5.2解一元一次方程【7大题型】-2024-2025学年七年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版2024）

5.2解一元一次方程 【考点归纳】 · 考点一：合并同类项和移项 · 考点二：去括号问题 · 考点三：去分母问题 · 考点四：解一元一次方程的过程 · 考点五：解一次一次方程 · 考点六：一元一次方程的解的应用 · 考点七：解新定义方程问题 【知识梳理】 知识点一：移项 移项：方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。 移项的依据： （1） 移项实际上就是对方程两边进行同时加减，根据是等式的性质1； （2）系数化为1实际上就是对方程两边同时乘除，根据是等式的性质2。 移项的作用：移项时一般把含未知数的项向左移，常数项往右移，使左边对含未知数的项合并，右边对常数项合并。 注意：移项时要跨越“=”号，移过的项一定要变号。 知识点二：解一元一次方程步骤 ①去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的项；分子是一个整体，去分母后应加上括号；去分母与分母化整是两个概念，不能混淆； ②去括号：遵从先去小括号，再去中括号，最后去大括号；不要漏乘括号的项；不要弄错符号； ③移项：把含有未知数的项移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边（移项要变符号） 移项要变号； ④合并同类项：不要丢项，解方程是同解变形，每一步都是一个方程，不能像计算或化简题那样写能连等的形式； ⑤系数化为1：:字母及其指数不变系数化成1，在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解。不要分子、分母搞颠倒。 【题型探究】 题型一：合并同类项和移项 1．（24-25七年级上·广西桂林·期中）下列各式的变形中，属于移项的是（　　） A．由变形为 B．由变形为 C．由变形为 D．由变形为 2．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）在解方程时，下列移项正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·辽宁·模拟预测）在解方程时，经过移项后的式子为（    ） A． B． C． D． 题型二：去括号问题 4．（24-25七年级上·全国·期中）下列算式，运算正确的是（  ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·全国·单元测试）解方程 ，去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）在解方程时，去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 题型三：去分母问题 7．（23-24七年级下·山西长治·阶段练习）解方程，去分母后正确的是(　　) A． B． C． D． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）把方程去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·全国）解方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 题型四：解一元一次方程的过程 10．（24-25七年级上·广西崇左·期中）下列选项正确的是（    ） A．方程去分母，得 B．方程移项，得 C．方程去括号，得 D．方程系数化为1，得 11．（24-25八年级上·全国·开学考试）研究下面解方程的过程： 去括号，得，① 移项，得，② 合并同类项，得，③ 两边都除以6，得．④ 以上解题过程中，最先出现错误的步骤是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 12．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列解方程变形错误的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由去分母得 题型五：解一次一次方程 13．（2024七年级上·全国）解下列方程： (1)； (2)； (3)． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）解下列方程： (1)； (2)． 15．（24-25七年级上·全国·期中）解方程 (1) (2) (3) (4) 题型六：一元一次方程的解的应用 16．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）已知关于x的方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是（    ） A．21 B．0 C．1 D． 17．（23-24七年级下·河南南阳·期末）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（　　） A． B． C． D． 18．（23-24七年级下·山西临汾·阶段练习）嘉嘉同学在解关于x的方程时，由于粗心大意，误将等号左边的“”看作了“”，其他解题过程均正确，从而解得方程的解为，则原方程的解是（    ） A． B． C． D． 题型七：解新定义方程问题 19．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨）已知a、b为有理数，且，若关于x的一元一次方程的解为，则此方程为“合并式方程”．例如：，∴此方程为“合并式方程”，请根据上述定义解答下列问题： (1)一元一次方程是否是“合并式方程”？并说明理由； (2)若关于x的一元一次方程是“合并式方程”，且它的解为，求a、b的值． 20．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）我们规定：如果两个一元一次方程的解之和为，我们称这两个方程为“仁爱”方程，例如： 方程和为“仁爱”方程． (1)方程和 “仁爱”方程；（填“是”或“不是”） (2)关于的一元一次方程和是“仁爱”方程， 求的值； (3)关于的一元一次方程 和 是“仁爱”方程，求关于的一元一次方程 的解． 