一：配套问题 · 题型二：工程问题 · 题型三：销售盈亏 · 题型四：行程问题 · 题型五：比赛积分 · 题型六：方案选择 · 题型七：数字问题 · 题型八：古代问题 · 题型九：和差倍分问题 · 题型十：电费和水费问题 · 题型十一：日历问题 · 题型十二：几何问题 【题型探究】 题型一：配套问题 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）列一元一次方程解决实际问题（两问均需用方程求解） 第九届亚洲冬季运动会于2025年在中国黑龙江省哈尔滨市举行，而有着少数民族风格的“滨滨”“妮妮”吉祥物盲盒颇受大众关注．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人． (1)若该工厂生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少200人，请求出生产盲盒B的工人人数； (2)为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成．已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？ 2．（23-24七年级上·安徽·期末）某工厂一车间有名工人，其中男生人数比女生人数的倍少人，某月接到加工甲、乙两种零件的工作任务，每个工人每天能加工个甲种零件或个乙种零件.已知，个甲种零件和个乙种零件可以组装成一个丙种零件． (1)该车间男、女生各有多少人？ (2)该车间分别安排多少工人加工甲种零件和乙种零件，能使得每天加工的甲、乙两种零件恰好能全部组装成丙种零件？ 题型二：工程问题 3．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程，已知甲工程队每天的挖掘长度是乙工程队每天挖掘长度的1.5倍，若甲、乙两工程队一起挖掘200米长度的隧道时，共用时间4天． (1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米？ (2)已知该段隧道挖掘工程为600米，甲工程队每天的挖掘费用为6万元，乙工程队每天的挖掘费用为3万元．若安排甲工程队先单独挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程队单独完成，总费用刚好102万元，求甲工程队应先单独挖掘多少天？ 4．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期中）一项工程，若请甲、乙两个工程队合作，则需6周完成，需要施工费万元；若先请甲工程队单独做4周后，剩下的请乙工程队来做，则还需要9周完成，需要施工费万元． (1)甲、乙两个工程队单独修路分别需要多少周完成？ (2)请甲、乙两个工程队工作一周需要施工费分别为多少万元？ (3)若只请一个工程队单独做，使该工程的施工费用低，应该选择甲工程队还是乙工程队？ 题型三：销售盈亏 5．（23-24七年级上·河南郑州·期末）元旦期间，某运动品牌服装店推出两种优惠活动，并规定一次结账只能选择其中一种． 活动一：所购商品按原价打八折； 活动二：所购商品按原价每满200元减60元．（如：所购商品原价为200元，可减60元，需付款140元；所购商品原价为450元，可减120元，需付款330元） (1)购买一件原价为350元的服装时，选择哪种活动更合算？请说明理由； (2)购买一件原价在400元以下的服装时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求这件服装的原价； (3)小王准备买一件标价460元的上衣和标价320元的运动鞋，请你设计最优惠的付款方法，并求出最优惠的付款金额． 6．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）某商场购进了A、B两种商品，其中A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，购进A种商品3件与购进B种商品4件的进价相同． (1)求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)该商场购进了A、B两种商品共100件，所用资金为6900元，出售时，A种商品按标价出售每件的利润率为25%，B种商品按标价出售每件可获利10元．若按标价出售A、B两种商品，则全部售完商场共可获利多少元？ 题型四：行程问题 7．（23-24七年级下·浙江舟山·期末）许多人选择晨跑作为锻炼身体的一种方式，某日小明与小红戴着智能运动手表相约在舟山滨海大道上晨跑，从相同的起点匀速跑向相同的终点，请提取以下相关信息并解决问题． 信息一：两人佩戴某款智能运动手表中的若干数据如下： 小明出发时刻 智能手表数据 小明结束时刻 智能手表数据 小红出发时刻 智能手表数据 小红结束时刻 智能手表数据 时刻（） 步数（步） 心率（次/分钟） 时刻（） 步数（步） 心率（次/分钟） 时刻（） 步数（步） 心率（次/分钟） 时刻（） 步数（步） 心率（次/分钟） 信息二：小明每步比小红每步多跑米，小明每分钟比小红多跑步，请根据以上信息完成下列解答． (1)起点与终点的距离为多少米？ (2)跑步结束他们相约去吃早饭，请问小明要在终点处等小红多少分钟？ (3)周日，小明和小红继续以信息一和信息二中的跑步速度进行跑步健身，相约在智能运动手表中设置运动时间为整数分钟后跑步结束．此时发现智能运动手表中，显示两人跑步的步数之和恰为步，则小明与小红的运动时间各是多少分钟？ 8．（23-24七年级上·广西梧州·期末）一天，某客运公司的甲、乙两辆客车分别从相距380千米的A、B两地同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶，两车行驶2小时时甲车先到达服务区C地，此时两车相距20千米，甲车在服务区C地休息了20分钟，然后按原速度开往B地；乙车行驶2小时15分钟时也经过C地，未停留继续开往A地．（友情提醒：画出线段图帮助分析） (1)乙车的速度是多少千米/小时？B、C两地的距离是多少千米？ (2)这一天，乙车出发多长时间，两车相距200千米？ 题型五：比赛积分 9．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校组织学生参加2022年冬奥知识问答，问答活动共设有20道选择题，每题必答，每答对一道题加分，答错一道题减分，下表中记录了三名学生的得分情况： 参赛学生 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 18 2 86 C 15 5 65 请结合表中所给数据，回答下列问题： (1)本次知识问答中，每答对一题加______分，每答错一题减______分； (2)若小明同学答对16题，请计算小明的得分； (3)若小刚同学参加了本次知识问答，下列四个选项中，哪一个可能是小刚的得分_____（填写选项）； A．75；B．63；C．56；D．44 并请你计算他答对了几道题，写出解答过程，（列一元一次方程解决问题） 10．（23-24七年级上·广东江门·期末）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答． 如下表记录了3个参赛者的得分情况． (1)由表可知： 参赛者 答对题数 答错题数 总得分 甲 20 0 100 乙 19 1 94 丙 14 6 64 答对1题得 分，答错1题得 分； (2)参赛者丁得88分，她答对了几道题？ (3)参赛者戊说他得了80分． 你认为可能吗？为什么？ 题型六：方案选择 11．（24-25七年级上·山西晋城·阶段练习）当今社会，随着生活水平的提高，人们越来越重视自己的身心健康，开始注重锻炼身体．某公司计划购买50个羽毛球拍和个羽毛球，某体育用品商店每个羽毛球拍定价80元，每个羽毛球定价5元，经协商拟定了如下两种优惠方案（两种优惠方案不可混用）： 方案一：每买一个羽毛球拍就赠送2个羽毛球； 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的付款． (1)若，请计算哪种方案划算； (2)若，请用含的代数式分别把两种方案的费用表示出来； (3)请你帮助公司写出取值不同时的所有划算的购买方案． 12．（23-24六年级下·吉林长春·期末）某网店销售一种羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每副定价150元，羽毛球每筒定价15元．“双11”期间，该网店决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一副球拍送两筒球； 方案二：球拍和球都打九折销售． 现某客户要在该网店购买球拍10副，球筒． (1)若该客户按方案一购买，需付款 元；（用含的代数式表示） 若该客户按方案二购买，需付款 元；（用含的代数式表示） (2)当取何值时，两种方案价钱一样多？ (3)当时，你能给出一种最为省钱的购买方案吗？通过计算说明理由． 题型七：数字问题 13．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）把从1开始的连续的奇数排成如图所示的数阵，规定从上到下依次为第1行、第2行、第3行、…，从左到右依次为第1列、第2列、第3列、… (1)①数阵中排在第7行第1列的数是_______； ②2025在数阵中排在第_______列，数阵中排在第行第5列的数可用表示为_______ (2)按如图所示的方式，用一个“”形框框住四个数，设被框的四个数中最小的数为，是否存在这样的，使得被框住的四个数的和为1948？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)数阵中用一个“”形框框住的四个数的和记为“”，直接写出的最大值与最小值的差是_______． 14．（24-25七年级上·广东广州·期中）如图所示的是2024年11月的月历，“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“U型”覆盖的五个数字之和为，“十字型”覆盖的五个数之和为， (1)“U型”中最小的数为11，则最大的数为 ； (2)的值可以是80吗？请说明理由； (3)若，求的最大值． 题型八：古代问题 15．（23-24七年级上·江西南昌·期末）自西汉张骞出使西域以来，丝绸之路作为中国和国外进行商贸往来和文化交流的商道，繁荣发展了十几个世纪．中国古代数学也经由丝绸之路进行传播，其中刘徽所著《九章算术》中“盈不足术”有一题，原文如下：“今有羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5元，还差45元；每人出7元，则还差3元，求人数和羊价各是多少？ 16．（23-24七年级上·福建南平·期末）我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客空一房．”诗的后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间房住9人，那么就空出一间房． (1)列方程解答下面问题：该店有客房多少间？到了多少房客？ (2)假设李三公将客房进行改造后，房间数大大增加，每间房收25钱，且每间房最多入住4人，一次性订房少于10间，不予优惠；不低于10间但低于20间，给予九折优惠；等于20间或是超过20间的，给予七折优惠．若诗中的“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？说明理由． 题型九：和差倍分问题 17．