精品解析：北京市第二中学2022-2023学年 九年级上学期期中数学试题

2022-2023学年北京市丰台二中九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，共16.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，“如果一个图形绕某点旋转，和自身能够完全重合，那么这个图形叫中心对称图形”，据此即可求解． 【详解】解：各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，是中心对称图形的是 故选：C． 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式求解即可． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，解题关键是明确顶点式二次函数的对称轴为直线． 3. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把 代入求解，但一定要注意一元二次方程二次项系数不等于0，然后舍去不满足的取值即可． 【详解】解：把 代入， 得到： ∴或 ∵ 方程是一元二次方程， ∴ ， ∴， ∴；   故选：B ． 4. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，根据二次函数的顶点式即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：． 5. 如图，A，B，C是⊙O上的点，如果∠BOC＝120°，那么∠BAC的度数是（　　） A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论． 【详解】∵∠BOC与∠BAC是同弧所对的圆心角与圆周角，∠BOC＝120°， ∴∠BAC＝∠BOC＝60°． 故选B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 6. 在中，，点为中点．以点为圆心，长为半径作，则与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质等，连接，根据等腰三角形的性质可得，根据切线的判定定理即可确定，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： ，点为中点， ， 以点为圆心，长为半径作， 点到的距离等于的半径， 与的位置关系是相切， 故选：C． 7. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法，由在等式两边同时加上，完全平方和公式分解因式即可得到答案，熟记配方法的操作步骤是解决问题的关键． 【详解】解：， 配方得，即， 故选：A． 8. 二次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象性质解题． 【详解】解：A.由图可知，二次函数图象的对称轴为：x=1，即，故A不符合题意； B.二次函数图象与y轴交于负半轴，即c<0，故B不符合题意； C.由图象可知，当x=1时，y=，故C不符合题意， D.由图象的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点为（-2，0），当x=-2时，，，故D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 二、填空题（本大题共8小题，共16.0分） 9. 点关于原点对称的点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的对称性，根据关于原点对称的两个点的横坐标及纵坐标均互为相反数的特征直接求解即可得到答案，熟记关于原点对称的点的坐标特征是解决问题的关键． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 10. 将抛物线向上平移个单位，所得抛物线的表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握“上加下减，左加右减”的平移规律是解题的关键． 利用“上加下减，左加右减”的平移规律即可直接得出答案． 【详解】解：将抛物线向上平移个单位，所得抛物线的表达式为：． 故答案为：． 11. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 【答案】：k＜1． 【解析】 【详解】∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴△==4﹣4k＞0， 解得：k＜1， 则k的取值范围是：k＜1． 故答案为k＜1． 12. 在一个不透明袋子中有3个红球和2个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则取出红球的概率是________． 【答案】## 【解析】 【分析】用列举的方法一一列出可能出现的情况，进而即可求得恰好是红球的概率． 【详解】解：根据题意，可能出现的情况有： 红球；红球；红球；黑球；黑球； 则恰好是红球的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了简单概率的计算，通过列举法进行计算是解决本题的关键． 13. 若点，在抛物线上，则与的大小关系为________（填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 分别求出与的值，再比较大小即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴， 故答案为：． 14. 已知抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： … 0 1 2 3 … … 5 0 0 … 那么该抛物线的顶点坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数图象上点的对称性，可得对称轴为，即可求解． 【详解】解：由表格可得，点和点对称， ∴对称轴为， ∴顶点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象上点的特征，根据二次函数图象上对称点求得对称轴是解题的关键． 15. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，若，，则∠C的度数为_______． 