21．（24-25七年级上·全国·期末）已知多项式，． (1)若代数式的值与x无关，求m，n的值． (2)在（1）的条件下，若关于x的方程有无数个解，求a，b的值． (3)在（2）的条件下，关于x的方程有无数个解，求c的值． 【高分达标】 一、单选题 22．（2024七年级上·全国）如果的解与的解相同，则a的值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 23．（2024七年级上·全国·专题练习）小马虎在做作业，不小心将方程 中的一个常数污染了，怎么办？他翻开书后的答案，发现方程的解是 ．请问这个被污染的常数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 24．（2024七年级上·全国·专题练习）下列变形正确的是（   ） A．将方程去括号，得 B．将方程去括号、移项、合并同类项，得 C．将方程去括号，得 D．将方程去括号，得 25．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设为任意两个有理数，规定，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 26．（23-24八年级下·浙江温州·开学考试）下列各题正确的是 （   ） A．由移项得 B．由去分母得 C．由去括号得 D．由去括号、移项、合并同类项得 27．（23-24七年级下·重庆·开学考试）若关于x的一元一次方程有负整数解，则所有符合条件的整数m之和为（    ） A．2 B． C．0 D． 28．（23-24七年级下·河南周口·期末）对于实数a，b，c，d规定一种运算：，如，那么时，（　　） A． B． C． D． 29．（23-24七年级下·四川内江·阶段练习）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 30．（23-24七年级下·四川内江·期末）若关于的方程有整数解，那么满足条件的整数的取值个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 31．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）当x的值为 时，单项式与是同类项． 32．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）关于x的方程与的解相同，则m的值为 ． 33．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）方程，■处是被墨水盖住的常数，已知方程的解是，那么■处的常数是 ． 34．（24-25七年级上·陕西西安·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式的几何意义是“数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离”，请根据上述材料，尝试解决下列问题：的最小值是5，则 . 35．（24-25七年级上·重庆秀山·阶段练习）一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：．我们称使得成立的一对数为“相伴数对”，记为．若是“相伴数对”，则 ；若是“相伴数对”，则的值为 ． 36．（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于x的方程的解是整数，且k也是整数，则满足条件的所有k值的和为 ． 三、解答题 37．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解方程 (1) (2) (3) (4) 38．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)． 39．（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； 40．（2024七年级上·全国·专题练习）解下列方程： (1)； (2)； (3)． (4)． 41．（2024七年级上·全国·专题练习）根据绝对值定义，若有，则或，若，则，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如：． 解：方程可化为：或， 当时，则有，； 当时，则有，； 综上，方程的解为或． (1)解方程：； (2)已知，求的值． 42．（2024七年级上·全国·专题练习）先阅读下面的材料，再解答问题：解含有绝对值符号的方程时，关键是去掉绝对值符号，下面采用“找零点”的方法来求解这类方程． 例：解绝对值方程：． 解：分别令，，解得：，， 用2，将数轴分成三个区域，然后在每个区域内去掉绝对值求解， 当时，原方程可化为，解得：，检验符合； 当时，原方程可化为，解得：，经检验，它不在范围内，故不是原方程的解； 当时，原方程可化为，解得：，检验符合； 综上，原方程的解为或． 阅读完上述材料，试解下面含绝对值的方程： ． 43．（24-25七年级上·重庆）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上数到原点的距为为4，x可能在原点左边4个单位，此时的值为______，x也可能在原点右边4个单位，此时的值为______． (2)与3之间的距离表示为______，结合上面的理解，若，则______． (3)当是______时，代数式． (4)当取最大值时，的取值范围是______，最大值为______． (5)若点表示的数，点与点的距离是5，且点在点的右测，动点P、Q分别从、同时出发沿数轴正方向运动，点的速度是每秒3个单位长度，点的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，？（请写出必要的求解过程） 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.2解一元一次方程 【考点归纳】 · 考点一：合并同类项和移项 · 考点二：去括号问题 · 考点三：去分母问题 · 考点四：解一元一次方程的过程 · 考点五：解一次一次方程 · 考点六：一元一次方程的解的应用 · 考点七：解新定义方程问题 【知识梳理】 知识点一：移项 移项：方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。 移项的依据： （1） 移项实际上就是对方程两边进行同时加减，根据是等式的性质1； （2）系数化为1实际上就是对方程两边同时乘除，根据是等式的性质2。 移项的作用：移项时一般把含未知数的项向左移，常数项往右移，使左边对含未知数的项合并，右边对常数项合并。 注意：移项时要跨越“=”号，移过的项一定要变号。 知识点二：解一元一次方程步骤 ①去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的项；分子是一个整体，去分母后应加上括号；去分母与分母化整是两个概念，不能混淆； ②去括号：遵从先去小括号，再去中括号，最后去大括号；不要漏乘括号的项；不要弄错符号； ③移项：把含有未知数的项移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边（移项要变符号） 移项要变号； ④合并同类项：不要丢项，解方程是同解变形，每一步都是一个方程，不能像计算或化简题那样写能连等的形式； ⑤系数化为1：:字母及其指数不变系数化成1，在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解。不要分子、分母搞颠倒。 【题型探究】 题型一：合并同类项和移项 1．（24-25七年级上·广西桂林·期中）下列各式的变形中，属于移项的是（　　） A．由变形为 B．由变形为 C．由变形为 D．由变形为 【答案】D 【分析】此题考查了等式的性质，一元一次方程的解法-移项，直接利用移项的定义分析得出答案，正确掌握移项定义是解题关键． 【详解】解：A、由变形为，不属于移项，故选项不符合题意； B、由变形为，不属于移项，故选项不符合题意； C、由变形为，不属于移项，故选项不符合题意； D、由变形为，属于移项，故选项符合题意； 故选：D． 2．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）在解方程时，下列移项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据等式的性质进行移项即可得到答案． 【详解】解： 移项得：或， ∴四个选项中只有D选项符合题意； 故选：D． 3．（2024·辽宁·模拟预测）在解方程时，经过移项后的式子为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题主要考查了一元一次方程的解法，解题的关键是掌握一元一次方程的解法． 根据一元一次方程的解法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为一的方法解答即可． 【详解】解：， 移项得， 化简得， 故选：A． 题型二：去括号问题 4．（24-25七年级上·全国·期中）下列算式，运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要查了去括号．根据去括号法则解答，即可求解． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 5．（23-24七年级上·全国·单元测试）解方程 ，去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键．去括号时，一是注意不要漏乘括号内的项，二是明确括号前的符号． 【详解】解：， 去括号，得． 故选D． 6．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）在解方程时，去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．方程去括号得到结果，即可做出判断． 【详解】解：将方程去括号，得． 故选：D 题型三：去分母问题 7．（23-24七年级下·山西长治·阶段练习）解方程，去分母后正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据等式的性质去分母，方程两边同时乘以，即可求解． 【详解】解： 方程两边同时乘以得， 故选：B． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）把方程去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据等式的性质将等式两边同时乘6，去分母即可． 【详解】解：， 去分母，得， 故选：C． 9．（24-25七年级上·全国·课后作业）解方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握去分母的方法是解题的关键． 方程两边同时乘以12，计算即可． 【详解】解：方程两边同时乘以12，得， 即， 故选：B． 题型四：解一元一次方程的过程 10．（24-25七年级上·广西崇左·期中）下列选项正确的是（    ） A．方程去分母，得 B．方程移项，得 C．方程去括号，得 D．方程系数化为1，得 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程时要注意下面这些易错点：去分母不要漏乘；去括号时，当括号前是“”时，记住括号里的各项都要变号；移项时要变号；在系数化为1时，方程两边应除以一次项系数；根据解一元一次方程时的易错点逐项进行判断即可． 【详解】A、去分母时，方程右边数1漏乘了6，故错误； B、方程左边8移项后没有变号，故错误； C、变形正确； D、系数化为1时，方程两边应除以，而不是乘以，故错误； 故选：C． 11．（24-25八年级上·全国·开学考试）研究下面解方程的过程： 去括号，得，① 移项，得，② 合并同类项，得，③ 两边都除以6，得．④ 以上解题过程中，最先出现错误的步骤是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的求解．熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤是解题的关键，注意：括号前是负号去括号时括号中各项都变号． 根据解方程的方法和步骤即可判断，括号前是负号去括号时括号中各项都变号． 【详解】去括号，得， ①变形错误． 故选：A． 12．