（23-24七年级上·福建福州·期末）如表是学习一元一次方程应用时老师板书的问题和两名同学所列的方程： 6.2  一元一次方程 问题：我校体育室里篮球数是排球数的2倍多2个，篮球数比排球数多16个，求体育室里的篮球数和排球数． 小明： 小红： (1)小明同学所列的方程中的表示______，相等关系为______．小红同学所列的方程中的表示______，相等关系为______． (2)两个方程任选一个回答老师的问题． 18．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）习近平总书记说“要在学生中弘扬劳动精神，教育引导学生崇尚劳动、尊重劳动，懂得劳动最光荣、劳动最崇高、劳动最伟大、劳动最美丽的道理，长大后能够辛勤劳动、诚实劳动、创造性劳动．”某校为响应号召积极开展劳动教育，学期初成立了土豆种植组和胡萝卜种植组两个小组．现收获5筐土豆和5筐胡萝卜，以每筐为标准，超过部分的质量用“＋”表示，不足部分的质量用“－”表示，记录如下表： 与标准质量的差值（单位：） 0 0.1 0.15 筐数 1 2 2 1 1 3 (1)求这10筐蔬菜的总质量； (2)已知土豆种植组原有学生13人，胡萝卜种植组原有学生15人，现又有20人想加入这两个种植组，若使土豆种植组的人数是胡萝卜种植组的2倍，这两组各应招人多少人？ 题型十：电费和水费问题 19．（24-25七年级上·全国·期中）某市出租车收费标准是：起步价10元，可乘；到时，超过的部分按元的标准收费；超过时，超过的部分按2元的标准收费．（不足的按计算） (1)若某人乘坐了的路程，则他应支付的费用为 ； (2)若某人乘坐了x（的整数）千米的路程，则他应支付的费用为 ； (3)若某人乘坐出租车共花了15元，问出租车行驶了多少公里？ 20．（24-25七年级上·四川成都·期中）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市民居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 超过17吨但不超过30吨的部分 b 超过30吨的部分 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量：②水费=自来水费用+污水处理费） 已知小王家2024年7月用水16吨，交水费元．8月份用水25吨，交水费元． (1)求a、b的值． (2)如果小王家9月份用水36吨，求小王家这个月上交水费多少元？ 题型十一：日历问题 21．（24-25七年级上·北京·期中）下图是2023年10月的月历，观察月历，回答问题： (1)小明国庆假期外出旅行三天，三天日期之和是12，小明是星期几出发的？ (2)“S型”这个阴影图形覆盖四个方格，设“S型”阴影覆盖的最小数字为m，四个数字之和为S，2023年是建国74周年，S的值能否等于74？若能，求m的值；若不能，说明理由； 22．（24-25七年级上·福建福州·期中）如图是2024年1月的日历表； 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (1)在表中用优美的形框“”框住五个数，其中最小的数为1，求形框中的五个数字之和； (2)在表中移动形框的位置，若形框框住的五个数字之和为68，求这五个数字中最大的数． 题型十二：几何问题 23．（24-25七年级上·广东深圳·期中）数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．如图将一条数轴在原点O，点B，点C，点D处各折一下，得到一条“坡面数轴”．图中点A表示，点B表示8，点C表示16，点D表示24，点E表示28．我们称点A和点E相距36个单位长度，动点P从A从出发，以每秒4个单位的速度沿着“坡面数轴”的正方向移动，同时，动点Q从E出发以每秒3个单位的速度沿着“坡面数轴”的负方向移动，两个点上坡时候的速度均是各自初始速度的一半，下坡时候的速度均是各自初始速度的2倍，平地则保持初始速度不变．当点P运动至点E时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．问： (1)动点P从点A运动到E点需要　　　秒，此时点Q对应的数是　　　； (2)P，Q两点在点M出相遇，求出相遇点M所对应的数是多少? (3)当P，B两点在这个上数轴上相距的长度与Q，D两点在这个数轴上相距长度相等时，直接写出此时t的值． 24．（24-25七年级上·天津·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律．如数轴上点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离表示为． 【综合运用一】如图，数轴上点E表示为，点F表示为2． （1）线段的长度是______． （2）若x表示任意一个有理数．利用数轴回答下列问题： ①当，则______． 式子是否存在最小值？若不存在，请说明理由；若存在，请直接说出x的取值范围，并化简求出最小值？ 【综合运用二】已知点A、B、C为数轴上三个点，表示的数分别是a，b，c，满足，且a为的倒数． （1）______，______，______； （2）若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度．设运动的时间为t秒（）． ①用含t的式子表示：t秒后，点P表示的数为______，点Q表示的数为______； ②当时，求t的值． （3）在（2）的条件下，P、Q出发的同时，动点M从点C出发沿数轴正方向运动，速度为每秒5个单位长度，点M追上点Q后立即返回沿数轴负方向运动．求点M追上点Q后再经过几秒，？ 【专题强化】 25．（24-25七年级上·上海·期中）某地光纤上网有两种收费方式，用户可以任选其一． A：计时制：元/分，B：包月制：50元/月，每一种上网时间都要再收取通信费元/分 (1)某用户某月上网时间为x小时，请写出两种收费方式下该用户应该支付的费用． (2)用户选哪一种收费方式更合算？ 26．（24-25七年级上·天津·期中）一项工程，甲队单独做需18天，乙队单独做需24天，如果两队合作8天后，余下的工程再由甲队单独完成． (1)甲队还需多少天才能完成这项工程？ (2)若甲队每天的酬劳为2000元，乙队每天的酬劳为1500元，问完成这项工程共需支付两队多少钱？ 27．（24-25七年级上·安徽六安·期中）小明是个爱钻研的学生，遇到问题总是要一探究竟．现在他将形状、大小完全相同的两个长方形纸板放在数轴上（如图）． (1)一个长方形纸板的面积是_________； (2)小明将左边的长方形以每秒钟1个单位的速度沿着数轴向右移动，设移动时间为秒． ①他发现，在移动的过程中，有一段时间两个长方形重叠部分面积保持不变，那么两个长方形重叠部分面积保持不变的时间有多长？ ②当两个长方形重叠部分面积等于长方形面积一半时，求的值． 28．（24-25七年级上·云南曲靖·期中）已知一块A型纸板可以制成1个C型正方形纸板和2个D型长方形纸板，一块B型纸板可以制成2个C型正方形纸板和1个D型长方形纸板，现有A、B两种纸板共20块，设A型纸板有x块（x为正整数） (1)求总共可以制成多少个C型正方形纸板（用含有x的式子表示） (2)出售一个C型正方形纸板可以获利10元，出售1个D型长方形纸板可以获利12元．若将所制成的C型、D型纸板全部售出可以获利650元，求x的值 29．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）七年级四班共有学生48人，其中男生人数比女生人数多2人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底26个 (1)七年级四班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 30．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）如图，数轴上有A，B两点，A，B之间距离为21，原点O在A，B之间，O到A的距离是O到B的距离的两倍． (1)点A表示的数为_____，点B表示的数为_____； (2)点A、点B和点P（点P初始位置在原点O）同时向左运动，它们的速度分别为1，2，2个单位长度每秒，则经过多少秒，点P到点A与点B的距离相等？ (3)点B沿着数轴移动，每次只允许移动1个单位长度，经过8次移动后，点B与原点O相距1个单位长度．满足条件的点B的移动方法共有多少种？ (4)点A和点B同时沿着数轴移动，两点每次均只允许移动1个单位长度．请判断点A和点B经过相同次数的移动后，能否同时到达原点O？如果能，请给出点A和点B各自的移动方法；如果不能，请说明理由． 31．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨亚冬会的某个比赛场馆正在装修，装修后产生的建筑垃圾需要清理．计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要天，乙车队单独运完需要天．乙车队先运了天，然后甲、乙两车队合作运完剩下的垃圾． (1)甲、乙两车队合作还需要多少天运完垃圾？ (2)已知甲车队每天的租金元，比乙车队少元，运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金多少元？ 32．（24-25七年级上·上海宝山·期中）2015年上海出租车收费标准作了新的调整，起步价调整为14元（0到3公里）；超过3公里并且不超过15公里时，超出的部分每公里2.5元；超过15公里时，超出的部分每公里3.6元． (1)小丽打车去外婆家，如果路程是9公里，那么车费是_________元；如果路程是16公里，那么车费是___________元． (2)小丽打车去外婆家，行程公里，（），那么出租车的费用是多少元？（用含的代数式表示）； (3)如果打车的费用为54.8元，那么小丽去外婆家的路程是多少公里？ 33．（24-25七年级上·广东广州·期中）将奇数至按照顺序排成下表： 记表示第行第个数，如表示第行第个数是． (1) ； (2)将表格中的个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的个数之和能否等于．若能，求出个数中的最大数；若不能，请说明理由； (3)用、的式子表示 ； (4)若，求、的值． 34．（24-25七年级上·福建福州·期中）某单位在2月份组织位员工去旅游，联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为3000元/人，两家旅行社同时都对10人以上的团体推出了优惠措施： 甲旅行社给每位员工六折优惠； 乙旅行社是免去一位带队员工的费用，其余员工七折优惠． (1)甲旅行社的费用为________元，乙旅行社的费用为________元；（用含m的代数式表示） (2)若，则该单位选择哪一家旅行社比较优惠？请说明理由； (3)若该单位计划在2月份外出旅游7天，若这七天的日期之和为63的倍数，则他们可能于2月几号出发？（写出所有符合条件的可能性，并写出计算过程） 35．（24-25七年级上·福建厦门·期中）为了鼓励居民节约用电，我省实行阶梯电价政策采取分段计费的方法按月计算每户家庭的电费，每两个月用电量与电费的单价如下表： 档次 电量范围 电费单价 第一档电费 340度及以下 元 第二档电费 341度至520度 元 第三档电费 520度以上 元 比如，若某户两个月用电200度，应缴电费元；若某户两个月用电400度，应缴电费元；若某户两个月用电600度，应缴电费元． (1)小明家1、2月份共用电550度，则小明家这两个月应缴电费多少元？ (2)某用户两个月用电量为度，用式子表示： 当两个月用电量不超过340度时，应收电费 元；当两个月用电量超过340度但不足520度时，应收电费 元；当两个月用电量超过520度时，应缴电费 元． (3)小丽家1、2月份应缴电费元，问小丽家这两个月共用电多少度？ 