第15章 分式 解答题常考题型分类训练（9大题型44题）2024－2025学年人教版数学八年级上册

学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 第15章 15.1 分式 解答题常考题型分类训练（9大题型44题） （原卷版） 题型1：分式的规律性问题（8题） 题型2：求分式有无意义及为零的条件问题（4题） 题型3：求分式值为正（负）数时未知数的取值范围（2题） 题型4：求使分式值为整数时未知数的整数值（4题） 题型5：分式的求值（7题） 题型6：判断分式变形是否正确 题型7：求使分式变形成立的条件 题型8：求最简分式及约分（9题） 题型9：求最简公分母及通分（6题） 题型1：分式的规律性问题（8题） 1．阅读下列相关的两段材料，根据材料反映的规律完成后面的填空题． 设n是正整数，材料1： ．．． 问题：（1）用含n的代数式表示=___________________（写最简结果） 材料2： = 问题：（2）用含n的代数式表示=_______（写最简结果）． （3）当n无限增大时，接近于一个常数，这个常数是________． 2．观察以下等式：第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；… 按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：______________________________； (2)写出你猜想的第n个等式：______________________________（用含n的等式表示），并证明． 3．观察下列等式：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，解答下列问题：(1)写出第4个等式：______； (2)试用含有正整数n的式子表示这个规律，并加以证明；(3)运用规律计算：． 4．观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：， 第4个等式：，第5个等式：，… 按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明． 5．观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：； 第4个等式：；……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式：________________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示，为正整数），并说明等式成立的理由． 6．阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． ，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：； 解决下列问题：(1)分式 是________________（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式化为整式与真分式的和的形式： =____________； (3)若假分式的值为正整数，则整数的值为________________；(4)将假分式化为带分式（写出完整过程）． 7．观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：； 第4个等式：；……根据以上规律解答以下问题： (1)写出第5个等式：______；写出第n个等式：______﹔ (2)由分式性质可知：，试求的值． 8．观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：．…请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式：________；(2)用含有的代数式表示第个等式：________；（为正整数） (3)试比较代数式的值与的大小关系． 题型2：求分式有无意义及为零的条件问题（4题） 9．当时，分式的值不存在，则当时，求分式的值． 10．已知，x取哪些值时：(1)y的值是零；(2)分式无意义；(3)y的值是正数； 11．已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0．(1)求的值． (2)当分式的值为正整数时，求整数的值． 12．回答下列问题：(1)已知分式 ，当时，分式无意义；当时，分式的值为零，求的值； (2)当为何整数时，分式的值是整数？ 题型3：求分式值为正（负）数时未知数的取值范围（2题） 13．【阅读理解】仔细阅读下面的材料并解答问题：例题：当取何值时，分式的值为正？ 解：依题意得，则有①或②， 解不等式组①得，解不等式组②得不等式组无解，故．所以当时，分式的值为正． 依照上面方法解答问题：(1)当取何值时，分式的值为负？(2)当取何值时，分式的值为负？ 14．仔细阅读下面的材料并解答问题： 例题：当x取何值时，分式的值为正？ 解：依题意得＞0，则有①或②， 解不等式组①得，解不等式组②得不等式组无解故 所以当，分式的值为正． 依照上面方法解答问题：（1）当x取何值时，x2﹣3x的值为负？ （2）当x取何值时，分式的值为负？ 题型4：求使分式值为整数时未知数的整数值（4题） 15．阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式即：整式与真分式的和的形式． 如：；，再如：． 解决下列问题：(1)分式是 分式填“真”或“假”；(2)先将假分式化为带分式 ，再当的值为整数，求的整数值．写出过程(3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值． 16．综合与实践：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式．当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，，一名这样的分式就是真分式．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：． 类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ．(1)分式是_________分式．