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列解方程变形错误的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由去分母得 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．根据一元一次方程的解法判断即可． 【详解】解：A、由得，故选项A不符合题意； B、由得，故选项B不符合题意； C、由得，故选项C不符合题意； D、由去分母得，故选项D符合题意； 故选：D． 题型五：解一次一次方程 13．（2024七年级上·全国）解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的步骤与方法是解本题的关键． （1）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可． （2）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可． （3）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可． 【详解】（1）解：先去括号得 移项得 合并同类项得 解得． （2）解：去括号得 移项得 合并同类项得 ， 解得． （3）解： 去括号得：， 移项得：． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查解一元一次方程，根据方程的特点选择恰当的解法是解题的关键， （1）去分母解方程即可； （2）先去括号，再移项，合并同类项解方程． 【详解】（1）解：原方程可变形为． 方程两边分别通分后相加，得， 即． 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 两边同时除以5，得． （2）去中括号，得． 去小括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 两边同时除以，得． 15．（24-25七年级上·全国·期中）解方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是： （1）按照去括号，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． （2）按照去括号，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． （3）按照去括号，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． （4）按照去分母，去括号，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （3）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （4）解∶原方程变形为， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 题型六：一元一次方程的解的应用 16．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）已知关于x的方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是（    ） A．21 B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的特殊解法，先把关于y的原方程化，再根据关于x的方程的解是得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于x的方程的解是， ∴关于y的一元一次方程的解满足， ∴， 故选：B． 17．（23-24七年级下·河南南阳·期末）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，根据已知条件得出方程，求出方程的解即可，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵一元一次方程的解为， ∴关于的一元一次方程的解为， 解得：， 故选：． 18．（23-24七年级下·山西临汾·阶段练习）嘉嘉同学在解关于x的方程时，由于粗心大意，误将等号左边的“”看作了“”，其他解题过程均正确，从而解得方程的解为，则原方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求含参数一元一次方程的值，熟练掌握一元一次方程的计算方法是解题的关键，利用“将错就错”的方法求出的值，再将代入原方程即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：的解为， 将代入中，得： ∴， 再将代入中，得： ∴， 故选：A． 题型七：解新定义方程问题 19．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨）已知a、b为有理数，且，若关于x的一元一次方程的解为，则此方程为“合并式方程”．例如：，∴此方程为“合并式方程”，请根据上述定义解答下列问题： (1)一元一次方程是否是“合并式方程”？并说明理由； (2)若关于x的一元一次方程是“合并式方程”，且它的解为，求a、b的值． 【答案】(1)不是合并式方程，理由见解析； (2)． 【分析】（1）根据“合并式方程”的定义进行计算即可； （2）由“合并式方程”的定义可得，解方程组即可． 本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程，已知式子的值求代数值的值，理解一元一次方程的解的定义以及“合并式方程”的定义是解决问题的关键． 【详解】（1）解：依题意，一元一次方程的解为， 而， ∴一元一次方程不是“合并式方程”； （2）解： 关于的一元一次方程是“合并式方程”，且它的解为， ， 即， ∵，它的解为， ∴ 把代入 得 解得， 再把代入 解得， 答：． 20．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）我们规定：如果两个一元一次方程的解之和为，我们称这两个方程为“仁爱”方程，例如： 方程和为“仁爱”方程． (1)方程和 “仁爱”方程；（填“是”或“不是”） (2)关于的一元一次方程和是“仁爱”方程， 求的值； (3)关于的一元一次方程 和 是“仁爱”方程，求关于的一元一次方程 的解． 【答案】(1)不是； (2)； (3)． 【分析】（）分别解出两个方程，再根据“仁爱”方程的定义，即可求解； （）分别解出两个方程，再根据“仁爱”方程的定义，即可求解； （）先解出由的解为，再根据“仁爱”方程的定义，得关于的一元一次方程的解为，由得，然后对比即可求解； 本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法，理解“仁爱”方程的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由， ， ∴， 即的解是； 由 ， ， ∴， 即的解是； ∵， ∴方程和 不是“仁爱”方程， 故答案为：不是； （2）解：由，得； 由， ， ， ∴， ∵关于的一元一次方程和是“仁爱”方程， ∴， 解得：； （3）解：由得， ∵关于的一元一次方程和是“仁爱”方程， ∴关于的一元一次方程的解为， ∵由得， ∴， ∴， ∴关于的一元一次方程的解为． 21．（24-25七年级上·全国·期末）已知多项式，． (1)若代数式的值与x无关，求m，n的值． (2)在（1）的条件下，若关于x的方程有无数个解，求a，b的值． (3)在（2）的条件下，关于x的方程有无数个解，求c的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，解一元一次方程： （1）根据正数的加减计算法则求出的结果，根据代数式的值与x无关，可得的结果中含x的项的系数都为0，据此求解即可； （2）根据（1）所求得到，则关于x的方程有无数个解，即关于x的方程有无数个解，据此可得，可得； （3）根据（2）所求得到关于x的方程有无数个解，讨论x的取值范围去绝对值，根据方程有无数解进行求解即可． 【详解】（1）解；∵，， ∴ ， ∵代数式的值与x无关， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵关于x的方程有无数个解， ∴关于x的方程有无数个解， ∴关于x的方程有无数个解， ∴， ∴； （3）解：∵关于x的方程有无数个解， ∴关于x的方程有无数个解， 当时，则，解得，即当时，对于任意的x只要满足，都满足，即此时方程有无数解； 当时，则，解得，此时方程只有一个解，不符合题意； 当时，则，解得，即当时，对于任意的x只要满足，都满足，即此时方程有无数解； 综上所述，． 【高分达标】 一、单选题 22．（2024七年级上·全国）如果的解与的解相同，则a的值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】此题主要考查了同解方程，首先计算出方程的解，再把x的值代入方程，解出a即可． 【详解】解：， 解得：， 把代入中得：， 解得：． 故选：A． 23．（2024七年级上·全国·专题练习）小马虎在做作业，不小心将方程 中的一个常数污染了，怎么办？他翻开书后的答案，发现方程的解是 ．请问这个被污染的常数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是一元一次方程的解得定义以及一元一次方程的解法，掌握方程的解得定义是解题的关键．设被污染的数字为y，将代入，得到关于y的方程，从而可求得y的值． 【详解】解：设被污染的数字为y． 将代入得：． 解得：． 故选：B． 24．（2024七年级上·全国·专题练习）下列变形正确的是（   ） A．将方程去括号，得 B．将方程去括号、移项、合并同类项，得 C．将方程去括号，得 D．将方程去括号，得 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据解一元一次方程的步骤依次计算可得答案． 【详解】解：A． 将方程去括号，得，原式变形错误，不符合题意； B． 将方程去括号、移项、合并同类项，得，原式变形正确，符合题意； C． 将方程去括号，得，原式变形错误，不符合题意； D． 将方程去括号，得，原式变形错误，不符合题意； 故选：B． 25．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设为任意两个有理数，规定，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解一元一次方程的解，根据新定义得到关于m的方程是解题的关键．利用题中的新定义化简，然后解一元一次方程即可求出m的值． 【详解】解：根据题意得：， 即， 解得：， 故选：D． 26．（23-24八年级下·浙江温州·开学考试）下列各题正确的是 （   ） A．由移项得 B．由去分母得 C．由去括号得 D．由去括号、移项、合并同类项得 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次方程，涉及解一元一次方程的方法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等，根据解一元一次方程的步骤逐项验证即可得到答案，熟记一元一次方程的解法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：A、由移项得，选项移项变号错误，不符合题意； B、由去分母得，选项去分母漏项，不符合题意； C、由去括号得，选项去括号变号错误，不符合题意； D、由去括号、移项、合并同类项得； 故选：D． 27．（23-24七年级下·重庆·开学考试）若关于x的一元一次方程有负整数解，则所有符合条件的整数m之和为（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】表示出方程的解，由方程的解为负整数解，确定出整数的值即可．此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：方程去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 由方程有负整数解，得到整数，，之和为， 故选：B． 28．（23-24七年级下·河南周口·期末）对于实数a，b，c，d规定一种运算：，如，那么时，（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查列一元一次方程，与解一元一次方程，解此题关键在于准确理解题中新运算的法则，然后利用解一元一次方程的一般步骤进行求解即可． 根据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵ ∴ 去括号得： 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 故选：D． 29．（23-24七年级下·四川内江·阶段练习）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查根据已知一元一次方程，求另一个一元一次方程的解，关键在于找出两个式子之间的联系，找出联系即可求解．将关于的一元一次方程变形为，由已知即可求解． 【详解】 解：将关于的一元一次方程变形为， 即， ∵一元一次方程， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 30．（23-24七年级下·四川内江·期末）若关于的方程有整数解，那么满足条件的整数的取值个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查的是一元一次方程的解与方程的解法，掌握“方程的整数解的含义以及求解整数解的方法”是解本题的关键． 先解方程可得，再根据关于的方程有整数解，为整数，可得或，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，即， 当时， ∴， ∵关于的方程有整数解，为整数， ∴或， 解得：或或或， ∴满足条件的整数的取值个数是， 故选：C． 二、填空题 31．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）当x的值为 时，单项式与是同类项． 【答案】2 【分析】本题考查同类项定义，一元一次方程，掌握同类项定义，一元一次方程解法是解题关键． 根据同类项定义得出，然后解一元一次方程即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， 解方程得：， ∴当的值为2时，单项式与是同类项． 故答案为： 32．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）关于x的方程与的解相同，则m的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元一次方程的解定义以及解法，先求出第一个方程的解，再将x的值代入第二个方程求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 由题意，是的解， 则， ， ， ， 故答案为：4． 33．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）方程，■处是被墨水盖住的常数，已知方程的解是，那么■处的常数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的解的定义，熟练掌握方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．将，代入方程中，求出■的值即可． 【详解】将，代入方程中， 得， 解得， 故答案为：． 34．（24-25七年级上·陕西西安·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式的几何意义是“数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离”，请根据上述材料，尝试解决下列问题：的最小值是5，则 . 【答案】4或 【分析】此题考查了解一元一次方程，数轴，绝对值．根据原式的最小值为5，分两种情况：或，列等式解答即可． 【详解】解：∵的最小值是5，且， ∴要分两种情况： ①当时，， ∴； ②当时，， ∴； 综上，a的值是4或． 故答案为：4或． 35．（24-25七年级上·重庆秀山·阶段练习）一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：．我们称使得成立的一对数为“相伴数对”，记为．若是“相伴数对”，则 ；若是“相伴数对”，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程、代数式的化简求值，理解新定义，正确列出方程是解题关键． 根据“相伴数对”的定义列出方程，然后解方程即可求出b的值；先根据“相伴数对”的定义得出关于m、n的等式，再化简所求代数式，然后代入求解即可． 【详解】解：由“相伴数对”的定义得： 解得； 由“相伴数对”的定义得： 解得 ． 故答案为：，． 36．（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于x的方程的解是整数，且k也是整数，则满足条件的所有k值的和为 ． 【答案】2 【分析】本题考查解一元一次方程，方程的整数解．先求解方程，解得，再根据x为整数，且k是整数，即可求出所有k值的和． 【详解】解：解方程得：， ∵x为整数，且k是整数， ∴k的值为0或1或3或， ∴所有k值的和为， 故答案为：2． 三、解答题 37．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解一元一次方程： （1）移项，合并同类项，系数化为1即可； （2）移项，合并同类项，系数化为1即可； （3）去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可； （4）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可； 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ； （4）解：， ， ， ， ， ． 38．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，理解一元一次一次方程的解题步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，是解答关键. （1）先去括号，再移项，合并同类项，系数化1求解； （2）先去中括号，再去小括号，再移项，合并同类项，系数化1求解． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：去中括号，得， 去小括号，得， 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 39．