36．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，点为数轴的原点，点在数轴上表示的数分别为，满足，．动点分别从同时出发，都沿数轴正方向匀速运动，点的运动速度为每秒个单位长度，点的运动速度为每秒个单位长度，点始终在点的右侧． (1)______，______； (2)当为何值时，； (3)若为的中点，求的值． 37．（24-25七年级上·浙江·期中）【阅读】 点是数轴上的三个点，若点到点的距离是点到点的距离的（为正整数）倍，则称点是的倍关联点．如图，数轴上点分别表示数，2和3，因为点到点的距离是3个单位，点到点的距离是1个单位，所以点是的3倍关联点，但点不是的3倍关联点． 【理解】 若点表示的数为1，则点______（填“是”或“不是”）的1倍关联点．点是的______倍关联点． 【应用】 （1）若数轴上点表示的数为，且点是的2倍关联点，求的值． （2）若数轴上有一点，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．当运动秒时，点是的倍关联点，请用含的代数式表示时间．（直接写出答案即可） 38．（24-25七年级上·福建厦门·期中）已知：是关于x的二次三项式，且a、b、c满足．a、b、c所对应的点分别为A、B、C． (1)则________，________． (2)若点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．设运动时间为t秒，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． (3)如图，若将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．我们把在折线数轴上线段、、三段距离的和称为A，C两点间的路程．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向右运动，在上坡段运动期间速度变为原来的一半．点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，在下坡段运动期间速度变为原来的2倍，之后在段又以1个单位长度/秒的速度运动．当点P到达点B时，点P，Q均停止运动．设运动的时间为t秒．在某一时刻，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为8个单位．求出此时t的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化06：一元一次方程的实际问题和几何问题 【题型归纳】 · 题型一：配套问题 · 题型二：工程问题 · 题型三：销售盈亏 · 题型四：行程问题 · 题型五：比赛积分 · 题型六：方案选择 · 题型七：数字问题 · 题型八：古代问题 · 题型九：和差倍分问题 · 题型十：电费和水费问题 · 题型十一：日历问题 · 题型十二：几何问题 【题型探究】 题型一：配套问题 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）列一元一次方程解决实际问题（两问均需用方程求解） 第九届亚洲冬季运动会于2025年在中国黑龙江省哈尔滨市举行，而有着少数民族风格的“滨滨”“妮妮”吉祥物盲盒颇受大众关注．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人． (1)若该工厂生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少200人，请求出生产盲盒B的工人人数； (2)为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成．已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？ 【答案】(1)生产盲盒的工人人数为人． (2)该工厂应该安排名工人生产，名工人生产才能使每天生产的盲盒正好配套． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （）设生产盲盒的工人人数为人，则生产盲盒的工人人数为人，根据该工厂共有名工人，列出一元一次方程，解方程即可； （）设安排人生产盲盒，则安排人生产盲盒，根据盲盒大礼包由个盲盒和个盲盒组成．列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设生产的人数为人，则生产的人数为人， 于是 解得： 答：生产盲盒的工人人数为人． （2）解：设安排人生产，则安排人生产， 于是 解得： （人） 答：该工厂应该安排名工人生产，名工人生产才能使每天生产的盲盒正好配套． 2．（23-24七年级上·安徽·期末）某工厂一车间有名工人，其中男生人数比女生人数的倍少人，某月接到加工甲、乙两种零件的工作任务，每个工人每天能加工个甲种零件或个乙种零件.已知，个甲种零件和个乙种零件可以组装成一个丙种零件． (1)该车间男、女生各有多少人？ (2)该车间分别安排多少工人加工甲种零件和乙种零件，能使得每天加工的甲、乙两种零件恰好能全部组装成丙种零件？ 【答案】(1)男生有，女生有人 (2)安排名工人加工甲种零件，安排名工人加工乙种零件 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程； （1）根据题意设该车间有女生人，则男生有人，列方程求解即可； （2）设该车间安排名工人加工甲种零件，则安排名工人加工乙种零件，根据等量关系建立方程即可求解； 【详解】（1）解：设该车间有女生人，则男生有人， 根据题意得：， 解得：， 则人， 答：该车间男生有，女生有人； （2）设该车间安排名工人加工甲种零件，则安排名工人加工乙种零件， 根据题意得：， 解得：， 则， 答：该车间安排名工人加工甲种零件，安排名工人加工乙种零件，能使得每天加工的甲、乙两种零件恰好能全部组装成丙种零件； 题型二：工程问题 3．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程，已知甲工程队每天的挖掘长度是乙工程队每天挖掘长度的1.5倍，若甲、乙两工程队一起挖掘200米长度的隧道时，共用时间4天． (1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米？ (2)已知该段隧道挖掘工程为600米，甲工程队每天的挖掘费用为6万元，乙工程队每天的挖掘费用为3万元．若安排甲工程队先单独挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程队单独完成，总费用刚好102万元，求甲工程队应先单独挖掘多少天？ 【答案】(1)甲工程队每天可挖掘隧道30米，乙工程队每天可挖掘隧道20米 (2)8天 【分析】本题考查一元一次方程的应用．理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （1）设乙工程队每天可挖掘隧道x米，则甲工程队每天可挖掘隧道米，根据甲、乙两工程队一起挖掘200米长度的隧道，共用时间4天，列方程求解即可； （2）设甲工程队应先单独挖掘y天，则乙工程队单独挖掘天，根据总费用刚好102万元，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙工程队每天可挖掘隧道x米，则甲工程队每天可挖掘隧道米，根据题意，得 解得： ∴ 答：甲工程队每天可挖掘隧道30米，乙工程队每天可挖掘隧道20米． （2）解：设甲工程队应先单独挖掘y天，则乙工程队单独挖掘天，根据题意，得 解得： 答：甲工程队应先单独挖掘8天． 4．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期中）一项工程，若请甲、乙两个工程队合作，则需6周完成，需要施工费万元；若先请甲工程队单独做4周后，剩下的请乙工程队来做，则还需要9周完成，需要施工费万元． (1)甲、乙两个工程队单独修路分别需要多少周完成？ (2)请甲、乙两个工程队工作一周需要施工费分别为多少万元？ (3)若只请一个工程队单独做，使该工程的施工费用低，应该选择甲工程队还是乙工程队？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用 （1）设甲工程队一周完成的工作量为，则乙工程队一周完成的工作量为，根据若先请甲工程队单独做4周后，剩下的请乙工程队来做，则还需要9周完成，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设甲工程队工作一周需要施工费万元，则乙工程队工作一周需要施工费万元，即万元，根据若先请甲工程队单独做4周后，剩下的请乙工程队来做，则还需要9周完成，需要施工费12.4万元．列出一元一次方程，解方程即可； （3）分别求出只请一个工程队单独做的施工费，再比较即可． 【详解】（1）解：设甲工程队一周完成的工作量为，则乙工程队一周完成的工作量为， 由题意得：， 解得：， ， 即甲工程队单独修路需要10周完成，乙工程队单独修路需要15周完成， 答：甲工程队单独修路需要10周完成，乙工程队单独修路需要15周完成； （2）设甲工程队工作一周需要施工费万元，则乙工程队工作一周需要施工费万元，即万元， 由题意得：， 解得：， ， 答：甲工程队工作一周需要施工费1.3万元，乙工程队工作一周需要施工费0.8万元； （3）应该选择乙工程队，理由如下： 只请甲工程队单独做，施工费为（万元）， 只请乙工程队单独做，施工费为（万元）， ， 应该选择乙工程队． 题型三：销售盈亏 5．（23-24七年级上·河南郑州·期末）元旦期间，某运动品牌服装店推出两种优惠活动，并规定一次结账只能选择其中一种． 活动一：所购商品按原价打八折； 活动二：所购商品按原价每满200元减60元．（如：所购商品原价为200元，可减60元，需付款140元；所购商品原价为450元，可减120元，需付款330元） (1)购买一件原价为350元的服装时，选择哪种活动更合算？请说明理由； (2)购买一件原价在400元以下的服装时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求这件服装的原价； (3)小王准备买一件标价460元的上衣和标价320元的运动鞋，请你设计最优惠的付款方法，并求出最优惠的付款金额． 【答案】(1)选择活动一更合算，理由见解析 (2)300元 (3)最优惠的付款方法是上衣和运动鞋分两次付款，上衣选择活动二的付款方式，运动鞋选择活动一的付款方式，最优惠的付款金额为596元 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是仔细审题，列出方程． （1）分别计算出两个活动需要付款价格，进行比较即可； （2）设一件这种服装的原价是元，根据“选择活动一和选择活动二的付款金额相等”列方程求解即可； （3）根据题意得出“最优惠的付款方法是：上衣和运动鞋分两次付款，上衣选择活动二的付款方式，运动鞋选择活动一的付款方式”，再进行计算即可； 【详解】（1）解：（元），（元）， ， ∴选择活动一更合算； （2）解：设这件服装的原价为x元， 若原价少于200元时，则活动一按原价打八折，活动二按原价，此时付款金额不可能相等； ∴这件服装价格在200元以上，400元以下． ， 解得， ∴这件服装的原价是300元； （3）解：，， 最优惠的付款方法是：上衣和运动鞋分两次付款，上衣选择活动二的付款方式，运动鞋选择活动一的付款方式， 需付款的金额为：（元）， 答：最优惠的付款金额为596元． 6．