精品解析：广东省深圳市南山区文理集团2024-2025学年上学期九年级期中考试数学试卷

文理集团2024—2025学年第一学期九年级 期中考试数学试卷 说明：1．全卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页． 2．考试时间为90分钟，满分100分． 3．答题时，考生务必将姓名、班级、考号、考试科目、武卷类型用2B铅笔填涂在答题卡上，并用黑色签字笔填写相应信息．请考生按要求在答题卷规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 第I卷（选择题共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个正确） 1. 下列说法错误的是(　　) A. 菱形的面积等于两条对角线乘积的一半 B. 矩形的对角线相等 C. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D. 对角线相等的菱形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据有关的定理和定义找到错误的命题即可得到答案； 【详解】A、菱形的面积等于对角线乘积的一半，故正确，不符合题意； B、矩形的对角线相等，正确，不符合题意； C、对角线平分且相等的平行四边形是矩形，错误，符合题意； D、对角线相等的菱形是正方形，正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】考查了命题与定理的知识，在判断 一个命题正误的时候可以举出反例． 2. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，设 则 再代入分式求值即可. 【详解】解： ，设 故选： 【点睛】本题考查的是分式的值，掌握设辅助参数的方法求解分式的值是解题的关键. 3. 不解方程，判断方程3x2﹣4x+1＝0的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=4>0，从而得出方程有两个不相等的实数根． 【详解】在方程3x2−4x+1=0中,△=(−4)2−4×3×1=4>0， ∴方程3x2−4x+1=0有两个不相等的实数根. 故答案选B. 【点睛】本题考查的知识点是根的判别式，解题的关键是熟练的掌握根的判别式. 4. 随机抽检一批毛衫的合格情况，得到如下的频数表．下列说法错误的是（ ） 抽取件数（件） 100 150 200 500 800 1000 合格频数 a 141 190 475 764 950 合格频率 0.90 0.94 b 0.95 0.955 0.95 A. 抽取100件的合格频数是90 B. 抽取200件的合格频率是0.95 C. 任抽一件毛衫是合格品的概率为0.90 D. 出售2000件毛衫，次品大约有100件 【答案】C 【解析】 【分析】根据频率和频数与数据总数的关系计算a、b的值判断A，B；根据抽取件数很大时，频率稳定在0.95附近，判断C；根据合格率为0.95，得到次品率为，计算次品件数判断D． 【详解】A．抽取100件的合格频数是90， ∵， ∴抽取100件的合格频数是90正确； B．抽取200件的合格频率是0.95， ∵， ∴抽取200件的合格频率是0.95正确； C．任抽一件毛衫是合格品的概率为0.90， ∵当抽取件数很大时，频率在0.95附近摆动， ∴任抽一件毛衫是合格品的概率为0.95， ∴任抽一件毛衫是合格品的概率为0.90错误； D．出售2000件毛衫，次品大约有100件， ∵（件）， ∴出售2000件毛衫，次品大约有100件正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了频数与频率，概率等．解决问题的关键是熟练掌握频数，频率的定义，用频率估计概率的方法．频数是某类数据出现的次数，频率等于频数与总数据的比值，当重复实验次数充分大时，频率在概率附近摆动，因此用重复实验次数充分大时频率接近的数值估计概率． 5. 如图，在中，点D，E分别在边，上，则不一定能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握其判定方法是解题的关键．可利用有两组角对应相等的两个三角形相似判断A、B选项，利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似判断C选项，从而解题． 【详解】解：A、，， ，不符合题意； B、，， ，不符合题意； C、， ， ， ，不符合题意； D、，， 无法证明，符合题意； 故选：D． 6. 如图，在菱形中，分别是上的点，且与相交于点O．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的“三线合一”，掌握菱形的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 根据菱形的性质可得，，，可证，得到点是的中点，则有平分，，根据直角三角形两锐角互余，角平分线的定义即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点是的中点， 又∵， ∴平分，，即， 在中，， ∴， 故选：B ． 7. 如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点N，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用；设正方形的边长，易证四边形是矩形，则，根据正方形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：设正方形的边长， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴（相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故选：B． 8. 如图，矩形中，，若上各取一点，使的值最小，求这个最小值（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称最短路径，勾股定理，掌握矩形的性质，找到点关于的对称点，结合三角形三边数量关系，垂线段最短知识的运用是解题的关键． 