24.3正多边形和圆课时训练-2024-2025学年人教版数学九年级上册

24.3正多边形和圆课时训练-2024-2025学年数学九年级上册人教版 一、单选题 1．正六边形的周长为6，则它的面积为（  ） A． B． C． D． 2．若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径分别为（    ） A．，3 B．6， C．6，3 D．， 3．一个正多边形的中心角为，则该正多边形的边数为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 4．如图，正方形边长为6，圆的半径为1，将圆在正方形外侧无滑动的滚动一周，圆心走过的路径长度为（   ） A． B． C． D． 5．一把直尺放在正六边形上，其中 点、 点分别对应刻度， 则 的长是 （   ） A． B． C． D． 6．下列命题：①三点确定一个圆；②正多边形是中心对称图形；③正六边形的半径与边长相等；④三角形的外心到三角形各边的距离相等，其中真命题的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．已知一正多边形的一个外角等于，则该正多边形的中心角等于（    ）． A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，边长为的正六边形的中心与原点重合，轴，将六边形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，正方形、等边三角形内接于同一个圆，则的度数为 ． 10．一个半径为5的圆内接正六边形的周长等于 ． 11．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为 12．如图，正五边形内接于，则的度数为 ． 13．某厂家要设计一个装彩铅的纸盒，已知每支笔形状、大小相同，底面均为正六边形，六边形的边长为，目前厂家提供了圆形和等边三角形两种作为底面的设计方案，我们以6支彩铅为例，可以设计如图收纳方案一和收纳方案二，你认为底面积更小的是方案 ，两种方案底面积差为 （结果保留根号） 14．如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则（1）的直径长为 ；（2）周长的最小值是 ． 15．如图，正六边形内接于，连接，则 ． 三、解答题 16．如图，正方形的边长为，剪去4个角后成为一个正八边形，求这个正八边形的边长和面积． 17．如图，内接于是上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 18．仅用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹． (1)如图，为的弦，画一条与长度相等的弦； (2)如图，正五边形内接于圆，请作出一条直径； 19．如图，正六边形的顶点都在以原点为圆心、以2为半径的圆上，点B在y轴正半轴上．求正六边形各顶点的坐标．    20．如图，已知的内接正十边形，交，于，，求证： (1)； (2)． 21．如图① ② ③ ④分别是的内接正三角形、正方形、正五边形、正边形，点，分别从点，开始以相同的速度在上逆时针运动． (1)图①中，______，图②中，______，图③中，______； (2)试探索的度数与正边形的边数的关系（直接写出答案）． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A A C C C D A 1．B 【分析】本题考查了正多边形的计算，把正多边形的面积转化为包含中心角的三角形的面积计算是解题的关键． 利用正多边形与圆的关系，把图形的面积转化中心角三角形的面积和计算即可． 【详解】解：如图，设正六边形的一边为，外接圆的圆心为O，作，垂足为C， ∵正六边形的周长为6， ∴，，是等边三角形， ∴，， ∴的面积为， ∴正六边形的面积为， 故选B． 2．A 【分析】本题主要考查了正多边形和圆，由正方形的边长、外接圆半径、内切圆半径正好组成一个直角三角形，从而求得它们的长度． 【详解】解：如图，正方形的外接圆半径与内切圆半径分别为，， 正方形的边长为6， ， 又， ， ， 即外接圆半径为，内切圆半径为3． 故选：A． 3．A 【分析】本题考查的是正多边形中心角．熟练掌握中心角的计算公式是解题的关键． 根据正n边形的中心角的度数为，进行计算即可得到答案． 【详解】解：设正多边形的边数为n， 则有， 解得， 是所列方程的解，且符合题意， ∴该正多边形的边数为6． 故选：A． 4．C 【分析】本题考查动点运动过程中走过的路径长度的求法，解答本题的关键是弄清楚在顶点处动点的运动轨迹．圆在正方形的四个角的顶点处旋转的路线是弧，通过观察分析可得圆转动时在四个角上共转动了，即圆心在顶点处走过的路程为半径为的圆的周长， 接下来根据圆周长计算公式求得顶点处圆心走过的路程，然后加上正方形的周长即可得到答案． 