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）某商场购进了A、B两种商品，其中A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，购进A种商品3件与购进B种商品4件的进价相同． (1)求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)该商场购进了A、B两种商品共100件，所用资金为6900元，出售时，A种商品按标价出售每件的利润率为25%，B种商品按标价出售每件可获利10元．若按标价出售A、B两种商品，则全部售完商场共可获利多少元？ 【答案】(1)A种商品每件的进价是80元，B种商品每件的进是60元； (2)全部售完共可获利1450元． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元一次方程解决问题． （1）设A种商品每件的进价是x元，由购进A种商品3件与购进B种商品4件的进价相同得：，即可解得答案； （2）设购进A种商品a件，则购进B商品件，由所用资金为6900元得 ，解出a的值，即可列式求出答案． 【详解】（1）设A种商品每件的进价是x元，则B种商品每件的进价是元， 由题意得：， 解得， ∴（元）， 答：A种商品每件的进价是80元，B种商品每件的进价是60元； （2）设购进A种商品a件，则购进B商品件， 由题意得 ， 解得， ∴， ∴（元）， 答：全部售完共可获利1450元． 题型四：行程问题 7．（23-24七年级下·浙江舟山·期末）许多人选择晨跑作为锻炼身体的一种方式，某日小明与小红戴着智能运动手表相约在舟山滨海大道上晨跑，从相同的起点匀速跑向相同的终点，请提取以下相关信息并解决问题． 信息一：两人佩戴某款智能运动手表中的若干数据如下： 小明出发时刻 智能手表数据 小明结束时刻 智能手表数据 小红出发时刻 智能手表数据 小红结束时刻 智能手表数据 时刻（） 步数（步） 心率（次/分钟） 时刻（） 步数（步） 心率（次/分钟） 时刻（） 步数（步） 心率（次/分钟） 时刻（） 步数（步） 心率（次/分钟） 信息二：小明每步比小红每步多跑米，小明每分钟比小红多跑步，请根据以上信息完成下列解答． (1)起点与终点的距离为多少米？ (2)跑步结束他们相约去吃早饭，请问小明要在终点处等小红多少分钟？ (3)周日，小明和小红继续以信息一和信息二中的跑步速度进行跑步健身，相约在智能运动手表中设置运动时间为整数分钟后跑步结束．此时发现智能运动手表中，显示两人跑步的步数之和恰为步，则小明与小红的运动时间各是多少分钟？ 【答案】(1) (2) (3)小明与小红的运动时间各是、分钟，或、分钟，或、分钟，或、分钟四种情况． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是掌握速度乘以时间等于路程，根据题意，找得等量关系，列出方程． （1）设小红每步跑米，则小明每步跑米，根据题意，则，解出，即可求出总路程． （2）根据题意，求出小明每分钟跑的步数为，根据小明每分钟比小红多跑步，求出小红每分钟跑的步数为，根据小红的总步数为步，即可求出跑完步的用时，即可求出答案． （3）设则小明的运动时间是分钟，小红的运动时间是分钟，根据题意可列式，即，根据和是非负整数，即可可取，，，，的值为，，，，即可求出四种情况，得出结果． 【详解】（1）解：设小红每步跑米， ∴小明每步跑米， ∵小明从起点到终点跑了步，小红从起点到终点跑了步， ∴， 解得：， ∴总路程为：（米）； 故答案为：． （2）∵跑完全程小明的用时为分钟， ∴小明每分钟跑：（步）， ∵小明每分钟比小红多跑步， ∴小红每分钟跑：（步）， ∴小红跑完全程的时间为：（分钟）， ∴小明要在终点处等小红的时间为：． 故答案为：． （3）解：设则小明的运动时间是分钟，小红的运动时间是分钟， ∵小明每分钟跑：步，小红每分钟跑：步， ∴， ∴， ∵和是非负整数， ∴可取，，，， ∴的值为，，，， ∴小明与小红的运动时间各是、分钟，或、分钟，或、分钟，或、分钟四种情况． 8．（23-24七年级上·广西梧州·期末）一天，某客运公司的甲、乙两辆客车分别从相距380千米的A、B两地同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶，两车行驶2小时时甲车先到达服务区C地，此时两车相距20千米，甲车在服务区C地休息了20分钟，然后按原速度开往B地；乙车行驶2小时15分钟时也经过C地，未停留继续开往A地．（友情提醒：画出线段图帮助分析） (1)乙车的速度是多少千米/小时？B、C两地的距离是多少千米？ (2)这一天，乙车出发多长时间，两车相距200千米？ 【答案】(1)乙车的速度为80千米/小时；B、C两地的距离是180千米 (2)乙车出发1小时或小时，两车相距200千米 【分析】本题考查了有理数混合运算应用和一元一次方程的应用，找出行程问题中的等量关系是解题的关键； （1）根据甲乙两车到达C地的时间，求出乙行驶20千米所需的时间，即可求出乙车的速度和B、C两地的距离； （2）根据两地距离甲行驶的距离乙行驶的距离，分没有相遇和相遇后的两种情况列出方程解答； 【详解】（1）15分钟小时，2小时15分小时，20分钟小时 乙车的速度为：（千米/小时）； B、C两地的距离是： （千米）； 答：乙车的速度为80千米/小时；B、C两地的距离是180千米． （2）A、C两地的距离是：（千米）， 甲车的速度是：（千米/小时）； 设乙车出发x小时，两车相距200千米． 当甲车和乙车没有相遇时，两车相距200千米， 解得： 当甲车和乙车相遇后，两车相距200千米， ， 解得： 乙车出发1小时或小时，两车相距200千米． 题型五：比赛积分 9．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校组织学生参加2022年冬奥知识问答，问答活动共设有20道选择题，每题必答，每答对一道题加分，答错一道题减分，下表中记录了三名学生的得分情况： 参赛学生 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 18 2 86 C 15 5 65 请结合表中所给数据，回答下列问题： (1)本次知识问答中，每答对一题加______分，每答错一题减______分； (2)若小明同学答对16题，请计算小明的得分； (3)若小刚同学参加了本次知识问答，下列四个选项中，哪一个可能是小刚的得分_____（填写选项）； A．75；B．63；C．56；D．44 并请你计算他答对了几道题，写出解答过程，（列一元一次方程解决问题） 【答案】(1)5，2 (2) (3)D，答对了12道题 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）根据A的得分可求出每答对一题的加分，根据B或C的得分可求出每打错一题的减分； （2）按照（1）中的答题得分计算即可； （3）设小刚答对x道题，则答错道题，列方程对每个选项分析即可； 【详解】（1）解：答对一题加：分， 答错一题减：分， 故答案为：5，2； （2）小明的得分：分， （3）D，答对了12道题． 设他答对道题，则答错道题． A．若，解得，故不符合题意； B．若，解得，故不符合题意； C．若，解得，故不符合题意； D．若，解得，符合题意； 答：小刚同学答对了12道题． 10．（23-24七年级上·广东江门·期末）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答． 如下表记录了3个参赛者的得分情况． (1)由表可知： 参赛者 答对题数 答错题数 总得分 甲 20 0 100 乙 19 1 94 丙 14 6 64 答对1题得 分，答错1题得 分； (2)参赛者丁得88分，她答对了几道题？ (3)参赛者戊说他得了80分． 你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)， (2)她答对了道题 (3)参赛者戊说他得了80分，是不可能的，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． （1）根据表格列式计算即可得出答案； （2）设她答对了道题，则答错了道题，根据“参赛者丁得88分”列出一元一次方程，解方程即可得出答案； （3）设她答对了道题，则答错了道题，根据“参赛者戊说他得了80分”列出一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：答对1题得：（分）， 答错1题得：（分）， 故答案为：，； （2）解：设她答对了道题，则答错了道题， 由题意得：， 解得：， 她答对了道题； （3）解：参赛者戊说他得了80分，是不可能的，理由如下： 设她答对了道题，则答错了道题， 由题意得：， 解得：，不符合题意， 参赛者戊说他得了80分，是不可能的． 题型六：方案选择 11．（24-25七年级上·山西晋城·阶段练习）当今社会，随着生活水平的提高，人们越来越重视自己的身心健康，开始注重锻炼身体．某公司计划购买50个羽毛球拍和个羽毛球，某体育用品商店每个羽毛球拍定价80元，每个羽毛球定价5元，经协商拟定了如下两种优惠方案（两种优惠方案不可混用）： 方案一：每买一个羽毛球拍就赠送2个羽毛球； 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的付款． (1)若，请计算哪种方案划算； (2)若，请用含的代数式分别把两种方案的费用表示出来； (3)请你帮助公司写出取值不同时的所有划算的购买方案． 【答案】(1)方案一划算 (2)方案一、方案二的费用用代数式分别表示为元，元 (3)当时，方案二划算；当时，方案一划算；当时，方案一和方案二一样划算；当时，方案二划算 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，列代数式，一元一次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）分别求出时，两种优惠方案的费用，比较即可求解； （2）根据两种优惠方案分别列式即可； （3）若方案一和方案二的费用相等，当时，方案一不需要单独再购买羽毛球，列方程求得；当时，方案一和方案二都需要单独购买羽毛球，列方程求得，再进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：当时， 方案一：（元）． 方案二：（元）． 因为， 所以当时，方案一划算． 答：若，方案一划算． （2）解：当时， 方案一：元． 方案二：元． 答：方案一、方案二的费用用代数式分别表示为元，元． （3）解：若方案一和方案二的费用相等， 当时，方案一不需要单独再购买羽毛球，可得， 解得． 因为， 所以，当时，方案二划算；当时，方案一划算； 当时，方案一和方案二都需要单独购买羽毛球，可得， 解得． 所以，当时，方案一划算；当时，方案一和方案二一样划算；当时，方案二划算． 综上可知，当时，方案二划算；当时，方案一划算；当时，方案一和方案二一样划算；当时，方案二划算． 12．（23-24六年级下·吉林长春·期末）某网店销售一种羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每副定价150元，羽毛球每筒定价15元．“双11”期间，该网店决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一副球拍送两筒球； 方案二：球拍和球都打九折销售． 现某客户要在该网店购买球拍10副，球筒． (1)若该客户按方案一购买，需付款 元；（用含的代数式表示） 若该客户按方案二购买，需付款 元；（用含的代数式表示） (2)当取何值时，两种方案价钱一样多？ (3)当时，你能给出一种最为省钱的购买方案吗？