根据题意，过点关于的对称点，连接交于点，连接，作于点，交于点，根据三角形三边数量关系可得，，根据点到直线垂线段最短可得，，则有当点在垂线上，即点于点，点于点重合时，，此时值最小，根据折叠的性质，勾股定理，等面积法可得的值，再根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点关于的对称点，连接交于点，连接，作于点，交于点， ∵对称， ∴， ∴， 根据三角形三边数量关系可得，， 根据点到直线垂线段最短可得，， ∴当点在垂线上，即点于点，点于点重合时，，此时值最小， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴，  故选：C ． 第Ⅱ卷（非选择题共76分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 在不透明的盒子中装有3个红球，7个白球，它们除颜色外均相同，则从盒中子任意摸出一个球是白球的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，掌握概率的计算公式是解题的关键． 根据题意，运用白球的个数除以总数即可求解． 【详解】解：根据题意，从盒中子任意摸出一个球是白球的概率是， 故答案为： ． 10. 如图，，若，则等于_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 设是一元二次方程的两个根，则等于_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，异分母分式的加减运算，求值，掌握一元二次方程根与系数的关系，及异分母分式的加减运算法则是解题的关键． 根据题意可得，再计算异分母分式，代入求值即可． 【详解】解：设是一元二次方程的两个根， ∴， ∵， ∴原式， 故答案为： ． 12. 如图，正方形的对角线交于点是边上一点，连接，过点O作，交于点N．若四边形的面积是，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握正方形的性质，证明，，将四边形的面积转换为等腰直角的面积是解题的关键．根据正方形的性质及，可证，得到，由此将将四边形的面积转换为等腰直角的面积，可求值，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，对角线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形的面积是，即， ∴， ∴，且， ∴， 在等腰直角中，， ∴， 故答案为： ． 13. 如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，点恰落在边上的点处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处，有下列结论：①；②；③；④；其中正确的是______．（填写正确结论的序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】利用折叠性质得∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，则可得到∠EBG=∠ABC，于是可对①进行判断；在RtABF中利用勾股定理计算出AF=8，则DF=AD-AF=2，设AG=x，则GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=4，利用勾股定理得到，解得x=3，所以AG=3，GF=5，于是可对④进行判断；接着证明ABF∽DFE，利用相似比得到，而 =2，所以，所以DEF与ABG不相似，于是可对②进行判断；分别计算和可对③进行判断． 【详解】解：∵BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上， 将ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处， ∴∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH， ∴∠EBG=∠EBF+∠FBG=∠CBF+∠ABF=∠ABC=45°，所以①正确； 在RtABF中，AF==8， ∴DF=AD-AF=10-8=2， 设AG=x，则GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=10-6=4， 在RtGFH中， ∵， ∴， 解得x=3， ∴GF=5， ∴AG+DF=FG=5，所以④正确； ∵BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处， ∴∠BFE=∠C=90°， ∴∠EFD+∠AFB=90°， 而∠AFB+∠ABF=90°， ∴∠ABF=∠EFD， ∴ABF∽DFE， ∴， ∴， 而 ， ∴， ∴DEF与ABG不相似；所以②错误． ∵=×6×3=9，=×3×4=6， ∴．所以③正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在利用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算线段的长．也考查了折叠和矩形的性质． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题6分，第15题6分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分） 14. 解下列方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握一元二次方程的求解方法． （1）根据配方法进行求解即可； （2）用因式分解法进行求解即可． 【小问1详解】 解：， 配方得：， 即， 开平方得：， 解得：； 【小问2详解】 解：， 移项得：， 因式分解得：， 即， 则或， 解得：． 15. 在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为， （1）以原点O为位似中心，在位似中心的异侧画出的一个位似图形，使它与的位似比为； （2）的上的一点M的坐标为，直接写出点M在上的对应点的坐标为_______． 【答案】（1） 解：以原点O为位似中心，与的位似比为，作图如下： （2） 【解析】 【分析】本题主要考查作位似图形，理解位似中心，位似比，掌握位似比的概念，作位似图形的方法是解题的关键． （1）根据位似图形的定义，位似比的计算方法作图即可求解； （2）根据位似比，位似图形所在象限确定点坐标即可． 【小问1详解】 ∵，， ∴， ∴即为所求图形； 【小问2详解】 解：由（1）可知，与的位似比为，在第四象限， ∵，， ∴， 故答案为：． 16. 某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展．学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？（要求必须选修一门且只能选修一门）”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图： 请结合上述信息，解答下列问题： （1）共有_______名学生参与了本次问卷调查； （2）“编程”在扇形统计图中所对应的圆心角是_______度； （3）小刚和小明分别从“礼仪”“陶艺”“编程”“园艺”这四门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的相关计算，列表法或画树状图法求随机事件的概率，理解条形统计图，扇形图中数据的信息，掌握根据某项的百分比估算总体数量，圆心角的计算方法，列表法或画树状图法求随机事件概率的方法是解题的关键． （1）根据礼仪的人数与所占比例即可求解参与的学生人数； （2）根据编程的人数与总人数可得编程所占比例，根据圆心角的计算方法即可求解； （3）运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算公式即可求解． 【小问1详解】 解：礼仪的人，所占比例为， ∴（人）， ∴共有名学生参与了本次问卷调查， 故答案为：； 【小问2详解】 解：编程的有人，共有人参与调查， ∴编程的圆心角的度数为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：分别用表示“礼仪”“陶艺”“编程”“园艺”这四门校本课程，所有等可能结果如图所示， 共有种等可能结果，其中两人恰好选到同一门课程的结果有种， ∴两人恰好选到同一门课程的概率为． 17. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与相交于点O，与相交于N，连接 （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴ ∴ 在和中， ， ∴， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． （2）长为． 【解析】 【分析】（1）根据矩形性质求出，推出，证△，推出，得出平行四边形，推出菱形； （2）根据菱形性质求出，在中，根据勾股定理得出，推出，求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴MB=MD， 设长为x，则， 在中， 即 解得：． 答：长为． 【点睛】本题考查了矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理等知识点的应用．注意对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 18. 在新冠疫情爆发初期，防护服极度匮乏，某市许多企业都积极地生产防护服以应对疫情，某工厂决定引进若干条防护服生产线．经调查发现：1条防护服生产线最大产能是780件/天，每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20件/天．设该工厂共引进x条生产线． （1）每条生产线的最大产能是_______件/天（用含x的代数式表示）． （2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产防护服6380件，为了尽量控制成本，该工厂引进了多少条生产线？ 【答案】（1） （2）该工厂引进了11条口罩生产线 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意可得引进x条生产线每条生产线的最大产能将减少件/天，进而可得每条生产线的最大产能是（件/天）， （2）根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：∵每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20件/天， ∴引进x条生产线每条生产线的最大产能将减少件/天， ∴每条生产线的最大产能是件/天， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，可列出方程：， 整理得， 解得， ∵为了尽量控制成本， ∴， 答：该工厂引进了11条口罩生产线． 19. 阅读材料，解答问题．材料：为解方程，我们可以将作为一个整体，然后设，则．原方程可化为：，解得：． 当时，，解得：； 当时，，解得：； 所以原方程的解为：． （1）方程：的解为：_______ （2）解方程：；（写出解题过程） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）设，则原方程可以化为，再仿照题意解方程即可； （2）设，则原方程可以化为，再仿照题意解方程即可． 【小问1详解】 解：设，则， ∴原方程可以化为， ∴， 解得， 当时，，解得； 当时，，解得； ∴原方程的解为：； 【小问2详解】 解：设，则， ∴原方程可以化为， ∴， 解得， 当时，，解得； 当时，，此时方程无解； 综上所述，原方程的解为． 20. 【问题背景】（1）如图1，，，．求证：； 【变式迁移】（2）如图2，E为正方形ABCD外一点，，过点D作，垂足为F，连接CF．求的值； 【拓展创新】（3）如图3，A是内一点，，，，，，直接写出AB的长． 【答案】 （1）如图，∵，，， ∴，且， ∴， ∴， ∴ （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）证明，利用线段比等于相似比即可求证； （2）证明，利用线段比等于相似比即可求得； （3）作辅助线，根据已知条件，先求得EF的长，再根据勾股定理求得AB． 【详解】解：（1）略 （2）如图2，连接BD， ∵，， ∴ 在正方形ABCD中，， ∴，， ， ∴； （3）如图，过点作，交于点，连接 又 即 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线，构造三角形相似，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 文理集团2024—2025学年第一学期九年级 期中考试数学试卷 说明：1．全卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页． 2．考试时间为90分钟，满分100分． 3．答题时，考生务必将姓名、班级、考号、考试科目、武卷类型用2B铅笔填涂在答题卡上，并用黑色签字笔填写相应信息．请考生按要求在答题卷规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 第I卷（选择题共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个正确） 1. 下列说法错误的是(　　) A. 菱形的面积等于两条对角线乘积的一半 B. 矩形的对角线相等 C. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D. 对角线相等的菱形是正方形 2. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 不解方程，判断方程3x2﹣4x+1＝0的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 4. 随机抽检一批毛衫的合格情况，得到如下的频数表．下列说法错误的是（ ） 抽取件数（件） 100 150 200 500 800 1000 合格频数 a 141 190 475 764 950 合格频率 0.90 0.94 b 0.95 0.955 0.95 A. 抽取100件的合格频数是90 B. 抽取200件的合格频率是0.95 C. 任抽一件毛衫是合格品的概率为0.90 D. 出售2000件毛衫，次品大约有100件 5. 如图，在中，点D，E分别在边，上，则不一定能判断的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在菱形中，分别是上的点，且与相交于点O．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点N，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 8. 如图，矩形中，，若上各取一点，使的值最小，求这个最小值（ ） A. 5 B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共76分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 在不透明的盒子中装有3个红球，7个白球，它们除颜色外均相同，则从盒中子任意摸出一个球是白球的概率是_______． 10. 如图，，若，则等于_______． 11. 设是一元二次方程的两个根，则等于_______． 12. 如图，正方形的对角线交于点是边上一点，连接，过点O作，交于点N．若四边形的面积是，则的长为_______． 13. 如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，点恰落在边上的点处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处，有下列结论：①；②；③；④；其中正确的是______．（填写正确结论的序号） 三、解答题（本题共7小题，其中第14题6分，第15题6分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分） 14. 解下列方程： （1）； （2） 15. 在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为， （1）以原点O为位似中心，在位似中心的异侧画出的一个位似图形，使它与的位似比为； （2）的上的一点M的坐标为，直接写出点M在上的对应点的坐标为_______． 16. 某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展．学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？（要求必须选修一门且只能选修一门）”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图： 请结合上述信息，解答下列问题： （1）共有_______名学生参与了本次问卷调查； （2）“编程”在扇形统计图中所对应的圆心角是_______度； （3）小刚和小明分别从“礼仪”“陶艺”“编程”“园艺”这四门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率． 17. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与相交于点O，与相交于N，连接 （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 18. 在新冠疫情爆发初期，防护服极度匮乏，某市许多企业都积极地生产防护服以应对疫情，某工厂决定引进若干条防护服生产线．经调查发现：1条防护服生产线最大产能是780件/天，每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20件/天．设该工厂共引进x条生产线． （1）每条生产线的最大产能是_______件/天（用含x的代数式表示）． （2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产防护服6380件，为了尽量控制成本，该工厂引进了多少条生产线？ 19. 阅读材料，解答问题．材料：为解方程，我们可以将作为一个整体，然后设，则．原方程可化为：，解得：． 当时，，解得：； 当时，，解得：； 所以原方程的解为：． （1）方程：的解为：_______ （2）解方程：；（写出解题过程） 20. 【问题背景】（1）如图1，，，．求证：； 【变式迁移】（2）如图2，E为正方形ABCD外一点，，过点D作，垂足为F，连接CF．求的值； 【拓展创新】（3）如图3，A是内一点，，，，，，直接写出AB的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $