6.4二项分布和超几何分布（7大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第一册)

6.4二项分布和超几何分布 题型一：利用二项分布求分布列 1．设随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知随机变量X服从二项分布B（4，p），，那么一次试验成功的概率p等于 ． 3．个零件中有个次品，从中每次抽检个，检验后放回，连续抽检次，则抽检的个零件中恰有个是次品的概率为 ； 4．已知某计算机网络的服务器有三台设备，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.8，它们之间互相不影响．设能正常工作的设备数为． (1)求的分布列； (2)求和； (3)求计算机网络不会断掉的概率． 题型二：服从二项分布的随机变量概率最大问题 1．已知随机变量，当且仅当时，取得最大值，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（多选）已知离散型随机变量服从二项分布，其中，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中正确的有（    ） A． B．时， C．时，随着的增大而增大 D．时，随着的增大而减小 3．如果，取得最大值时， ． 4．如图，在研究某种粒子的实验装置中，粒子从腔室出发，到达腔室，粒子从室经过号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为.粒子间的旋转状态相互独立.现有两个粒子从室出发. (1)求两粒子进入室都为上旋状态的概率； (2)若实验装置出现故障，两个粒子进入室后，共裂变为个粒子，裂变后的每个粒子再经过号门返回室的概率为，各粒子返回室相互独立. ①时，写出返回室的粒子个数的分布列、期望、方差； ②时，记有个粒子返回室的概率为，则为何值时，取最大值. 题型三：建立二项分布模型解决实际问题 1．电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.8，则3个灯泡在使用1000小时内恰好坏了一个的概率为（    ） A．0.384 B． C．0.128 D．0.104 2．（多选）已知一袋中有大小、质地相同的4个红球和2个白球，则下列结论中正确的有（    ） A．从中任取3个球，恰有1个白球的概率是 B．从中有放回地取球6次，每次任取1个球，则取到红球的次数的方差为 C．现从中不放回地取球2次，每次任取1个球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为 D．从中有放回地取球3次，每次任取1个球，则取到两次红球的概率为 3．某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中道题便可通过．已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响． (1)求甲恰好正确完成两个面试题的概率； (2)求乙正确完成面试题数的分布列及其期望. 4．甲、乙、丙三人去某地务工，其工作受天气影响，雨天不能出工，晴天才能出工．其计酬方式有两种，方式一：雨天没收入，晴天出工每天250元；方式二：雨天每天120元，晴天出工每天200元；三人要选择其中一种计酬方式，并打算在下个月（30天）内的晴天都出工，为此三人作了一些调查，甲以去年此月的下雨天数（10天）为依据作出选择；乙和丙在分析了当地近9年此月的下雨天数（n）的频数分布表（见下表）后，乙以频率最大的n值为依据作出选择，丙以n的平均值为依据作出选择． (1)试判断甲、乙、丙选择的计酬方式，并说明理由； (2)以上面表格中的频率作为概率，求未来三年中恰有两年，此月下雨不超过11天的概率． 题型四：二项分布的均值与方差 1．已知随机变量，若随机变量，则（    ） A．10 B．12 C．30 D．32 2．（多选）一纸盒中共有6张形状和质地一样的卡片，其中4张是红色卡片，2张是黄色卡片.现从纸盒中有放回地随机取4次，每次取1张卡片，取到红色卡片记1分，取到黄色卡片记0分，记4次取卡片所得的总分数为，则（    ） A． B． C． D． 3．某物理实验技能操作竞赛分基本操作与技能操作两步进行，第一项基本操作：每位参赛选手从A类7道题中任选4题进行操作，操作完后正确操作超过两题的(否则终止比赛)，才能进行第二步技能操作：从B类5道题中任选3题进行操作，直至操作完为止.A类题操作正确得10分，B类题操作正确得20分.以两步操作得分总和决定优胜者.总分80分或90分为二等奖，100分为一等奖.某校选手李明A类7题中有5题会操作，B类5题中每题正确操作的概率均为，且各题操作互不影响. (1)求李明被终止比赛的概率； (2)求李明获一等奖的概率； (3)现已知李明A类题全部操作正确，求李明B类题操作完后总分的期望. 4．