3.2.1 双曲线及其标准方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

3.2双曲线 第三章 圆锥曲线的方程 课时1 双曲线及其标准方程 新知探究 探究一：双曲线的定义 情境设置 生活中的双曲线 冷却塔 “小蛮腰”广州塔 2 新知探究 探究一：双曲线的定义 情境设置 生活中的双曲线 北京摩天大楼 法拉利主题公园 3 知识回顾 知识点一 椭圆的定义 椭圆的定义：平面内与两个定点，的距离的和等于常数(大于 )的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点， 叫作椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距． 符号表示： 注意: (1)当时，(绳长等于两定点间距离)， 点M的轨迹为线段. (2)当时，(绳长小于两定点间距离), 点M无轨迹 4 新知探究 探究一：双曲线的定义 情境设置 问题：如果把椭圆定义中“距离的和”改为“距离的差”那么动点的轨迹会发生怎样的变化？ 5 新知生成 知识点一 双曲线的定义 双曲线的定义：平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数(小于 )的点的轨迹叫作双曲线，这两个定点，叫作双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距． 符号表示： 注意: (1)当时，点M的轨迹为线段的垂直平分线. (2)当时，点M的轨迹两条射线. 6 新知生成 双曲线和椭圆不同 双曲线的定义：平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数(小于 )的点的轨迹叫作双曲线. 符号表示： 椭圆的定义：平面内与两个定点，的距离的和等于常数(大于 )的点的轨迹叫作椭圆. 符号表示： 常数不同： 椭圆： 双曲线： 7 新知探究 探究二：椭圆的标准方程 情境设置 探究：设是双曲线上任意一点,双曲线的焦距为,那么焦点的坐标分别为.根据双曲线的定义, . 由双曲线的定义可知, 双曲线可看作点集 因为 所以 为了化简方程,我们将其左边的一个根式移到右边,得 对方程两边平方,得 8 新知探究 探究二：椭圆的标准方程 情境设置 整理,得 对方程(3)两边平方,得 整理,得 将方程(4)两边同除以,得 由双曲线的定义可知,,即,所以. 9 新知生成 知识点二 双曲线的标准方程 双曲线的标准方程 焦点在 轴上 焦点在 轴上 标准方程 焦点坐标 与 与 ，， 的关系 10 椭圆辨析 判断 求符合下列方程哪些表示双曲线？ 若是,则判定其焦点在何轴？写出焦点坐标. (1) (2) (3) (4) (5)已知方程表示双曲线,求的取值范围. 结论： 在双曲线标准方程中，观察前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上. 11 一、双曲线的标准方程 例题1 求符合下列条件的双曲线的标准方程. (1) 经过点， ； (2) 焦点为,,经过点, ； (3) 实轴长与虚轴长相等，经过点 ；(4) 经过和, 两点. 【解析】(1) 根据题意，双曲线经过点，则双曲线的焦点在轴上，且 ，设双曲线的标准方程为 ，双曲线经过点，则有，解得 ，则双曲线的标准方程为 . （2）根据题意，双曲线的焦点在轴上，且 ，设双曲线的标准方程为，双曲线经过点， ，则有 ， ①因为 ， ②联立①②，解得， ，则双曲线的标准方程为 . (3) 根据题意，双曲线中，设双曲线的方程为 ，由双曲线经过点，得 ，则双曲线的方程为 ，所以双曲线的标准方程为 . (4)根据题意，设双曲线的方程为 ，双曲线经过和，两点，则有解得则双曲线的标准方程为 . 12 反思感悟 方法总结 利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤 (1)定位置：根据条件确定双曲线的焦点是在其中一条坐标轴上，还是两条坐 标轴都有可能. (2)设方程：根据焦点位置，设方程为或 ，焦点不定时，亦可设为 . (3)寻关系：根据已知条件列出关于，，的方程组. (4)得方程：解方程组，将𝑎，，代入所设方程即得所求. 