最短路径小专题2024-2025学年人教版数学八年级上册

最短路径小专题 不论是平时测试，还是中考升学考试，最短路径问题是必考内容，下面我把它常考的几种数学模型归纳如下，以飨读者. 1． 两点之间，线段最短 （一）两个定点和已知直线上一个动点 模型一：异侧线段之和最小值问题 模型特征： 如图，定点A,B在动点P所在直线l的两侧，试确定点P的位置，使PA+PB最小. 模型处理方法：连接AB交直线l与点P, 几何依据：两点之间，线段最短. 例1：已知菱形ABCD,边AB=10,对角线BD=16, 点P是对角线BD上一点，求PA+PB的最小值. 解析：连接AC交BD于点P′,当点P位于点P′ 时，PA+PB最小值等于AC,在Rt△AB′P中，易 求出AP′=6,故AC=12,即PA+PB的最小值是12. 练习一： 已知，如图正△ABC中,∠ABD=30°，BD=9,点E是边AB 的中点，点P是BD上的点，PC+PE的最小值是 9 . 模型二：同侧线段之和最小值问题（即“将军饮马”） 模型特征： 已知直线l和其同侧两个定点A,B,在直线l上找一点C使CA+CB最短. 模型处理方法： 作点A(或点B)关于直线l的对称点A′（或B′）,连接A′B（AB′）交直线l于点C. 几何依据：两点之间，线段最短. 例2：如图,在直角坐标系中,点A,B的坐标分别为 (1,4)和（3，0）,点C是y轴上的一个动点，且A, B， C三点不在同一条直线上,当△ABC的周长最小时 点C的坐标是(　A　) A.（0,3） B.（0,2） C.（0,1） D.（0,0） 解析：如图，作点B关于y轴的对称点B′,连接AB′ 交y轴于点C′,当点C位于点C′时，AC+BC=AB′, 此时AC+BC最小，△ABC的周长最小，易求出直线 AB′的解析式y=x+3,C′(0,3),故选A. 练习二: 如图，在△ABC中，直线m是线段BC的垂直平分线， 点P是直线m上的一个动点.若AB=7，AC=4，BC=5， 则△APC周长的最小值是（　B　） A．12 B．11 C．9 D．7 变式1：如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4，面积是14， AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于E、F点．若点 D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点，则CM+DM 的最小值为（　B　） A．21 B．7 C．6 D．3.5 变式2：如图，在平面直角坐标系中,点A的坐标为 （0,4）,点B的坐标为（8,4）,点P是x轴上任意一 点，若要使PA+PB的值最小，则点P的坐标为（　C　） A. （0，0） B.（2，0） C.（4，0） D.（6，0） 模型三：同侧线段之差最大值问题 模型特征： 如图，在直线l的同侧有两个定点A、B,在直线l上求一点P,使|PA-PB|最大. 模型处理方法： 连接BA并延长交直线l于点P. 几何依据：三角形两边之差大于第三边. 如图,在直线l上任取一点P′,连接P<A, P′B,知|P′A-P′B|<|PA-PB|，故|PA-PB|最大. 模型四：异侧线段之差最大值问题 模型特征： 如图，在直线l的异侧有两个定点A、B,在直线l上求一点P,使|PA-PB|最大. 模型处理方法： 作点A关于点直线l的对称点A′,连接BA′并延长交直线l于点P. 几何依据：同模型四. 练习三： 已知函数y=x2-1的图象如图所示，交x轴于 点A，点B（3，8），在y轴上是否存在一点 P， 使|PB-PA|的值最大？若存在，求出这个最 大值及点P的坐标；若不存在，请说明理由． （二）一个定点和两个动点 模型特征： 已知直线l1,l2,点P在直线l1,l2之间，在l1上找一点A,l2上找一点B,使△ABP的周长最小. 模型处理方法：分别作点P关于直线l1，l2的对称点P1,P2,连接P1P2,分别交直线l1,l2于点A′,B′,连接A′B′，则△A′B′P的周长最小. 几何依据：两点之间，线段最短. 例3：四边形ABCD中，∠BAD=140°，∠B=∠D=90°， 在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时， ∠AMN+∠ANM的度数为（　 　） A．80° B．95° C．125° D．110° 解析：如图，延长AD至点G，使AD=GD，延长AB至 点E，使AB=EB，连接GN，EM，∠AMN=2∠E，∠ANM= 2∠G．当E，M，N，G四点共线时，C△AMN=ME+MN+NG 最小，∠E+∠G=180°-∠BAD=40°．∠AMN+∠ANM= 2∠E+2∠G=80°,故选A． 练习四： 如图，已知∠AOB=α，C是∠AOB内部的一点， 且OC=3，点D、E分别是OA、OB上的动点，若 △CDE周长的最小值等于3，则α=（ ） A．45° B．40° C．35° D．30° 二．垂线段最短 模型处理方法：过点P作PA⊥l于点A. 几何依据：垂线段最短. 例4：如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE=8，射 线CD⊥BC，垂足为C,点P是射线CD上一动点，点F 是线段AB上一动点,当EP+FP的值最小时，BF=10， 则AF的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 解析:作E点关于CD的对称点E′,过E′作E′F⊥AB 于点F，交CD于点P，连接PE，此时EP+FP的值最小， BE′=2BF=2×10=20，CE=6，AB=BC=14，AF=4，故选B． 练习五： 如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=6，AC=8，BC=10,CD 平分∠BCA交AB于点D,点P,Q分别是CD,AC上的动点, 连接AP，PQ，则AP+PQ的最小值是（　 　） A．6 B．5 C．4.8 D．4 变式：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC =8，AB=10．如果点D，E分别为BC，AB上的动点, 那么AD+DE的最小值是（　 　） A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8 附：练习答案 练习一： 9； 练习二： B, 变式1 B, 变式2 C; 练习三：存在，理由：作点B关于y轴的对称点B′，连接B′A并延长交y轴于点P，易知|PB'-PA|≤B'A，故当点B′，A,P三点共线时，|PB-PA|的值最大，即B′A的长度，|PB-PA|max=B′A=2， 直线B′A:y=-4x-4，故点P（0，-4）； 练习四：D; 练习五：C, 变式 B. (共4页)1 学科网（北京）股份有限公司 $$