某超市为提高销售量，特推出纪念开业5周年的优惠活动：购物满300元，即可参与抽奖活动，活动有两种方案： 方案一：桌面上放有一圆形球盘，上面均匀排列有8个球洞，3红、3白、2黑．随机向球盘投掷3颗完全相同的小球（每颗小球落入每个球洞的概率相同，每个球洞最多允许一个球进入），中奖规则：①三球落入同色球洞，享受免单；②若有1球落入黑色球洞，剩余2球落入红色或白色球洞中，则享受半价：③其他情况无优惠． 方案二：桌面上放有一圆形球盘，上面均匀排列有8个球洞，2红6黑．向其重复投掷一颗小球（投完取回重投）3次，每落入一次红色球洞，减免50元，依次累加． (1)若某消费者刚好消费300元，且他选择方案一抽奖，求他实付款不超过150元的概率： (2)若某消费者刚好消费500元，从统计学角度，请你为他选择一个划算的付款方案． 题型五：超几何分布的均值 1．已知随机变量，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．2024年5月中国邮政发行了《巢湖》特种邮票3枚，巢湖是继《太湖》（5枚）、《鄱阳湖》（3枚）、《洞庭湖》（4枚）后，第四个登上特种邮票的五大淡水湖.现从15枚邮票中随机抽取2枚，记抽取邮票《巢湖》的枚数为，则（    ） A． B． C．1 D． 3．在10件工艺品中，有3件二等品，7件一等品，现从中抽取5件，则抽得二等品件数X的数学期望为（    ）． A．2 B．4 C． D． 4．袋中有6个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为． (1)求的分布列； (2)求； (3)若摸出一个黑球得10分，摸出一个白球得5分，总分为分，求的值． 题型六：超几何分布的方差 1．一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 2．某公司有日生产件数为95件的“生产能手”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和X的标准差为 ． 3．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，求： (1)“所选3人中女生人数”的概率； (2)X的期望与方差. 4．为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，激发干事创业热情．某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有道题目，随机抽取道让参赛者回答．已知小明只能答对其中的道，试求： (1)抽到他能答对题目数的分布列； (2)求的期望和方差 1．国家提出“乡村振兴”战略，各地纷纷响应．某县有7个自然村，其中有4个自然村根据自身特点推出乡村旅游，被评为“旅游示范村”．现要从该县7个自然村里选出3个作宣传，则恰有2个村是“旅游示范村”的概率为（    ） A． B． C． D． 2．若随机变量，则的值为（    ） A．0.8 B．4 C．5 D．3 3．设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人三次上班途中遇红灯的次数的数学期望为（    ） A．0.4 B．1.2 C． D．0.6 4．已知随机变量，则（    ） A．21 B．20 C．11 D．10 5．甲同学每次投篮命中的概率为，在投篮6次的实验中，命中次数的均值为2.4，则的方差为（    ） A．1.24 B．1.44 C．1.2 D．0.96 6．设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中至多3个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 7．产品的质量是企业的根本，产品检测是生产中不可或缺的重要工作，某工厂为了保证产品质量，利用两种不同方法进行检测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工甲从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工乙从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品，设员工甲抽取到的3件产品中次品数量为，员工乙抽取到的3件产品中次品数量为，，则下列判断不正确的是（    ）（参考：超几何分布其均值） A．随机变量服从二项分布 B．随机变量服从超几何分布 C． D． 8．克拉丽丝有一枚不对称的硬币.每次掷出后正面向上的概率为，她掷了次硬币，最终有10次正面向上.但她没有留意自己一共掷了多少次硬币.设随机变量表示每掷次硬币中正面向上的次数，现以使最大的值估计的取值并计算.(若有多个使最大，则取其中的最小值).下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．与10的大小无法确定 9．（多选）若随机变量， 则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选）已知随机变量满足，且，且，则（   ） A． B． C． D． 