5.3实际问题与一元一次方程【12大题型】-2024-2025学年七年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版2024）

5.3实际问题与一元一次方程 【考点归纳】 · 考点一：行程问题 考点二：配套问题 · 考点三：工程问题 考点四：销售盈亏 · 考点五：比赛积分 考点六：方案选择 · 考点七：数字问题 考点八：几何问题 · 考点九：和差倍分问题 考点十：电费和水费问题 · 考点十一：日历问题 考点十二：古代问题 【知识归纳】 实际问题的常见类型： 【题型探究】 题型一：行程问题 1．（23-24七年级上·重庆·期末）元旦假期小李去歌乐山爬山，上山每小时走，下山时按原路返回，下山每小时走，结果上山比下山多花小时，设下山所用时间为x小时，可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）一艘快艇从A码头到B码头顺流行驶，同时一艘游船从B码头出发顺流而下．已知，A、B两码头相距140千米，快艇在静水中的平均速度为67千米/小时，游船在静水中的平均速度为27千米/小时，水流速度为3千米/小时． (1)请计算两船出发航行30分钟时相距多少千米？ (2)如果快艇到达B码头后立即返回，试求两船在航行过程中需航行多少时间恰好相距100千米？ 题型二：配套问题 3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺栓或1000个螺母，1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，设安排x名工人生产螺栓，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·安徽·期末）某工厂一车间有名工人，其中男生人数比女生人数的倍少人，某月接到加工甲、乙两种零件的工作任务，每个工人每天能加工个甲种零件或个乙种零件.已知，个甲种零件和个乙种零件可以组装成一个丙种零件． (1)该车间男、女生各有多少人？ (2)该车间分别安排多少工人加工甲种零件和乙种零件，能使得每天加工的甲、乙两种零件恰好能全部组装成丙种零件？ 题型三：工程问题 5．（24-25七年级上·天津·期中）一项工程，甲队单独做需18天，乙队单独做需24天，如果两队合作8天后，余下的工程再由甲队单独完成． (1)甲队还需多少天才能完成这项工程？ (2)若甲队每天的酬劳为2000元，乙队每天的酬劳为1500元，问完成这项工程共需支付两队多少钱？ 6．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨亚冬会的某个比赛场馆正在装修，装修后产生的建筑垃圾需要清理．计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要天，乙车队单独运完需要天．乙车队先运了天，然后甲、乙两车队合作运完剩下的垃圾． (1)甲、乙两车队合作还需要多少天运完垃圾？ (2)已知甲车队每天的租金元，比乙车队少元，运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金多少元？ 题型四：销售盈亏 7．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某超市第一次用元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的2倍，甲、乙两种商品的进价和售价如表：（注：获利售价进价） 甲 乙 进价/（元/件） 售价/（元/件） (1)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品各多少件？ (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍．甲商品按原价销售，乙商品降价销售，第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多元，求第二次乙商品的售价是多少？ 8．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）红光水果加工厂收购了29吨雪梨．经市场预测，若直接销售，每吨可获利0.05万元；若经过加工包装后销售，每吨可获利0.4万元；若制成雪梨罐头出售，每吨可获利0.6万元．该工厂的加工能力是：每天可包装5吨或制成罐头3吨，受人员限制，同一天内两种加工方式不能同时进行，受气温限制，这些雪梨必须在7天内全部销售或加工完毕，为此，工厂研制了二种方案： 方案一：尽可能多的做成罐头，余下的直接销售； 方案二：部分制成罐头，其余进行加工包装，并恰好7天完成． (1)请比较说明哪种方案可使工厂所获利润最多？ (2)水果加工厂欲将（1）问中获利最多方案制成的所有雪梨罐头由加工厂运到市场售卖，已知有甲、乙两家运输公司都可以承担此次运输，要收取的费用如下表： 运输公司 运输单价（元/吨・千米） 每吨装卸费（元） 甲 5 50 乙 6 30 经水果加工厂计算发现乙运输公司总费用比甲运输公司总费用多243元，求水果加工厂到市场的距离． 题型五：比赛积分 9．（24-25七年级上·山东青岛·开学考试）学校举行了环保知识竞赛，竞赛中每答对一题加5分，答错一题扣3分，一共20道题，小芳完成了全部答题，并在本次竞赛中获得了84分，她做对了几题？ 10．（2024·陕西西安·模拟预测）某市中考体育测试中包含一分钟排球垫球项目，考试规则为：学生垫球一分钟，若垫球次数达到某一标准及以上，则记为满分．在一次班会中，小明得知以下信息：若每秒钟垫球若干次，则一分钟后垫球次数比满分标准多出次；若每秒钟垫球次数是原来的倍，则一分钟后垫球次数是满分标准的倍少个．求垫球满分的标准是每分钟多少个？ 题型六：方案选择 11．（23-24七年级下·吉林）甲地欲往外地运输一批水果，有火车和汽车两种运输方式，运输过程中的损耗均为元/时，其它主要参考数据如下： 运输工具 途中平均速度（千米/时） 运费（元/千米） 装卸费（元） 火车 汽车 (1)如果运往乙地，汽车的费用比火车的费用多元，求甲、乙两地间的路程；（费用包含损耗、运费和装卸费） (2)如果运往丙地，已知甲、丙两地间的路程为千米，通过计算选择哪种运输方式比较合算． 12．（23-24七年级上·浙江金华·期末）中国移动全球通有两种通话计费方法（接听全免，接听时间不计入通话时间）： 计费方法A是每月收月租费48元，通话时间不超过50分钟的部分免费，超过50分钟的按每分钟0.25元加收通话费；计费方法B是每月收取月租费88元，通话时间不超过200分钟的部分免费，超过200分钟的按每分钟0.19元加收通话费． (1)某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用多少元？ (2)用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是多少分钟？ (3)用计费方法B的用户某个月累计费用126元，若改用计费方法A的方式，费用是增加还是减少？相差多少？ 题型七：数字问题 13．（24-25七年级上·天津南开·期中）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．在如图所示的幻方中，将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入方格中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数的和都相等，则的值为 ． 7 2 m 5 8 14．（2024七年级上·全国·专题练习）幻方最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则m的值为 ． 题型八：几何问题 15．（24-25七年级上·广东佛山·期中）在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离可以记作或．我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，如：点与点之间的距离表示为．如图，在数轴上，点，，表示的数为，，． (1)直接写出结果， ． (2)设点在数轴上对应的数为．若点为线段上的一个动点，则的化简结果是 ． (3)动点从出发，以每秒个单位的速度沿数轴在，之间向右运动，同时动点从出发，以每秒个单位的速度沿数轴在，之间往返运动，当点运动到时，和两点停止运动．设运动时间为秒，是否存在值，使得？若存在，请直接写出值；若不存在，请说明理由 16．（24-25七年级上·北京·期中）阅读理解：若A，B，C为数轴上三点，当点C到点A的距离是点C到点B的距离的三倍时，我们就称点C是的定位点；当点C到点B的距离是点C到点A的距离的三倍时，我们就称点C是的定位点． 如图所示，数轴上两点A，B，一只蚂蚁从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设蚂蚁所在位置为点P，运动时间为t秒． (1)当时，线段的长是___________，线段的长是___________，此时点P___________（填“是”或“否”）的定位点； (2)在蚂蚁运动过程中，t为何值时，蚂蚁所在位置是的定位点． (3)设一只蜗牛从点A和蚂蚁同时出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动，设蜗牛所在位置为点Q，点A，B，P，Q所表示的数分别是，，，．若，请直接写出一个满足条件的t值． 题型九：和差倍分问题 17．