【答案】30度## 【解析】 【分析】先根据旋转的性质求得，再运用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：将绕点A顺时针旋转得到，， ， ， ． 故答案为：30°． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用旋转的性质是解答本题的关键． 16. 斛是中国古代的一种量器.据《汉书 .律历志》记载：“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆” . 如图所示， 问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为________尺． 【答案】 【解析】 【分析】如图，根据四边形CDEF为正方形，可得∠D=90°，CD=DE，从而得到CE是直径，∠ECD=45°，然后利用勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图， ∵四边形CDEF为正方形， ∴∠D=90°，CD=DE， ∴CE是直径，∠ECD=45°， 根据题意得：AB=2.5， ， ∴ ， ∴ ， 即此斛底面的正方形的边长为 尺． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形，勾股定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，勾股定理是解题的关键． 三、计算题（本大题共2小题，共10.0分） 17. 解方程：x2－2x－3＝0 【答案】 【解析】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得． 【详解】解：， ， 或， 或， 故方程的解为． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（配方法、因式分解法、公式法、换元法等）是解题关键． 18. 解方程：． 【答案】或 【解析】 【分析】利用十字相乘因式分解，进而即可求解． 【详解】， ， ∴或， 解得：或． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握“十字相乘法”是解题的关键． 四、解答题（本大题共10小题，共58.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 已知：二次函数 （1）求出二次函数图像的顶点坐标及图像与轴、轴的交点坐标； （2）在坐标系中画出图像，并结合图像直接写出时，自变量的取值范围． 【答案】（1） （2），见解析 【解析】 【分析】(1)运用配方法转化即可，分别令计算即可． (2) 以顶点为核心，左右对称取值，后描点，用平滑的曲线连接起来即可，结合函数图像直接写出答案即可． 【小问1详解】 = =． 所以顶点坐标为； 当时，得到， 解得， 所以抛物线与x轴的交点坐标分别为； 当时，得到， 所以抛物线与y轴的交点坐标分别为． 【小问2详解】 因为， 列表如下： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 -1 0 3 … 画图像如下： 所以时，自变量的取值范围是． 【点睛】本题考查了抛物线的顶点式，画函数图像，函数的性质，熟练掌握配方法和描点法是解题的关键． 20. 已知：如图，A为上的一点． 求作：过点A且与相切的一条直线． 作法：①连接OA； ②以点A为圆心，OA长为半径画弧，与的一个交点为B，作射线OB； ③以点B为圆心，OA长为半径画弧，交射线OB于点P（不与点O重合）； ④作直线PA． 直线PA即为所求． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接BA． 由作法可知． ∴点A在以OP为直径的圆上． ∴（ ）（填推理的依据）． ∵OA是的半径， ∴直线PA与相切（ ）（填推理的依据）． 【答案】（1）补全图形如图所示，直线AP即为所求作； （2）直径所对的圆周角是直角，切线的判定定理． 【解析】 【分析】（1）根据所给的几何语言作出对应的图形即可； （2）根据圆周角定理和切线的判定定理解答即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 【点睛】本题考查基本作图-画圆、圆周角定理、切线的判定定理，熟知复杂作图是在基本作图的基础上进行作图，一般是结合几何图形的性质，因此熟练掌握基本图形的性质和切线的判定是解答的关键． 21. 在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点，．求此二次函数的解析式及函数图像的对称轴． 【答案】， 【解析】 【分析】根据待定系数法求二次函数解析式，然后根据二次函数一般式的对称轴为即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点，， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为， ∴函数图像的对称轴为，即． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质，熟练运用待定系数法求出二次函数解析式是解本题的关键． 22. 如图，在正方形中，射线与边交于点，将射线绕点顺时针旋转，与的延长线交于点，，连接．若，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到，求得，再证明，根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质得到，于是得到结论． 【详解】证明∶四边形是正方形， ， ， 在与中， ， ， ， 是等腰直角三角形， 在中，， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，证得是解题的关键． 23. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个根都是正整数，求的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2），且为整数 【解析】 【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式，得到，即可求解； （2）公式法求得两根，根据题意列出不等式即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ； ∴方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴， 解得， ∵方程的两个根都是正整数， ∴是正整数． ∴，且为整数． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 24. 学校附近顺天府超市销售一种进价为10元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w（双）与销售单价x（元）满足，设销售这种手套每天的利润为y（元）． （1）求与之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当销售单价定为元时，每天的利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）根据每双手套的利润乘以销售量得到每天的利润； （2）由（1）得到，根据二次函数的性质求得最大利润即可求解． 【小问1详解】 解：依题意 即 【小问2详解】 解：∵ ， ∵ ∴当时，最大利润为元． 答：当销售单价定为元时，每天的利润最大，最大利润是元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系是解题的关键． 25. 如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时，AB宽20 m，水位上升到警戒线CD时，CD到拱桥顶E的距离仅为1 m，这时水面宽度为10 m. (1)在如图所示的坐标系中求抛物线的解析式； (2)若洪水到来时，水位以每小时0.3 m的速度上升，从正常水位开始，持续多少小时到达警戒线？ 【答案】（1）y=-x2（2）从正常水位开始，持续10小时到达警戒线 【解析】 【分析】（1）首先设所求抛物线的解析式为：y=ax2（a≠0），再根据题意得到C（-5，-1），利用待定系数法即可得到抛物线解析式； （2）根据抛物线解析式计算出A点坐标，进而得到F点坐标，然后计算出EF的长，再算出持续时间即可． 【详解】解：（1）设所求抛物线的解析式为y＝ax2. ∵CD＝10 m，CD到拱桥顶E的距离仅为1 m， ∴C(－5，－1)． 把点C的坐标代入y＝ax2， 得a＝－， 故抛物线的解析式为y＝－x2. （2）∵AB宽20 m， ∴可设A(－10，b)． 把点A的坐标代入抛物线的解析式y＝－x2中， 解得b＝－4， ∴点A的坐标为(－10，－4)． 设AB与y轴交于点F，则F(0，－4)， ∴EF＝3 m. ∵水位以每小时0.3 m的速度上升， ∴3÷0.3＝10(时)． 答：从正常水位开始，持续10小时到达警戒线． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，关键是正确得到C点坐标，求出抛物线解析式． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点为A． （1）求抛物线的对称轴和点A坐标； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点，记抛物线与直线所围成的封闭区域为图形W（不含边界）． ①当时，直接写出图形W内的整点个数； ②若图形W内恰有1个整点，结合函数图象，求m的取值范围． 【答案】（1）抛物线的对称轴为：直线；抛物线与y轴交点A的坐标为；（2）①1个；②或． 【解析】 【分析】（1）直接利用对称轴公式计算，即可得出抛物线的对称轴，再令x=0，即可求出点A的坐标； （2）①先确定出抛物线解析式，即可得出结论； ②根据抛物线必过点和，分情况讨论①当抛物线开口向上时，；②当抛物线开口向下时，；即可得出结论． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为：直线. 抛物线与y轴交点A的坐标为 （2）①当m=1时，抛物线的解析式为y=x2-2x-1， 由（1）知，C（0，-1），抛物线的对称轴为直线x=1， ∴抛物线还经过（2，-1）， ∵抛物线的顶点坐标为（1，-2）， ∴图形W内的整点只有（1，-1）一个； ②解：抛物线必过点和，有以下几种情况： 如图1，当抛物线开口向上时，，临界位置为： 当抛物线过点时，，区域W内有一个整点； 当抛物线过点时，区域W内有一个整点； ∴结合图象，可得； 如图2，当抛物线开口向下时，，临界位置为： 当抛物线过点时，，区域W内无整点； 当抛物线过点时，，区域W内有一个整点； ∴结合图象，可得； 综上所述，或. 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了抛物线对称轴的确定，函数图象的画法，顶点坐标公式，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 27. 如图，与相切于点，经过上的点，交于点，，是的直径． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图所示： ， ， ∵， ，， ， 在和中， ， ， ． 与相切于点， ， 又是的半径， 是的切线． （2）6 【解析】 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质得出，，即可得出，进而证得，得到，即可证得结论； （2）根据勾股定理求得，得到，然后根据勾股定理列出关于的方程，解方程即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：， ， 在中，，， ， ， ， 与和都相切， ， 在中，， 即：， 解得：． 【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 28. 点为平面直角坐标系中一点，点为图形上一点，我们将线段长度的最大值与最小值之间的差定义为点视角下图形的“包容度”．如图，半径为2，与轴，轴分别交于点，，点． （1）在点视角下，的“包容度”为_________，线段的“包容度”为_________； （2）点为轴上一点，若在点视角下，线段的“包容度”为2，写出的取值范围； 【答案】（1）4，2 （2）m的取值范围为或 【解析】 【分析】（1）连接，连接并延长交于点，利用图形的“包容度”的定义分别求出这点到图形的长度的最大值与最小值即可得出结论； （2）分三种情况讨论解答：当点在线段（不含端点）上时，不合题意；当点在点B的右侧时，求出的范围即可得到结论；当点在点A的左侧时，利用勾股定理求得的大小，从而得到点的坐标，结论可得． 【小问1详解】 解：连接，连接并延长，交于点，如图， 则为点P到的长度的最大值与最小值， ∴在点P视角下，的“包容度”为； ∵半径为2，与x轴分别交于点， ∴， ∵点P坐标为， ∴． ∴． ∴点P到线段AB的最大长度为5，最小值为3， ∴在点P视角下，线段的“包容度”为； 故答案为：4，2； 【小问2详解】 由（1）知：， 当点在线段（不含端点）上时， ∵， ∴，不合题意； 当点在点B的右侧时， ∵， ∴点P到的最小距离为3． 当时，， ∴，不合题意； ∴； 当点在点A的左侧时， ∵， ∴． ∴． ∴， ∴， ∴， 综上，m的取值范围为或． 【点睛】本题是一道圆的综合题，主要考查了点和圆的位置关系，勾股定理，点的坐标的特征，分类讨论的思想方法，本题是新定义型题目，连接并熟练运用新定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年北京市丰台二中九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，共16.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. B. C. D. 3. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 0 4. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，A，B，C是⊙O上的点，如果∠BOC＝120°，那么∠BAC的度数是（　　） A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 6. 在中，，点为中点．以点为圆心，长为半径作，则与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 不确定 7. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，共16.0分） 9. 点关于原点对称的点的坐标是_______． 10. 将抛物线向上平移个单位，所得抛物线的表达式为______． 11. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 12. 在一个不透明袋子中有3个红球和2个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则取出红球的概率是________． 13. 若点，在抛物线上，则与的大小关系为________（填“”，“”或“”）． 14. 已知抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： … 0 1 2 3 … … 5 0 0 … 那么该抛物线的顶点坐标是_______． 15. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，若，，则∠C的度数为_______． 16. 斛是中国古代的一种量器.据《汉书 .律历志》记载：“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆” . 如图所示， 问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为________尺． 三、计算题（本大题共2小题，共10.0分） 17. 解方程：x2－2x－3＝0 18. 解方程：． 四、解答题（本大题共10小题，共58.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 已知：二次函数 （1）求出二次函数图像的顶点坐标及图像与轴、轴的交点坐标； （2）在坐标系中画出图像，并结合图像直接写出时，自变量的取值范围． 20. 已知：如图，A为上的一点． 求作：过点A且与相切的一条直线． 作法：①连接OA； ②以点A为圆心，OA长为半径画弧，与的一个交点为B，作射线OB； ③以点B为圆心，OA长为半径画弧，交射线OB于点P（不与点O重合）； ④作直线PA． 直线PA即为所求． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接BA． 由作法可知． ∴点A在以OP为直径的圆上． ∴（ ）（填推理的依据）． ∵OA是的半径， ∴直线PA与相切（ ）（填推理的依据）． 21. 在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点，．求此二次函数的解析式及函数图像的对称轴． 22. 如图，在正方形中，射线与边交于点，将射线绕点顺时针旋转，与的延长线交于点，，连接．若，，求的长． 23. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个根都是正整数，求的取值范围． 24. 学校附近顺天府超市销售一种进价为10元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w（双）与销售单价x（元）满足，设销售这种手套每天的利润为y（元）． （1）求与之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 25. 如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时，AB宽20 m，水位上升到警戒线CD时，CD到拱桥顶E的距离仅为1 m，这时水面宽度为10 m. (1)在如图所示的坐标系中求抛物线的解析式； (2)若洪水到来时，水位以每小时0.3 m的速度上升，从正常水位开始，持续多少小时到达警戒线？ 26. 在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点为A． （1）求抛物线的对称轴和点A坐标； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点，记抛物线与直线所围成的封闭区域为图形W（不含边界）． ①当时，直接写出图形W内的整点个数； ②若图形W内恰有1个整点，结合函数图象，求m的取值范围． 27. 如图，与相切于点，经过上的点，交于点，，是的直径． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 28. 点为平面直角坐标系中一点，点为图形上一点，我们将线段长度的最大值与最小值之间的差定义为点视角下图形的“包容度”．如图，半径为2，与轴，轴分别交于点，，点． （1）在点视角下，的“包容度”为_________，线段的“包容度”为_________； （2）点为轴上一点，若在点视角下，线段的“包容度”为2，写出的取值范围； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $