浙江省杭州市西湖区部分学校2024—2025学年上学期九年级数学期中试卷

2024学年第一学期期中教学质量检测 九年级数学试题卷 考生须知： 1.本试卷满分为120分，考试时间120分钟。 2.答题前，在答题纸上写上姓名和准考证号 3.须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效，答题方式详见答题纸上的说明 4.如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列事件中，是不可能事件的是(    ) A. 买一张电影票，座位号是奇数 B. 度量某个三角形的内角和，度数为 C. 打开电视机，正在播放新闻 D. 射击运动员射击一次，命中环 2.对于二次函数的图象，下列说法错误的是(    ) A. 开口向上 B. 对称轴是 C. 与轴有两个交点 D. 顶点坐标是 3.将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得的抛物线为(    ) A. B. C. D. 4.如图，以量角器的直径为斜边画直角三角形，量角器上点对应的读数是，则的度数为(    ) A. B. C. D. 5.A、是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是(    ) A. B. C. D. 6.一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是(    ) A. B. C. D. 7.若函数的最小值为，则的值为(    ) A. B. C. D. 8.已知某种产品的成本价为元千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量千克与销售价元千克有如下关系：设这种产品每天的销售利润为元，则与之间的函数表达式为(    ) A. B. C. D. 9.已知函数是常数，，下列结论正确的是(    ) A. 当时，函数图象过点 B. 函数图象与轴必有两个交点 C. 不论取何值，函数图象都经过点 D. 若，则当时，随的增大而减小 10.已知二次函数；的图象如图所示，有下列结论：；；；；若方程有四个根，则这四个根的和为其中正确的为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.正六边形的每个内角等于           12.若正多边形的每一个内角为，则这个正多边形的边数是          ． 13.在一个不透明的袋子中装有个白球，个黑球，这些球除颜色外都相同若从袋子中随机摸出个球，摸到白球的概率为，则的值为______． 14.如图，在钝角三角形中，，，动点从点出发到点停止，动点从点出发到点停止．点运动的速度为秒，点运动的速度为秒．如果两点同时运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是______． 15.已知二次函数的与的部分对应值如表： 根据表格中的信息，得到了如下的结论： 二次函数可改写为的形式； 二次函数的图象开口向下； 关于的一元二次方程的两个根为或； 若，则． 其中所有正确的结论为______． 16.如图，四边形是菱形，，，扇形的半径为，圆心角，则图中阴影部分的面积是______结果保留． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 有一个转盘如图，转盘可以自由转动． 让转盘自由转动一次，求指针落在红色区域的概率． 让转盘自由转动二次，求两次指针都落在黄色区域的概率． 18.本小题分 一个布袋里装有个只有颜色不同的球，其中个红球，个白球． 摸出一个球是红球的概率； 从布袋里摸出个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出个球．求两次都摸到红球的概率． 19.本小题分 作图题，根据要求作出以下图形： 在图网格中直接画出绕点逆时针旋转的图形； 在图中，已知线段，尺规作图作出经过，两点的所有圆中最小的圆．要求保留作图痕迹 20.本小题分 如图，是的直径，点，是上的点，且，分别与，相交于点，． 求证：点为弧的中点； 若，，求的直径． 21.本小题分 如图，、相交于点，连接、，且，，，，求的长． 22.本小题分 某水产经销商以每千克元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量千克与销售价格元千克存在一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售价格元千克 日销售量千克 试求出关于的函数表达式． 设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为元，如果不考虑其他因素，求当销售价格为多少时，日销售利润最大？最大的日销售利润是多少元？ 23.本小题12分 已知二次函数，其中． 若二次函数经过，求二次函数解析式． 若该抛物线开口向上，当时，抛物线的最高点为，最低点为，点的纵坐标为，求点和点的坐标． 在二次函数图象上任取两点，，当时，总有，求的取值范围． 24.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，且过点，． 求抛物线的函数解析式； 将抛物线向左平移个单位，当抛物线经过点时，求的值； 若是抛物线上位于第一象限内的一点，且，求点的坐标． 答案和解析 1.【答案】  【解析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答． 【详解】解：买一张电影票，座位号是奇数，是随机事件，故A不符合题意； B.