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在清冰雪工作中，某驻哈武警部队出动兵力600人参加三条街路的清冰雪劳动，其中A街路清冰雪的人数占此次出动兵力总人数的，余下的人参加B街路和C街路的清冰雪劳动，并且参加B街路清冰雪的人数是参加C街路的清冰雪人数的． (1)求参加A街路清冰雪劳动共有多少人？ (2)求参加B街路和C街路的清冰雪劳动各有多少人？ (3)在A街路清冰雪过程中，因有其它工作需要，调走了此处的兵力后，附近的居民主动参加劳动，此时在A街路清冰雪的武警官兵人数比居民人数的3倍少6人，求参加清冰雪劳动的居民有多少人？ 18．（23-24七年级下·福建泉州·期中）植树节这一天，七年级（2）班的同学计划种植一批树苗，小康每小时可以种植5棵树苗，小英每小时可以种植4棵树苗，小康和小英两位同学同时种植树苗． (1)经过多长时间他俩一共可以种植27棵树苗？ (2)小英对小康说：“你种得太快了，你比我多种植了5棵树苗了．”请问小康此时种植了多少棵树苗？ 题型十：电费和水费问题 19．（24-25七年级上·全国·期中）某市出租车收费标准是：起步价10元，可乘；到时，超过的部分按元的标准收费；超过时，超过的部分按2元的标准收费．（不足的按计算） (1)若某人乘坐了的路程，则他应支付的费用为 ； (2)若某人乘坐了x（的整数）千米的路程，则他应支付的费用为 ； (3)若某人乘坐出租车共花了15元，问出租车行驶了多少公里？ 20．（24-25七年级上·上海宝山·期中）2015年上海出租车收费标准作了新的调整，起步价调整为14元（0到3公里）；超过3公里并且不超过15公里时，超出的部分每公里2.5元；超过15公里时，超出的部分每公里3.6元． (1)小丽打车去外婆家，如果路程是9公里，那么车费是_________元；如果路程是16公里，那么车费是___________元． (2)小丽打车去外婆家，行程公里，（），那么出租车的费用是多少元？（用含的代数式表示）； (3)如果打车的费用为54.8元，那么小丽去外婆家的路程是多少公里？ 题型十一：日历问题 21．（24-25七年级上·北京·期中）下图是2023年10月的月历，观察月历，回答问题： (1)小明国庆假期外出旅行三天，三天日期之和是12，小明是星期几出发的？ (2)“S型”这个阴影图形覆盖四个方格，设“S型”阴影覆盖的最小数字为m，四个数字之和为S，2023年是建国74周年，S的值能否等于74？若能，求m的值；若不能，说明理由； 22．（24-25七年级上·山西大同·期中）综合与实践 活动再现：在学习第四章《整式的加减》时，我们通过“数学活动”，探究了月历中数字之间的关系和变化规律． 操作发现：如图1是2024年10月的月历，小宇用带阴影的“十”字框框中5个数． (1)这5个数中，最小数与最大数的差是_________； (2)小宇发现当“十”字框任意移动时，框中的5个数之和始终是5的倍数，请通过计算说明他的发现成立． (3)小宇用如图2所示的“凹”字框在月历中任意框中5个数，将这5个数分别用字母a，b，c，d，e表示（如图3）． ①请用只含一个字母的代数式表示这5个数的和．（写出两个不同的代数式） ②这5个数的和能等于101吗？若能，请直接写出这5个数；若不能，请说明理由． 题型十二：古代问题 23．（2024·安徽合肥·模拟预测）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，书中记载：“今有人共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出五钱，还差四十五钱；若每人出七钱，还差三钱．问合伙人数和羊价各是多少？ 24．（23-24七年级上·全国·单元测试）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，房客共六三，大比小多二一．后半部分的意思是：房客共有63人，大人比小孩多21人． (1)求该房客大人，小孩各有多少人？ (2)假设店主李三公推出两种订房方案： 方案一：房客超过40人，超过的按原价八折优惠， 方案二：大人原价，小孩半价． 若诗中“众客”再次一起入住，他们选择哪种方案订房更合算？ 【高分达标】 一、单选题 25．（24-25七年级上·辽宁·期末）有两个数，第一个数比第二个数的倍多，第二个数比第一个数的倍少，问这两个数是多少？设第二个数为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 26．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）我国古代《九章算术》中有一个数学问题，其大意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，就相差16文钱．问买鸡的人数和鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x人，则依题意列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 27．（23-24七年级下·福建·期末）美食俱乐部共有58名成员，每个成员不是胖子就是瘦子．一次聚会时每个胖子带来15个包子分给瘦子，每个瘦子带来14个包子分给胖子．已知，每个胖子分到的包子一样多，每个瘦子分到的包子也一样多（都正好分完）．那么成员中胖子的人数是（　　） A．27 B．28 C．27或30 D．28或29 28．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）一列火车匀速行驶，经过一条长米的隧道，从车头开始进入隧道到车尾离开隧道一共需要秒的时间；在隧道中央的顶部有一盏灯，垂直向下发光照在火车上的时间是秒，设该火车的长度为米，根据题意可列一元一次方程为（　　） A． B． C． D． 29．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）如果吨货物用载重吨的汽车运输比用载重吨的汽车运输要多用辆汽车(汽车均装满)，那么列方程求货物的质量时，下列方程正确的是（  ） A． B． C． D． 30．（23-24七年级上·云南红河·期末）第十九届亚洲运动会开幕式于年月日晚在浙江省杭州市隆重举行．某球赛的比赛记分方法为：胜一场得分，平一场得分，负一场得分，一支球队一共进行了场比赛，输了场，得分．设该球队胜了场，则下列所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 31．（23-24七年级上·河南郑州·期末）新学年，滨河初中篮球社团和音乐社团进行了招募活动．七年级一班共有30位同学报名加入了社团．已知加入篮球社团的人数比加入音乐社团的人数多4人，两个社团都加入的有8人，设加入篮球社团有人，根据题意列方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 32．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图是某年1月份的日历表，在此表上可以用正方形圈出3×3个位置的9个数（如3，4，5，10，11，12，17，18，19），若圈出的9个数中，最大数与最小数的和为42，则这9个数的和为（    ） A．69 B．207 C．84 D．189 33．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）如图，在长方形中，，，点是上的一点，且．点从点出发，以的速度沿点匀速运动，最终到达点．设点运动时间为，若三角形的面积为，则t的值为（   ）    A．或 B．或或 C．或6 D．或6或 二、填空题 34．（24-25七年级上·全国·期末）某车间有22名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母20个或螺栓12个，若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则可列方程为 ． 35．（23-24七年级上·河南郑州·期末）将这9个数填入的方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”（如图①），是世界上最早的幻方，仅可以看到部分数值的“九宫格”（如图②），其中 ． 36．（23-24七年级上·四川成都·期末）举世瞩目的北京冬奥会开幕，各行各业都在用实际行动为冬奥的圆满成功贡献力量．某工厂赶制一批冬奥纪念品，如果只由一个车间生产需要天完成．现计划由部分车间先生产天，然后再增加两个车间一起生产天，完成这项工作．假设这些车间的工人人数相同，工作效率也相同，具体应先安排 个车间进行生产． 37．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设绳长尺，可列一元一次方程为 38．（23-24七年级下·河南周口·期末）在“五一节”期间，某商场对该商场商品进行如下的优惠促销活动：按上述优惠条件，若小华一次性购买售价为80元/件的商品n件时，实际付款504元，则 ． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 小于等于 400元 不优惠 超过400元，但不超过600元 按售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打六折优惠 三、解答题 39．（24-25七年级上·全国·期末）某学校开展以“校外实践活动”为主题的研学活动，组织120名学生参观县文博园和县烈士陵园纪念馆，每一名学生只能参加其中一项活动，学校租车一次性支付车票2200元．车票信息如下： 地点 票价 县烈士陵园纪念馆 20元/人 县文博园 16元/人 (1)参观县烈士陵园纪念馆和县文博园的人数各是多少人？ (2)若学生都去参观县文博园，则能节省车票票款多少元？ 40．