通过计算说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)先按方案一购买副球拍获赠筒球，再按方案二购买筒球最省钱 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，根据题意列出代数式是解题的关键． （1）根据两种不同的优惠方案列出代数式即可； （2）两种方案解析式相等时，解答即可得到答案； （3）综合两种优惠方案计算，再与方案一和方案二进行比较即可． 【详解】（1）解：根据题意，得： 方案一：元， 方案二：元， 故答案为：，； （2）解：依题意得： 解得， 当取时，两种方案价钱一样多； （3）解：当时， 方案一：（元）， 方案二：（元）， 先按方案一购买副球拍获赠筒球，再按方案二购买筒球， 则需（元）； ∵ ∴先按方案一购买副球拍获赠筒球，再按方案二购买筒球最省钱． 题型七：数字问题 13．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）把从1开始的连续的奇数排成如图所示的数阵，规定从上到下依次为第1行、第2行、第3行、…，从左到右依次为第1列、第2列、第3列、… (1)①数阵中排在第7行第1列的数是_______； ②2025在数阵中排在第_______列，数阵中排在第行第5列的数可用表示为_______ (2)按如图所示的方式，用一个“”形框框住四个数，设被框的四个数中最小的数为，是否存在这样的，使得被框住的四个数的和为1948？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)数阵中用一个“”形框框住的四个数的和记为“”，直接写出的最大值与最小值的差是_______． 【答案】(1)①97；②5； (2)不存在这样的，使得被框住的四个数的和为1948，理由见解析 (3) 【分析】本题考查的是数字类的规律探索，一元一次方程的应用，解题的关键是能观察出数阵中每行的数依次增加2，每列的数依次增加16． （1）①依据每行的数依次增加2，每列的数依次增加16，据此解答即可；②先求出数的总个数，进而确定2025所在的列数即可；再根据同列上下两个数依次增加16，求出第n行第一个数，进而求出第n行第5个数即可； （2）通过假设存在这样的，则可列出方程：，解方程求解即可； （3）要使S的值最小，则框住的是第一、二行前面较小的数，要使S的值最大，则框住的是数阵中后面的大数，据此解答即可． 【详解】（1）解：①通过观察可知，第五行最后一个数为79，则第6行第1列的数是，又通过观察可知，同一列的数依次往下加16，则第7行第1列的数是， 故答案为：97； ②数阵中的数共有：（个）， 数阵中一共有1013个数，每行有8个数，， ∴2025在数阵中排在第5列； 通过观察数阵可知：相邻两个数依次增加2，同列上下两个数依次增加16， ∴第行的第一个数为：， ∴数阵中排在第行第5列的数可用表示为：， 故答案为：； （2）解：不存在这样的，使得被框住的四个数的和为1948，理由如下： 假设存在这样的，使得被框住的四个数的和为1948， 依题意，可列方程：， 解得：． ∵479是第240个奇数，， ∴479位于第30行第8个数， ∵479右边的数481位于第31行第1个数， ∴假设不成立， ∴不存在这样的，使得被框住的四个数的和为1948． （3）解：通过观察可知： 框住的最小值为：， 要使框住的值最大，则最后一个数2025必然在平行四边形中， 则框住的最大值为：， 则两者的差为：， 故S的最大值与最小值的差为：． 14．（24-25七年级上·广东广州·期中）如图所示的是2024年11月的月历，“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“U型”覆盖的五个数字之和为，“十字型”覆盖的五个数之和为， (1)“U型”中最小的数为11，则最大的数为 ； (2)的值可以是80吗？请说明理由； (3)若，求的最大值． 【答案】(1)20 (2)的值不可以是80，理由见解析 (3)19 【分析】本题考查了数字类规律探索，整式的加减的应用，理解题意是解决问题的关键． （1）结日历，根据最小的数为11，找出其他的数，即可求得最大的数； （2）设“十字型”中间数为，由此得，再根据求解即可； （3）设“型”第一个数为，由此得，则，求出，表示出，由图形可得：的最大值为，此时，代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：“U型”中最小的数为11，则其余数分别是，13，18，19，20， 则最大的数为20， 故答案为：20； （2）设“十字型”中间数为， 则， 当时，即，可得， 由图可知，当时，不能构成“十字型”，故不符合题意， ∴的值不可以是80； （3）设“型”第一个数为，由题意得：， ∵， ∴，即：， ∴， 由图形可得：的最大值为， 此时， ∴的最大值为19． 题型八：古代问题 15．（23-24七年级上·江西南昌·期末）自西汉张骞出使西域以来，丝绸之路作为中国和国外进行商贸往来和文化交流的商道，繁荣发展了十几个世纪．中国古代数学也经由丝绸之路进行传播，其中刘徽所著《九章算术》中“盈不足术”有一题，原文如下：“今有羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5元，还差45元；每人出7元，则还差3元，求人数和羊价各是多少？ 【答案】一共有21人，羊价为150元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设一共有x人，根据每人出5元，还差45元可知羊价为元，根据每人出7元，则还差3元可知羊价为元，据此列出方程求解即可． 【详解】解：设一共有x人， 由题意得，， 解得， ∴， 答：一共有21人，羊价为150元． 16．（23-24七年级上·福建南平·期末）我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客空一房．”诗的后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间房住9人，那么就空出一间房． (1)列方程解答下面问题：该店有客房多少间？到了多少房客？ (2)假设李三公将客房进行改造后，房间数大大增加，每间房收25钱，且每间房最多入住4人，一次性订房少于10间，不予优惠；不低于10间但低于20间，给予九折优惠；等于20间或是超过20间的，给予七折优惠．若诗中的“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？说明理由． 【答案】(1)该店有客房8间，房客63人 (2)选择一次性订房20间更合算；理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数乘法的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． （1）设该店有客房x间；根据题意得出方程，解方程即可； （2）根据题意计算：若每间客房住4人，则63名客人至少需客房16间，求出所需付费；若一次性定客房20间，求出所需付费，进行比较，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该店有客房x间， 由题意得，， 解得：， （人）， 答：该店有客房8间，房客63人． （2）解：若每间客房住4人，则63名房客至少需要16间房，至少需要付： （元）， 若一次性订客房20间以上（含20间），则至少需要付： （元）， ∵， ∴诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订房20间更合算． 题型九：和差倍分问题 17．（23-24七年级上·福建福州·期末）如表是学习一元一次方程应用时老师板书的问题和两名同学所列的方程： 6.2  一元一次方程 问题：我校体育室里篮球数是排球数的2倍多2个，篮球数比排球数多16个，求体育室里的篮球数和排球数． 小明： 小红： (1)小明同学所列的方程中的表示______，相等关系为______．小红同学所列的方程中的表示______，相等关系为______． (2)两个方程任选一个回答老师的问题． 【答案】(1)体育室里的排球数；篮球数﹣排球数＝16；体育室里的篮球数；篮球数＝排球数的2倍+2 (2)体育室里的排球数为14个，体育室里的篮球数为30个 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，列代数式，解题的关键正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型． （1）分别根据篮球数﹣排球数＝16个，篮球数＝排球数的2倍+2个，即可得出答案； （2）选小明的方程解答即可． 【详解】（1）解：小明同学所列的方程中的x表示体育室里的排球数，相等关系为：篮球数﹣排球数； 小红同学所列的方程中的y表示体育室里的篮球数，相等关系为：篮球数＝排球数的2倍个； （2）解：设体育室里的排球数为x个，则体育室里的篮球数为个， 依题意有：， 解得， 则， 答：体育室里的排球数为14个，体育室里的篮球数为30个． 18．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）习近平总书记说“要在学生中弘扬劳动精神，教育引导学生崇尚劳动、尊重劳动，懂得劳动最光荣、劳动最崇高、劳动最伟大、劳动最美丽的道理，长大后能够辛勤劳动、诚实劳动、创造性劳动．”某校为响应号召积极开展劳动教育，学期初成立了土豆种植组和胡萝卜种植组两个小组．现收获5筐土豆和5筐胡萝卜，以每筐为标准，超过部分的质量用“＋”表示，不足部分的质量用“－”表示，记录如下表： 与标准质量的差值（单位：） 0 0.1 0.15 筐数 1 2 2 1 1 3 (1)求这10筐蔬菜的总质量； (2)已知土豆种植组原有学生13人，胡萝卜种植组原有学生15人，现又有20人想加入这两个种植组，若使土豆种植组的人数是胡萝卜种植组的2倍，这两组各应招人多少人？ 【答案】(1) (2)土豆种植组应招人19人，胡萝卜种植组应招人1人 【分析】本题考查一元一次方程的应用、正数和负数，有理和混合运算的应用．解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． （1）根据题意和表格中的数据，可以计算出这10筐蔬菜的总质量； （2）根据使土豆种植组的人数是胡萝卜种植组的2倍，可以列出相应的方程，然后求解即可． 【详解】（1）解：由表格可得，总质量为：， 答：这10筐蔬菜的总质量为． （2）解：设土豆种植组招入人，则胡萝卜种植组招入人， 由题意可得：， 解得， ， 答：土豆种植组招入19人，胡萝卜种植组招入1人． 题型十：电费和水费问题 19．（24-25七年级上·全国·期中）某市出租车收费标准是：起步价10元，可乘；到时，超过的部分按元的标准收费；超过时，超过的部分按2元的标准收费．（不足的按计算） (1)若某人乘坐了的路程，则他应支付的费用为 ； (2)若某人乘坐了x（的整数）千米的路程，则他应支付的费用为 ； (3)若某人乘坐出租车共花了15元，问出租车行驶了多少公里？ 【答案】(1)元 (2)元 (3) 【分析】本题主要考查列代数式及求代数式的值，理解题意，列出相应代数式是解题关键． （1）首先起步价覆盖前，费用为10元．剩余的在到的范围内，按元收费，即元．然后相加即可得出答案 （2）对于x（的整数）千米的路程：起步价覆盖前，费用为10元．接下来的按元收费，即元．超过的部分按2元收费，即元．然后相加即可 （3）首先扣除起步价和到的费用，剩余的费用为超过的部分产生的，按2元计算，即可解答． 【详解】（1）， ； 故答案为：元 （2）解： ， 故答案为：元． （3）解：设出租车行驶了x公里，根据题意得； 元， ， ， ， ， ， 答：共行驶了6公里． 20．（24-25七年级上·四川成都·期中）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市民居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 超过17吨但不超过30吨的部分 b 超过30吨的部分 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量：②水费=自来水费用+污水处理费） 已知小王家2024年7月用水16吨，交水费元．8月份用水25吨，交水费元． (1)求a、b的值． (2)如果小王家9月份用水36吨，求小王家这个月上交水费多少元？ 【答案】(1) (2)上交水费元 【分析】本题考查了列代数式的应用—分段计费问题，有理数的运算，理解题意正确列出代数式是关键； （1）当用水16吨时，水费为元，根据水费为，则列式可求得a的值；当用水25吨时，由所求a的值，可计算出基本水费与超过部分水费，等于元减去污水处理费，由此列式计算求得b的值； （2）根据（1）所求a与b的值，直接计算出基本部分水费、超过部分水费、污水处理费，相加即可求解． 【详解】（1）解：当用水16吨时，水费为元，则， 则（元）； 当用水25吨时，17吨水的费用为（元），（元）， 所以， 得：； （2）解：（元）； 答：小王家9月份用水36吨，应上交水费元． 题型十一：日历问题 21．（24-25七年级上·北京·期中）下图是2023年10月的月历，观察月历，回答问题： (1)小明国庆假期外出旅行三天，三天日期之和是12，小明是星期几出发的？ (2)“S型”这个阴影图形覆盖四个方格，设“S型”阴影覆盖的最小数字为m，四个数字之和为S，2023年是建国74周年，S的值能否等于74？若能，求m的值；若不能，说明理由； 【答案】(1)小明是星期二出发的 (2)的值不能等于74，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用： （1）设小明出发的日期是10月的第x天，可得一元一次方程，然后解方程即可； （2）根据月历的特点可得另外三个数为，则解方程得到，由于10月15日在第一列，故此时不能出现“S型”，据此可得结论． 【详解】（1）解：设小明出发的日期是10月的第x天， 根据题意得：， 解得， ∴小明出发的日期是10月的第3天， 由月历表可知，10月3号为星期二， 答：小明是星期二出发的； （2）解：的值不能等于74，理由如下： ∵“S型”阴影覆盖的最小数字为m， ∴另外三个数为， 若，则， ∵10月15日在第一列， ∴此时不能出现“S型” ∴的值不能等于74． 22．（24-25七年级上·福建福州·期中）如图是2024年1月的日历表； 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (1)在表中用优美的形框“”框住五个数，其中最小的数为1，求形框中的五个数字之和； (2)在表中移动形框的位置，若形框框住的五个数字之和为68，求这五个数字中最大的数． 【答案】(1) (2)这五个数字中最大的数为． 【分析】本题以生活中常见的日历为背景，考查了有理数的运算及一元一次方程的求解． （1）日历中左右相邻的数字相差，上下相邻的数字相差，据此即可求解； （2）设U形框最小的数为，由（1）可知另外四个数为，，，，即可建立方程求解． 【详解】（1）解：∵最小的数为1， ∴另外四个数分别为：，，，， 则U形框中的五个数字之和为：， 故答案为：； （2）解：设U形框最小的数为，显然它在U形框左上角的位置， 由（1）可知，另外四个数分别为：，，，， ∴， 即：， 解得：， ∴． ∴这五个数字中最大的数为． 题型十二：几何问题 23．（24-25七年级上·广东深圳·期中）数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．如图将一条数轴在原点O，点B，点C，点D处各折一下，得到一条“坡面数轴”．图中点A表示，点B表示8，点C表示16，点D表示24，点E表示28．我们称点A和点E相距36个单位长度，动点P从A从出发，以每秒4个单位的速度沿着“坡面数轴”的正方向移动，同时，动点Q从E出发以每秒3个单位的速度沿着“坡面数轴”的负方向移动，两个点上坡时候的速度均是各自初始速度的一半，下坡时候的速度均是各自初始速度的2倍，平地则保持初始速度不变．当点P运动至点E时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．问： (1)动点P从点A运动到E点需要　　　秒，此时点Q对应的数是　　　； (2)P，Q两点在点M出相遇，求出相遇点M所对应的数是多少? (3)当P，B两点在这个上数轴上相距的长度与Q，D两点在这个数轴上相距长度相等时，直接写出此时t的值． 【答案】(1)10，4 (2) (3)4或8.8或10 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、数轴，解题关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程．本题难度适中，是中考常考题型，要求学生牢固掌握． （1）根据点在各段的运动速度结合公式：时间路程速度即可得到动点从点运动至点需要的时间，分析点在每段上运动需要的时间即可解答； （2）分析可知当，两点在处相遇时，点在段，再求出两点相遇所用时间，最后计算出点所对应的数即可； （3）根据题意可分情况讨论：①当点在段时，点在段，此时大于8，小于4，不符合题意；②当点在段时，点在段，根据列出方程并求解；③当点在段时，点在段，根据列出方程并求解；④当点在段时，点在段时，小于8，大于8，不符合题意；⑤当点在段，点在段，根据列出方程并求解；⑥当点在段，点在段，根据列出方程并求解． 【详解】（1）解：由题意可知，动点在、、段的速度均为4单位秒，在段的速度为2单位秒，在段的速度为8单位秒， ，， 动点从点运动至点需要的时间为（秒， 动点从点出发，以3单位秒的速度沿着数轴的负方向运动，在，，段的速度为3单位秒，段的速度为1.5单位秒，在段的速度为6单位秒， 动点从点运动到点需要（秒，从点运动到点需要（秒，从点运动到点需要（秒， （秒， ， ． 此时点对应的点是4； 故答案为：10，4； （2）解：由（1）可知，，两点在处相遇时，点在段， 动点由点经过点到点点用时为（秒， 动点从点到点用时为（秒， 6秒到秒动点的路程， 相遇的时间（秒， 点的路程， 点所对应的数； （3）解：①当点在段时，点在段，此时大于8，小于4，不符合题意； ②当点在段时，点在段， 若，则，， ， 解得：； ③当点在段时，点在段， 若，则，， ， 解得：（舍去）； ④当点在段时，点在段时，小于8，大于8，不符合题意； ⑤当点在段，点在段， 若，则，， ， 解得：； ⑥当点在段，点在段， 若，则，， ， 解得：． 综上所述，当为4或8.8或10时，，两点在数轴上相距的长度与，两点在数轴上相距的长度相等． 24．（24-25七年级上·天津·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律．如数轴上点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离表示为． 【综合运用一】如图，数轴上点E表示为，点F表示为2． （1）线段的长度是______． （2）若x表示任意一个有理数．利用数轴回答下列问题： ①当，则______． 式子是否存在最小值？若不存在，请说明理由；若存在，请直接说出x的取值范围，并化简求出最小值？ 【综合运用二】已知点A、B、C为数轴上三个点，表示的数分别是a，b，c，满足，且a为的倒数． （1）______，______，______； （2）若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度．设运动的时间为t秒（）． ①用含t的式子表示：t秒后，点P表示的数为______，点Q表示的数为______； ②当时，求t的值． （3）在（2）的条件下，P、Q出发的同时，动点M从点C出发沿数轴正方向运动，速度为每秒5个单位长度，点M追上点Q后立即返回沿数轴负方向运动．求点M追上点Q后再经过几秒，？ 【答案】综合运用一：（1）5；（2）①或3；②当时，取得最小值，最小值为5； 综合运用二：（1），13，7；（2）①，；②或6；（3）秒或秒 【分析】综合运用一：（1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）根据的几何意义即可解答； 综合运用二：（1）根据平方和绝对值的非负性，倒数的定义即可解答； （2）①根据题意直接列出代数式即可； ②由，结合两点间的距离公式即可得到关于t的方程，求解即可； （3）点M未追上点Q时，表示出点M表示的数，根据点M追上点Q时，点M，Q表示的数相同，可求出运动的时间和此时点M表示的数，从而可求出点M返回沿负方向运动时所表示的数，根据两点间的距离公式，根据可列出方程，求解即可． 【详解】解：综合运用一： （1）∵点E表示为，点F表示为2， ∴； 故答案为：5 （2）①∵点E表示为，点F表示为2， 数轴上到点E的距离和到点F的距离之和为7的点表示的数是或3， ∴当时，或3； 故答案为：或3 ②∵是指表示x的点到点E的距离与到点F的距离之和， 由数轴可得，当表示x的点位于点E，F之间时，它们的距离之和为线段的长，此时它们的距离之和最小， ∴当时，取得最小值，最小值为5； 综合运用二： （1）∵a为的倒数， ∴， ∵，，且， ∴，， ∴，． 故答案为：，13，7 （2）①当运动t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为． 故答案为：， ②当时，， ∴， 解得或6 （3）点M未追上点Q时，点M表示的数为， 当点M追上点Q时，， 解得， 即当它们运动2秒时，点M追上点Q，此时点M表示的数为， ∵点M追上点Q后立即返回沿数轴负方向运动， ∴点M表示的数为， 当时，， 解得或， ∴，， ∴点M追上点Q后再经过秒或秒， 【点睛】本题考查绝对值的几何意义，列代数式，数轴上两点间的距离，一元一次方程解决实际问题，掌握绝对值的几何意义，熟练运用方程思想是解题的关键． 【专题强化】 25．（24-25七年级上·上海·期中）某地光纤上网有两种收费方式，用户可以任选其一． A：计时制：元/分，B：包月制：50元/月，每一种上网时间都要再收取通信费元/分 (1)某用户某月上网时间为x小时，请写出两种收费方式下该用户应该支付的费用． (2)用户选哪一种收费方式更合算？ 【答案】(1)A种收费方式的费用为元；B种收费方式的费用为元； (2)当上网时间低于小时时，选择甲种收费方式合算；当上网时间等于小时时，选择两种收费方式一样合算；当上网时间高于小时时，选择乙种收费方式合算 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次不等式的实际应用，一元一次方程的实际应用： （1）A种收费等于上网费用加上通信费，B种收费等于包月费用加上通信费，据此求解即可； （2）根据（1）所求分别求出时，时，时的x的值或取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，A种收费方式的费用为元； B种收费方式的费用为元； （2）解：当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； ∴当上网时间低于小时时，选择甲种收费方式合算；当上网时间等于小时时，选择两种收费方式一样合算；当上网时间高于小时时，选择乙种收费方式合算． 26．（24-25七年级上·天津·期中）一项工程，甲队单独做需18天，乙队单独做需24天，如果两队合作8天后，余下的工程再由甲队单独完成． (1)甲队还需多少天才能完成这项工程？ (2)若甲队每天的酬劳为2000元，乙队每天的酬劳为1500元，问完成这项工程共需支付两队多少钱？ 【答案】(1)4天 (2)36000元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，有理数四则混合运算的应用，根据题意，正确列出方程是解答的关键． （1）设这项工程为“1”，设甲队还需x天才能完成这项工程，根据“两队的工程和等于1”列方程求解即可． （2）根据两队完成的天数和各自的报酬求解即可． 【详解】（1）解：设这项工程为“1”，根据题意，甲队、乙队的工作效率分别为，， 设甲队还需x天才能完成这项工程， 根据题意，得， 解得， 答：甲队还需4天才能完成这项工程； （2）解： （元）， 答： 完成这项工程共需支付两队36000元． 27．（24-25七年级上·安徽六安·期中）小明是个爱钻研的学生，遇到问题总是要一探究竟．现在他将形状、大小完全相同的两个长方形纸板放在数轴上（如图）． (1)一个长方形纸板的面积是_________； (2)小明将左边的长方形以每秒钟1个单位的速度沿着数轴向右移动，设移动时间为秒． ①他发现，在移动的过程中，有一段时间两个长方形重叠部分面积保持不变，那么两个长方形重叠部分面积保持不变的时间有多长？ ②当两个长方形重叠部分面积等于长方形面积一半时，求的值． 【答案】(1)6 (2)①1秒；②的值为或 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用： （1）根据数轴上点的位置结合数轴上两点距离计算公式可得长方形的长和宽，再根据长方形面积计算公式求出面积即可； （2）①从点与点重合开始，到点与点重合，这段时间内，两个长方形重叠部分面积保持不变，据此计算重叠面积不变的时长即可；②分当点在之间，当点在之间，两种情况根据重叠部分为长方形结合长方形面积计算公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，长方形的长为，宽为， ∴一个长方形的面积为， 故答案为：6； （2）解：①∵左边的长方形以每秒钟1个单位的速度沿着数轴向右移动， ∴从点与点重合开始，到点与点重合，这段时间内，两个长方形重叠部分面积保持不变，为； ∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为2，点表示的数为4， ∴，， （秒），（秒），（秒）， ∴在移动的过程中，两个长方形重叠部分面积保持不变的时间为1秒．             ②当两个长方形重叠部分面积等于长方形面积一半时，分两种情况： 当点在之间，此时点表示的数为，于是 ， 解得．             当点在之间，此时点表示的数为，于是 ， 解得． ∴当两个长方形重叠部分面积等于长方形面积一半时，的值为或． 28．（24-25七年级上·云南曲靖·期中）已知一块A型纸板可以制成1个C型正方形纸板和2个D型长方形纸板，一块B型纸板可以制成2个C型正方形纸板和1个D型长方形纸板，现有A、B两种纸板共20块，设A型纸板有x块（x为正整数） (1)求总共可以制成多少个C型正方形纸板（用含有x的式子表示） (2)出售一个C型正方形纸板可以获利10元，出售1个D型长方形纸板可以获利12元．若将所制成的C型、D型纸板全部售出可以获利650元，求x的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查列代数式和解一元一次方程， （1）根据题意即可求得B型纸板数，进一步即可求得C型正方形纸板； （2）首先求得C型正方形纸板和D型长方形纸板数，根据获利列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，B型纸板为块， 则总共可以制成C型正方形纸板个数为： ； （2）解：根据题意，列方程得： 化简得： ， 答：x的值为5． 29．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）七年级四班共有学生48人，其中男生人数比女生人数多2人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底26个 (1)七年级四班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【答案】(1)男25人，女23人 (2)3人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用． （1）设女生人数为x人，则男生人数为人，根据七年级四班共有学生48人列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． （2）设a名男生去支援女生，根据每个盒身匹配2个盒底为等量关系，列出关于a的一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设女生人数为x人，则男生人数为人， 根据题意可得：， 解得： 则， 答：七年级四班有男生25人，女生23人． （2）解：设a名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套， 根据题意有：， 整理得：， 解得：， 答：需要3名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 30．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）如图，数轴上有A，B两点，A，B之间距离为21，原点O在A，B之间，O到A的距离是O到B的距离的两倍． (1)点A表示的数为_____，点B表示的数为_____； (2)点A、点B和点P（点P初始位置在原点O）同时向左运动，它们的速度分别为1，2，2个单位长度每秒，则经过多少秒，点P到点A与点B的距离相等？ (3)点B沿着数轴移动，每次只允许移动1个单位长度，经过8次移动后，点B与原点O相距1个单位长度．满足条件的点B的移动方法共有多少种？ (4)点A和点B同时沿着数轴移动，两点每次均只允许移动1个单位长度．请判断点A和点B经过相同次数的移动后，能否同时到达原点O？如果能，请给出点A和点B各自的移动方法；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)经过或秒，点到点与点的距离相等 (3)满足条件的点的移动方法共有种 (4)不能，理由见解析 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、一元一次方程的应用、数轴上的动点问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设点表示的数为，则点表示的数为，由题意可得，求出的值即可得解； （2）设经过秒，点到点与点的距离相等，则此时点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，根据题意列出方程求解即可； （3）设点沿着数轴向左移动次，则向右移动次，对应的数为或，则，即，求解即可； （4）设点向左移动次，向右移动次，则点移动了次，由题意得出，推出，设点向左移动了次，则向右移动了次，由题意得出，得到，结合、、均为正整数判断即可得解． 【详解】（1）解：∵到的距离是到的距离的两倍， ∴设点表示的数为，则点表示的数为， ∵，之间距离为21， ∴， 解得：， ∴， ∴点表示的数为，点表示的数为； 故答案为：； （2）解：设经过秒，点到点与点的距离相等，则此时点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， 由题意得：， 解得：或， ∴经过或秒，点到点与点的距离相等； （3）解：设点沿着数轴向左移动次，则向右移动次，对应的数为或， 则，即， 解得：或， 当时，有1种移动方法，点沿着数轴向左移动，经过8次移动后，点对应的数为，此时点与原点相距1个单位长度； 当时，有种移动方法：连续向左移动次，再向右移动1次；连续向左移动次，再向右移动1次，最后向左移动1次；连续向左移动次，再向右移动1次，最后向左连续移动2次；连续向左移动4次，再向右移动1次，最后向左连续移动3次；连续向左移动3次，再向右移动1次，最后向左连续移动4次；连续向左移动2次，再向右移动1次，最后向左连续移动5次；向左移动1次，再向右移动1次，最后向左连续移动6次；先向右移动1次，再向左连续移动7次； 故， 综上所述，满足条件的点的移动方法共有种； （4）解：不能，理由如下： 设点向左移动次，向右移动次，则点移动了次， ∴， ∴， 设点向左移动了次，则向右移动了次， ∴， ∴， ∵、、均为正整数， ∴不符合题意， ∴点和点经过相同次数的移动后，不能同时到达原点． 31．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨亚冬会的某个比赛场馆正在装修，装修后产生的建筑垃圾需要清理．计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要天，乙车队单独运完需要天．乙车队先运了天，然后甲、乙两车队合作运完剩下的垃圾． (1)甲、乙两车队合作还需要多少天运完垃圾？ (2)已知甲车队每天的租金元，比乙车队少元，运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金多少元？ 【答案】(1)天 (2)元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系并列出方程是解题关键； （1）根据题意首先可以得知甲车效率为每天运送，乙车效率为每天运送，据此设甲、乙两车合作还需要天运完垃圾，然后进一步列出方程求解即可； （2）根据甲车队每天的租金元，比乙车队少元，计算求解即可； 【详解】（1）解：设甲、乙两车合作还需要天运完垃圾， 根据题意得：， 解得：， 答：甲、乙两车合作还需要天运完垃圾． （2）解：乙队一共工作了天，甲队一共工作了天， ， 答：运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金元． 32．（24-25七年级上·上海宝山·期中）2015年上海出租车收费标准作了新的调整，起步价调整为14元（0到3公里）；超过3公里并且不超过15公里时，超出的部分每公里2.5元；超过15公里时，超出的部分每公里3.6元． (1)小丽打车去外婆家，如果路程是9公里，那么车费是_________元；如果路程是16公里，那么车费是___________元． (2)小丽打车去外婆家，行程公里，（），那么出租车的费用是多少元？（用含的代数式表示）； (3)如果打车的费用为54.8元，那么小丽去外婆家的路程是多少公里？ 【答案】(1)29，47.6 (2) (3)18 【分析】本题考查了利用一元一次方程解决实际问题、列代数式等知识； （1）利用支付的车费起步价超过3公里并且不超过15公里的费用超过15公里的费用，代入数据计算即可； （2）利用支付的车费起步价超过3公里并且不超过15公里的费用，列出代数式即可； （3）根据打车的费用为54.8元，建立方程求得答案即可． 【详解】（1）解：路程是9公里，那么车费是：（元）， 路程是16公里，那么车费是：（元）， 故答案为：29，47.6； （2）解：∵， ∴出租车的费用（元）， 答：出租车的费用是元； （3）解：设小丽去外婆家的路程是x公里， ∵当，打车的费用， ∴，则，解得， 答：小丽去外婆家的路程是18公里． 33．（24-25七年级上·广东广州·期中）将奇数至按照顺序排成下表： 记表示第行第个数，如表示第行第个数是． (1) ； (2)将表格中的个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的个数之和能否等于．若能，求出个数中的最大数；若不能，请说明理由； (3)用、的式子表示 ； (4)若，求、的值． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 (3) (4)， 【分析】本题考查一元一次方程的应用、数字的变化类、列代数式， （1）根据题意可知表示第行第个数，每行都有个数，所有的数字都是奇数，然后即可计算出相应的值； （2）先判断，然后设个阴影格子中的数分别为、、、，即可列出相应的方程，然后求解即可说明理由； （3）根据表格中的数据和发现，可以用含、的代数式表示出． （4）根据题意，可以得到，然后、为整数，，即可得到、的值； 解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，找出等量关系，列出相应的方程． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 故答案为：； （2）所覆盖的个数之和不能等于． 理由：设个阴影格子中的数分别为、、、， 由题意得：， 解得：， ∵为整数， ∴所覆盖的个数之和不能等于； （3）由题意可得， ， 故答案为：； （4）∵， ∴， ∴， ∵、为整数，， ∴，． 34．（24-25七年级上·福建福州·期中）某单位在2月份组织位员工去旅游，联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为3000元/人，两家旅行社同时都对10人以上的团体推出了优惠措施： 甲旅行社给每位员工六折优惠； 乙旅行社是免去一位带队员工的费用，其余员工七折优惠． (1)甲旅行社的费用为________元，乙旅行社的费用为________元；（用含m的代数式表示） (2)若，则该单位选择哪一家旅行社比较优惠？请说明理由； (3)若该单位计划在2月份外出旅游7天，若这七天的日期之和为63的倍数，则他们可能于2月几号出发？（写出所有符合条件的可能性，并写出计算过程） 【答案】(1)； (2)甲旅行社的费用比较优惠 (3)他们可能于2月6号或15号出发 【分析】（1）根据甲旅行社的费用为，乙旅行社的费用为，计算作答即可； （2）将，分别代入甲、乙旅行社的费用的代数式中计算，比较大小，然后作答即可； （3）由最中间一天的日期为n，然后表示出这七天的日期求和；根据这七天的日期之和为63的倍数，可得当时，，然后作答即可． 【详解】（1）解：甲旅行社的费用为； 乙旅行社的费用为； （2）解：当人时， 甲旅行社的费用为：（元）， 乙旅行社的费用为：（元）； ∵， ∴甲旅行社的费用比较优惠； （3）解：设最中间一天的日期为n 则这七天的日期之和为：， 假设， ∴， ∴当时，，， 当时，，， 当时，，，（不符合题意，舍去）， ∴他们可能于2月6号或15号出发． 【点睛】本题考查了列代数式，有理数的乘法运算，整式的加减运算的应用．理解题意，根据题意正确的列代数式、等式是解题的关键． 35．（24-25七年级上·福建厦门·期中）为了鼓励居民节约用电，我省实行阶梯电价政策采取分段计费的方法按月计算每户家庭的电费，每两个月用电量与电费的单价如下表： 档次 电量范围 电费单价 第一档电费 340度及以下 元 第二档电费 341度至520度 元 第三档电费 520度以上 元 比如，若某户两个月用电200度，应缴电费元；若某户两个月用电400度，应缴电费元；若某户两个月用电600度，应缴电费元． (1)小明家1、2月份共用电550度，则小明家这两个月应缴电费多少元？ (2)某用户两个月用电量为度，用式子表示： 当两个月用电量不超过340度时，应收电费 元；当两个月用电量超过340度但不足520度时，应收电费 元；当两个月用电量超过520度时，应缴电费 元． (3)小丽家1、2月份应缴电费元，问小丽家这两个月共用电多少度？ 【答案】(1)小明家这两个月应缴电费280.35元 (2)；；； (3)用电640度 【分析】（1）利用小明家这两个月应缴电费用电单价用电数量，结合分段计费的电费单价及用电量范围，即可求出结论； （2）利用应缴电费用电单价用电数量，结合分段计费的电费单价及用电量范围，即可用含的代数式表示出应缴电费； （3）设小丽家这两个月共用电度，由（2）的结论结合小丽家1和2月份应缴电费元，可得出关于的一元一次方程，解之即可求出结论． 本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出应缴电费；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【详解】（1）解：根据题意得： （元）． 答：小明家这两个月应缴电费280.35元； （2）解：根据题意得：当两个月用电量不超过340度时，应收电费元； 当两个月用电量超过340度但不足520度时，应收电费元； 当两个月用电量超过520度时，应缴电费元． 故答案为：；；； （3）解：设小丽家这两个月共用电度， ， ． 根据题意得：， 解得：． 答：小丽家这两个月共用电640度． 36．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，点为数轴的原点，点在数轴上表示的数分别为，满足，．动点分别从同时出发，都沿数轴正方向匀速运动，点的运动速度为每秒个单位长度，点的运动速度为每秒个单位长度，点始终在点的右侧． (1)______，______； (2)当为何值时，； (3)若为的中点，求的值． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（）根据两点间距离公式即可求解； （）根据题意表示出，再列出方程解答即可； （）分和两种情况，结合图形解答即可求解； 本题考查了有理数与数轴，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：由题意得，，， ∵， ∴， 解得或， 综上所述，当的值为或时，； （3）解：由题意得， ∵为的中点， ∴点始终在点右侧， ∵， ∴点从到用时为秒， ∴点从出发到追上点用时为秒， ∵点始终在点右侧， ∴， ①当时，点在点左侧，如图， ∵为的中点，点在点左侧， ∴， ∴在数轴上对应的数为， ∴， ∴； ②当时，在右侧， ∵为的中点，点在点右侧，如图， ∴， ∴在数轴上对应的数为， ∴， ∴； 综上所述，的值为定值． 37．（24-25七年级上·浙江·期中）【阅读】 点是数轴上的三个点，若点到点的距离是点到点的距离的（为正整数）倍，则称点是的倍关联点．如图，数轴上点分别表示数，2和3，因为点到点的距离是3个单位，点到点的距离是1个单位，所以点是的3倍关联点，但点不是的3倍关联点． 【理解】 若点表示的数为1，则点______（填“是”或“不是”）的1倍关联点．点是的______倍关联点． 【应用】 （1）若数轴上点表示的数为，且点是的2倍关联点，求的值． （2）若数轴上有一点，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．当运动秒时，点是的倍关联点，请用含的代数式表示时间．（直接写出答案即可） 【答案】理解：是，2；应用：（1）①当点在点之间时，；②当点在点右边时，；（2）①当点在点之间时，；②当点在点右边时， 【分析】本题主要考查新定义、数轴上两点间的距离公式、一元一次方程、列代数式． 理解：先分别得出点到点的距离，再根据新定义解答即可； 应用：（1）分两种情况：①当点在点之间，②当点在点右边，由点是的2倍关联点，列关于的一元一次方程，解方程即可； （2）分两种情况：①当点在点之间，②当点在点右边，由点是的倍关联点，列关于和的等式，再用含的代数式表示时间即可． 【详解】解：理解：若点表示的数为1，则点到点的距离是2个单位，点到点的距离是2个单位，点到点的距离是1个单位， ∴点是的1倍关联点，点是的2倍关联点， 故答案为：是，2； 应用： （1）分以下两种情况： 当点在点之间时，则，， ∵点是的2倍关联点， ∴，即， 解得：； 当点在点右边时，则，， ∵点是的2倍关联点， ∴，即， 解得：； ∴的值为或7； （2）当运动秒时，点表示的数为：， 分以下两种情况： 当点在点之间时，则，， ∵点是的倍关联点， ∴，即， 解得：； 当点在点右边时，则，， ∵点是的倍关联点， ∴，即， 解得：； ∴当点在点之间时，；当点在点右边时，． 38．（24-25七年级上·福建厦门·期中）已知：是关于x的二次三项式，且a、b、c满足．a、b、c所对应的点分别为A、B、C． (1)则________，________． (2)若点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．设运动时间为t秒，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． (3)如图，若将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．我们把在折线数轴上线段、、三段距离的和称为A，C两点间的路程．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向右运动，在上坡段运动期间速度变为原来的一半．点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，在下坡段运动期间速度变为原来的2倍，之后在段又以1个单位长度/秒的速度运动．当点P到达点B时，点P，Q均停止运动．设运动的时间为t秒．在某一时刻，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为8个单位．求出此时t的值． 【答案】(1)，； (2)的值不会随着时间t的变化而改变，理由见解析； (3)当或时，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为8个单位． 【分析】（1）根据多项式的定义求得，再根据非负数的性质即可求得； （2）根据数轴表示数的意义，用含有的代数式表示，再根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可； （3）设点运动的路程为，根据题意得：当时，，此时点表示的数为，当时，，此时点表示的数为，设点运动的路程为，根据题意得：当时，，此时点表示的数为，当时，，此时点表示的数为，当时，，此时点表示的数为，分两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵是关于x的二次三项式， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：由（1）可得： ， ， 设运动时间为秒，由题意可得：秒后， ， ， ∴， ∴的值不会随着时间t的变化而改变； （3）解：由（1）可知，，，， ∴， 设点运动的路程为，根据题意得： 当时，，此时点表示的数为， 当时，，此时点表示的数为， 设点运动的路程为，根据题意得： 当时，，此时点表示的数为， 当时，，此时点表示的数为， 当时，，此时点表示的数为， ∵P、Q两点在“折线数轴”上的路程为8个单位， 当点与点相遇前，即点在点的左侧， 时，，，则， 时，，，则， ∴， ∴， 整理得：， 解得：， 当点与点相遇后，即点在点的右侧， 当时，， 整理得：， 解得：， 当时，，即， ∴此种情况不存在， 综上，当或时，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为8个单位． 【点睛】本题综合考查了多项式的定义，非负数的性质，数轴与有理数的关系，一元一次方程在数轴上的应用，路程、速度、时间三者的关系等相关知识点，掌握相关知识是解题的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$