度量某个三角形的内角和，度数为，是不可能事件，故 B符合题意； C.打开电视机，正在播放新闻，是随机事件，故C不符合题意； D.射击运动员射击一次，命中环，是随机事件，故D不符合题意； 故选：． 2.【答案】  【解析】根据二次函数各系数、、及性质判断各选项内容． 【详解】对于，，故开口向上； 对称轴是，顶点坐标是； 故与轴无交点． 故选C． 3.【答案】  【解析】解：将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得的抛物线为：，即． 故选：． 根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 本题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 4.【答案】  【解析】解：设的中点为，连接，如图所示： 以量角器的直径为斜边画直角三角形， 、、、四点共圆， 量角器上点对应的读数是， ， ， 故选：． 根据以量角器的直径为斜边画直角三角形，可知、、、四点共圆，再根据圆周角定理求解即可． 本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 5.【答案】  【解析】解：圆中最长的弦为直径， ． 故选：． 根据直径是圆中最长的弦求解． 本题考查了圆的认识，了解圆中最长的弦是直径最关键． 6.【答案】  【解析】解：一次函数的图象经过一、二、四象限， ，， 二次函数的图象：开口方向向下，对称轴在轴右侧， 故选：． 直接利用一次函数图象经过的象限得出，的符号，进而结合二次函数图象的性质得出答案． 此题主要考查了一次函数以及二次函数的图象与系数的关系，正确确定，的符号是解题关键． 7.【答案】  【解析】本题主要考查二次函数的最值，将抛物线解析式化为顶点式即可解答． 【详解】解： ， 函数有最小值为， 又函数的最小值为， ， 解得，， 故选： 8.【答案】  【解析】利用这种产品每天的销售利润等于每千克的销售利润乘以每天的销售量，即可得出与之间的函数表达式． 【详解】解：根据题意得，， 即， 故选：． 9.【答案】  【解析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确二次函数的图象性质，利用数形结合的思想解答． 根据函数解析式和二次函数的图象性质，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：、当时，函数解析式为， 当时，， 函数图象不过点，故此选项不符合题意； B、 当时，，函数图象与轴有两个交点； 当时，，函数图象与轴没有交点；故此选项不符合题意； C、当时，， 不论取何值，函数图象都经过点，故此选项符合题意； D、函数， 抛物线对称轴为， 又， 当时，随的增大而增大，故此选项不符合题意； 故选：． 10.【答案】  【解析】本题考查二次函数图象与系数关系，由二次函数图象的开口方向、对称轴、与轴的交点即可判断；由二次函数图象与轴交于不同两点，即可判断；根据图象，当时，得，当时，，即可判断；根据函数的最值即可判断；将轴下方二次函数图象翻折到轴上方，则与直线有四个交点，由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为，四个根的和为，即可判断． 【详解】解：图象开口向下， ， 对称轴在轴的右侧，与异号， ， 与轴交于正半轴， ， ， 故错误； 二次函数图象与轴交于不同两点，则． ， 故错误； 当时，即故正确； 时函数有最大值， 当时的值大于当时的值， 即 成立，故正确． 将轴下方二次函数图象翻折到轴上方，则与直线有四个交点即可， 由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为，四个根的和为，故错误． 综上：正确． 故选：． 11.【答案】  【解析】解：六边形的内角和为：， 正六边形的每个内角为：， 故答案为： 12.【答案】八或  【解析】根据正多边形的每一个内角为，求出正多边形的每一个外角，根据多边形的外角和，即可求出正多边形的边数． 【详解】解：根据正多边形的每一个内角为 正多边形的每一个外角为： 多边形的边数为： 故答案为八． 13.【答案】  【解析】解：若从袋子中随机摸出个球，摸到白球的概率为， ， 解得， 经检验：是分式方程的解， 故答案为：． 摸到白球的概率为，利用概率公式建立关于的方程，解之可得． 本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 14.【答案】秒或秒  【解析】【解答】 解：如果两点同时运动，设运动秒时，以点、、为顶点的三角形与相似， 则，，则． 当点与点对应时，有∽， ：：， ：：， ； 当点与点对应时，有∽， ：：， ：：， ， 综上所述，当秒或秒时，以点、、为顶点的三角形与相似， 故答案为秒或秒． 【分析】 如果以点、、为顶点的三角形与相似，由于点与点对应，那么分两种情况：点与点对应；点与点对应．根据相似三角形的性质分别作答． 本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．分析出以点、、为顶点的三角形与相似，有两种情况是解决问题的关键． 15.【答案】  【解析】解：由表格可得， 该函数的对称轴为直线， 该函数的顶点坐标为， 二次函数可改写为的形式，故正确，符合题意； 二次函数的图象开口向上，故错误，不符合题意； 关于的一元二次方程的两个根为或，故正确，符合题意； 若，则或，故错误，不符合题意； 故答案为：． 根据表格中的数据和二次函数图象具有对称性，可以得到该函数的对称轴，然后即可得到顶点坐标，从而可以判断；再根据图象中的数据，可以该函数图象开口向上，从而可以判断；根据对称轴，可以得到和对应的函数值相等，即可判断；根据表格中的数据和二次函数的性质，可以得到当时的取值范围，从而可以判断． 本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 16.【答案】  【解析】解：连接，将扇形补到扇形的位置， ，四边形是菱形， ， 过 作于点， ， ， ， 扇形的圆心角为，， ， ， ． 故答案为：． 连接，将扇形补到扇形的位置，从而得到即可得到答案． 本题考查了扇形面积的计算，掌握扇形、菱形的面积公式即割补法是解题的关键． 17.【答案】【小题】 解：如图，将黄色区域平分成两部分，   这样把一个圆平均分为三部分，红色区域只占一部分， 所以，指针落在红色区域的概率为． 【小题】 解：画树状图得： 共有种等可能的结果，两次指针都落在黄色区域的只有种情况， 两次指针都落在黄色区域的概率为：；   【解析】  本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 将黄色区域平分成两部分，再运用概率公式求解即可；   根据题意画树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次指针都落在黄色区域的情况，再利用概率公式即可求得答案． 18.【答案】【小题】 解：； 【小题】 解：   两次摸到红球的概率为．   【解析】  本题考查了简单事件的概率及用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比． 用红球数除以总球数即可得解；   首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出红球情况，再利用概率公式即可求得答案． 19.【答案】【小题】 解：根据题意，作图如下， 即为所求图形； 【小题】 解：根据垂直平分弦的直线经过圆心， 分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧交于点； 连接与交于点，并向两边无限延伸； 以点为圆心，以画圆，得与直线交于点，此时直径为； 以点为圆心，以画圆，得与直线交于点，此时半径为，且； 以此类推，作图如下， 当线段是直径时，圆最小．   【解析】  本题主要考查图形的旋转变换，垂径定理推论的运用，理解旋转的概率及性质，垂直平分弦的直线经过圆心，掌握旋转的性质，垂径定理的推论是解题的关键． 根据旋转的性质，绕点逆时针旋转的图形，对应边相互垂直，由此即可作图；   根据垂直平分弦的直线经过圆心，即圆心在线段的垂直平分线上，当线段是直径时，圆最小，由此即可作图． 20.【答案】【小题】 证明：是的直径， ， ， ， ， ， 点为的中点； 【小题】 解：，， ， 在中，， ， ， ， 的直径为．   【解析】  根据圆周角定理、平行线的性质可得，再根据垂径定理即可证明；   根据垂径定理可得，再用勾股定理解即可． 21.【答案】解：，， ， ， ， 的长为．   【解析】先证明得，从而即可求解． 22.【答案】【小题】 解：设关于的函数表达式为． 将和分别代入，得： 解得： 关于的函数表达式是：； 【小题】 解：， ， 当时，在的范围内， 取到最大值，最大值是． 答：销售价格为每千克元时，日销售利润最大，最大日销售利润是元．   【解析】  设与之间的函数关系式为，由表中数据即可得出结论；   根据每日总利润每千克利润销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可． 23.【答案】解：把代入函数解析式得， ， ， 函数解析式为：； 抛物线开口方向向上， ， ， 抛物线的顶点为， 当时随增大而减小， 当时，随增大而增大， 最低点， 当时，， 当时，， 且， ， 最高点， ， ， 代入点和点坐标得：，； 当时， 则有当时随增大而减小， 当时，随增大而增大， 又当时，总有， 此时， ， 当时， 则有当时随增大而增大， 当时，随增大而减小， 又当时，总有， 此时， 综上，当时；当时，．  【解析】把点的坐标代入函数解析式中求出即可； 根据抛物线开口向上得，根据函数图象的性质确定最高点和最低点，从而得出的值，即可求出点和点的坐标； 分开口方向向上和开口方向向下两种情况，根据图象的增减性讨论的取值范围． 本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质是解题的关键． 24.【答案】解：把，代入， 则， 解得， 抛物线的函数解析式为； ， 对称轴为直线， 令点关于对称轴的对称点为， ， ， 抛物线向左平移个单位经过点， ； 设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得， 直线的解析式为， 过点作轴交于点，如图： 则点的纵坐标为， 把代入得，， 解得， ， ， ， 过点作轴交于点， 设点，则， ， ， ， ． ， 令， 解得或， 当时，； 当时，， 或．  【解析】用待定系数法求函数解析式即可； 由解析式求出对称轴，再求出点关于对称轴的对称点，求出的长度即可； 先求出直线的解析式，再过点作轴交于点，求出点的坐标，过点作轴交于点，设点，则，求出的长度，求出的面积，再根据，求出的面积，然后得出关于的方程，解方程求出的值即可． 本题主要考查二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、解析式的求法等知识，关键是掌握二次函数的性质和平移的性质． 第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $$