3.2.1函数的单调性第一课时课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.2.1单调性与最大（小）值----第1课时 实验中学 1 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律? 1、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？ 2、随x的增大，y的值有什么变化？ 2 探究新知 当x<0时，f(x)=x2图象是下降的， 当x>0时，f(x)=x2图象是上升的， -1 x O y 1 1 2 4 -2 即f(x)随着x的增大而减小； 即f(x)随着x的增大而增大. 思考(1)：对于函数f(x)=x2，说说它图象从左到右是怎样变化的？这反映了函数在数量上怎样的变化规律？ 思考(2):“当x<0时，f(x)随着x的增大而减小”怎么用符号语言来表示?你能给出具体的描述吗？ 对于函数 f(x)=x2，自变量 x在(-∞，0]上任取两个不同值，“当x增大时，f(x)减小”都是成立. 即当x<0时， 只要x1<x2，就有f(x1)>f(x2) 画出函数f(x)=x2的图象，观察其变化规律： 3 探究新知 思考(3): 如何表述这种任意性？你能写出更严格的表达吗？ 在(-∞,0]上任取 x1、x2 ，只要x1<x2，都有f(x1)>f(x2)， 这时我们说函数f(x)在(-∞,0]上是单调递减的. 思考(4): 对于函数f(x)=x2，你能模仿以上的方法，给出“在区间[0,+∞)上，f(x)随着x的增大而增大”的符号语言刻画吗？ 在[0,+∞)上任取 x1、x2 ，只要x1<x2，就有f(x1)<f(x2), 这时我们说函数f(x)在[0,+∞)上是单调递增的. y x O x2 x1 4 ②单调递减和减函数： 一般地，设函数的定义域为，区间， 如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减. 特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 探究新知 (前提） ①单调递增和增函数： 一般地，设函数的定义域为，区间， 如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增. 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 1.函数单调性的定义 5 探究新知 如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格）的单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间. ③单调性和单调区间： 注意: 1. 函数的增减, 是对定义域内某个区间而言的, 它是个局部性的概念. 2. 在单调区间上,增函数的图象是上升的, 减函数的图象是下降的. 6 练习：下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它是增函数还是减函数？ 解：函数y=f(x)的单调区间有 [-5,-2],[-2,1],[1,3],[3,5] 其中y=f(x)在区间[-5,-2], [1,3]上是减函数， 在区间[-2,1], [3,5] 上是增函数。 7 函数单调性的证明 定义域优先 ①任取 ③变形 ⑤下结论 ②作差 ④定号 ∴f(x1)-f(x2)>0 ∴f(x1)-f(x2)<0 8 例题讲解 例2证明：在区间上的单调性。 9 例题讲解 例2证明：在区间上的单调性。 证明：在区间上任取,且 + , 即 所以， 递增。 10 练习. 证明函数 在区间 上单调递增. 证明： 所以，函数 在区间 上单调递增. 函数单调性的方法步骤 1 取值:任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2 作差:f(x1)－f(x2)； 3 变形:（通常是因式分解或配方等）； 4 定号:（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 5 结论:（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）． 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： 12 归纳小结 1函数单调性定义 2函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用 定义证明．求函数的单调区间时必须要注意函数 的定义域，单调性的证明一般分五步： 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 13 作业：习题3.2 P86 第2，3题 $$