11．（多选）某城镇小汽车的普及率为，即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车，若从该城镇中任意选出5个家庭，则下列结论正确的是（    ） A．这5个家庭均拥有小汽车的概率为 B．这5个家庭中，恰有3个家庭拥有小汽车的概率为 C．这5个家庭中，不超过2个家庭拥有小汽车的概率为 D．这5个家庭中，4个以上家庭（含4个家庭）拥有小汽车的概率为 12．已知随机变量服从二项分布，若，则 . 13．已知随机变量服从二项分布，若，，则 . 14．某校在一次“二项分布的性质”为主题的探究活动中，该校数学第一小组的学生同学表现优异，探究数学的奥秘.设随机变量，记，在探究的最大值时，小组同学发现：当为正整数，则，，此时这两项概率均为最大值；当为非整数，取的整数部分，是唯一的最大值.以此为理论依据，有同学重复投掷一枚大小均匀的骰子实时记录点数6出现的次数.当投掷第20次时，记录到此时点数6出现5次，再进行80次投掷实验，当投掷到100次时，点数6总共出现的次数为 的概率最大. 15．某导弹试验基地对新研制的两种导弹进行试验，导弹每次击中空中目标､地面目标的概率分别为，导弹每次击中空中目标､地面目标的概率分别为. (1)若一枚导弹击中一个空中目标，且一枚导弹击中一个地面目标的概率为，一枚导弹击中一个地面目标，且一枚导弹击中一个空中目标的概率为，比较的大小； (2)现有两枚A导弹，一枚导弹，用来射击两个空中目标，一个地面目标（每枚导弹各射击一个目标），请你设计一个射击方案，使得击中目标的个数的期望最大，并求此时击中目标的个数的分布列和期望. 16．4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．    (1)从这500名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在内的概率； (2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望和方差； (3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在内的概率，其中，1，2，…，10．当最大时，写出k的值．（写出证明） ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.4二项分布和超几何分布 题型一：利用二项分布求分布列 1．设随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据二项分布方差的计算公式求，再根据求解. 【详解】由题意知，，解得， 所以. 故选：D 2．已知随机变量X服从二项分布B（4，p），，那么一次试验成功的概率p等于 ． 【答案】或 【分析】根据二项分布的概率公式求解即可. 【详解】， 即，解得或． 故答案为：或. 3．个零件中有个次品，从中每次抽检个，检验后放回，连续抽检次，则抽检的个零件中恰有个是次品的概率为 ； 【答案】/ 【分析】记抽到次品的概率为，抽到正品的概率为，则，，用表示3次抽检中抽到次品的次数，则是一个随机变量，每次抽检抽到次品的概率为，由题意知，利用二项分布的概率公式可求解. 【详解】记抽到次品的概率为，抽到正品的概率为，则，， 用表示3次抽检中抽到次品的次数，则是一个随机变量， 每次抽检抽到次品的概率为，由题意知，故连续抽检3次， 抽检的3个零件中恰有2个是次品的概率为． 故答案为：. 4．已知某计算机网络的服务器有三台设备，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.8，它们之间互相不影响．设能正常工作的设备数为． (1)求的分布列； (2)求和； (3)求计算机网络不会断掉的概率． 【答案】(1)分布列见解析 (2)， (3)0.992 【分析】（1）的可能取值为0，1，2，3，结合二项分布的概率即可求解； （2）根据二项分布的期望和方差公式计算即可； （3）要使得计算机网络不会断掉，也就是要求能正常工作的设备至少有一台，结合（1）及对立事件求解即可． 【详解】（1）由题意得的可能取值为0，1，2，3，且， ， ， ， ， 所以的分布列如下． 0 1 2 3 0.008 0.096 0.384 0.512 （2）因为，所以，． （3）要使得计算机网络不会断掉，也就是要求能正常工作的设备至少有一台，即， 因此所求概率为． 题型二：服从二项分布的随机变量概率最大问题 1．已知随机变量，当且仅当时，取得最大值，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】由二项分布的概念，根据二项式系数的对称性即可求解. 【详解】由题得， 由题知在中，最大值只有， 即在中，最大值只有，由二项式系数的对称性可知. 故选：. 2．（多选）已知离散型随机变量服从二项分布，其中，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中正确的有（    ） A． B．