（填“真”或“假”）(2)参考上面的方法，将分式化为带分式．(3)如果分式的值为整数，求x的整数值． 17．我们知道，假分数可以化为整数与真分数和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，：当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分数”，例如：，．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，例如： ；； (1)请根据以上信息，任写一个真分式；(2)将分式化为整式与真分式的和的形式； (3)如果分式的值为整数，求的整数值． 18．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，，这样的分式就是假分式．类似地，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，如：；． (1)分式是____分式（填“真”或“假”）；(2)将假分式、分别化为整式与真分式的和的形式； (3)如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值． 题型5：分式的求值（7题） 19．（1）已知，求分式的值；（2）已知，求分式的值 20．已知，求的值． 21．已知x，y满足，求分式的值． 22．若，求的值． 23．已知非零实数满足．(1)求的值；(2)求的值． 24．阅读材料，解决问题：在解决某些代数式运算问题，特别是单项式除以多项式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一．所谓倒数法，即先求其倒数，再对结果求倒数，进而求得原式，以达到计算目的． 【问题解决】已知，求下列代数式的值．(1)求的值．(2)求的值． 25．阅读下列解题过程：已知，求的值. 解：由，知，，即. ，. 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，，，求的值；(2)已知，求的值． 题型6：判断分式变形是否正确 26．对分式的变形，甲同学的做法是：；乙同学的做法是：．请根据分式的基本性质，判断甲、乙两同学的解法是否正确． 27．已知，，且，求证：． 题型7：求使分式变形成立的条件 28．当取何值时，等式成立？ 29．已知分式；试解答下列问题：阅读材料：若分式的值大于0（即），则或 (1)根据上面这段阅读材料，若分式，求x的取值范围 (2)根据以上内容，自主採究：若分式，求x的取值范围（要求：写出探究过程）． 题型8：最简分式及约分（9题） 30．化简下列分式：(1)；(2)． 31．请在下列三个不为零的式子，，中，任选两个你喜欢的式子组成一个分式，并判断是不是最简分式，如果不是，请化简该分式． 32．下列分式中，哪些是最简分式？若不是最简分式，请化为最简分式． (1)；(2)． 33．已知，代数式：，，． (1)因式分解A；(2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式． 34．把下列分式化为最简分式． （1）；（2）；（3）． 35．已知，求分式的值． 36．约分： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)． 37．我们可以将一个只含有一个字母的分式，转化为整式与新的分式和的形式，其中新的分式的分子中，不含字母，如：， ． 参考上面的方法，解决下列问题： (1)将变形为满足以上结果要求的形式：_______； (2)将变形为满足以上结果要求的形式，若该式的值为整数，求整数a的值； (3)将化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为_______． 38．我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题．(1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）；①；②；③． (2)若分式（m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m、n的值； (3)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 题型9：最简公分母及通分（6题） 39．通分：(1)，；(2)，；(3)，，． 40．通分：(1)，，；(2)，，． 41．通分：，，． 42．求下列各式的最简公分母，并通分． (1)，，；(2)，，． 43．通分：(1)；(2)与；(3)与． 44．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解：即 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令则，． 根据材料回答问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值 (3)已知为实数，，求分式的值． 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 第15章 15.1 分式 解答题常考题型分类训练（9大题型44题） （解析版） 题型1：分式的规律性问题（8题） 题型2：求分式有无意义及为零的条件问题（4题） 题型3：求分式值为正（负）数时未知数的取值范围（2题） 题型4：求使分式值为整数时未知数的整数值（4题） 题型5：分式的求值（7题） 题型6：判断分式变形是否正确 题型7：求使分式变形成立的条件 题型8：求最简分式及约分（9题） 题型9：求最简公分母及通分（6题） 1．阅读下列相关的两段材料，根据材料反映的规律完成后面的填空题． 设n是正整数， 材料1： ．．． 问题：（1）用含n的代数式表示=___________________（写最简结果） 材料2： = 问题：（2）用含n的代数式表示=_______（写最简结果）． （3）当n无限增大时，接近于一个常数，这个常数是________． 【答案】（1）；（2）；（3）2． 【分析】本题考查了代数式的运算过程中的规律问题， （1）根据表达式中分母上两个乘数和前面的下标数之间的关系，可得出的表达式． （2）根据所给示例，找出规律（括号中的数，消完后，就只剩下首和尾），进而得出结果． （3）对（2）中求出的代数式，进行变形处理，便可得出这个常数． 【详解】解：（1）由题知，． 即． 故答案为：； （2）由题知， ． 故答案为：； （3）由（2）知：， 将变形得：． 则当无限大时，无限接近于0． 所以无限接近于2，即这个常数是2． 2．观察以下等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______________________________； (2)写出你猜想的第n个等式：______________________________（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可； （2）分析所给的等式，不难得出第个等式为：，通过对等式的左边的运算即可证明． 【详解】（1）解：第5个等式为：， 故答案为：； （2）猜想：第个等式为：， 证明：等式左边 右边， 故猜想成立． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，列代数式，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． 3．观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第4个等式：______； (2)试用含有正整数n的式子表示这个规律，并加以证明； (3)运用规律计算：． 【答案】(1) (2)；证明见解析 (3) 【分析】本题考查数字规律型，观察已知的式子总结规律是解题的关键． （1）观察题中的式子求解即可； （2）根据题中的等式进行归纳总结即可求解； （3）利用（2）中的规律，再裂项进行计算即可． 【详解】（1）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：； （2）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 第n个等式：； 左边， 右边 ， ∴左边右边； （3）解： ． 4．观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题主要考查了数字的变化的规律，列代数式，分式的加减．准确找出等式中的数字与等式序号的关系是解题的关键． （1）观察等式中的4个数中的数字与等式的序号的关系，第一个数的分子是序号的2倍的平方，分母是从1开始的连续奇数，第二个数是从3开始的连续奇数，第三个数均是1，第四个数的分子是从0开始的连续偶数，分母是从1开始的连续奇数，以此规律可得结论； （2）依据（1）中找出的规律得到第个式子，通过计算式子的左边和右边来证明猜想的正确． 【详解】（1）解：观察等式中的4个数中的数字与等式的序号的关系可得：第一个数的分子是序号的2倍的平方，分母是从1开始的连续奇数，第二个数是从3开始的连续奇数，第三个数均是1，第四个数的分子是从0开始的连续偶数，分母是从1开始的连续奇数． 即：． 故答案为：． （2）依据（1）中找出的规律得到第个式子为：． 证明：∵左边 ， 右边， ∴左边边右边． ∴等式成立． 故答案为：． 5．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示，为正整数），并说明等式成立的理由． 【答案】(1) (2)猜想第个等式为，理由见解析 【分析】（1）根据题意规律，结合有理数混合运算的性质计算，即可得到答案； （2）结合题意，根据数字规律即可写出第个等式，再根据分式的混合运算法则即可证明等式成立． 【详解】（1）解：按照以上规律，可写出第6个等式为：． 故答案为：； （2）猜想第个等式为． 理由：左边 ， ∴左边右边， ∴等式成立． 【点睛】本题考查数字类规律探索、分式的混合运算．熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键． 6．阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． ，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：； 解决下列问题： (1)分式 是________________（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式化为整式与真分式的和的形式： =____________； (3)若假分式的值为正整数，则整数的值为________________； (4)将假分式化为带分式（写出完整过程）． 【答案】(1)真分式 (2) (3) (4) 【分析】（1）根据定义即可求出答案； （2）根据定义进行化简即可得到答案； （3）根据题意列出方程即可求出的值； （4）先化为，在计算即可． 【详解】（1）解：由题意得： 分式 是真分式， 故答案为：真分式； （2）解：根据题意可得： ， 故答案为：； （3）解：由（2）可得：， 当为正整数时， 或， ， 故答案为：； （4）解：根据题意可得： ． 【点睛】本题主要考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． 7．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 根据以上规律解答以下问题： (1)写出第5个等式：______；写出第n个等式：______﹔ (2)由分式性质可知：，试求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）类比给出的4个等式，写出第5个等式即可，进而得出第n个等式； （2）利用得到的规律将原式变形，再计算即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解：原式 ． 【点睛】此题考查数字的变化规律，从简单情形入手，找出一般规律，利用规律解决问题． 8．观察下列等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：． … 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式：________； (2)用含有的代数式表示第个等式：________；（为正整数） (3)试比较代数式的值与的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可知：分子为2，分母从2开始，连续偶数的乘积，可以拆成，分子是1，分母是以这两个偶数为分母的差，由此可得出答案； （2）按照（1）的方法来解决即可； （3）运用以上规律，采用拆项相消法即可解决问题． 【详解】（1）从等式可以得出：从分子为2，分母从2开始，连续偶数的乘积，可以拆成，分子是1，分母是以这两个偶数为分母的差， 所以． 故答案为：． （2）从等式可以得出：从分子为2，分母从2开始，连续偶数的乘积，可以拆成，分子是1，分母是以这两个偶数为分母的差， 所以． 故答案为：． （3） ． 故． 【点睛】本题考查寻找数字的规律及运算规律计算，寻找规律可大致分成两个步骤：不变的和变化的，变化部分和序号的关系． 9．当时，分式的值不存在，则当时，求分式的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义的条件：分母等于0、分式代入求值，掌握知识点并正确计算是解题的关键．根据分式无意义的条件列出关于m的等式，求出m的值，再把代入分式计算即可． 【详解】解：根据题意可知，当时，， ， ， 把代入，得． 10．已知，x取哪些值时： (1)y的值是零； (2)分式无意义； (3)y的值是正数； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查的是分式的值，分式无意义的条件，解一元一次不等式组，掌握分式的值为正数、值为零、分式有意义、无意义的条件是解题的关键． （1）分式的分子为0，分母不为0时，y的值为0； （2）分式的分母为0时，分式无意义； （3）分式的分子、分母同号时，y的值是正数； 【详解】（1）解：当分子值为0，分母的值不为0时，分式值为0， 所以，解得， 此时，所以当时，y的值为0； （2）当分母为0时，分式无意义，则时，即时分式无意义； （3）因为y的值为正数，所以可得：①或②， 解①得，此时无解，解②得，解为， ∴当时，y的值为正数． 11．已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． (1)求的值． (2)当分式的值为正整数时，求整数的值． 【答案】(1)， (2)整数的值为0，1，3 【分析】本题考查了分式有意义的条件和分式的计算，熟练掌握分式有意义的条件和分式的计算是解题的关键． （1）根据使得分式无意义，时分式的值为0，即可解得； （2）将，代入，得到分式为，逐一代入整数的值即可求解． 【详解】（1）解： 当时，分式无意义， ， 解得， 当时，此分式的值为0， ， 解得， （2）解： ，， ， 当，， ，， ，， 综上，整数的值为0，1，3． 12．回答下列问题： (1)已知分式 ，当时，分式无意义；当时，分式的值为零，求的值； (2)当为何整数时，分式的值是整数？ 【答案】(1) (2)，，，，，，， 【分析】本题考查分式无意义，分式的值为0，分式的求值： （1）根据分式的分母为0时，分式无意义，分式的分子为零，分母不为0时，分式的值为0，进行求解即可； （2）根据为整数，得到求解即可． 【详解】（1）当 时，分式 无意义， ， 解得 ； 当 时，分式的值为零， ， 解得 ， ． （2）要使分式 的值是整数， 则 ． 13．【阅读理解】仔细阅读下面的材料并解答问题：例题：当取何值时，分式的值为正？ 解：依题意得，则有①或②， 解不等式组①得，解不等式组②得不等式组无解，故． 所以当时，分式的值为正． 依照上面方法解答问题： (1)当取何值时，分式的值为负？ (2)当取何值时，分式的值为负？ 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）由题意分式的值为负，此时要分两种情况讨论，然后再根据求不等式的口诀，分别解出不等式组的解集； （2）由题意分式的值为负，先对分母分解因式，再分两种情况讨论，然后根据求不等式的口诀，分别解出不等式组的解集； 【详解】（1）解：依题意，得， 则有①或②， 解不等式组①得：不等式无解； 解不等式组②得：， 不等式的解集是：， 当时，分式的值为负； （2）解：， ， 依题意得， ， 则有①，或②， 解不等式组①得且， 解不等式组②得不等式组无解， 故且， 所以当且时，分式的值为负． 【点睛】本题主要考查分式的值为正的条件和解一元一次不等式组，注意分情况讨论． 14．仔细阅读下面的材料并解答问题： 例题：当x取何值时，分式的值为正？ 解：依题意得＞0，则有①或②， 解不等式组①得，解不等式组②得不等式组无解 故 所以当，分式的值为正． 依照上面方法解答问题： （1）当x取何值时，x2﹣3x的值为负？ （2）当x取何值时，分式的值为负？ 【答案】（1）；（2），且． 【分析】（1）先利用因式分解将变形为，再参照例题可得两个不等式组，解不等式组即可得； （2）先将分式变形为，再根据分式有意义的条件可得，且，然后参照例题可得两个不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：（1）依题意得：，即， 则有①或②， 解不等式组①得：，解不等式组②得：不等式组无解， 故， 所以当时，的值为负； （2）， 为分式的分母， ， 解得，且， 依题意得，即， ， ， 则有③或④， 解不等式组③得：，解不等式组④得：不等式组无解， 故， 所以当，且时，分式的值为负． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用、因式分解、分式的值等知识点，读懂例题的思路，熟练掌握不等式组的解法是解题关键． 15．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式即：整式与真分式的和的形式． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是 分式填“真”或“假”； (2)先将假分式化为带分式 ，再当的值为整数，求的整数值．写出过程 (3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值． 【答案】(1)真 (2)，的值为或或或； (3)最小值为 【分析】（1）根据定义即可求出答案； （2）根据分式的性质进行化简，然后根据的值为整数求解即可； （3）先化为带分式，然后根据题意求解即可． 本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． 【详解】（1）由题意可得，分式是真分式； 故答案为：真； （2）， 的值为整数，且为整数， 的值为或或或， 的值为或或或； （3） ， 当时，这两个式子的和有最小值．