（23-24七年级上·河南郑州·期末）好朋友给小亮过生日，如图，现有底面直径为，高为的圆柱形容器，里面装满了果汁，小亮要把果汁分装到底面直径为的个小圆柱形杯子里（每个杯子刚好装满），与好友分享，请你帮他计算杯子的高度． 41．（23-24七年级上·四川达州·期末）2024年春节即将来临，甲、乙两单位准备组织退休职工到某风景区游玩．甲、乙两单位共102人，其中甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够100人．经了解，该风景区的门票价格如下表： 数量（张） 1～50 51～100 101张及以上 单价（元/张） 60 50 40 如果两单位分别单独购买门票，一共应付5500元． (1)如果甲、乙两单位联合起来购买门票，那么比各自购买门票共可以节省多少钱？ (2)甲、乙两单位各有多少名退休职工准备参加游玩？ 42．（23-24七年级上·河南郑州·期末）元旦期间，某运动品牌服装店推出两种优惠活动，并规定一次结账只能选择其中一种． 活动一：所购商品按原价打八折； 活动二：所购商品按原价每满200元减60元．（如：所购商品原价为200元，可减60元，需付款140元；所购商品原价为450元，可减120元，需付款330元） (1)购买一件原价为350元的服装时，选择哪种活动更合算？请说明理由； (2)购买一件原价在400元以下的服装时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求这件服装的原价； (3)小王准备买一件标价460元的上衣和标价320元的运动鞋，请你设计最优惠的付款方法，并求出最优惠的付款金额． 43．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程，已知甲工程队每天的挖掘长度是乙工程队每天挖掘长度的1.5倍，若甲、乙两工程队一起挖掘200米长度的隧道时，共用时间4天． (1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米？ (2)已知该段隧道挖掘工程为600米，甲工程队每天的挖掘费用为6万元，乙工程队每天的挖掘费用为3万元．若安排甲工程队先单独挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程队单独完成，总费用刚好102万元，求甲工程队应先单独挖掘多少天？ 44．（23-24七年级下·山西忻州·期末）涑水河，黄河中游支流，流域位于山西省南部的运城市境内，发源于绛县中条山区陈村峪，向西南流经闻喜县、夏县、运城市盐湖区、临猗县、永济市，于永济市韩阳镇长旺村汇入黄河，为把涑水河打造成集人文自然、创意休闲、文化传承于一体的沿河旅游风景区，现将一段长为225米的河道综合整治任务交由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治10米，共用时20天，甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ 45．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为，0，3，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x． (1)的长为_________． (2)当点P到点M、点N的距离相等时，求x的值． (3)数轴上是否存在点P，使点P到点M、点N的距离之和是8？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由． (4)如果点P以每秒1个单位长度的速度从点O沿数轴向左运动，同时点A和点B分别从点M和点N出发以每秒2 个单位长度和每秒3个单位长度的速度也沿数轴向左运动，当点P到点A、点B的距离相等时，直接写出t的值． 46．（23-24七年级下·山东济宁·期末）如图1，P点从点开始以2厘米/秒的速度沿的方向移动，点从点开始以1厘米/秒的速度沿的方向移动，在直角三角形中，，若厘米，厘米，厘米，如果P、Q同时出发，用(秒)表示移动时间． (1)如图1，若在线段上运动，在线段上运动，当________秒时，； (2)如图2，点在上运动，试求出为何值时，三角形的面积等于三角形面积的； (3)如图3，当点到达点时，P、Q两点都停止运动，试求当为何值时，线段的长度等于线段的长的． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.3实际问题与一元一次方程 【考点归纳】 · 考点一：行程问题 考点二：配套问题 · 考点三：工程问题 考点四：销售盈亏 · 考点五：比赛积分 考点六：方案选择 · 考点七：数字问题 考点八：几何问题 · 考点九：和差倍分问题 考点十：电费和水费问题 · 考点十一：日历问题 考点十二：古代问题 【知识归纳】 实际问题的常见类型： 【题型探究】 题型一：行程问题 1．（23-24七年级上·重庆·期末）元旦假期小李去歌乐山爬山，上山每小时走，下山时按原路返回，下山每小时走，结果上山比下山多花小时，设下山所用时间为x小时，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据实际问题列一元一次方程，根据上山和下山的路程相等，列出方程即可． 【详解】解：设下山所用时间为x小时，则上山的时间为小时，由题意，得： ； 故选B． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）一艘快艇从A码头到B码头顺流行驶，同时一艘游船从B码头出发顺流而下．已知，A、B两码头相距140千米，快艇在静水中的平均速度为67千米/小时，游船在静水中的平均速度为27千米/小时，水流速度为3千米/小时． (1)请计算两船出发航行30分钟时相距多少千米？ (2)如果快艇到达B码头后立即返回，试求两船在航行过程中需航行多少时间恰好相距100千米？ 【答案】(1)120千米 (2)1小时和小时 【分析】（1）利用游船在顺水中的速度为静水速+水速，直接表示出两船的实际水速，即可求出； （2）分两种情况讨论①两船都在顺流而下时②快艇到B码头返回后两船相背而行时；得出两个方程，解出即可． 本题考查一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系列方程是解题的关键． 【详解】（1）解：千米． 即在航行30分钟时两船相距120千米； （2）解：设在出发x小时后两船相距100千米． 第一种情况：两船都在顺流而下时，则 ， 理整得， 解得， 即两船都在顺流而下时，在航行1小时时两船相距100千米． 第二种情况：快艇到B码头返回后两船相背而行时． ∵快艇从A码头到B码头需回时小时． 于是由题意有， 整理得， 解得． 即两船都在相背而行时，在航行小时时两船相距100千米． 综上所述，两船从出发在航行1个小时和小时都恰好相距100千米． 题型二：配套问题 3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺栓或1000个螺母，1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，设安排x名工人生产螺栓，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，正确列方程是解题关键．设安排x名工人生产螺栓，则安排名工人生产螺母，根据“1个螺栓需要配2个螺母”列方程即可． 【详解】解：设安排x名工人生产螺栓，则安排名工人生产螺母， 由题意得：， 故选：C． 4．（23-24七年级上·安徽·期末）某工厂一车间有名工人，其中男生人数比女生人数的倍少人，某月接到加工甲、乙两种零件的工作任务，每个工人每天能加工个甲种零件或个乙种零件.已知，个甲种零件和个乙种零件可以组装成一个丙种零件． (1)该车间男、女生各有多少人？ (2)该车间分别安排多少工人加工甲种零件和乙种零件，能使得每天加工的甲、乙两种零件恰好能全部组装成丙种零件？ 【答案】(1)男生有，女生有人 (2)安排名工人加工甲种零件，安排名工人加工乙种零件 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程； （1）根据题意设该车间有女生人，则男生有人，列方程求解即可； （2）设该车间安排名工人加工甲种零件，则安排名工人加工乙种零件，根据等量关系建立方程即可求解； 【详解】（1）解：设该车间有女生人，则男生有人， 根据题意得：， 解得：， 则人， 答：该车间男生有，女生有人； （2）设该车间安排名工人加工甲种零件，则安排名工人加工乙种零件， 根据题意得：， 解得：， 则， 答：该车间安排名工人加工甲种零件，安排名工人加工乙种零件，能使得每天加工的甲、乙两种零件恰好能全部组装成丙种零件； 题型三：工程问题 5．（24-25七年级上·天津·期中）一项工程，甲队单独做需18天，乙队单独做需24天，如果两队合作8天后，余下的工程再由甲队单独完成． (1)甲队还需多少天才能完成这项工程？ (2)若甲队每天的酬劳为2000元，乙队每天的酬劳为1500元，问完成这项工程共需支付两队多少钱？ 【答案】(1)4天 (2)36000元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，有理数四则混合运算的应用，根据题意，正确列出方程是解答的关键． （1）设这项工程为“1”，设甲队还需x天才能完成这项工程，根据“两队的工程和等于1”列方程求解即可． （2）根据两队完成的天数和各自的报酬求解即可． 【详解】（1）解：设这项工程为“1”，根据题意，甲队、乙队的工作效率分别为，， 设甲队还需x天才能完成这项工程， 根据题意，得， 解得， 答：甲队还需4天才能完成这项工程； （2）解： （元）， 答： 完成这项工程共需支付两队36000元． 6．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨亚冬会的某个比赛场馆正在装修，装修后产生的建筑垃圾需要清理．计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要天，乙车队单独运完需要天．乙车队先运了天，然后甲、乙两车队合作运完剩下的垃圾． (1)甲、乙两车队合作还需要多少天运完垃圾？ (2)已知甲车队每天的租金元，比乙车队少元，运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金多少元？ 【答案】(1)天 (2)元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系并列出方程是解题关键； （1）根据题意首先可以得知甲车效率为每天运送，乙车效率为每天运送，据此设甲、乙两车合作还需要天运完垃圾，然后进一步列出方程求解即可； （2）根据甲车队每天的租金元，比乙车队少元，计算求解即可； 【详解】（1）解：设甲、乙两车合作还需要天运完垃圾， 根据题意得：， 解得：， 答：甲、乙两车合作还需要天运完垃圾． （2）解：乙队一共工作了天，甲队一共工作了天， ， 答：运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金元． 题型四：销售盈亏 7．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某超市第一次用元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的2倍，甲、乙两种商品的进价和售价如表：（注：获利售价进价） 甲 乙 进价/（元/件） 售价/（元/件） (1)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品各多少件？ (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍．甲商品按原价销售，乙商品降价销售，第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多元，求第二次乙商品的售价是多少？ 【答案】(1)购进甲商品件，购进乙商品件 (2)第二次乙商品的售价为元 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，商品的打折销售问题，掌握利用一元一次方程解决商品的打折销售问题是解题的关键． （1）设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，利用第一次购进甲、乙两种商品的总价为元，可得，再解方程可得结论； （2）设第二次购进乙种商品是按原价打y折销售，可得：，解方程后可得答案． 【详解】（1）设购进甲商品x件，则购进乙商品件， ， 解得：， ∴， ∴购进甲商品件，购进乙商品件． （2）第二次购进甲商品件， 第二次购进乙商品（件）， 第一次利润为（元） 设第二次乙商品售价为y元， ， 解得： 第二次乙商品的售价为元． 8．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）红光水果加工厂收购了29吨雪梨．经市场预测，若直接销售，每吨可获利0.05万元；若经过加工包装后销售，每吨可获利0.4万元；若制成雪梨罐头出售，每吨可获利0.6万元．该工厂的加工能力是：每天可包装5吨或制成罐头3吨，受人员限制，同一天内两种加工方式不能同时进行，受气温限制，这些雪梨必须在7天内全部销售或加工完毕，为此，工厂研制了二种方案： 方案一：尽可能多的做成罐头，余下的直接销售； 方案二：部分制成罐头，其余进行加工包装，并恰好7天完成． (1)请比较说明哪种方案可使工厂所获利润最多？ (2)水果加工厂欲将（1）问中获利最多方案制成的所有雪梨罐头由加工厂运到市场售卖，已知有甲、乙两家运输公司都可以承担此次运输，要收取的费用如下表： 运输公司 运输单价（元/吨・千米） 每吨装卸费（元） 甲 5 50 乙 6 30 经水果加工厂计算发现乙运输公司总费用比甲运输公司总费用多243元，求水果加工厂到市场的距离． 【答案】(1)方案二可使工厂所获利润最多； (2)加工厂到市场的距离为47千米． 【分析】本题考查一元一次方程的运用，解题的关键在于根据题意得到等量关系． （1）分别算出方案一和方案二所获利润，再进行比较即可解题； （2）设加工厂到市场的距离为x千米，根据题意建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：方案一：（万元）， 方案二：设吨制成罐头，则吨进行加工包装， ， 解得， 获利：（万元）， ， 方案二可使工厂所获利润最多； （2）解：设加工厂到市场的距离为x千米， ， 解得， 答：加工厂到市场的距离为47千米． 题型五：比赛积分 9．（24-25七年级上·山东青岛·开学考试）学校举行了环保知识竞赛，竞赛中每答对一题加5分，答错一题扣3分，一共20道题，小芳完成了全部答题，并在本次竞赛中获得了84分，她做对了几题？ 【答案】18道题 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程．设她答对了道题，根据晓蕾同学在该知识竞赛中的得分是84分，列方程求解即可． 【详解】解：设她答对了道题，则答错道题． 根据题意，得． 解得． 答：她答对了18道题． 10．（2024·陕西西安·模拟预测）某市中考体育测试中包含一分钟排球垫球项目，考试规则为：学生垫球一分钟，若垫球次数达到某一标准及以上，则记为满分．在一次班会中，小明得知以下信息：若每秒钟垫球若干次，则一分钟后垫球次数比满分标准多出次；若每秒钟垫球次数是原来的倍，则一分钟后垫球次数是满分标准的倍少个．求垫球满分的标准是每分钟多少个？ 【答案】个 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设每秒钟垫球次，则一分钟后垫球次数比满分标准多出次，则垫球满分要求的每分钟的标准次数为次，列方程得，解方程求出的值，再求出代数式的值即得到问题的答案．正确理解题意，找出等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设每秒钟垫球次，则垫球满分的标准是每分钟次， 根据题意，得：， 解得：， ∴（个）， 答：垫球满分的标准是每分钟个． 题型六：方案选择 11．（23-24七年级下·吉林）甲地欲往外地运输一批水果，有火车和汽车两种运输方式，运输过程中的损耗均为元/时，其它主要参考数据如下： 运输工具 途中平均速度（千米/时） 运费（元/千米） 装卸费（元） 火车 汽车 (1)如果运往乙地，汽车的费用比火车的费用多元，求甲、乙两地间的路程；（费用包含损耗、运费和装卸费） (2)如果运往丙地，已知甲、丙两地间的路程为千米，通过计算选择哪种运输方式比较合算． 【答案】(1)千米； (2)选择汽车运输比较合算． 【分析】（）设甲、乙两地间的路程为千米，根据题意列出方程即可求解； （）分别求出两种方式的运输费用，再比较即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲、乙两地间的路程为千米， 由题意得，， 解得， 答：甲、乙两地间的路程为千米； （2）解：选择火车运输的费用为元， 选择汽车运输的费用为元， ∵， ∴选择汽车运输比较合算． 12．（23-24七年级上·浙江金华·期末）中国移动全球通有两种通话计费方法（接听全免，接听时间不计入通话时间）： 计费方法A是每月收月租费48元，通话时间不超过50分钟的部分免费，超过50分钟的按每分钟0.25元加收通话费；计费方法B是每月收取月租费88元，通话时间不超过200分钟的部分免费，超过200分钟的按每分钟0.19元加收通话费． (1)某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用多少元？ (2)用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是多少分钟？ (3)用计费方法B的用户某个月累计费用126元，若改用计费方法A的方式，费用是增加还是减少？相差多少？ 【答案】(1)某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用60.5元 (2)用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是300分钟 (3)若改用计费方法A的方式，费用增加了，相差9.5元 【分析】本题考查有理数的混合运算、一元一次方程的应用，理解两种“计费方法”的意义是正确解答的关键． （1）根据计费方法A的计费标准进行计算即可； （2）先估算通话时间，再利用计费方法B的解法标准进行计算即可； （3）求出用计费方法B的用户某个月累计费用126元的通话时间，再根据通话时间与计费方法A计算费用，比较得出答案． 【详解】（1）解：当通话时间为100分钟时，应付费（元）， 答：某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用60.5元； （2）解：由于用计费方法B的用户某个月累计费用107元大于88元，因此通话时间大于200分钟，设通话时间是分钟， 则， 解得， 答：用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是300分钟； （3）解：设通话时间是分钟，由题意可得 ， 解得， 当通话时间为400分钟时，（元）， （元）， 答：若改用计费方法A的方式，费用增加了，相差9.5元． 题型七：数字问题 13．（24-25七年级上·天津南开·期中）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．在如图所示的幻方中，将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入方格中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数的和都相等，则的值为 ． 7 2 m 5 8 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键． 如图，依题意得，，计算求解即可． 【详解】解：如图， a 7 2 m 5 8 ∵每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数的和都相等， ∴， 解得，， 故答案为：1． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）幻方最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则m的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设左下角方格中的数是x， ∵每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：16． 题型八：几何问题 15．（24-25七年级上·广东佛山·期中）在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离可以记作或．我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，如：点与点之间的距离表示为．如图，在数轴上，点，，表示的数为，，． (1)直接写出结果， ． (2)设点在数轴上对应的数为．若点为线段上的一个动点，则的化简结果是 ． (3)动点从出发，以每秒个单位的速度沿数轴在，之间向右运动，同时动点从出发，以每秒个单位的速度沿数轴在，之间往返运动，当点运动到时，和两点停止运动．设运动时间为秒，是否存在值，使得？若存在，请直接写出值；若不存在，请说明理由 【答案】(1) (2) (3)存在值，使得，的值为或或或 【分析】本题考查用数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离及一元一次方程的应用， （1）用绝对值计算数轴上两点之间的距离即可； （2）依题意，，表示线段的长度，据此作答即可； （3）写出点M表示的数，分别写出当和时点表示的数，根据列绝对值方程并求解即可； 解题的关键是准确表示出两点之间的距离． 【详解】（1）解：依题意，得：， 故答案为：； （2）∵点为线段上的一个动点，点在数轴上对应的数为， ∴， ∴的化简结果是， 故答案为：； （3）∵动点从出发，以每秒个单位的速度沿数轴在，之间向右运动，运动时间为秒， ∴点表示的数为：， ∴， 当时，点表示的数为：， ∴， 当时，得：， ∴或， 解得：或； 当时，点表示的数为：， ∴， 当当时，得：， ∴或， 解得：或； 综上所述，存在值，使得，的值为或或或． 16．（24-25七年级上·北京·期中）阅读理解：若A，B，C为数轴上三点，当点C到点A的距离是点C到点B的距离的三倍时，我们就称点C是的定位点；当点C到点B的距离是点C到点A的距离的三倍时，我们就称点C是的定位点． 如图所示，数轴上两点A，B，一只蚂蚁从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设蚂蚁所在位置为点P，运动时间为t秒． (1)当时，线段的长是___________，线段的长是___________，此时点P___________（填“是”或“否”）的定位点； (2)在蚂蚁运动过程中，t为何值时，蚂蚁所在位置是的定位点． (3)设一只蜗牛从点A和蚂蚁同时出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动，设蜗牛所在位置为点Q，点A，B，P，Q所表示的数分别是，，，．若，请直接写出一个满足条件的t值． 【答案】(1)2；6；否 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，新定义，一元一次方程的应用，解绝对值方程： （1）根据数轴上两点距离计算公式得到，再根据所给的定义判断即可； （2）由题意得，点P表示的数为，则,，根据等腰可得，则，解方程即可得到答案； （3）由题意得，，，，，根据，推出，据此解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，点P即为原点O， ∵点A表示的数为，点B表示的数为6， ∴， ∵， ∴点P不是的定位点， 故答案为：2；6；否； （2）解：由题意得，点P表示的数为， ∴，， ∵蚂蚁所在位置是的定位点， ∴， ∴， ∴或， 解得或； （3）解；由题意得，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（方程无解）或， 解得． 题型九：和差倍分问题 17．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在清冰雪工作中，某驻哈武警部队出动兵力600人参加三条街路的清冰雪劳动，其中A街路清冰雪的人数占此次出动兵力总人数的，余下的人参加B街路和C街路的清冰雪劳动，并且参加B街路清冰雪的人数是参加C街路的清冰雪人数的． (1)求参加A街路清冰雪劳动共有多少人？ (2)求参加B街路和C街路的清冰雪劳动各有多少人？ (3)在A街路清冰雪过程中，因有其它工作需要，调走了此处的兵力后，附近的居民主动参加劳动，此时在A街路清冰雪的武警官兵人数比居民人数的3倍少6人，求参加清冰雪劳动的居民有多少人？ 【答案】(1)240人 (2)B街路：144人；C街路：216人 (3)72人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是理解题意，找出相等关系． （1）直接将计算即可； （2）设未知数，利用总人数为600列出方程即可； （3）根据在A街路清冰雪的武警官兵人数比居民人数的3倍少6人列出方程即可． 【详解】（1）解：（人）， ∴参加A街路清冰雪劳动共有240人； （2）解：设参加C街路的清冰雪劳动有x人， ， ， ∴参加B街路的清冰雪劳动有144人，C街路的清冰雪劳动有216人； （3）设参加清冰雪劳动的居民有y人， ， ， ∴参加清冰雪劳动的居民有72人． 18．（23-24七年级下·福建泉州·期中）植树节这一天，七年级（2）班的同学计划种植一批树苗，小康每小时可以种植5棵树苗，小英每小时可以种植4棵树苗，小康和小英两位同学同时种植树苗． (1)经过多长时间他俩一共可以种植27棵树苗？ (2)小英对小康说：“你种得太快了，你比我多种植了5棵树苗了．”请问小康此时种植了多少棵树苗？ 【答案】(1)经过3小时他俩一共可以种植27棵树苗 (2)小康此时种植了25棵树苗 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出一元一次方程是解决问题的关键． （1）设小时他俩一共可以种植27棵树苗，根据两人的工作总量是种植27棵树苗，列出一元一次方程，解方程即可得出答案； （2）设小英种植了棵树苗，则小康种植了棵树苗，根据两人的工作时间相同，列出一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：设小时他俩一共可以种植27棵树苗， 由题意得：， 解得：3， 答：经过3小时他俩一共可以种植27棵树苗； （2）设小英种植了棵树苗，则小康种植了棵树苗， 由题意得：， 解得：， 则， 答：小康此时种植了25棵树苗． 题型十：电费和水费问题 19．（24-25七年级上·全国·期中）某市出租车收费标准是：起步价10元，可乘；到时，超过的部分按元的标准收费；超过时，超过的部分按2元的标准收费．（不足的按计算） (1)若某人乘坐了的路程，则他应支付的费用为 ； (2)若某人乘坐了x（的整数）千米的路程，则他应支付的费用为 ； (3)若某人乘坐出租车共花了15元，问出租车行驶了多少公里？ 【答案】(1)元 (2)元 (3) 【分析】本题主要考查列代数式及求代数式的值，理解题意，列出相应代数式是解题关键． （1）首先起步价覆盖前，费用为10元．剩余的在到的范围内，按元收费，即元．然后相加即可得出答案 （2）对于x（的整数）千米的路程：起步价覆盖前，费用为10元．接下来的按元收费，即元．超过的部分按2元收费，即元．然后相加即可 （3）首先扣除起步价和到的费用，剩余的费用为超过的部分产生的，按2元计算，即可解答． 【详解】（1）， ； 故答案为：元 （2）解： ， 故答案为：元． （3）解：设出租车行驶了x公里，根据题意得； 元， ， ， ， ， ， 答：共行驶了6公里． 20．（24-25七年级上·上海宝山·期中）2015年上海出租车收费标准作了新的调整，起步价调整为14元（0到3公里）；超过3公里并且不超过15公里时，超出的部分每公里2.5元；超过15公里时，超出的部分每公里3.6元． (1)小丽打车去外婆家，如果路程是9公里，那么车费是_________元；如果路程是16公里，那么车费是___________元． (2)小丽打车去外婆家，行程公里，（），那么出租车的费用是多少元？（用含的代数式表示）； (3)如果打车的费用为54.8元，那么小丽去外婆家的路程是多少公里？ 【答案】(1)29，47.6 (2) (3)18 【分析】本题考查了利用一元一次方程解决实际问题、列代数式等知识； （1）利用支付的车费起步价超过3公里并且不超过15公里的费用超过15公里的费用，代入数据计算即可； （2）利用支付的车费起步价超过3公里并且不超过15公里的费用，列出代数式即可； （3）根据打车的费用为54.8元，建立方程求得答案即可． 【详解】（1）解：路程是9公里，那么车费是：（元）， 路程是16公里，那么车费是：（元）， 故答案为：29，47.6； （2）解：∵， ∴出租车的费用（元）， 答：出租车的费用是元； （3）解：设小丽去外婆家的路程是x公里， ∵当，打车的费用， ∴，则，解得， 答：小丽去外婆家的路程是18公里． 题型十一：日历问题 21．（24-25七年级上·北京·期中）下图是2023年10月的月历，观察月历，回答问题： (1)小明国庆假期外出旅行三天，三天日期之和是12，小明是星期几出发的？ (2)“S型”这个阴影图形覆盖四个方格，设“S型”阴影覆盖的最小数字为m，四个数字之和为S，2023年是建国74周年，S的值能否等于74？若能，求m的值；若不能，说明理由； 【答案】(1)小明是星期二出发的 (2)的值不能等于74，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用： （1）设小明出发的日期是10月的第x天，可得一元一次方程，然后解方程即可； （2）根据月历的特点可得另外三个数为，则解方程得到，由于10月15日在第一列，故此时不能出现“S型”，据此可得结论． 【详解】（1）解：设小明出发的日期是10月的第x天， 根据题意得：， 解得， ∴小明出发的日期是10月的第3天， 由月历表可知，10月3号为星期二， 答：小明是星期二出发的； （2）解：的值不能等于74，理由如下： ∵“S型”阴影覆盖的最小数字为m， ∴另外三个数为， 若，则， ∵10月15日在第一列， ∴此时不能出现“S型” ∴的值不能等于74． 22．（24-25七年级上·山西大同·期中）综合与实践 活动再现：在学习第四章《整式的加减》时，我们通过“数学活动”，探究了月历中数字之间的关系和变化规律． 操作发现：如图1是2024年10月的月历，小宇用带阴影的“十”字框框中5个数． (1)这5个数中，最小数与最大数的差是_________； (2)小宇发现当“十”字框任意移动时，框中的5个数之和始终是5的倍数，请通过计算说明他的发现成立． (3)小宇用如图2所示的“凹”字框在月历中任意框中5个数，将这5个数分别用字母a，b，c，d，e表示（如图3）． ①请用只含一个字母的代数式表示这5个数的和．（写出两个不同的代数式） ②这5个数的和能等于101吗？若能，请直接写出这5个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；（答案不唯一）②能；15，17，22，23，24 【分析】本题考查了一元一次方程的日历应用，列代数式，有理数的减法应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据这5个数中，最小数是，最大数是，进行减法运算，即可作答． （2）设正中心的数为x，则阴影框中其余的4个数为，，，．再列式，即可作答． （3）①根据这5个数分别用字母a，b，c，d，e表示，所以或，即可作答． ②能，依题意，列式进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，这5个数中，最小数是，最大数是， ∴， 故答案为：； （2）解：设正中心的数为x， 则阴影框中其余的4个数为，，，． ∴． 则这5个数的和为． ∵是正整数， ∴当“十”字框任意移动时，框中的5个数之和始终是5的倍数． （3）解：①∵用如图2所示的“凹”字框在月历中任意框中5个数，将这5个数分别用字母a，b，c，d，e表示， ∴； 或者； ∴这5个数的和为或（答案不唯一） ②能，过程如下： 依题意，， 解得 则， ∴这5个数是15，17，22，23，24． 题型十二：古代问题 23．（2024·安徽合肥·模拟预测）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，书中记载：“今有人共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出五钱，还差四十五钱；若每人出七钱，还差三钱．问合伙人数和羊价各是多少？ 【答案】21人，150元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 设合伙人数为x,根据“若每人出五钱，还差四十五钱；若每人出七钱，还差三钱”， 即可得出关于x的一元一次方程求解可得合伙人数，再将其代入计算即可求出羊价． 【详解】解：设合伙人数为x, 依题意得：，解得：， 则． 答：合伙人数为21，羊价为150钱． 24．（23-24七年级上·全国·单元测试）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，房客共六三，大比小多二一．后半部分的意思是：房客共有63人，大人比小孩多21人． (1)求该房客大人，小孩各有多少人？ (2)假设店主李三公推出两种订房方案： 方案一：房客超过40人，超过的按原价八折优惠， 方案二：大人原价，小孩半价． 若诗中“众客”再次一起入住，他们选择哪种方案订房更合算？ 【答案】(1)房客中大人有人，小孩有人 (2)方案二 【分析】本题考查一元一次方程解实际应用题，最优方案选择等知识，读懂题意，列出方程求解，进而由方案计算费用比较大小是解决问题的关键． （1）设房客中小孩有人，则大人有人，由总人数为人列一元一次方程求解即可得到答案； （2）设每人收费相同，为元，根据两种方案，求出费用比较大小即可得到答案． 【详解】（1）解：设房客中小孩有人，则大人有人， ，解得， 则， 答：房客中大人有人，小孩有人； （2）解：设每人收费相同，为元， 方案一费用：元； 方案二费用：元； ， 若诗中“众客”再次一起入住，他们选择方案二订房更合算． 【高分达标】 一、单选题 25．（24-25七年级上·辽宁·期末）有两个数，第一个数比第二个数的倍多，第二个数比第一个数的倍少，问这两个数是多少？设第二个数为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设第二个数为，则第一个数为，根据题意列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设第二个数为，则第一个数为， 根据题意可列方程：， 故选：． 26．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）我国古代《九章算术》中有一个数学问题，其大意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，就相差16文钱．问买鸡的人数和鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x人，则依题意列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设买鸡的人数为x人，则根据每人出9文钱，就多出11文钱可知鸡的价格为文，再根据每人出6文钱，就相差16文钱列出方程即可． 【详解】解：设买鸡的人数为x人， 由题意得，， 故选：B． 27．（23-24七年级下·福建·期末）美食俱乐部共有58名成员，每个成员不是胖子就是瘦子．一次聚会时每个胖子带来15个包子分给瘦子，每个瘦子带来14个包子分给胖子．已知，每个胖子分到的包子一样多，每个瘦子分到的包子也一样多（都正好分完）．那么成员中胖子的人数是（　　） A．27 B．28 C．27或30 D．28或29 【答案】B 【分析】设美食俱乐部有x名胖子，则有名瘦子（，且为整数），得出.由每个瘦子带来14个包子分给胖子，且每个胖子分到的包子一样多（都正好分完），得出必是15的倍数，求出或28或13，再由于每个胖子带来15个包子分给瘦子，且每个瘦子分到的包子也一样多（都正好分完），得出必是14的倍数，即可得出结论． 此题主要考查了整除问题，得出或30或45是解本题的关键． 【详解】解：设美食俱乐部有x名胖子，则有名瘦子（，且为整数）， 所以，， 因为每个瘦子带来14个包子分给胖子，且每个胖子分到的包子一样多（都正好分完）， 所以必是15的倍数， 所以或30或45， ∴或28或13， 又因为每个胖子带来15个包子分给瘦子，且每个瘦子分到的包子也一样多（都正好分完）， 所以必是14的倍数， 所以， 即美食俱乐部的成员中胖子的人数是28， 故选：B． 28．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）一列火车匀速行驶，经过一条长米的隧道，从车头开始进入隧道到车尾离开隧道一共需要秒的时间；在隧道中央的顶部有一盏灯，垂直向下发光照在火车上的时间是秒，设该火车的长度为米，根据题意可列一元一次方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设该火车的长度为米，根据速度是不变量（速度等于路程除以时间），即可得出关于的一元一次方程，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键． 【详解】解：设该火车的长度为米， 根据题意得：， 故选：． 29．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）如果吨货物用载重吨的汽车运输比用载重吨的汽车运输要多用辆汽车(汽车均装满)，那么列方程求货物的质量时，下列方程正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程的知识．利用“用一辆载货量为1.5吨的汽车比用一辆载货量为4吨的大卡车要多运5次才能运完”这一等量关系列方程即可． 【详解】解：根据题意，可列方程为． 故选：B． 30．（23-24七年级上·云南红河·期末）第十九届亚洲运动会开幕式于年月日晚在浙江省杭州市隆重举行．某球赛的比赛记分方法为：胜一场得分，平一场得分，负一场得分，一支球队一共进行了场比赛，输了场，得分．