时， C．时，随着的增大而增大 D．时，随着的增大而减小 【答案】ABC 【分析】选项A利用概率的基本性质即可，B选项由条件可知满足二项分布，利用二项分布进行分析，选项C，D根据题意把的表达式写出，然后利用单调性分析即可. 【详解】对于A选项，由概率的基本性质可知，， 故A正确， 对于B选项，由时，离散型随机变量服从二项分布， 则， 所以， ， 所以，故B正确， 对于C,D选项，， 当时，为正项且单调递增的数列， 故随着的增大而增大故选项C正确， 当时，为正负交替的摆动数列， 故选项D不正确. 故选：ABC. 3．如果，取得最大值时， ． 【答案】10 【分析】利用二项分布的概率公式求出，再由组合数的性质可得答案 【详解】解：因为，所以， 由组合数的性质可知当时，最大，此时取得最大值， 故答案为：10 4．如图，在研究某种粒子的实验装置中，粒子从腔室出发，到达腔室，粒子从室经过号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为.粒子间的旋转状态相互独立.现有两个粒子从室出发. (1)求两粒子进入室都为上旋状态的概率； (2)若实验装置出现故障，两个粒子进入室后，共裂变为个粒子，裂变后的每个粒子再经过号门返回室的概率为，各粒子返回室相互独立. ①时，写出返回室的粒子个数的分布列、期望、方差； ②时，记有个粒子返回室的概率为，则为何值时，取最大值. 【答案】(1) (2)①分布列见详解，期望，方差； ② 【分析】（1）根据全概率公式以及条件概率计算公式求得正确答案； （2）①根据独立事件概率计算求得的分布列，并求得数学期望和方差； ②根据二项式定理即可求得最大项. 【详解】（1）设“两个粒子通过号门后处于上旋状态粒子个数为个”，， “两个粒子通过号门后进入室都为上旋状态”， 则，， 则. （2）①返回室的粒子个数的可能性为，，，， 服从二项分布： ，， ，， ， 所以期望，方差； ②的可能取值为，此时， 个粒子返回室的概率为， 则， 所以， 当时，取最大值. 题型三：建立二项分布模型解决实际问题 1．电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.8，则3个灯泡在使用1000小时内恰好坏了一个的概率为（    ） A．0.384 B． C．0.128 D．0.104 【答案】A 【分析】分析知这是二项分布，3重伯努利试验. 【详解】电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.8，1个灯泡在使用1000小时内坏了的概率为，则3个灯泡在使用1000小时内恰好坏了一个的概率为 . 故选：A 2．（多选）已知一袋中有大小、质地相同的4个红球和2个白球，则下列结论中正确的有（    ） A．从中任取3个球，恰有1个白球的概率是 B．从中有放回地取球6次，每次任取1个球，则取到红球的次数的方差为 C．现从中不放回地取球2次，每次任取1个球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为 D．从中有放回地取球3次，每次任取1个球，则取到两次红球的概率为 【答案】ABD 【分析】根据古典概型及组合数即可判断A；根据二项分布的方差公式计算即可判断B；根据条件概率公式即可判断C；根据二项分布的概率公式即可判断D． 【详解】对于A，恰有1个白球的概率，故A正确； 对于B，每次任取1个球，取到红球的次数， 则方差为，故B正确； 对于C，设为事件“第一次取到红球”，为事件“第二次取到红球”， 则，，所以，故C错误； 对于D，每次取到红球的概率， 所以有放回地取球3次，每次任取1个球，取到两次红球的概率为，故D正确， 故选：ABD． 3．某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中道题便可通过．已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响． (1)求甲恰好正确完成两个面试题的概率； (2)求乙正确完成面试题数的分布列及其期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）设甲正确完成面试的题数为，则的取值范围是．然后求出即可； （2）设乙正确完成面试的题数为，则取值范围是，求出取每个值时的概率，即可得分布列，然后根据二项分布期望的求法求解即可. 【详解】（1）解：由题意得： 设甲正确完成面试的题数为，则的取值范围是． ； （2）设乙正确完成面试的题数为，则取值范围是． ，， ，． 应聘者乙正确完成题数的分布列为 4．甲、乙、丙三人去某地务工，其工作受天气影响，雨天不能出工，晴天才能出工．其计酬方式有两种，方式一：雨天没收入，晴天出工每天250元；方式二：雨天每天120元，晴天出工每天200元；三人要选择其中一种计酬方式，并打算在下个月（30天）内的晴天都出工，为此三人作了一些调查，甲以去年此月的下雨天数（10天）为依据作出选择；乙和丙在分析了当地近9年此月的下雨天数（n）的频数分布表（见下表）后，乙以频率最大的n值为依据作出选择，丙以n的平均值为依据作出选择． (1)试判断甲、乙、丙选择的计酬方式，并说明理由； (2)以上面表格中的频率作为概率，求未来三年中恰有两年，此月下雨不超过11天的概率． 【答案】(1)甲选择计酬方式二；乙选择计酬方式一；丙选择计酬方式二，理由见解析 (2)． 【分析】（1）按计酬方式一、二的收入分别记为、，根据三人选择的依据求出、的值，即可得答案； （2）求出下雨不超过11天的概率，根据二项分布的概率计算，即可求得答案. 【详解】（1）按计酬方式一、二的收入分别记为、， ， ， 所以甲选择计酬方式二； 由频数分布表知频率最大的， ， ， 所以乙选择计酬方式一； n的平均值为， 所以结合以上分析可知丙选择计酬方式二． （2）任选一年，此月下雨不超过11天的频率为， 以此作为概率，则未来三年中恰有两年， 此月下雨不超过11天的概率为． 题型四：二项分布的均值与方差 1．已知随机变量，若随机变量，则（    ） A．10 B．12 C．30 D．32 【答案】B 【分析】利用二项分布的期望公式和两随机变量的线性关系即可求解. 【详解】由题意可得，则． 故选：B. 2．（多选）一纸盒中共有6张形状和质地一样的卡片，其中4张是红色卡片，2张是黄色卡片.现从纸盒中有放回地随机取4次，每次取1张卡片，取到红色卡片记1分，取到黄色卡片记0分，记4次取卡片所得的总分数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由题意可知每次取到红色卡片的概率为，则，对选项逐一判断即可. 【详解】由题意可知每次取到红色卡片的概率为，则，故A项错误； ，故B项正确； ，故C项正确； ，故D项错误. 故选：BC 3．某物理实验技能操作竞赛分基本操作与技能操作两步进行，第一项基本操作：每位参赛选手从A类7道题中任选4题进行操作，操作完后正确操作超过两题的(否则终止比赛)，才能进行第二步技能操作：从B类5道题中任选3题进行操作，直至操作完为止.A类题操作正确得10分，B类题操作正确得20分.以两步操作得分总和决定优胜者.总分80分或90分为二等奖，100分为一等奖.某校选手李明A类7题中有5题会操作，B类5题中每题正确操作的概率均为，且各题操作互不影响. (1)求李明被终止比赛的概率； (2)求李明获一等奖的概率； (3)现已知李明A类题全部操作正确，求李明B类题操作完后总分的期望. 【答案】(1) (2) (3)80 【分析】（1）李明被终止比赛表示选出的4题2题不会操作且2题会操作，根据相互独立事件的概率公式计算； （2）李明获一等奖表示类4道题全部操作正确，且类3道题全部操作正确，由相互独立事件的概率公式计算； （3）类题全部操作正确后得分为，则的取值为：，且类题正确操作题数，通过二项分布的概率计算公式可以求得. 【详解】（1）设“李明被终止比赛”事件为，表示选出的4题2题不会操作且2题会操作， 故李明被终止比赛的概率； （2）设李明获一等奖的事件为，事件即类4道题全部操作正确， 且类3道题全部操作正确，故由独立事件的概率公式可得； （3）设李明在竞赛中，类题全部操作正确后得分为，则的取值为：， 且类题正确操作题数，可得； ；； ， 从而. 4．某超市为提高销售量，特推出纪念开业5周年的优惠活动：购物满300元，即可参与抽奖活动，活动有两种方案： 方案一：桌面上放有一圆形球盘，上面均匀排列有8个球洞，3红、3白、2黑．随机向球盘投掷3颗完全相同的小球（每颗小球落入每个球洞的概率相同，每个球洞最多允许一个球进入），中奖规则：①三球落入同色球洞，享受免单；②若有1球落入黑色球洞，剩余2球落入红色或白色球洞中，则享受半价：③其他情况无优惠． 方案二：桌面上放有一圆形球盘，上面均匀排列有8个球洞，2红6黑．向其重复投掷一颗小球（投完取回重投）3次，每落入一次红色球洞，减免50元，依次累加． (1)若某消费者刚好消费300元，且他选择方案一抽奖，求他实付款不超过150元的概率： (2)若某消费者刚好消费500元，从统计学角度，请你为他选择一个划算的付款方案． 【答案】(1) (2)方案一 【分析】（1）根据题意，由古典概型概率公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得方案一实付金额的分布列，从而得到期望，由二项分布可得方案二实付金额的分布列，比较大小，即可得到结果. 【详解】（1）实付款不超过150元，即享受免单或者半价，所以． （2）选择方案一更划算． ①若选择方案一，设实付金额元，则可取0，250，500， ， ． 的分布列为： 0 250 500 ． ②若选择方案二，设落入红色球洞的次数为，实付金额为， 则，． 因为，所以选择方案一更划算． 题型五：超几何分布的均值 1．已知随机变量，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据二项分布和超几何分布的期望公式计算即可. 【详解】由题意得 因为， 所以解得 故选：B. 2．2024年5月中国邮政发行了《巢湖》特种邮票3枚，巢湖是继《太湖》（5枚）、《鄱阳湖》（3枚）、《洞庭湖》（4枚）后，第四个登上特种邮票的五大淡水湖.现从15枚邮票中随机抽取2枚，记抽取邮票《巢湖》的枚数为，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用超几何分布概率公式，分别求出，再求. 【详解】依题意，的可能取值有0，1，2. 则，，， 则. 故选:A. 3．在10件工艺品中，有3件二等品，7件一等品，现从中抽取5件，则抽得二等品件数X的数学期望为（    ）． A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据超几何分布求解分布列，即可根据期望公式求解. 【详解】随机变量可取， ，，，， ， 故选：C 4．袋中有6个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为． (1)求的分布列； (2)求； (3)若摸出一个黑球得10分，摸出一个白球得5分，总分为分，求的值． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）由的可能取值为0，1，2，结合超几何分布即可求解； （2）由超几何分布期望公式求解即可； （3）由数学期望的性质即可求解． 【详解】（1）由题意得，的可能取值为0，1，2，且， ， ， ， 所以的分布列如下． 0 1 2 （2）因为，所以． （3）由已知得， 因为， 所以，所以． 题型六：超几何分布的方差 1．一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用超几何分布和二项分布知识分别计算从中随机地无放回摸出3个球、从中随机地有放回摸出3个球的期望、方差，再做比较可得答案． 【详解】试验一：从中随机地无放回摸出3个球，记白球的个数为， 则的可能取值是0，1，2，3， 则， ，， 故随机变量的概率分布列为： 0 1 2 3 则数学期望为：， 方差为：； 试验二：从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到白球的概率为， 则， 故，， 故，． 故选：A． 2．某公司有日生产件数为95件的“生产能手”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和X的标准差为 ． 【答案】24 【分析】依题意可知的所有可能取值为190，150，110，根据超几何分布的概率公式求出所对应的概率，从而求出数学期望与标准差； 【详解】解：由题意，可得的所有可能取值为190，150，110，且，，，则，标准差． 故答案为： 3．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，求： (1)“所选3人中女生人数”的概率； (2)X的期望与方差. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）“所选3人中女生人数”的概率，由此能求出结果． （2）由题意的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列．由的分布列能求出的均值和方差． 【详解】（1）“所选3人中女生人数”的概率： ． （2）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛， 设随机变量表示所选3人中女生的人数， 的可能取值为0，1，2， ，，， 的分布列为： 0 1 2 的均值． 的方差． 4．为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，激发干事创业热情．某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有道题目，随机抽取道让参赛者回答．已知小明只能答对其中的道，试求： (1)抽到他能答对题目数的分布列； (2)求的期望和方差 【答案】(1)分布列见解析 (2)期望；方差 【分析】（1）列举出所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列； （2）根据期望和方差的计算公式直接求解即可. 【详解】（1）由题意知：所有可能的取值为， ；；；； 的分布列为： （2）期望； 又， 方差. 1．国家提出“乡村振兴”战略，各地纷纷响应．某县有7个自然村，其中有4个自然村根据自身特点推出乡村旅游，被评为“旅游示范村”．现要从该县7个自然村里选出3个作宣传，则恰有2个村是“旅游示范村”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，可直接写出对应事件的概率. 【详解】由题可得，恰有2个村是“旅游示范村”的概率为． 故选：B 2．若随机变量，则的值为（    ） A．0.8 B．4 C．5 D．3 【答案】B 【分析】根据二项分布的期望公式运算求解. 【详解】因为，所以. 故选：B. 3．设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人三次上班途中遇红灯的次数的数学期望为（    ） A．0.4 B．1.2 C． D．0.6 【答案】B 【分析】直接由二项分布的期望公式即可求解. 【详解】由题意可知此人三次上班途中遇红灯的次数服从二项分布, 故所求为. 故选：B. 4．已知随机变量，则（    ） A．21 B．20 C．11 D．10 【答案】D 【分析】根据二项分布的性质计算方差，再利用方差性质即可得解. 【详解】由得，， 所以. 故选：D． 5．甲同学每次投篮命中的概率为，在投篮6次的实验中，命中次数的均值为2.4，则的方差为（    ） A．1.24 B．1.44 C．1.2 D．0.96 【答案】B 【分析】利用二项分布期望值公式以及方差公式计算可得结果. 【详解】根据题意可得命中次数服从二项分布，即； 即可得均值为，解得； 所以的方差为. 故选：B 6．设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中至多3个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，摸出的红球个数服从超几何分布，根据超几何分布的概率分布列计算即可. 【详解】从袋中任取4个球，其中红球的个数服从参数为的超几何分布， 故至多有3个红球的概率为. 故选：D. 7．产品的质量是企业的根本，产品检测是生产中不可或缺的重要工作，某工厂为了保证产品质量，利用两种不同方法进行检测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工甲从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工乙从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品，设员工甲抽取到的3件产品中次品数量为，员工乙抽取到的3件产品中次品数量为，，则下列判断不正确的是（    ）（参考：超几何分布其均值） A．随机变量服从二项分布 B．随机变量服从超几何分布 C． D． 【答案】D 【分析】由二项分布的定义判断A；由超几何分布的定义判断B；通过计算判断CD. 【详解】对于A，员工甲从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，则随机变量服从二项分布，A正确； 对于B，员工乙从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品，则随机变量服从超几何分布，B正确； 对于C，该批产品有件，则， ，C正确； 对于D，，，若， 则，与选项C矛盾，D错误． 故选：D 8．克拉丽丝有一枚不对称的硬币.每次掷出后正面向上的概率为，她掷了次硬币，最终有10次正面向上.但她没有留意自己一共掷了多少次硬币.设随机变量表示每掷次硬币中正面向上的次数，现以使最大的值估计的取值并计算.(若有多个使最大，则取其中的最小值).下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．与10的大小无法确定 【答案】B 【分析】由题可知服从二项分布，，结合，计算得，又和，故得. 【详解】由题，服从二项分布，则， 最大即为满足的最小， 即为， 又，故为整数时，不为整数时为大于的最小整数， 而，当为整数时显然成立， 当不为整数时大于的最小整数为的整数部分，其小于， 故， 答选：B. 【点睛】方法点睛：随机变量服从二项分布常用二项分布的概率公式、期望和方差公式进行计算. 9．（多选）若随机变量， 则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由二项分布概率公式和期望、方差计算公式计算，即可判断各选项. 【详解】对于A，因，故，故A正确； 对于B，因，故，故B正确； 对于C，因，故,故C错误； 对于D，由C项得，则，故D正确. 故选：ABD. 10．（多选）已知随机变量满足，且，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意，利用二项分布的期望与方差的公式，以及期望与方差的运算性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由随机变量满足，且，可得，解得， 对于A中，由，所以A正确； 对于B中，因为，即，可得，所以B错误； 对于C中，由，所以C错误； 对于D中，由，可得，所以D正确. 故选：AD. 11．（多选）某城镇小汽车的普及率为，即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车，若从该城镇中任意选出5个家庭，则下列结论正确的是（    ） A．这5个家庭均拥有小汽车的概率为 B．这5个家庭中，恰有3个家庭拥有小汽车的概率为 C．这5个家庭中，不超过2个家庭拥有小汽车的概率为 D．这5个家庭中，4个以上家庭（含4个家庭）拥有小汽车的概率为 【答案】ACD 【分析】利用独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率公式逐项求解即可. 【详解】由题意得小汽车的普及率为. 对于A选项，这5个家庭均拥有小汽车的概率为，故A选项正确； 对于B选项，这5个家庭中，恰有3个家庭拥有小汽车的概率为， 故B选项不正确； 对于C选项，这5个家庭中，不超过2个家庭拥有小汽车的概率为，故C选项正确； 对于D选项，这5个家庭中，4个以上家庭（含4个家庭）拥有小汽车的概率为，故D选项正确. 故选：ACD 12．已知随机变量服从二项分布，若，则 . 【答案】 【分析】利用二项分布的期望公式以及期望的性质可得出关于的等式，即可解得的值. 【详解】因为，由二项分布的期望公式可得， 由期望的性质可得，解得. 故答案为：. 13．已知随机变量服从二项分布，若，，则 . 【答案】9 【分析】根据二项分布的期望、方差公式，即可求得答案. 【详解】由题意知随机变量服从二项分布，，， 则，即得， 故答案为：9 14．某校在一次“二项分布的性质”为主题的探究活动中，该校数学第一小组的学生同学表现优异，探究数学的奥秘.设随机变量，记，在探究的最大值时，小组同学发现：当为正整数，则，，此时这两项概率均为最大值；当为非整数，取的整数部分，是唯一的最大值.以此为理论依据，有同学重复投掷一枚大小均匀的骰子实时记录点数6出现的次数.当投掷第20次时，记录到此时点数6出现5次，再进行80次投掷实验，当投掷到100次时，点数6总共出现的次数为 的概率最大. 【答案】18 【分析】直接根据服从二项分布，结合取整数部分可得后面80次出现点数6的次数为13概率最大，从而得解. 【详解】继续再进行80次投掷试验，出现点数为6次数服从二项分布， 由，结合题中结论可知，时概率最大， 即后面80次中出现13次点数6的概率最大， 加上前面20次中的5次，所以出现18次的概率最大. 故答案为：18. 15．某导弹试验基地对新研制的两种导弹进行试验，导弹每次击中空中目标､地面目标的概率分别为，导弹每次击中空中目标､地面目标的概率分别为. (1)若一枚导弹击中一个空中目标，且一枚导弹击中一个地面目标的概率为，一枚导弹击中一个地面目标，且一枚导弹击中一个空中目标的概率为，比较的大小； (2)现有两枚A导弹，一枚导弹，用来射击两个空中目标，一个地面目标（每枚导弹各射击一个目标），请你设计一个射击方案，使得击中目标的个数的期望最大，并求此时击中目标的个数的分布列和期望. 【答案】(1) (2)安排两枚A导弹射击两个空中目标，一枚B导弹射击一个地面目标，分布列见解析， 【分析】（1）根据条件，利用相互独立事件同时发生的概率公式，即可求解； （2）设导弹击中目标的个数为，根据题意，利用相互独立重复事件公式，即可求出分步列，再利用期望公式，即可求解. 【详解】（1）由题意得，，所以. （2）因为，所以安排两枚A导弹射击两个空中目标，一枚B导弹射击一个地面目标. 设导弹击中目标的个数为，则， ， ， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 所以. 16．4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．    (1)从这500名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在内的概率； (2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望和方差； (3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在内的概率，其中，1，2，…，10．当最大时，写出k的值．（写出证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析，， (3)，证明见解析 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质可求得，从而可得日平均阅读时间在内的概率； （2）求得的可能取值及对应概率，完成分布列，根据期望公式计算即可； （3）由题意得，，则，利用组合数的性质求最大值即可． 【详解】（1）由频率分布直方图得： ， 解得，，所以日平均阅读时间在内的概率为0.20； （2）由频率分布直方图得： 这500名学生中日平均阅读时间在，，，三组内的学生人数分别为：人，人，人， 若采用分层抽样的方法抽取了10人， 则从日平均阅读时间在，内的学生中抽取：人， 现从这10人中随机抽取3人，则X的可能取值为0，1，2，3， ，，，， 的分布列为： X 0 1 2 3 P ∴数学期望，. （3），理由如下： 由频率分布直方图得学生日平均阅读时间在内的概率为0.50， 从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生， 恰有k名学生日平均阅读时间在内的分布列服从二项分布， ， 由组合数的性质可得，且当时递增，故当时最大. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$