精品解析：上海市向明中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

向明中学2024学年第一学期高三年级数学月考 2024.10 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知全集，集合，则_________. 2. 直线的倾斜角为______. 3. 等差数列的前7项的和为，则_________. 4. 的展开式中常数项是___________. 5. 已知，关于方程的解_________. 6. 若，则_________. 7. 已知，，则_________. 8. 已知向量，，则在上的数量投影为3，则_________. 9. 已知函数，则_________. 10. 已知，若在上恰有两个不相等的实数、满足，则实数的取值范围是__________． 11. 设函数的定义域关于原点对称，且不恒为0，下列结论： ①若是奇函数或偶函数，则满足的奇函数与偶函数中恰有一个为常函数，其函数值为0； ②若既不是奇函数也不是偶函数，则满足的奇函数与偶函数不存在； ③若为奇函数，则满足的奇函数与偶函数存在无数对； ④若为偶函数，则满足的奇函数与偶函数存在无数对．其中正确的是_________.（填写序号）. 12. 已知平面向量两两都不共线.若，则的最大值是___________. 二、选择题（共4题，13~14题每题4分，15~16题每题5分，满分18分） 13. “两个向量与共线”是“，，成等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 在一次试验中，随机事件，满足，，则（ ） A. 事件，一定互斥 B. 事件，一定不互斥 C. 事件，一定互相独立 D. 事件，一定不互相独立 15. 已知函数的导函数，若函数有一极大值点为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 16. 已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当其中且，或其中且.现有如下两个命题: ①；②集合.则下列选项中正确的是（ ） A. ①是真命题， ②是真命题； B. ①是真命题， ②是假命题 C. ①是假命题， ②是真命题； D. ①是假命题， ②是假命题. 三、解答题（本大题共5是，共分） 17. 在正三棱柱中，，，求： 异面直线与所成角的大小； 四棱锥的体积． 18. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求； （2）若，且是锐角三角形，求的最大值． 19. 新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.生产口罩的固定成本为400万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足60万箱时，；当产量不小于60万箱时，，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完. （1）求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式； （2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？ 20. 如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆：的左，右焦点外别为，，设P是第一象限内上的一点，、的延长线分别交于点、． （1）求的周长； （2）求面积的取值范围； （3）设、分别为、的内切圆半径，求的最大值． 21. 已知定义域为的函数，其导数为，若对任意的都有，则称函数为“导可控函数”. （1）请说明是否为“导可控函数”； （2）若函数为“导可控函数”，且存在正数，使在上恒成立，试判断函数的零点个数，并说明理由； （3）若函数为“导可控函数”，且存在、，使得，证明：对任意的实数、，都有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 向明中学2024学年第一学期高三年级数学月考 2024.10 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知全集，集合，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据补集的定义计算可得. 【详解】因为全集，集合， 所以. 故答案为：. 2. 直线的倾斜角为______. 【答案】 【解析】 【分析】直线的一般方程转化为斜截式方程，求出直线的斜率即可求得倾斜角. 【详解】，，直线倾斜角为. 故答案为： 【点睛】本题考查直线的倾斜角，属于基础题. 3. 等差数列的前7项的和为，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列的前项公式有，再由解得答案． 【详解】设为等差数列的前项和， 因为等差数列的前7项的和为28， 所以由等差数列的前项公式有， 即，又因为，所以. 故答案为：4. 4. 的展开式中常数项是___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式展开式公式求出常数项. 【详解】展开式为，令，解得：，故. 故答案为：27 5. 已知，关于方程的解_________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据结合指数对数运算，分段函数分类讨论解方程即可. 【详解】当时，方程即方程，解得； 当时，方程即方程，解得； 综上，方程的解或. 故答案为：或. 6. 若，则_________. 【答案】1 【解析】 【分析】先求出的值，再根据复数模长计算公式算出模长. 【详解】由题意得，因为， 所以， 故， 故答案为1. 7. 已知，，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系求解，再根据二倍角公式求解即可. 【详解】因为，， 所以，则， 所以. 故答案为：. 8. 已知向量，，则在上的数量投影为3，则_________. 【答案】3 【解析】 【分析】由向量数量投影的定义，在上的数量投影为，代入向量坐标计算可得的关系式从而求出的值. 【详解】由题意得，在上的数量投影为， 即， 所以. 故答案为：3. 9. 已知函数，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】含未知导数值的函数，可将导数值看作常数，对函数求导后代入自变量1得到关于的关系式，即可求出的值. 【详解】由题意得，， 所以， 解得， 故答案为：. 10. 已知，若在上恰有两个不相等的实数、满足，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由可得出，分析可知函数在上恰有两个最大值点，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，所以， 因为在上恰有两个不相等的实数、满足，且， 所以，函数在上恰有两个最大值点， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 11. 设函数的定义域关于原点对称，且不恒为0，下列结论： ①若是奇函数或偶函数，则满足的奇函数与偶函数中恰有一个为常函数，其函数值为0； ②若既不是奇函数也不是偶函数，则满足的奇函数与偶函数不存在； ③若为奇函数，则满足的奇函数与偶函数存在无数对； ④若为偶函数，则满足的奇函数与偶函数存在无数对．其中正确的是_________.（填写序号）. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】利用奇偶性的定义即可判断①选项；通过举例，即可判断②选项；通过构造，即可判断③选项；通过构造，，即可判断④选项. 【详解】对于①，则， 当为奇函数时， 则即; 当为偶函数时，则即 即满足的奇函数与偶函数中恰有一个为常函数， 其函数值为 0 ， 故①正确; 对于②，当时，不具有奇偶性， 满足的奇函数与偶函数存在， 故②错误； 对于③为奇函数时，令奇函数 偶函数则， 因为， 故存在无数对奇函数与偶函数， 满足， 故③正确; 对于④为偶函数，令奇函数， 偶函数 则， 因为，故存在无数对奇函数与偶函数， 满足.故④正确. 故答案为：①③④. 12. 已知平面向量两两都不共线.若，则的最大值是___________. 【答案】## 【解析】 【分析】采用数形结合画出图象，的最大值即所有向量在上的投影之和最大，即可得到答案. 【详解】由题意得，固定，依次类推画出图象，如图所示 的最大值即所有向量在上的投影之和最大时，看图易得即当取远离时，取靠近时取得最大值， 故答案为：. 二、选择题（共4题，13~14题每题4分，15~16题每题5分，满分18分） 13. “两个向量与共线”是“，，成等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比中项和向量共的坐标表示，结合条件及充分条件和必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】若向量与共线，则有，当， 显然有与共线，此时，，不是等比数列， 即“两个向量与共线”推不出“，，成等比数列”， 若，，成等比数列，则有，此时两个向量与共线， 即“，，成等比数列”可以推出“两个向量与共线”， 所以“两个向量与共线”是“，，成等比数列”的必要不充分条件， 故选：B. 14. 在一次试验中，随机事件，满足，，则（ ） A. 事件，一定互斥 B. 事件，一定不互斥 C. 事件，一定互相独立 D. 事件，一定不互相独立 【答案】B 【解析】 【分析】根据互斥事件和独立事件的概念判断即可得出答案. 【详解】根据题意， 根据互斥事件的概念可知，事件不是互斥事件，选项A错误，选项B正确； 由事件的概率不能确定事件的相互独立关系，选项C，D错误. 故选：B. 15. 已知函数的导函数，若函数有一极大值点为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明当恒成立时，为的极小值点，由此可得有两个不同的零点，利用导数判断函数单调性，进而求参数范围. 【详解】由题意，令， 若恒成立，则 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以是的极小值点，不合题意， 若函数的最小值为，则， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，当且仅当时取等号， 所以函数在上单调递增， 所以为函数的极小值点，不合题意； 故函数有两个不同零点． 设函数的两个零点分别为，且， 则， 若，则当时，，与为函数的极大值点矛盾， 若，则当时，，与为函数的极大值点矛盾， 若，则 当时，，函数在上单调递减， 当， ，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时， ，函数在上单调递增， 所以为函数的极大值点，满足要求， 因为函数有两个不同零点，， 所以， 所以， 所以实数的取值范围为． 故选：D. 【点睛】结论点睛：可导函数在点处取得极值的充要条件是，且存在，使得当时，当时． 16. 已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当其中且，或其中且.现有如下两个命题: ①；②集合.则下列选项中正确的是（ ） A. ①是真命题， ②是真命题； B. ①是真命题， ②是假命题 C. ①是假命题， ②是真命题； D. ①是假命题， ②是假命题. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的定义即可判断①是假命题，根据集合的定义先判断，，再由，有，，且，所以，可判断 ②是真命题. 【详解】因为若，则当且仅当其中且，或其中且， 且集合是由某些正整数组成的集合， 所以，， 因为，满足其中且，所以， 因为，且，，所以，故①是假命题； 记， 当时，，因为，，，所以； 下面讨论元素与集合的关系， 当时，，当时，，，，所以， 当时，，，，所以， 当时，，，，所以，依次类推， 当时，，，，所以， 下面讨论时，集合中元素与集合的关系， 因为，有，，且，所以， 综上所述，，有， 即，故②是真命题. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于判断，，，，再根据集合的定义求解. 三、解答题（本大题共5是，共分） 17. 在正三棱柱中，，，求： 异面直线与所成角的大小； 四棱锥的体积． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】由，知是异面直线与所成角，由此能求出异面直线与所成角大小． 四棱锥的体积，由此能求出结果． 【详解】解：正三棱柱，， 是异面直线与所成角， 在中，，，， ， ， 异面直线与所成角大小为 正三棱柱中，，， ， ， 四棱锥的体积 【点睛】本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 18. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求； （2）若，且是锐角三角形，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得； （2）由正弦定理可得，，从而将转化为关于的三角函数，最后由辅助角公式及正弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 又， 所以， 即，又，所以， 又，所以； 【小问2详解】 由正弦定理， 所以，， 则 ， 其中， 又，所以当时取得最大值. 19. 新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.生产口罩的固定成本为400万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足60万箱时，；当产量不小于60万箱时，，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完. （1）求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式； （2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？ 【答案】（1） （2）当x=80时，所获利润最大值为1300万元 【解析】 【分析】对于（1），由利润=售价成本，结合题目条件可得答案. 对于（2），由（1）解析式求最值即可. 【小问1详解】 售价固定为，当产量不足60万箱时， . 当产量不小于60万箱时，. 则. 【小问2详解】 设 当时，.得在上单调递增，在上单调递减.则. 当时，由基本不等式有 当且仅当时取等号.又，得当x=80时，所获利润最大值为1300万元 20. 如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆：的左，右焦点外别为，，设P是第一象限内上的一点，、的延长线分别交于点、． （1）求的周长； （2）求面积的取值范围； （3）设、分别为、的内切圆半径，求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义即可求解； （2）设过的直线方程为，联立椭圆方程消元后，根据根与系数的关系得，换元后可求，代入三角形面积公式即可求解； （3）根据三角形内切圆的性质及（1）可得，即可转化为，根据三角形面积可化为，利用直线与椭圆联立求出，代入化简后利用均值不等式即可求解. 【详解】（1），为椭圆的两焦点，且，为椭圆上的点， ，从而的周长为． 由题意，得，即的周长为. （2）由题意可设过的直线方程为， 联立，消去x得， 则， 所以， 令， 则（当时等号成立，即时） 所以, 故面积的取值范围为. （3）设，直线的方程为：，将其代入椭圆的方程可得， 整理可得， 则，得，， 故． 当时，直线的方程为：，将其代入椭圆方程并整理可得， 同理，可得， 因为， 所以 ， 当且仅当时，等号成立. 若轴时，易知，，， 此时， 综上，的最大值为. 21. 已知定义域为的函数，其导数为，若对任意的都有，则称函数为“导可控函数”. （1）请说明是否为“导可控函数”； （2）若函数为“导可控函数”，且存在正数，使在上恒成立，试判断函数的零点个数，并说明理由； （3）若函数为“导可控函数”，且存在、，使得，证明：对任意的实数、，都有. 【答案】（1）不是“导可控函数” （2）1个，理由见为： 依题意，， 所以，在上为减函数，所以至多一个零点； ，， 当时，， 当时，， 所以存在零点，综上存在1个零点； （3） 证明：因为，由导数的定义得 ， 即， 不妨设 若，则 若， 则 . 命题得证. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，依条件判断即可； （2）利用导数判断函数的单调性，再结合函数值域可判断零点个数； （3）利用导数的定义得，再由不等式的性质，适当放缩得证. 【小问1详解】 若，则， 当时，， 故不是 “导可控函数” . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形． （2）构造新的函数． （3）利用导数研究的单调性或最值． （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $