圆锥曲线第三定义16结论讲义-2025届高三数学一轮复习

圆锥曲线第三定义16结论 以圆锥曲线第三定义及中点弦斜率性质为背景的高考题、模拟题层出不穷，既有较为基础简单的小题，也有难度较大的综合题，更有能力要求极高的压轴题．它们兼具基础考查与能力检测的双重功能，无一例外都是以教材母题为“根”，以能力立意为“魂”，注重交汇性、渗透性、探究性，求新、求变、求活，生动展现了圆锥曲线第三定义内涵、外延的“来龙去脉”，体现出数学公式的结构美与和谐美． 【第3定义】平面内动点到两定点（或）的斜率乘积等于常数的点的轨迹为椭圆或双曲线．其中两定点为椭圆或双曲线的顶点．当时为椭圆，当时为双曲线． 由第三定义易得如下结论： 【结论1】为椭圆的长轴两端点，是椭圆上异于的任一点，则有． 证明：设，则， 又， 代入上式可得． 同理可证如下的结论2～4． （一）圆锥曲线第三定义一次推广 【结论2】为椭圆的短轴两端点，是椭圆上异于的任一点，则有． 【结论3】为椭圆的长轴（或短轴）两端点，是椭圆上异于的任一点，则有． 【结论4】为双曲线的实轴（或虚轴）两端点，是椭圆上异于的任一点，则有． （二）圆锥曲线第三定义二次推广 【第三定义推广·思维引导1】 引例1．已知AB是圆的直径，点P是圆上一点，当PA，PB斜率存在时．思考：是否为定值？ 【答案】是定值 【分析】根据直径所对的圆周角为直角，即可得出答案. 【详解】解：∵AB是直径，∴，∴，所以为定值. 【第三定义推广·思维引导2】 引例2．已知是椭圆上关于原点对称的两点，点P是椭圆上一点．当PA，PB斜率存在时，思考：是否为定值？ 【答案】是定值 【分析】设，，取AP中点G，得到作差化简即得解. 【详解】解：设，，取AP中点G，则． 点A和点P在椭圆上，则有 作差得，∴， 即，点O和G分别是AB和AP的中点，∴， ∴．（关注微信公众号：Hi数学派） 所以是定值. 引例3．已知是椭圆上关于原点对称的两个点，点在椭圆上．当和斜率存在时，求证：为定值． 【答案】证明见解析 【分析】设，，则，利用直线的斜率公式以及点在椭圆上，化简可得定值． 【详解】设，，则，，， 点A和点P在椭圆上，则有，（关注微信公众号：Hi数学派） 作差得， ， ． 引例4．已知是椭圆上关于原点对称的两个点，点P在椭圆上．当PA、PB斜率存在时，求证：为定值． 【答案】证明见解析 【分析】设，，则，求出，，点A和点P在椭圆上利用点差法可得答案. 【详解】设，，则， 且，不同为0， ，， 点A和点P在椭圆上，则有 作差得， ∴，即． 故为定值. 引例5．已知是双曲线上关于原点对称的两个点，点P在双曲线上．当PA和PB斜率存在时，求证：为定值． 【答案】证明见解析 【分析】设，，得到，两式作差，结合斜率公式，即可求解. 【详解】设，，则，可得，， 点和点P在双曲线上，则有，（关注微信公众号：Hi数学派） 两式作差得，可得，即． 引例6．已知是双曲线上关于原点对称的两个点，点在双曲线上．当、斜率存在时，求证：为定值． 【答案】证明见解析 【分析】设，，则，利用直线的斜率公式以及点在双曲线上，化简可得定值． 【详解】设，，则，，， 点A和点P在椭圆上，则有， 作差得， ，即． 【结论5】在椭圆中，是关于原点对称的两点，是椭圆上异于的一点，若存在，则有：． 【结论6】在椭圆中，是关于原点对称的两点，是椭圆上异于的一点，若存在，则有：． 【结论7】在双曲线中，是关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点，若存在，则有：． 【结论8】在双曲线中，是关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点，若存在，则有：． （三）圆锥曲线第三定义第三次推广 【中点弦·思维引导1】 引例7．已知AB是圆的一条弦，点P是AB中点，当AB和OP斜率存在时．思考：是否为定值？ 【解析】点P是AB中点，∴（垂径定理），∴． 【中点弦·思维引导2】 引例8．已知AB是椭圆的一条弦，点P是AB中点，当AB和OP斜率存在时．思考：是否为定值？ 【解析】设，，则． 点A和点B在椭圆上，则有 作差得： ∴，即．（此方法名为“点差法”，即设点十作差） 【中点弦·思维引导3】 引例9．已知在椭圆上，点P是AB的中点，当AB和OP斜率存在时．求证：为定值． 【解析】设，，则． 点A和点B在椭圆上，则有 作差得， ∴，即． 【中点弦·思维引导4】 引例10．已知在双曲线上，点P是AB的中点，当AB和OP斜率存在时．求证：为定值． 【解析】设，，则． 点A和点B在双曲线上，则有 作差得， ∴，即． 【中点弦·思维引导5】 引例11．已知在双曲线上，点P是AB的中点，当AB和OP斜率存在时．求证：为定值． 【解析】设，，则， 点A和点B在双曲线上，则有 作差得， ∴，即． 【中点弦·思维引导6】 引例12．已知在抛物线上，点P是AB的中点，当AB斜率存在时，求证：为定值． 【解析】设，，则． 点A和点B在抛物线上，则有（关注微信公众号：Hi数学派） 作差得，∴，即． 【中点弦·思维引导7】 引例13．已知在抛物线上，点P是AB的中点，当AB不与y轴垂直时，求证：为定值． 【解析】设，，则． 点A和点B在抛物线上，则有 作差得，∴，即． 同理可证焦点在轴负半轴和轴负半轴的情形． 总结上面的思考我们可得如下结论： 【结论9】为椭圆的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则，即． 证明：设，则①，②， 由点差法，两式相减得，由线段中点坐标公式，得 ． 【注意】此方法称之为点差法，设点作差，设而不求．（关注微信公众号：Hi数学派） 同理可证如下结论： 【结论10】为椭圆的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则，即． 【结论11】为双曲线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则，即． 【结论12】为双曲线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则，即． 【结论13】已知直线与抛物线相交于两点，点为线段的中点，为原点，则． 【结论14】已知直线与抛物线相交于两点，点为线段的中点，为原点，则． 【结论15】已知直线与抛物线相交于两点，点为线段的中点，为原点，则． 【结论16】已知直线与抛物线相交于两点，点为线段的中点，为原点，则． 学科网（北京）股份有限公司 $$