13 新知运用 跟踪训练1 求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)焦点在轴上,; (2)焦点在轴上,经过点; (3)焦点为,且经过点. (4) 已知双曲线的焦点，，，求 的方程. 14 二、双曲线的定义 例题2 已知圆，圆 . (1) 若动圆与圆外切，且与圆内切，判断动圆的圆心 的轨迹； (2) 若动圆同时与圆及圆相外切，判断动圆的圆心 的轨迹. 【解析】(1) 设动圆的半径为 ，因为圆与圆外切，且与圆 内切， 所以， ，故 ， 的轨迹是以， 为焦点，实轴长为4的双曲线的右支. (2) 如图，设动圆的半径为，根据两圆外切的条件，得 ， ，则 .由双曲线的定义知，圆心 的轨迹是以， 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支. 15 反思感悟 方法总结 用定义法判断动点的轨迹是双曲线的注意点 (1)注意条件中是到定点的距离之差，还是差的绝对值； (2)当差的绝对值为常数时，要注意常数与两定点间距离的大小问题； (3)注意轨迹是双曲线的一支还是两支. 16 新知运用 跟踪训练2 (1) 已知,是双曲线的两个焦点，为上一点，且 ， ，则( ) . A. B. C. D. (2) 已知的顶点，，若的内切圆圆心在直线上，则顶点𝐶 的轨迹方程是( ) . A. B. C. D. 【解析】(1) 因为，由双曲线的定义可得 ， 所以， .因为 ,在中，由余弦定理可得 ，所以 . (2) 如图，，， ， 所以 . 根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支（除去右顶 点），标准方程为 .故选C. A C 17 三、双曲线标准方程的应用 例题3 已知两地相距,在地听到炮弹爆炸声比在地晩,且声速为,求炮弹爆炸点的轨迹方程. 【解析】建立平面直角坐标系,使两点在轴上,并且原点与线段的中点重合. 设炮弹爆炸点的坐标为,则 即. 又, 所以. 因为, 所以点的轨迹是双曲线的右支,因此. 所以,炮弹爆炸点的轨迹方程为 18 反思感悟 方法总结 利用双曲线方程解决实际问题时，先建立坐标系，根据题意判断轨迹的形状，然后依据轨迹建立方程求解． 19 新知运用 跟踪训练3 如图地在地的正东方向处，地在地的北偏东 方向处，河流的沿岸 (曲线)上任意一点到𝐴的距离比到𝐵的距离远 .现要在曲线上选一处建一座码头，向，两地转运货物.经测算，从到，两地修建公路的费用都是 万元/ ，求修建这两条公路的最低总费用. 【解析】如图所示，以的中点为原点，所在的直 线为轴，建立平面直坐标系，则 ， ，.连接， .因为 ， 所以点的轨迹是双曲线 的右支. 因为， 当，，三点共线时等号成立，又总费用为 ，所以修建这两条公路的最低总费用为 万元. 20 随堂检测 1. 已知动点𝑃到点𝑀(1,0)的距离与到点𝑁(3,0)的距离之差为2，则点𝑃 的轨迹是( ) . A.双曲线 B.双曲线的一支 C.两条射线 D.一条射线 2. 已知双曲线的一个焦点坐标是，那么的值为( ) . A.1 B. C.3 D.5 3. 已知双曲线的一个焦点为，且过点 ，则该双曲线的标准方程为 ___________． C D 21 随堂检测 4. 已知为坐标原点，双曲线的焦距为，点 线上，点，分别为双曲线的左、右焦点， . (1)求双曲线𝐶 的标准方程； (2) 已知点，，设直线，的斜率分别为，，证明： 为定值. 【解析】(1) 由题意知，由双曲线的定义知， ， 又 ， ， 双曲线的标准方程为 . (2) 设，则，即 . ， ， ， ， . 22 课堂小结 1.知识清单： (1)双曲线的定义； (2)双曲线的标准方程； (3)双曲线标准方程的应用. 23 EV录屏3.9.5软件录制 Lavf57.62.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn $$