精品解析：北京市广渠门中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

北京市广渠门中学2024—2025学年度第一学期期中试题 初二年级数学学科 时间：120分钟 本试卷共4页．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效． 一、选择题（共30分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 汉字是迄今为止持续使用时间最长的文字，是传承中华文化的重要载体．汉字在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“北京之美”四个字的篆书，不能看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知三角形的两边长分别为和，则第三边的长可以是（ ） A. B. C. D. 4. 安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间线段最短 C. 三角形的稳定性 D. 垂线段最短 5. 若正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 如图，已知，尺规作，使，作图痕迹中如图所示，则的作图依据是（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 若，则的值为（ ） A. 6 B. 10 C. 9 D. 7 9. 将一张正方形纸片按如图步骤①,②沿虚线对折两次,然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角,展开铺平后的图形是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，点是射线上的定点，点是直线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共16分） 11. 如图，在中，于点，则的长为___________． 12. 比较两个数的大小关系：______．（填“＞”、“＜”或“＝”） 13. 等腰三角形的两边长分别为，，其周长为______． 14. 如果，，那么______． 15. 如图，，与交于点O，请添加一个条件________，使．（只填一种情况即可） 16. 如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于E点，∠B=50°，∠FAE=20°，则∠C=_____________度． 17. 图中的四边形均为长方形，根据图形，写出一个正确的等式：____________． 18. 如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA<OC，∠AOB＝∠COD＝36°；连接AC，BD交于点M，连接OM；下列结论：①∠AMB＝36°；②AC＝BD；③OM平分∠AOD；④MO平分∠AMD；其中正确的结论有______________(填序号) 三、解答题（共54分） 19. 计算： （1）． （2） （3）． 20. 如图，CD＝ CA，∠1 ＝ ∠2，EC＝BC． 求证：DE＝AB． 21. 如图所示，在一次军事演习中，红方侦察员发现：蓝方指挥部点P在A区内，且到铁路、公路和的距离相等，如果你是红方的指挥员，请你在下图中准确地作出蓝方指挥部点P的位置．（保留作图痕迹，不必写作法） 22. 已知，求代数式的值， 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．已知的三个顶点坐标分别为，，． （1）若与关于y轴对称，画出，并写出点的坐标； （2）若在直线l上存在点P，使的周长最小，则点P的坐标为______． 24. 如图，在中，，D是上的一点，于点E，交于点F，与的延长线交于点G．求证：． 25. 请阅读下面材料，填空，并解决后续问题． 学习了等腰三角形，我们知道，等边对等角，即在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角对等边．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？ 如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠（即），使边落在上，点C落在上的D点，折线交于点E，即作的平分线，交于E，在边上截，连结，则可通过证明全等得到： ① ． 再由外角可以得到： ② ，∴． 这样，我们证明了，在一个三角形中，大边所对的角也较大．从上面的过程可以看出，利用轴对称的性质，可以把研究角的问题与研究边的问题互相转化，利用这样的想法，请解决以下问题： 已知：如图2，中，，平分，请用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 26. 如图，P为的平分线上的一点，于F，点D和点E分别在和上，且，，试探究与的数量关系，并给予证明． 27. 根据下面三位同学的探究交流过程，补充完成以下内容． a．小明计算两个两位数（十位上的数相同，个位上的数的和是10）相乘的运算： ，，，； b．小明邀请田田尝试写出符合这个特征的其他算式，并计算出结果： 算式：________①___________； c．小明与田田观察上面的运算，发现了运算规律：十位上的数相同，个位上的数的和为10的两个两位数相乘，十位上的数乘以______②_______作为结果的千位和百位，两个个位上的数相乘作为结果的十位和个位； d．小亚也参与了讨论，他们尝试用含有字母的式子表示上述规律： 如果设一个两位数十位上的数是（，且为整数），个位上的数是（，且为整数），那么这个两位数可以表示为，则另一个两位数可以表示为_______③_______，上述规律可以表示为_________④_________（用含，的式子表示）； e．他们尝试对这个规律进行证明：________⑤___________． 28. 在中，，，D为边上一动点，点E在边上，，作点D关于直线的对称点F，P为的中点，连接，，． （1）如图1，当点D与点B重合时，直接用等式表示线段与的数量关系； （2）当点D与点B，点C都不重合时，请补全图2，并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请举出反例． 29. 在平面直角坐标系中，对于点P和点A，若存在点Q，使得，且，则称点Q为点P关于点A的“链垂点”． （1）如图1， ①若点A的坐标为，则点A关于点O的“链垂点”坐标为______； ②若点为点O关于点C的“链垂点”，且点C位于x轴上方，试求点C的坐标； （2）如图2，图形G是端点为和的线段，图形H是以点O为中心，各边分别与坐标轴平行且边长为6的正方形，点D为图形G上的动点，对于点，存在点D，使得点D关于点E的“链垂点”恰好在图形H上，请直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市广渠门中学2024—2025学年度第一学期期中试题 初二年级数学学科 时间：120分钟 本试卷共4页．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效． 一、选择题（共30分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 汉字是迄今为止持续使用时间最长的文字，是传承中华文化的重要载体．汉字在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“北京之美”四个字的篆书，不能看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．是轴对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，故此选项不合题意； C．不是轴对称图形，故此选项符合题意； D．是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A. ，原计算错误，故选项不符合题意； B. ，原计算错误，故选项不符合题意； C. ，原计算错误，故选项不符合题意； D. ，计算正确，故选项符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 3. 已知三角形的两边长分别为和，则第三边的长可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定第三边的取值范围，后根据选项计算选择． 【详解】设第三边的长为x， ∵ 角形的两边长分别为和， ∴3cm＜x＜13cm, 故选C． 【点睛】本题考查了三角形三边关系定理，熟练确定第三边的范围是解题的关键． 4. 安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间线段最短 C. 三角形的稳定性 D. 垂线段最短 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性即可进行解答． 【详解】根据题意可得，图中的几何原理为：三角形具有稳定性． 5. 若正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角和问题，多边形的外角和等于，因为正多边形的每个外角均相等，故多边形的外角和又可表示成，列方程可求解． 【详解】解：设所求正边形边数为， 则， 解得． 故正多边形的边数是6． 故选：C． 6. 如图，已知，尺规作，使，作图痕迹中如图所示，则的作图依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作已知一个角的相等角、全等三角的判定，先根据已知一个角的相等角的方法可得，，再根据全等三角形的判定即可求解． 【详解】解：由题意可得，，， ∴， 故选：C． 7. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查点的坐标规律，根据关于x轴对称的两点的坐标：“横坐标不变，纵坐标互为相反数”求解即可． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是， 故选：B． 8. 若，则的值为（ ） A. 6 B. 10 C. 9 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同底数的乘法、解一元一次方程，代数式求值，先根据同底数的乘法法则可得，求得，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 9. 将一张正方形纸片按如图步骤①,②沿虚线对折两次,然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角,展开铺平后的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】【分析】根据两次折叠都是沿着正方形的对角线折叠, 展开后所得图形的顶点一定在正方形的对角线上, 根据③的剪法，中间应该是一个正方形. 【解答】根据题意，两次折叠都是沿着正方形的对角线折叠的，根据③的剪法，展开后所得图形的顶点一定在正方形的对角线上,而且中间应该是一个正方形. 故选A． 【点评】关键是要理解折叠的过程，得到关键信息，如本题得到展开后的图形的顶点在正方形的对角线上是解题的关键． 10. 如图，，点是射线上的定点，点是直线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分两种情况：当为腰时，当为底时，分别画出图形，即可得出答案，熟练掌握等腰三角形的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图， ， 当为腰时，，，均是以为腰的等腰三角形， 当为底时，为等腰三角形， 满足条件的点共有个， 故选：D． 二、填空题（共16分） 11. 如图，在中，于点，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质—三线合一可得，即可求解． 【详解】解：∵在中，于点， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 12. 比较两个数的大小关系：______．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方，有理数的大小比较，先把两个数变形得出，，再比较大小即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 等腰三角形的两边长分别为，，其周长为______． 【答案】14或16##16或14 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．由题意知，应分两种情况：当腰长为时和当腰长为时，分别得出符合三角形三边关系，再根据三角形周长计算即可． 【详解】解：由题意知，应分两种情况：当腰长为时， 当腰长为时，三角形三边长为4，4，6， ∵，符合三角形三边关系， ∴周长为 当腰长为时，三角形三边长为6，6，4， ∵，符合三角形三边关系， ∴周长为 故答案为14或16． 14. 如果，，那么______． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算、同底数幂的乘法逆运算，先根据幂的乘方逆运算和同底数幂的乘法逆运算求得，，再求和即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：30． 15. 如图，，与交于点O，请添加一个条件________，使．（只填一种情况即可） 【答案】或或 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定方法处理． 【详解】∵ ∴， 若，则； 若，则； 若，则； 故答案为：或或． 【点睛】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定；掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 16. 如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于E点，∠B=50°，∠FAE=20°，则∠C=_____________度． 【答案】30 【解析】 【分析】根据角平分线和垂直平分线的性质得到角之间的关系，再利用三角形内角和即可求解. 【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线, ∴ ∴ ∵AF平分∠BAC， ∴ 在△ABC中，，即 ∴ ∴ 故答案为 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的角平分线的定义，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 17. 图中的四边形均为长方形，根据图形，写出一个正确的等式：____________． 【答案】(x＋2y)(x＋y)＝ 【解析】 【分析】根据图形，从两个角度计算长方形面积即可求出答案． 【详解】解：大长方形的面积=(x＋2y)(x＋y)， 大长方形的面积= ， ∴(x＋2y)(x＋y)＝， 故答案为：(x＋2y)(x＋y)＝． 【点睛】本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用运算法则． 18. 如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA<OC，∠AOB＝∠COD＝36°；连接AC，BD交于点M，连接OM；下列结论：①∠AMB＝36°；②AC＝BD；③OM平分∠AOD；④MO平分∠AMD；其中正确的结论有______________(填序号) 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确； 由全等三角形的性质得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠OAC＋∠AOB，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正确； 作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示：则∠OGA＝∠OHB＝90°，利用全等三角形对应边上的高相等，得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠AMD，④正确； 假设MO平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，由全等三角形的判定定理可得△AMO≌△DMO，得AO＝OD，而OC＝OD，所以OA＝OC，而OA＜OC，故③错误；即可得出结论． 【详解】解：∵∠AOB＝∠COD＝36°， ∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC， 即∠AOC＝∠BOD， 在△AOC和△BOD中， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，故②正确； ∵∠OAC＝∠OBD， 由三角形的外角性质得： ∠AMB＋∠OBD＝∠OAC＋∠AOB， ∴∠AMB＝∠AOB＝36°，故①正确； 作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示， 则∠OGA＝∠OHB＝90°， ∵△AOC≌△BOD， ∴OG＝OH， ∴MO平分∠AMD，故④正确； 假设MO平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM， 在△AMO与△DMO中，， ∴△AMO≌△DMO（ASA）， ∴AO＝OD， ∵OC＝OD， ∴OA＝OC， 而OA＜OC，故③错误； 所以其中正确的结论是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题属于三角形综合题，是中考填空题压轴题，考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键． 三、解答题（共54分） 19. 计算： （1）． （2） （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法，掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算积的乘方，再根据单项式与单项式的乘法法则计算即可； （2）根据单项式与多项式的乘法法则计算即可； （3）根据多项式与多项式的乘法法则计算即可； 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 20. 如图，CD＝ CA，∠1 ＝ ∠2，EC＝BC． 求证：DE＝AB． 【答案】 证明：∵∠1=∠2， ∴∠1+ECA=∠2+∠ACE，即∠ACB=∠DCE． 在△ABC和△DEC中， ∵CD=CA，∠ACB=∠DCE，BC=EC， ∴△ABC≌△DEC（SAS）． ∴DE=AB． 【解析】 【分析】由已知证得∠ACB=∠DCE，从而根据三角形全等SAS的判定，证明△ABC≌△DEC，继而可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，解决此题的关键是证明∠ACB=∠DCE． 21. 如图所示，在一次军事演习中，红方侦察员发现：蓝方指挥部点P在A区内，且到铁路、公路和的距离相等，如果你是红方的指挥员，请你在下图中准确地作出蓝方指挥部点P的位置．（保留作图痕迹，不必写作法） 【答案】 如图，点P即为所求． 【解析】 【分析】作的角平分线，作的角平分线，射线交射线于点P，点P即为所求． 【详解】略 【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22. 已知，求代数式的值， 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，先把代数式化简为，再根据，整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．已知的三个顶点坐标分别为，，． （1）若与关于y轴对称，画出，并写出点的坐标； （2）若在直线l上存在点P，使的周长最小，则点P的坐标为______． 【答案】（1） ：如图， （2） 【解析】 【分析】（1）本题考查坐标变换−轴对称、画轴对称图形、轴对称的性质，先确定点A、B、C关于y轴的对称点，再依次连接，即可求点的坐标； （2）作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P，连接，根据轴对称的性质可得，从而可得，即可求解． 【小问1详解】 解：即为所求，； 【小问2详解】 解：如图，作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P，连接， ∵点A、关于直线l对称， ∴， ∴， 此时，点P的坐标为， 故答案为：． 24. 如图，在中，，D是上的一点，于点E，交于点F，与的延长线交于点G．求证：． 【答案】 证明：过点D作于点M， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查三角形外角的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质，过点D作于点M，利用等量代换可得，，根据等腰三角形的性质和等量代换可得，再根据三角形外角的性质和等量代换可得，从而可得，再根据等腰三角形的判定即可得证． 【详解】略 25. 请阅读下面材料，填空，并解决后续问题． 学习了等腰三角形，我们知道，等边对等角，即在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角对等边．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？ 如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠（即），使边落在上，点C落在上的D点，折线交于点E，即作的平分线，交于E，在边上截，连结，则可通过证明全等得到： ① ． 再由外角可以得到： ② ，∴． 这样，我们证明了，在一个三角形中，大边所对的角也较大．从上面的过程可以看出，利用轴对称的性质，可以把研究角的问题与研究边的问题互相转化，利用这样的想法，请解决以下问题： 已知：如图2，中，，平分，请用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】①，②； ，理由如下： 在上取点F，使， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】根据角平分线的定义可得，证得，可得，再根据三角形外角的性质和等量代换即可求解；在上取点F，使，根据角平分线的定义可得，证得，可得，，再根据三角形外角的性质可等量代换可得，由等腰三角形的判定可得，即可得证． 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：①，②； 解决问题略． 【点睛】本题考查角平分线的定义、三角形外角的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 26. 如图，P为的平分线上的一点，于F，点D和点E分别在和上，且，，试探究与的数量关系，并给予证明． 【答案】 ． 理由：过P作于点G， 由角平分线性质，得， 在和中， ∴， ∴， 又， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线性质的运用和三角形全等的性质及判定，转化的思想的应用．正确作出辅助线是解决问题的关键．根据角平分线性质，过P作于点G，则，已知，可证，再利用对应角相等及平角的性质证明． 【详解】略 27. 根据下面三位同学的探究交流过程，补充完成以下内容． a．小明计算两个两位数（十位上的数相同，个位上的数的和是10）相乘的运算： ，，，； b．小明邀请田田尝试写出符合这个特征的其他算式，并计算出结果： 算式：________①___________； c．小明与田田观察上面的运算，发现了运算规律：十位上的数相同，个位上的数的和为10的两个两位数相乘，十位上的数乘以______②_______作为结果的千位和百位，两个个位上的数相乘作为结果的十位和个位； d．小亚也参与了讨论，他们尝试用含有字母的式子表示上述规律： 如果设一个两位数十位上的数是（，且为整数），个位上的数是（，且为整数），那么这个两位数可以表示为，则另一个两位数可以表示为_______③_______，上述规律可以表示为_________④_________（用含，的式子表示）； e．他们尝试对这个规律进行证明：________⑤___________． 【答案】①答案不唯一，如：； ②它与1的和； ③； ④； ⑤证明： ， ． 【解析】 【分析】①根据题干规律“十位上的数相同，个位上的数的和是10”解答即可； ②根据题干十位上的数乘以它与1的和的规律解答即可； ③根据题干规律另一个两位数十位相同，个位等于10减去上一个两位数的个位解答即可； ④根据题干这两个两位数相乘的规律解答即可； ⑤将化简即可； 【详解】解：①根据题干规律“十位上的数相同，个位上的数的和是10”写出算式为：答案不唯一，如：， 故答案为：答案不唯一，如：； ②观察算式发现规律为：十位上的数乘以它与1的作为结果的千位和百位，两个个位上的数相乘作为结果的十位和个位， 故答案为：和它与1的和； ③根据题干规律“十位上的数相同，个位上的数的和是10”可得另一个两位数可以表示为， 故答案为：； ④由②中的规律：十位上的数乘以它与1的作为结果的千位和百位，两个个位上的数相乘作为结果的十位和个位可得：， 故答案为：； ⑤ 略 【点睛】该题重点考查了代数式表示以及整式乘法运算，解答的关键是读懂题意． 28. 在中，，，D为边上一动点，点E在边上，，作点D关于直线的对称点F，P为的中点，连接，，． （1）如图1，当点D与点B重合时，直接用等式表示线段与的数量关系； （2）当点D与点B，点C都不重合时，请补全图2，并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请举出反例． 【答案】（1） （2） 解：的关系仍成立． 连接，根据题意画点D关于点B的对称点F，延长到H，使得，然后连接，连接延长并交与点Q，连接，，， 则， 又，，， ∴， ∴和都为等边三角形， ∴， ∴， ∴，， 又∵P为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， 又， ∴，， ∴． 【解析】 【分析】（1）由含30度直角三角形的性质，可得出，，再证明为等边三角形，由等边三角形的性质即可得出，进而由等腰三角形三线合一的性质得出，，再利用30度直角三角形的性质即可得出． （2）连接，根据题意画出点D关于点B的对称点F，延长到H，使得，然后连接，连接并延长交与点Q，连接，，，得出和都为等边三角形，再证明，得出，再证明，进而得出为等边三角形，由三线合一的性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：． 在中，， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 又∵P为的中点， ∴，， ∴， 即 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查对称性、含30度直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定以及性质等知识，构造等边三角形以及等腰三角形三线合一的性质是解题的关键． 29. 在平面直角坐标系中，对于点P和点A，若存在点Q，使得，且，则称点Q为点P关于点A的“链垂点”． （1）如图1， ①若点A的坐标为，则点A关于点O的“链垂点”坐标为______； ②若点为点O关于点C的“链垂点”，且点C位于x轴上方，试求点C的坐标； （2）如图2，图形G是端点为和的线段，图形H是以点O为中心，各边分别与坐标轴平行且边长为6的正方形，点D为图形G上的动点，对于点，存在点D，使得点D关于点E的“链垂点”恰好在图形H上，请直接写出t的取值范围． 【答案】（1）①，；② （2） 【解析】 【分析】（1）①由“链垂点”的定义可得，，证得，可得，，即可求解； ②设点，则，，证明可得，，从而可得，，再求解即可； （2）过点D作轴于点K，过点E作，交图形H的边于点M（M在第三象限），则，利用待定系数法求得端点为、的线段的直线的解析式为，证明得，即，，即可求解； 过点D作轴于点K，过点E作，交图形H的边于点M（M在第四象限），则，同理可证，，得，即，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，点E、F为点A关于点O的“链垂点”，如图， ∵点A的坐标为， ∴，， ∵点E、F为点A关于点O的“链垂点”， ∴，， ∴将顺时针转得到，将逆时针转得到， ∴， ∴，， ∴，， 故答案为：，； ②点为点O关于点C的“链垂点”，且点C位于x轴上方，如图， 过点C且与x轴平行的直线，交y轴于点M，过点B作于点N，于点Q， ∵， ∴,, 设点，则，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴点C的坐标为； 【小问2详解】 解：点D为图形G上的动点，对于点，存在点D，使得点D关于点E的“链垂点”恰好在图形H上，如图， 过点D作轴于点K，过点E作，交图形H的边于点M（M在第三象限），则， 设端点为、的线段的直线的解析式为， ∴， 解得， ∴端点为、的线段的直线的解析式为， ∵点D为图形G上， ，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意得，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 过点D作轴于点K，过点E作，交图形H的边于点M（M在第四象限），则，如图， 则，，，， ∴， 同理可证，， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，t的取值范围为． 【点睛】本题考查新定义、坐标与图形、全等三角形的判定与性质、用待定系数法求一次函数，理解“链垂点”的定义，运用数形结合思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $