精品解析：河北省石家庄市第四十四中学2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

石家庄市第四十四中学 2024—2025学年度第一学期期中数学试卷 分值：120分，时间：120分钟 一、选择题（本大题共16小题，共42分．1~10小题各3分，11~16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在实数，，，中，无理数的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：是分数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； ，是整数，属于有理数． 所以无理数只有π共1个． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 2. 将分式约分时，分子分母同时除以（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的约分．根据分式的基本性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴将分式约分时，分子分母同时除以． 故选：C 3. 下列命题的逆命题成立的是（ ） A. 同旁内角互补，两直线平行 B. 如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数 C. 全等三角形的对应角相等 D. 对顶角相等 【答案】A 【解析】 【分析】首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假． 【详解】解：A、逆命题是两直线平行，同旁内角互补是真命题，故本选项符合题意； B、逆命题是如果两个实数的积是正数，那么这两个实数都是正数是假命题，可能都是负数，故本选项不符合题意； C、逆命题是对应角相等的两个三角形是全等三角形是假命题，大小不一定相同，故本选项不符合题意； D、逆命题是相等的角是对顶角是假命题，故本选项不符合题意． 故选A． 【点睛】本题主要考查了逆命题的真假性，是易错题，难度适中． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，根据算术平方根、立方根、二次根式的乘法、负整数指数幂的运算法则逐项求解即可解答． 【详解】解：A、，故此选项运算错误，不符合题意； B、，故此选项运算错误，不符合题意； C、，故此选项运算错误，不符合题意； D、，故此选项运算正确，符合题意； 故选：D． 5. 若式子在实数范围内有意义，则 x的取值范围是（ ） A. x＞1 B. x＞﹣1 C. x≥1 D. x≥﹣1 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【详解】∵式子在实数范围内有意义， ∴ x﹣1＞0， 解得：x＞1． 故选A． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键． 6. 解方程去分母，两边同乘后的式子为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程时去分母，找到分式方程的公分母是解题的关键． 根据分式方程的解法，两侧同乘化简分式方程即可． 【详解】解：分式方程的两侧同乘得：． 故选：B． 7. 如图，点共线，，，添加一个条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理判断求解即可，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， 、∵， ∴， ∵， ∴， 又，，符合全等三角形的判定定理 ，能推出 ， 故本选项不符合题意； 、由，，，符合全等三角形的判定定理， 能推出 ，故本选项不符合题意； 、由，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出 ，故本选项符合题意； D、由，，，符合全等三角形的判定定理，能推出 ，故本选项不符合题意； 故选：． 8. 下列选项正确的是（ ） A. 分式，的最简公分母是 B. C. D. 分式中的a，b同时扩大2倍值不变 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了最简公分母和分式的性质，A中两个分式的最简公分母为；根据分式的基本性质可判断B、C、D；分式的分子和分母同乘以（或除以）一个不为0的代数式，分式的值不变． 【详解】解：A．分式的最简公分母是，原说法错误，不符合题意； B．，原说法错误，不符合题意； C．，原说法正确，符合题意； D．分式 中的a，b同时扩大2倍变为，即分式 中的a，b同时扩大2倍值变为原来的2倍，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 9. 如图，A，B是数轴上的两点，点E与点A关于原点O对称，以为边作正方形，若点A表示的数为1，正方形面积为7，则B，E两点之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，数轴与实数，根据正方形面积为7，得到，点A表示的数为1，点E与点A关于原点O对称，可得点B表示的数为，点E表示的数为，再利用数轴上两点的距离公式即可求解． 【详解】解：正方形面积为7， ， 点A表示的数为1，点E与点A关于原点O对称， 点B表示的数为，点E表示的数为， B，E两点之间的距离是． 故选：A． 10. 下列说法：① ；②立方根是本身的数为0，1；③；④带根号的数都是无理数；⑤近似数精确到千位，其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据积的乘方，立方根，零指数幂，无理数，近似数分析即可． 【详解】解：① ，故不正确； ②立方根是本身的数为，0，1，故不正确； ③，故不正确； ④带根号的数不都是无理数，如是有理数，故不正确； ⑤近似数精确到千位，正确． 故选A． 【点睛】本题考查了积的乘方，立方根，零指数幂，无理数，近似数等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 11. 一个正数m的两个平方根分别是和，则m的值是（ ） A. 2 B. 2或 C. 4 D. 4或36 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方根，一元一次方程的应用，根据正数有两个两个平方根，且互为相反数列方程 ，即可得到答案． 