【详解】正方形边长为6， 正方形周长为， 圆转动时在四个角上共转动了， ∴圆心在四个角走过的路程为， 圆心走过的路径长度为． 故选：C． 5．C 【分析】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，取中点，连接，可得，，进而得到为等边三角形，即得，据此即可求解，掌握正六边形的性质是解题的关键． 【详解】解：取中点，连接，可知点为正六边形的中心， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵点、点分别对应刻度， ∴， ∴， ∵六边形是正六边形， ∴， 故选：． 6．C 【分析】本题考查了命题与定理：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判定一个命题是假命题，只需要举出一个反例即可．也考查了正多边形，正六边形，确定圆的条件，三角形的外心等． 根据确定圆的条件判定①，根据正多边形的性质判定②，根据正方六边形的性质判定③，根据三角形的外心性质判断④． 【详解】解：A．不共线的三个点确定一个圆，故些项为假命题，不符合题意； B．正三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此项是假命题，不符合题意； C．正六边形的半径与边长相等，故此项是真命题，符合题意； D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故此项为假命题，不符合题意． 故选：C． 7．D 【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，熟悉掌握中心角的求法是解题的关键． 根据外角的度数求出多边形的边数，再由中心角求解即可． 【详解】解：∵正多边形的一个外角等于， ∴，此正多边形为边形， ∴中心角， 故选：D． 8．A 【分析】本题考查了正多边形的性质、坐标与图形变化—旋转、勾股定理、等边三角形的判定与性质，连接、，设交轴于点，由正多边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理求出，再根据旋转为一个循环，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、，设交轴于点， ，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴， ，轴，，， 是等边三角形，， ，， ， ， 将六边形绕点逆时针旋转，每次旋转°，次一个循环， 第次旋转结束时，点的坐标为， ， 第次旋转结束时，点A的坐标为， 故选：A． 9．/30度 【分析】由，，已知图形是以正方形的对角线所在直线为对称轴的轴对称图形，求得，则所对的圆心角为，所以的度数为． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴，， ∵连接，图形是以正方形的对角线所在直线为对称轴的轴对称图形， ∴， ∵是所对的圆周角， ∴所对的圆心角等于， ∴的度数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，正方形及等边三角形的性质、圆周角定理和弧的度数，根据圆周角定理求出所对的圆心角的度数是解决本题的关键． 10． 【分析】本题考查了正多边形与圆．熟练掌握圆内接正六边形的边长等于半径是解题的关键． 根据圆内接正六边形的边长等于半径，即可求得边长，进而求得周长． 【详解】解：∵圆的半径为5， ∴圆内接正六边形的半径为5，即边长是5， ∴正六边形的周长是：． 故答案为：． 11．九/9 【分析】本题考查正多边形与圆，圆周角，掌握圆周角定理是解决问题的关键，理解正多边形的边数与相应的圆心角之间的关系是解决问题的前提． 根据圆周角定理可得正多边形的边所对的圆心角，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案． 【详解】解：如图，设正多边形的外接圆为，连接，， ， ， 而， 这个正多边形为正九边形， 故答案为：九． 12． 【分析】本题考查正多边形与圆，正多边形的性质，等腰三角形的性质，先利用正多边形的性质求出，，再利用等腰三角形的性质，角度和差求解即可，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴，， ∴， ∴, 故答案为：． 13． 二 【分析】本题考查正多边形与圆，等边三角形的性质，勾股定理等知识，利用圆面积，等边三角形的面积，即可得出答案． 【详解】如图1中，圆的半径为3cm， 底面积为． 如图2中，连接，． ，，， ， ， 等边三角形的边长， 底面积， 等边三角形作为底面时，面积比较小，底面积为， 两种方案底面积差为， 故答案为：方案二，． 14． 4 【分析】本题考查了正多边形与圆，掌握圆的相关性质及正方形的相关性质、准确的辅助线及计算是本题的解题关键． （1）利用圆的面积公式计算出半径即可求出直径； （2）连接，，以、为边作，连接，证明出，，当、、共线时，最小，即为的最小值，利用勾股定理求出即可解答此问． 【详解】解：（1）的面积为， ， 的直径长为， 故答案为：； （2）如图，连接，，以、为边作，连接， 四边形为正方形， ，， 四边为平行四边形， ， ， ， 当、、共线时，最小，即为的最小值， 在中，，， ， ， ， 周长的最小值为， 故答案为：4． 15．/度 【分析】此题考查了正多边形和圆，根据内角和定理求出，再根据正六边形的轴对称性可知平分，即可求出答案． 【详解】解：由正六边形可得， ∵正六边形是轴对称性图形， ∴平分，即． 故答案为： 16．这个正八边形的边长是，面积是 【分析】本题考查了正方形的性质、正八边形的性质、等腰直角三角形的性质，得出“减去的每个角所组成的三角形为等腰直角三角形”并能正确列出方程是解题的关键．设正八边形的边长为，则等腰直角三角形的边长为，根据题意列方程求出x的值，再根据正八边形的面积等于正方形的面积减去4个小等腰直角三角形的面积即可得出答案． 【详解】解：根据题意，减去的每个角所组成的三角形为等腰直角三角形， 设正八边形的边长为，则等腰直角三角形的边长为， ∵正方形的边长为， ∴， 解得，则， ∴ ． 答：这个正八边形的边长是，面积是． 17．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆中几何问题的综合计算与证明，熟练掌握圆的性质是解题的关键． （1）利用等边对等角可得到，再根据圆周角定理可得，即可得到； （2）延长到点E，使，连接，过点B作于点F．根据圆的内接四边形的性质可得，从而得到，易证，得到，进而得到，设，在和中，由，可求出的值，代入即可得到的长． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：延长到点E，使，连接，过点B作于点F．如图所示： ∵四边形内接于， ， ， ， ， 设 ∵， ． 在和中， ， （舍去）， ． 18．(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）分别过、作直径和，连接，由得； （2）连接，，，交于点，作射线交圆于点，因为是正五边形内接于圆，，则，垂直平分，因为，所以垂直平分，得，从而得为直径． 本题主要考查了作图复杂作图，垂直平分线的性质与判定，垂径定理，圆周角定理，正多边形和圆，熟练掌握无刻度直尺作图，垂径定理是解题的关键． 【详解】（1）解：与长度相等的弦如图所示： （2）解：直径如图所示： 19．，，，，， 【分析】根据正六边形的性质得到，连接，过作于，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：的半径， ， ，， 多边形是正六边形， ， 连接，过作于，   ，， ∴是等边三角形， ∴， ， ， ，， 同理，，，，，． 故答案为：，，，，，． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，正六边形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 20．(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）根据圆心角的计算可得，，由此可得，根据同弧所对圆心角是圆周角的2倍可得，根据三角形内角和可得，根据正十边形的性质，内角和定理可得，由此可得，根据平行线的判定即可求解； （2）根据（1）的计算，可得，，再根据即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接，则， ∵是内接正十边形的边长， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵内接正十边形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查正多边形与圆的综合，掌握正多形的性质，多边形内角和定理，圆心角的计算，等腰三角形的性质，同弧所对圆心角与圆周角的关系，平行线的判定等知识，图形结合分析是解题的关键． 21．(1)；； (2) 【分析】本题主要考查了多边形内角和，图形的变化规律，圆周角定理，等边三角形性质，三角形外角性质，利用解答中反映长的规律解答是解题的关键． （1）利用等弧所对的圆周角相等和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和解答即可； （2）利用（1）中解答过程反映出的规律解答即可． 【详解】（1）解：图①中， ∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在上逆时针运动， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是正三角形， ∴， ∴， 同理图②中，， ， 图③中，， ， 故答案为：；；； （2）由（1）知：的度数等于圆内接正多边形的一个内角， ∵正n边形的每一个内角等于， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$