设该球队胜了场，则下列所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，首先设该球队胜了场，则平了场，根据题意得，读懂题意，列出方程是解题关键． 【详解】解：设该球队胜了场，则平了场， 根据题意列方程为：， 故选：． 31．（23-24七年级上·河南郑州·期末）新学年，滨河初中篮球社团和音乐社团进行了招募活动．七年级一班共有30位同学报名加入了社团．已知加入篮球社团的人数比加入音乐社团的人数多4人，两个社团都加入的有8人，设加入篮球社团有人，根据题意列方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据实际问题列方程，设加入篮球社团有人，得到加入音乐社团有人，结合七年级一班共有30位同学报名加入了社团，且两个社团都加入的有8人，即可得到答案，读懂题意，准确根据等量关系列方程是解决问题的关键． 【详解】解：设加入篮球社团有人，根据题意列方程为， 故选：B． 32．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图是某年1月份的日历表，在此表上可以用正方形圈出3×3个位置的9个数（如3，4，5，10，11，12，17，18，19），若圈出的9个数中，最大数与最小数的和为42，则这9个数的和为（    ） A．69 B．207 C．84 D．189 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用（日历问题），由日历表可知，圈出的9个数中，最大数与最小数的差总为16，故圈出的最小数为x，则圈出的最大数为；接下来根据圈出的9个数中最大数与最小数的和为42可列方程，求解即可得到圈出最小数；此时再根据圈出的9个数中，每一行相邻两数相差1，每一列相邻两数相差7即可写出这9个数，再求和即可． 【详解】解：设圈出的最小数为x，则圈出的最大数为， 由题意得，， 解得， 故圈出的最小的三个数为13，14，15， 下面一行的数分别比上面三个数大7，故为20，21，22， 第三行的数分别比上一行三个数大7，故为27，28，29， 圈出的这9个数的和为：． 故选D． 33．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）如图，在长方形中，，，点是上的一点，且．点从点出发，以的速度沿点匀速运动，最终到达点．设点运动时间为，若三角形的面积为，则t的值为（   ）    A．或 B．或或 C．或6 D．或6或 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的运用，三角形面积公式的运用，梯形面积公式的运用，动点问题，分类讨论等；解答时要运用分类讨论思想求解，避免漏解． 分下列三种情况讨论，如图1，当点在上，即时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可；如图2，当点在上，即时，由建立方程求出其解即可；如图3，当点在上，即时，由建立方程求出其解即可． 【详解】解：如图1，当点在上，即时，   四边形是长方形， ，． ， ， ； 如图2，当点在上，即时，   ， ． ，． ， 解得：； 如图3，当点在上，即时，   ． ， 解得：（舍去）． 综上所述，当或6时的面积会等于18． 故选：C． 二、填空题 34．（24-25七年级上·全国·期末）某车间有22名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母20个或螺栓12个，若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的知识；分配名工人生产螺栓，得生产螺母的工人数为名，再根据题意，得名工人生产的螺母数是名工人生产的螺栓数的2倍，即可列出方程． 【详解】解：若分配名工人生产螺栓，则生产螺母的工人数为名， ∵一个螺栓套两个螺母 ∴名工人生产的螺母数是名工人生产的螺栓数的2倍 ∴， 故答案为：． 35．（23-24七年级上·河南郑州·期末）将这9个数填入的方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”（如图①），是世界上最早的幻方，仅可以看到部分数值的“九宫格”（如图②），其中 ． 【答案】5 【分析】本题考查一元一次方程的应用．根据任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等可得，即可解得答案． 【详解】解：根据任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等可得： ， 解得， 故答案为：5． 36．（23-24七年级上·四川成都·期末）举世瞩目的北京冬奥会开幕，各行各业都在用实际行动为冬奥的圆满成功贡献力量．某工厂赶制一批冬奥纪念品，如果只由一个车间生产需要天完成．现计划由部分车间先生产天，然后再增加两个车间一起生产天，完成这项工作．假设这些车间的工人人数相同，工作效率也相同，具体应先安排 个车间进行生产． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设应先安排个车间进行生产， 依题意得，解方程即可，解题的关键读懂题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【详解】设应先安排个车间进行生产， 依题意得：， 解得：． 则应先安排个车间进行生产， 故答案为：． 37．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设绳长尺，可列一元一次方程为 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 由绳长尺，则可知木长尺，根据“将绳子对折再量木条，木头剩余1尺”，即可得出关于的一元一次方程． 【详解】解：由绳长尺，则木长尺， 根据题意得：． 故答案为：． 38．（23-24七年级下·河南周口·期末）在“五一节”期间，某商场对该商场商品进行如下的优惠促销活动：按上述优惠条件，若小华一次性购买售价为80元/件的商品n件时，实际付款504元，则 ． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 小于等于 400元 不优惠 超过400元，但不超过600元 按售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打六折优惠 【答案】7或8 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设小华在该商场售价为80元/件的m件，分当购买钱数超过400元，但不超过600元，当购买钱数超过600元时，两种情况分别建立方程求解即可． 【详解】解：设小华在该商场购买售价为80元/件的商品n件， 当购买钱数超过400元，但不超过600元时，则， 解得； 当购买钱数超过超过600元时，则， 解得； 答：小华在该商场购买乙种商品7件或8件． 故答案为：7或8 三、解答题 39．（24-25七年级上·全国·期末）某学校开展以“校外实践活动”为主题的研学活动，组织120名学生参观县文博园和县烈士陵园纪念馆，每一名学生只能参加其中一项活动，学校租车一次性支付车票2200元．车票信息如下： 地点 票价 县烈士陵园纪念馆 20元/人 县文博园 16元/人 (1)参观县烈士陵园纪念馆和县文博园的人数各是多少人？ (2)若学生都去参观县文博园，则能节省车票票款多少元？ 【答案】(1)参观县文博园的有50人，参观县烈士陵园纪念馆的有70人 (2)若学生都去参观县文博园，则能节省票款280元． 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键． （1）设参观县烈士陵园纪念馆的有x人，则参观县文博园有人，然后根据题意可列方程进行求解； （2）根据题意可直接进行列式求解． 【详解】（1）解：设参观县烈士陵园纪念馆的有x人，则参观县文博园有人． 依题意，得， 解得， ∴（人）， 答：参观县文博园的有50人，参观县烈士陵园纪念馆的有70人； （2）解：由题意得： （元）． 答：若学生都去参观县文博园，则能节省票款280元． 40．（23-24七年级上·河南郑州·期末）好朋友给小亮过生日，如图，现有底面直径为，高为的圆柱形容器，里面装满了果汁，小亮要把果汁分装到底面直径为的个小圆柱形杯子里（每个杯子刚好装满），与好友分享，请你帮他计算杯子的高度． 【答案】杯子的高度是． 【分析】本题考查了圆柱的体积公式的运用，一元一次方程的几何应用，根据体积相等建立方程是解题的关键． 设杯子的高度为．根据个小圆柱形杯子的体积等于圆柱形容器的体积建立方程，求解即可． 【详解】解：设杯子的高度为． 根据题意，得  ． 解这个方程，得． 所以，杯子的高度是． 41．（23-24七年级上·四川达州·期末）2024年春节即将来临，甲、乙两单位准备组织退休职工到某风景区游玩．甲、乙两单位共102人，其中甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够100人．经了解，该风景区的门票价格如下表： 数量（张） 1～50 51～100 101张及以上 单价（元/张） 60 50 40 如果两单位分别单独购买门票，一共应付5500元． (1)如果甲、乙两单位联合起来购买门票，那么比各自购买门票共可以节省多少钱？ (2)甲、乙两单位各有多少名退休职工准备参加游玩？ 【答案】(1)联合起来购买比各自购买节省了元 (2)甲单位有62人，乙单位有40人 【分析】本题主要考查一元一次方程解决实际问题，理解数量关系，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）根据表格信息，甲、乙单位得人数确定票价，即可求解； （2）设甲单位有人，则乙单位有人，根据甲单位人数的信息确定甲、乙单位得票价，列式求解即可． 【详解】（1）解：∵甲、乙两个单位共有102人， ∴联合起来购买门票的费用为：（元）， ∴（元）， ∴联合起来购买比各自购买节省了元； （2）解：设甲单位有人，则乙单位有人， ∵甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够100人 ∴，即， ∴， 解得，，即甲单位有人， ∴乙单位有（人）， ∴甲单位有62人，乙单位有40人． 42．（23-24七年级上·河南郑州·期末）元旦期间，某运动品牌服装店推出两种优惠活动，并规定一次结账只能选择其中一种． 活动一：所购商品按原价打八折； 活动二：所购商品按原价每满200元减60元．（如：所购商品原价为200元，可减60元，需付款140元；所购商品原价为450元，可减120元，需付款330元） (1)购买一件原价为350元的服装时，选择哪种活动更合算？请说明理由； (2)购买一件原价在400元以下的服装时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求这件服装的原价； (3)小王准备买一件标价460元的上衣和标价320元的运动鞋，请你设计最优惠的付款方法，并求出最优惠的付款金额． 【答案】(1)选择活动一更合算，理由见解析 (2)300元 (3)最优惠的付款方法是上衣和运动鞋分两次付款，上衣选择活动二的付款方式，运动鞋选择活动一的付款方式，最优惠的付款金额为596元 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是仔细审题，列出方程． （1）分别计算出两个活动需要付款价格，进行比较即可； （2）设一件这种服装的原价是元，根据“选择活动一和选择活动二的付款金额相等”列方程求解即可； （3）根据题意得出“最优惠的付款方法是：上衣和运动鞋分两次付款，上衣选择活动二的付款方式，运动鞋选择活动一的付款方式”，再进行计算即可； 【详解】（1）解：（元），（元）， ， ∴选择活动一更合算； （2）解：设这件服装的原价为x元， 若原价少于200元时，则活动一按原价打八折，活动二按原价，此时付款金额不可能相等； ∴这件服装价格在200元以上，400元以下． ， 解得， ∴这件服装的原价是300元； （3）解：，， 最优惠的付款方法是：上衣和运动鞋分两次付款，上衣选择活动二的付款方式，运动鞋选择活动一的付款方式， 需付款的金额为：（元）， 答：最优惠的付款金额为596元． 43．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程，已知甲工程队每天的挖掘长度是乙工程队每天挖掘长度的1.5倍，若甲、乙两工程队一起挖掘200米长度的隧道时，共用时间4天． (1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米？ (2)已知该段隧道挖掘工程为600米，甲工程队每天的挖掘费用为6万元，乙工程队每天的挖掘费用为3万元．若安排甲工程队先单独挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程队单独完成，总费用刚好102万元，求甲工程队应先单独挖掘多少天？ 【答案】(1)甲工程队每天可挖掘隧道30米，乙工程队每天可挖掘隧道20米 (2)8天 【分析】本题考查一元一次方程的应用．理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （1）设乙工程队每天可挖掘隧道x米，则甲工程队每天可挖掘隧道米，根据甲、乙两工程队一起挖掘200米长度的隧道，共用时间4天，列方程求解即可； （2）设甲工程队应先单独挖掘y天，则乙工程队单独挖掘天，根据总费用刚好102万元，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙工程队每天可挖掘隧道x米，则甲工程队每天可挖掘隧道米，根据题意，得 解得： ∴ 答：甲工程队每天可挖掘隧道30米，乙工程队每天可挖掘隧道20米． （2）解：设甲工程队应先单独挖掘y天，则乙工程队单独挖掘天，根据题意，得 解得： 答：甲工程队应先单独挖掘8天． 44．（23-24七年级下·山西忻州·期末）涑水河，黄河中游支流，流域位于山西省南部的运城市境内，发源于绛县中条山区陈村峪，向西南流经闻喜县、夏县、运城市盐湖区、临猗县、永济市，于永济市韩阳镇长旺村汇入黄河，为把涑水河打造成集人文自然、创意休闲、文化传承于一体的沿河旅游风景区，现将一段长为225米的河道综合整治任务交由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治10米，共用时20天，甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ 【答案】75米，150米 【分析】本题一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 设甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道米，根据七作时间等于工作量除以工作效率，以共用时20天为等量关系，列方程求解即可． 【详解】解：设甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道米， 根据题意，得 解得：， 则， 答：甲、乙两工程队分别整治河道75米，150米． 45．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为，0，3，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x． (1)的长为_________． (2)当点P到点M、点N的距离相等时，求x的值． (3)数轴上是否存在点P，使点P到点M、点N的距离之和是8？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由． (4)如果点P以每秒1个单位长度的速度从点O沿数轴向左运动，同时点A和点B分别从点M和点N出发以每秒2 个单位长度和每秒3个单位长度的速度也沿数轴向左运动，当点P到点A、点B的距离相等时，直接写出t的值． 【答案】(1)4 (2) (3)存在，理由见详解 (4)或4 【分析】（1）的长为，即可解答； （2）根据题意列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值； （3）可分为点在点的左侧和点在点的右侧，点在点和点之间三种情况计算； （4）分别根据①当点和点在点同侧时；②当点和点在点异侧时，进行解答即可． 此题主要考查了数轴的应用以及一元一次方程的应用，根据，位置的不同进行分类讨论是解题关键． 【详解】（1）解：依题意，的长为． 故答案为：4； （2）解：根据题意得：， 解得：； （3）解：存在，理由如下： ①当点在点的左侧时． 根据题意得：． 解得：． ②在点和点之间时，则，方程无解，即点不可能在点和点之间． ③点在点的右侧时，． 解得：． 的值是或5； （4）解：设运动秒时，点到点，点的距离相等，即． 点对应的数是，点对应的数是，点对应的数是． ①当点和点在点同侧时，点和点重合， 所以， 解得，符合题意． ②当点和点在点异侧时，点位于点的左侧，点位于点的右侧（因为三个点都向左运动，出发时点在点左侧，且点运动的速度大于点的速度，所以点永远位于点的左侧）， 故．． 所以， 解得，符合题意． 综上所述，的值为或4． 46．（23-24七年级下·山东济宁·期末）如图1，P点从点开始以2厘米/秒的速度沿的方向移动，点从点开始以1厘米/秒的速度沿的方向移动，在直角三角形中，，若厘米，厘米，厘米，如果P、Q同时出发，用(秒)表示移动时间． (1)如图1，若在线段上运动，在线段上运动，当________秒时，； (2)如图2，点在上运动，试求出为何值时，三角形的面积等于三角形面积的； (3)如图3，当点到达点时，P、Q两点都停止运动，试求当为何值时，线段的长度等于线段的长的． 【答案】(1)4 (2)秒时，三角形的面积等于三角形面积的 (3)t为秒或16秒时， 【分析】本题考查了三角形面积、一元一次方程以及分类讨论等知识，本题综合性强，解题的关键是理解题意，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）当在线段上运动，在线段上运动时，厘米，厘米，则厘米，由，可得方程，解方程即可． （2）当在线段上时，厘米，则厘米，根据三角形的面积等于三角形面积的，列出方程即可解决问题． （3）分三种情形讨论即可①当时，在线段上运动，在线段上运动．②当时，Q在线段上运动，在线段上运动．③当时，在线段上运动，在线段上运动时，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：当在线段上运动，在线段上运动时，厘米，厘米， 则厘米， 即秒时，， 故答案为：4； （2）解：当在线段上时，厘米， 则厘米， ∵三角形的面积等于三角形面积的， 解得：． 即秒时，三角形的面积等于三角形面积的． （3）解：由题意可知，在线段上运动的时间为12秒，在线段上运动时间为8秒， ①当时，在线段上运动，在线段上运动，厘米，厘米， 则厘米，厘米， ， ， 解得(不合题意舍去)． ②当时，在线段上运动，在线段上运动，厘米， 则厘米，厘米， ∵， ， 解得； ③当时，在线段上运动，在线段上运动时， 则厘米，厘米， ， ， 解得， 综上所述，为秒或16秒时，． 2 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