最小值为， 则的最小值为． 16．综合与实践 在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式．当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，，一名这样的分式就是真分式． 我们知道，假分数可以化为带分数，例如：． 类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ． (1)分式是_________分式．（填“真”或“假”） (2)参考上面的方法，将分式化为带分式． (3)如果分式的值为整数，求x的整数值． 【答案】(1)真； (2)； (3)或或或． 【分析】（1）根据定义即可求出答案； （2）根据假分式可以化为整式与真分式的和的形式来进行计算即可； （3）先化为带分式，然后根据题意列出方程，即可求出x的值． 【详解】（1）解：∵当分子的次数小于分母的次数时，称之为“真分式” ∴分式是真分式， 故答案为：真； （2）解：原式 ． ； （3）解： = ∵分式的值为整数，x为整数， ∴或， 解得或或或， ∴当或或或时，分式的值为整数． 【点睛】本题考查了分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算． 17．我们知道，假分数可以化为整数与真分数和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，：当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分数”，例如：，．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，例如： ； ； (1)请根据以上信息，任写一个真分式； (2)将分式化为整式与真分式的和的形式； (3)如果分式的值为整数，求的整数值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3)或或或 【分析】（1）根据定义即可求出答案； （2）根据假分式可以化为整式与真分式的和的形式来进行计算即可； （3）先化为带分式，然后根据题意列出方程，即可求出x的值． 本题考查了分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算． 【详解】（1）解：∵当分子的次数小于分母的次数时，称之为“真分式” ∴分式是真分式， 故答案为：（答案不唯一）； （2）解： ； （3）解： = ∵分式的值为整数，x为整数， ∴或， 解得或或或， ∴当或或或时，分式的值为整数． 【点睛】 18．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，，这样的分式就是假分式．类似地，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，如：；． (1)分式是         分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式、分别化为整式与真分式的和的形式； (3)如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值． 【答案】(1)假 (2)， (3)当x＝2或0时，分式的值为整数 【分析】（1）根据定义即可求出答案； （2）根据假分式可以化为整式与真分式的和的形式来进行计算即可； （3）先化为带分式，然后根据题意列出方程，即可求出x的值． 【详解】（1）解：∵分子的次数大于分母的次数， ∴分式是假分式， 故答案为：假； （2）解： ， ； （3）解： ， ∵分式的值为整数，x为整数， ∴x﹣1＝1或x﹣1＝﹣1， 解得x=2或x=0， ∴当x＝2或0时，分式的值为整数． 【点睛】本题考查了分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算． 19．（1）已知，求分式的值； （2）已知，求分式的值 【答案】（1）；（2）7 【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式的变形求值： （1）根据可推出，据此代值计算即可； （2）根据完全平方公式得到，则． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 20．已知，求的值． 【答案】1 【分析】本题考查了整体代入法求分式的值，把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故原式． 21．已知x，y满足，求分式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是条件分式的求值，由条件可得，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 22．若，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的求值，根据“倒数求值法”先得到，进而根据，求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵，且 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．已知非零实数满足． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)5 (2)23 【分析】本题考查代数式求值，涉及根据已知代数式值恒等变形求值，利用完全平方公式恒等变形求值，熟记完全平方公式、掌握配方法是解决问题的关键． （1）根据题中已知代数式的值，恒等变形即可得到答案； （2）由（1）中，利用完全平方公式将配方，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：非零实数满足， ，即； （2）解：由（1）知， ． 24．阅读材料，解决问题：在解决某些代数式运算问题，特别是单项式除以多项式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一．所谓倒数法，即先求其倒数，再对结果求倒数，进而求得原式，以达到计算目的． 【问题解决】已知，求下列代数式的值． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式的变形求值： （1）根据进行求解即可； （2）先利用完全平方公式得到，则，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 25．阅读下列解题过程： 已知，求的值. 解：由，知，，即. ，. 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，，，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了倒数法解题，正确理解方法的内涵是解题的关键． (1)把已知，求式都分别取倒数，后计算，最后结果再取倒数即可． (2)把已知，求式都分别取倒数，后计算，最后结果再取倒数即可． 【详解】（1）∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵取倒数得：， ∴． （2）∵，知， ， 即． ∴， ∴． 26．对分式的变形，甲同学的做法是：；乙同学的做法是：．请根据分式的基本性质，判断甲、乙两同学的解法是否正确． 【答案】乙同学的做法是错误的，详见解析 【分析】根据分式的基本性质分析判断即可． 【详解】解：甲同学将分式的分子、分母同时除以，而由分式有意义可知，所以甲同学的做法正确； 乙同学将分式的分子、分母同时乘），但的值是否等于0是不确定的，所以乙同学的做法是错误的． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，理解并掌握分式的基本性质是解题关键． 27．已知，，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了分式的基本性质，等式的基本性质，用平方差公式分解因式等知识点，能正确根据分式和等式的性质进行计算是解此题的关键．先根据分式的进行性质等式的两边都乘得出，去括号，移项，合并同类项得出再根据平方差公式分解因式，最后求出答案即可． 【详解】证明：， 等式的两边都乘，得， ， ， ， ， ∵，， ∴， ∴， 即． 28．当取何值时，等式成立？ 【答案】1 【分析】此题考查了分式的性质，根据分式的性质得到，且，进而求解即可． 【详解】解：因为， 所以，且， 所以， 所以当时，等式成立． 29．已知分式；试解答下列问题： 阅读材料：若分式的值大于0（即），则或 (1)根据上面这段阅读材料，若分式，求x的取值范围 (2)根据以上内容，自主採究：若分式，求x的取值范围（要求：写出探究过程）． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）仿照题意得到或，然后解不等式组即可得到答案； （2）仿照题意得到或，然后解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴或， 解不等式组得，解不等式组得，即不等式组无解， ∴； （2）解：∵， ∴或， 解不等式组得，解不等式组得， ∴或． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，分式的性质，正确理解题意是解题的关键． 30．化简下列分式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式约分，解题的关键是明确分式约分的方法． （1）根据分式的约分的方法可以化简本题； （2）分式的分子分母能因式分解的先因式分解，然后约分即可解答本题． 【详解】（1）解：； （2）解：． 31．请在下列三个不为零的式子，，中，任选两个你喜欢的式子组成一个分式，并判断是不是最简分式，如果不是，请化简该分式． 【答案】答案不唯一，具体见解析 【分析】根据题意选取两个整式分别作为分子和分母，然后根据分式的基本性质进行化简即可． 【详解】解：不是最简分式，化简如下：； 不是最简分式，化简如下： ； 不是最简分式，化简如下：； 不是最简分式，化简如下：； 不是最简分式，化简如下：； 不是最简分式，化简如下：． 【点睛】本题主要考查了分式的化简，熟知方式的基本性质是解题的关键． 32．下列分式中，哪些是最简分式？若不是最简分式，请化为最简分式． (1)； (2)． 【答案】(1)不是最简分式，化简见解析 (2)不是最简分式，化简见解析 【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．据此即可求解. 【详解】（1）解：； 则不是最简分式； （2）解：． 则不是最简分式． 【点睛】本题考查了最简分式，利用分式的基本性质对分式进行化简．最简分式判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 33．已知，代数式：，，． (1)因式分解A； (2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可； （2）将选取的代数式组成分式，分子分母进行因式分解，再约分即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①当选择A、B时： ， ； ②当选择A、C时： ， ； ③当选择B、C时： ， ． 【点睛】本题主要考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是掌握因式分解的方法和步骤，以及分式化简的方法． 34．把下列分式化为最简分式． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）分子分母同除以即可得； （2）先分别利用平方差公式和十字相乘法对分子分母进行因式分解，再分子分母同除以即可得； （3）分子分母同除以即可得． 【详解】（1）； （2）； （3）． 【点睛】本题考查了分式的基本性质、因式分解，熟练掌握分式的基本性质是解题关键． 35．已知，求分式的值． 【答案】 【分析】本题考查了求分式的值．设，则代入原式进行计算即可． 【详解】解：设，则． 原式． 36．约分： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【分析】本题考查约分，用到的知识点是分式的基本性质，分式的基本性质是分式的分子、分母同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变． （1）根据分式的基本性质求解即可； （2）首先将分子分母因式分解，然后根据分式的基本性质求解即可； （3）首先将分子分母因式分解，然后根据分式的基本性质求解即可； （4）首先将分子分母因式分解，然后根据分式的基本性质求解即可； （5）首先将分子分母因式分解，然后根据分式的基本性质求解即可． 【详解】（1）原式； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ； （5）原式 ． 37．我们可以将一个只含有一个字母的分式，转化为整式与新的分式和的形式，其中新的分式的分子中，不含字母，如： ， ． 参考上面的方法，解决下列问题： (1)将变形为满足以上结果要求的形式：_______； (2)将变形为满足以上结果要求的形式，若该式的值为整数，求整数a的值； (3)将化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为_______． 【答案】(1) (2)，或 (3) 【分析】本题主要考查了分式的约分： （1）把原式先变形为，再约分化简即可得到答案； （2）把原式先变形为，进一步变形得到，再约分化简即可；根据题意可得的值为整数，则为整数，即可得到，解方程即可得到答案； （3）利用完全平方公式把原式变形为，进一步变形得到，再约分化简即可得到答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， ∵的值为整数， ∴的值为整数， ∴为整数， ∴， ∴或； （3）解： ， 故答案为：． 38．我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m、n的值； (3)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 【答案】(1)①③； (2)，； (3)是，理由见解析． 【分析】题考查了分式的化简、因式分解．二元一次方程组的解法，解决本题的关键是弄清楚“巧分式”的定义． （1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论； （2）根据“巧分式”的定义，得到关于的恒等式，求解即可； （3）根据给出的“巧分式”的定义可得；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【详解】（1）解：，是整式， ①是“巧分式”； ，不是整式， ②不是“巧分式”； ，是整式， ③是“巧分式”； （2）解：分式（m，为常数）是一个“巧分式”， 它的“巧整式”为， ， ， ∴， 解得：； （3）解：分式的“巧整式”为． ， ； ， 又是整式， 是“巧分式”． 39．通分： (1)，； (2)，； (3)，，． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【分析】本题考查了通分，找出最简公分母是解此题的关键． （1）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可； （2）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可； （3）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可． 【详解】（1）解：（1）最简公分母是， ， ； （2）解：最简公分母是， ， ； （3）解：最简公分母是， ， ， ． 40．通分： (1)，，； (2)，，． 【答案】(1)，， (2)，， 【分析】（1）先找出最简公分母，然后通分即可； （2）先找出最简公分母，然后通分即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴，，的最简公分母为：， ∴三个分式通分为：，，． （2）解：∵， ， ， ∴分式，，的最简公分母为：， 三个分式通分为：，，． 【点睛】本题主要考查了通分，解题的关键是熟记最简公分母的定义，找出各个分母数字因数的最小公倍数，相同字母以及指数的最高次幂，即可写出各分式的最简公分母． 41．通分：，，． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了通分的知识，确定三个分式的最简公分母是解题关键．由题意可知，最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行通分即可． 【详解】解：最简公分母是， 则， ， ． 42．求下列各式的最简公分母，并通分． (1)，，； (2)，，． 【答案】(1)最简公分母为；通分后为，， (2)最简公分母为，通分后为，， 【详解】（1）∵，，的最简公分母是 ∴通分后为，， 故答案为：最简公分母为；通分后为，， （2）∵，， ∴，，，最简公分母为，通分后为，， 【点睛】本题考查分式的通分，正确进行因式分解和找到最简公分母是解题的关键 43．通分： (1)； (2)与； (3)与． 【答案】(1)，， (2)， (3)，， 【分析】先确定分式的最简公分母，再通分即可． 【详解】（1）， ， （2）， （3）， ， 【点睛】本题考查的是分式的通分以及公分母确定的方法，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． 44．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解： 即 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令 则， ． 根据材料回答问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值 (3)已知为实数，，求分式的值． 【答案】(1)23 (2) (3) 【分析】本题主要考查完全平方公式及分式的通分和约分，熟练掌握完全平方公式及分式的通分与约分是解题的关键； （1）由题意易得，即，进而根据完全平方公式可进行求解； （2）由题意可设，然后代入求解即可； （3）利用倒数法、分式的约分法则计算求出，把原式变形代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由可设， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 1 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