（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的步骤为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解此题的关键 （1）先移项、合并同类项、最后合并同类项即可得到答案； （2）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1，计算即可得到答案； （3）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，计算即可得到答案； （4）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，计算即可得到答案． 【详解】（1） 移项，得：， 合并同类项，得：， （2） 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化成1，得：； （3） 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化成1，得：； （4） 整理，得：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化成1，得：； 40．（2024七年级上·全国·专题练习）解下列方程： (1)； (2)； (3)． (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键； （1）根据移项，合并同类项，化系数为1计算即可； （2）根据去括号，合并同类项与移项，化系数为1计算即可； （3）根据去分母，合并同类项与移项，化系数为1计算即可； （4）根据去分母，去括号，合并同类项与移项，化系数为1计算即可． 【详解】（1）解： 移项合并得：， 解得：； （2） 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 系数化为1：； （3） 去分母得：， 移项合并得：， 解得： （4） 去分母，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 41．（2024七年级上·全国·专题练习）根据绝对值定义，若有，则或，若，则，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如：． 解：方程可化为：或， 当时，则有，； 当时，则有，； 综上，方程的解为或． (1)解方程：； (2)已知，求的值． 【答案】(1)或 (2)12或20 【分析】本题考查了绝对值的意义，解一元一次方程，熟练掌握绝对值的意义是解此题的关键． （1）由绝对值的意义可得或，再解一元一次方程即可得解； （2）由绝对值的意义可得或，将看成整体解方程即可得解． 【详解】（1）解：解方程：， 或， 解得：或； 方程的解为或； （2）解：∵， ∴或， 解得：或， ∴的值为或20． 42．（2024七年级上·全国·专题练习）先阅读下面的材料，再解答问题：解含有绝对值符号的方程时，关键是去掉绝对值符号，下面采用“找零点”的方法来求解这类方程． 例：解绝对值方程：． 解：分别令，，解得：，， 用2，将数轴分成三个区域，然后在每个区域内去掉绝对值求解， 当时，原方程可化为，解得：，检验符合； 当时，原方程可化为，解得：，经检验，它不在范围内，故不是原方程的解； 当时，原方程可化为，解得：，检验符合； 综上，原方程的解为或． 阅读完上述材料，试解下面含绝对值的方程： ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义、解一元一次方程，分别令，，解得：，，用1、将数轴分成三个区域，然后在每个区域内去掉绝对值求解即可得解，熟练掌握绝对值的意义，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：分别令，，解得：，， 用1、将数轴分成三个区域，然后在每个区域内去掉绝对值求解， 当时，可化为，解得：， 经检验，它不在范围内，故不是原方程的解； 当时，可化为，解得：，符合题意； 当时，可化为，解得：， 经检验，它不在范围内，故不是原方程的解； 综上，原方程的解为． 43．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上数到原点的距为为4，x可能在原点左边4个单位，此时的值为______，x也可能在原点右边4个单位，此时的值为______． (2)与3之间的距离表示为______，结合上面的理解，若，则______． (3)当是______时，代数式． (4)当取最大值时，的取值范围是______，最大值为______． (5)若点表示的数，点与点的距离是5，且点在点的右测，动点P、Q分别从、同时出发沿数轴正方向运动，点的速度是每秒3个单位长度，点的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，？（请写出必要的求解过程） 【答案】(1)，； (2)，或； (3)或； (4)，； (5)运动秒或秒后，． 【分析】本题考查了绝对值的定义，数轴上两点间的距离，解一元一次方程等知识，解题的关键是掌握绝对值的定义． （1）数轴上到原点距离为的点有两个，分别在原点的左右两边，根据数轴上点的特征即可求解； （2）根据绝对值的定义即可求解． （3）根据的取值范围取绝对值，分①当时；②当时；③当时，三种情况进行讨论求解即可； （4）根据绝对值的性质分类讨论，可得答案； （5）设运动秒后，根据题意求得点表示的数为，得到秒后点表示的数为，点表示的数为，则，整理求解即可． 【详解】（1）解：数轴上到原点距离为的点有两个， 当在原点左边时，的值为， 当在原点右边时，的值为， 故答案为：，； （2）解：与之间的距离表示为：， 若则 解得：或 故答案为：，或； （3）解：①当时，原方程可化为：， 解得：， ②当时，原方程可化为：， 此时方程无解， ③当时，原方程可化为：， 解得：， 综上可得的值为或， 故答案为：或； （4）解：当时，，， ∴， 当时，，， ∴， ∴，即； 当时，，， ∴， 综上可知：当时，取最大值，最大值为， 故答案为：，； （5）解：设运动秒后， ∵点表示的数为，点与点的距离是，且点在点的右侧 ∴点表示的数为：， 由题意可得秒后点表示的数为，点表示的数为， 则， 整理得：， ∴或 解得：或， ∴运动秒或秒后． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$