【详解】解：一个正数m的两个平方根分别是和， ， 解得：，则， 故选：C． 12. 如图，小亮要测量水池的宽度，但没有足够长的绳子，聪明的他设计了如下方案及方案的依据．现需要回答横线上符号表示的内容： （1）先在地上取一个可以直接到达A点和点的点； （2）连接并延长到，使得 △ （3）连接并延长到，使得 ▽ （4）连接 ○ 并测量出它的长度，就是水池的宽度． （5）上述方案的依据是 ◇ ． 其中错误的选项是（ ） A. △代表 B. ▽代表 C. ○代表 D. ◇代表 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；所以此题根据题意可直接进行求解． 【详解】解：由题意知：△代表，▽代表，○代表， ∵， ∴， ∴， ∴◇代表； 故选D． 13. 已知，关于甲、乙、丙的说法，下列判断正确的是（ ） 甲：的计算结果为； 乙：当时，； 丙：当时，的值为正数 A. 乙错，丙对 B. 甲和乙都对 C. 甲对，丙错 D. 甲错，丙对 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了分式的乘除运算，分式的求值，首先将分式化简即可判定甲，然后将代入求解即可判断乙，然后根据x的范围即可判定A的正负，解题的关键是熟练掌握分式的乘除运算法则． 【详解】 ，故甲对； 当时，，故分式无意义，故乙错； 当时， ， ∴，故丙错． 故选：C． 14. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是（　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，由数轴可知：，则，化简所求代数式即可．由数轴得到是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴． 故选：B． 15. 某运输公司，运送一批货物，甲车每天运送货物总量的．在甲车运送1天货物后，公司增派乙车运送货物，两车又共同运送货物天，运完全部货物．求乙车单独运送这批货物需多少天？设乙车单独运送这批货物需x天，由题意列方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设乙车单独运送这批货物需x天，由题意列出分式方程即可求解． 【详解】解：设乙车单独运送这批货物需x天，由题意列方程 ， 故选：B． 【点睛】本题考查了列分式方程，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 16. 如图，在中，分别为边上的高，相交于点，，连接，则下列结论：①；②；③；④若，则周长等于的长．其中正确的有（ ） A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】延长交于，先利用“”证明，得出，可判断①正确；由，得出，再由三角形外角的性质，可判断②错误；由，得出，得出，可判断③正确；由，可证明垂直平分，得出，，得出的周长，可判断④正确；进而可以解决问题． 【详解】解：如图，延长交于， 分别为边上的高， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故②错误； ∵，， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴的周长 ，故④正确， ∴正确的有①③④． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，得到是解决问题的关键． 二、填空题（每空2分，共14分） 17. 分式的值为0，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，分式值为0的条件是分子为0，分母不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， ∴且， ∴， 故答案为：． 18. 如果关于x的分式方程 的解是负数，那么实数m的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先解程得到，再根据方程的解为负数以及分母不为0列式求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 解得， ∵分式方程的解是负数， ∴， ∴， 又∵分母不为0， ∴， ∴， ∴； 综上所述，且， 故答案为：且． 19. 下图是一个无理数筛选器的工作流程图． （1）当为9时，值为________； （2）如果输入值后，没有算术平方根，筛选器的屏幕显示“该操作无法运行”，请写出此时输入的满足的条件________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了无理数和算术平方根下的流程图运算， （1）将代入，根据流程图的运算规则运算即可； （2）根据负数没有算术平方根，即可解答， 熟知负数没有算术平方根是解题的关键． 【详解】解：（1）解：将代入，，不是无理数，进行第二次计算， 为无理数，故输出为； （2）负数没有算术平方根， 输入的满足的条件为， 故答案为：；． 20. 规定：用符号表示一个不大于实数的最大整数，例如：，，，按这个规定： （1）________；（2）________； （3）若，则的取值范围是________． 【答案】 ①. 1 ②. ③. 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算和不等式的计算，对符号的理解是解答本题的关键． （1）估算，所以； （2）估算，所以； （3）因为，所以，即，进一步即可求得答案． 【详解】（1）， ， 故答案为：1． （2）， ， ， 故答案为：． （3）， ， 即， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7个题，共64分） 21. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）求x的值：； （5）解方程： ． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5）原分式方程无解 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，分式方程的解法，立方根的定义解方程，比较综合，提高运算能力是关键． （1）按照分式的乘法法则进行计算即可； （2）按照分式的加法法则进行计算即可； （3）按照分式混合运算顺序和法则进行计算即可； （4）利用立方根的定义解方程即可 （5）去分母、去括号、移项、系数化1，求解并检验即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ； 【小问5详解】 解：    ， 经检验，当时，，则是原方程的增根， 原分式方程无解． 22. 已知 在两个连续的自然数a和之间，是b的一个平方根，的立方根是2． （1）求a，b，c的值； （2）比较c的负的平方根与的大小． 【答案】（1） （2）的负的平方根 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，平方根，立方根，实数的大小比较，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据无理数的估算，平方根和立方根的定义，即可确定，，的值； （2）先求得的负的平方根与，再比较大小即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 是的一个平方根， ， 的立方根是2， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）可得的负的平方根是，， ， ． 的负的平方根． 23. 化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程： （1）甲同学解法的依据是 　 　，乙同学解法的依据是 　 　；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】（1）②；③ （2）选择乙同学的解法． . ． 选择甲同学的解法： 原式 【解析】 【分析】（1）甲同学的解法两个分式先通分依据是分式的基本性质，乙同学根据乘法分配律先算乘法，后算加法，这样简化运算，更简便了． （2）选择乙同学的解法，先因式分解，再约分，最后进行加法运算即可；选择甲同学的解法，先通分，再约分化简即可． 【小问1详解】 解：甲同学的解法是：先把括号内两个分式通分后相加，再进行乘法运算， 通分的依据是分式的基本性质， 故答案为：②． 乙同学的解法是：根据乘法的分配律，去掉括号后，先算分式的乘法，再算加法， 故答案为：③． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了分式的混合运算，根据题目的特点，灵活选用合适的解法是解题的关键． 24. 我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果，，都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”． （1），，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由． （2）若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求的值． 【答案】（1） 解：，，这三个数是“完美组合数”，理由如下： ∵，，，且4，6，12都是整数， ∴，，这三个数是“完美组合数”； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键． （1）根据“完美组合数”的定义进行求解判断即可； （2）分，两种情况分别求出m的值，再根据“完美组合数”的定义进行判断即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵其中有两个数乘积的算术平方根为12， ∴这两个数的乘积为144， 当时，则， ∵， ∴，此时符合题意； 当时，则不符合题意； 综上所述，． 25. 一辆汽车开往距离出发地的目的地． 出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地， （1）求汽车实际走完全程所花的时间． （2）若汽车按原路返回，司机准备一半路程以的速度行驶，另一半路程以的速度行驶（），则用时小时，若用一半时间以 的速度行驶，另一半时间以的速度行驶，则用时小时，请比较 的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：，理由如下： 由题意得，，， ， ∵a，b均为正数，且， ∴，， ∴， 即 ， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，分式加减法的实际应用： （1）设前一小时行驶的速度为，则提速后的速度为， 根据实际比并比原计划提前到达目的地列出方程求解即可； （2）利用时间等于路程除以速度，分别求出两种方案所需时间，比较（做差）后即可得出结论． 【小问1详解】 解：设前一小时行驶的速度为，则提速后的速度为， 依题意，得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：汽车实际走完全程所花的时间为； 【小问2详解】 略 26. （1）已知：如图1，，射线在这个角的内部，点B，C分别在的边，上，且，于点F，于点D，求证：； （2）类比探究： 如图2，点B，C在的边、上，点D，F在内部的射线上， 、分别是、的外角．已知，． 求证：； （3）拓展应用： 如图3，在中，，， 点D在边上， ，点E、F在线段上，，若的面积为30，则与的面积之和为______． 【答案】 （1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）类比探究： 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）10 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，几何面积的计算方法的综合运用，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据“同角的余角相等”可得，再根据全等三角形的判定定理即可求证； （2）根据三角形外角的性质可得，可证明，即可求证； （3）由（2）得：，从而得到，设点A到的高为h，可得，再结合，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）拓展应用：由（2）得：， ∴， 设点A到的高为h， ∴，且， ∵， ∴， ∴． 故答案为：10． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄市第四十四中学 2024—2025学年度第一学期期中数学试卷 分值：120分，时间：120分钟 一、选择题（本大题共16小题，共42分．1~10小题各3分，11~16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在实数，，，中，无理数的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 将分式约分时，分子分母同时除以（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题的逆命题成立的是（ ） A. 同旁内角互补，两直线平行 B. 如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数 C. 全等三角形的对应角相等 D. 对顶角相等 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若式子在实数范围内有意义，则 x的取值范围是（ ） A. x＞1 B. x＞﹣1 C. x≥1 D. x≥﹣1 6. 解方程去分母，两边同乘后的式子为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点共线，，，添加一个条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列选项正确的是（ ） A. 分式，的最简公分母是 B. C. D. 分式中的a，b同时扩大2倍值不变 9. 如图，A，B是数轴上的两点，点E与点A关于原点O对称，以为边作正方形，若点A表示的数为1，正方形面积为7，则B，E两点之间的距离是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法：① ；②立方根是本身的数为0，1；③；④带根号的数都是无理数；⑤近似数精确到千位，其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 11. 一个正数m的两个平方根分别是和，则m的值是（ ） A. 2 B. 2或 C. 4 D. 4或36 12. 如图，小亮要测量水池的宽度，但没有足够长的绳子，聪明的他设计了如下方案及方案的依据．现需要回答横线上符号表示的内容： （1）先在地上取一个可以直接到达A点和点的点； （2）连接并延长到，使得 △ （3）连接并延长到，使得 ▽ （4）连接 ○ 并测量出它的长度，就是水池的宽度． （5）上述方案的依据是 ◇ ． 其中错误的选项是（ ） A. △代表 B. ▽代表 C. ○代表 D. ◇代表 13. 已知，关于甲、乙、丙的说法，下列判断正确的是（ ） 甲：的计算结果为； 乙：当时，； 丙：当时，的值为正数 A. 乙错，丙对 B. 甲和乙都对 C. 甲对，丙错 D. 甲错，丙对 14. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是（　） A. B. C. D. 15. 某运输公司，运送一批货物，甲车每天运送货物总量的．在甲车运送1天货物后，公司增派乙车运送货物，两车又共同运送货物天，运完全部货物．求乙车单独运送这批货物需多少天？设乙车单独运送这批货物需x天，由题意列方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 16. 如图，在中，分别为边上的高，相交于点，，连接，则下列结论：①；②；③；④若，则周长等于的长．其中正确的有（ ） A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（每空2分，共14分） 17. 分式的值为0，则________． 18. 如果关于x的分式方程 的解是负数，那么实数m的取值范围为______． 19. 下图是一个无理数筛选器的工作流程图． （1）当为9时，值为________； （2）如果输入值后，没有算术平方根，筛选器的屏幕显示“该操作无法运行”，请写出此时输入的满足的条件________． 20. 规定：用符号表示一个不大于实数的最大整数，例如：，，，按这个规定： （1）________；（2）________； （3）若，则的取值范围是________． 三、解答题（本大题共7个题，共64分） 21. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）求x的值：； （5）解方程： ． 22. 已知 在两个连续的自然数a和之间，是b的一个平方根，的立方根是2． （1）求a，b，c的值； （2）比较c的负的平方根与的大小． 23. 化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程： （1）甲同学解法的依据是 　 　，乙同学解法的依据是 　 　；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 24. 我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果，，都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”． （1），，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由． （2）若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求的值． 25. 一辆汽车开往距离出发地的目的地． 出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地， （1）求汽车实际走完全程所花的时间． （2）若汽车按原路返回，司机准备一半路程以的速度行驶，另一半路程以的速度行驶（），则用时小时，若用一半时间以 的速度行驶，另一半时间以的速度行驶，则用时小时，请比较 的大小，并说明理由． 26. （1）已知：如图1，，射线在这个角的内部，点B，C分别在的边，上，且，于点F，于点D，求证：； （2）类比探究： 如图2，点B，C在的边、上，点D，F在内部的射线上， 、分别是、的外角．已知，． 求证：； （3）拓展应用： 如图3，在中，，， 点D在边上， ，点E、F在线段上，，若的面积为30，则与的面积之和为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $