专题05 分式及其运算（5大经典基础题+3大优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（福建专用）

专题05 分式及其运算 分式及分式基本性质 1．（23-24八年级上·福建泉州·期末）若分式的值为，则的值为（    ） A． B． C． D．或 2．（23-24八年级上·福建泉州·期末）若把分式中的和同时扩大为原来的2倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的2倍 C．保持不变 D．缩小为原来的倍 3．（23-24八年级上·福建福州·期末）不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·福建厦门·期末）已知，则等于（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·福建莆田·期末）分式有意义，则x的取值范围是 . 分式的约分、通分 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）把分式，，通分，下列结论不正确的是（　　） A．最简公分母是 B． C． D． 2．（23-24八年级上·福建南平·期末）约分： ． 3．（23-24八年级上·福建莆田·期末）约分： ． 4．（23-24八年级上·福建漳州·期末）当时， ． 5．（23-24八年级上·福建福州·期末）通分：，． 6．（23-24八年级上·福建三明·期末）（1）约分：； （2）通分：，． 分式混合运算 1．（23-24八年级上·福建漳州·期末）先化简，再求值：，其中． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）先化简再求值：，其中a满足． 3．（23-24八年级上·福建宁德·期末）先化简，再求值：，其中． 4．（23-24八年级上·福建泉州·期末）计算：． 5．（23-24八年级上·福建三明·期末）先化简，再求值：，在、0、1、2四个数中选一个合适的代入求值． 解分式方程 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）解分式方程：． 2．（23-24八年级上·福建泉州·期末）解分式方程：． 3．（23-24八年级上·福建莆田·期末）解下列分式方程 (1)＝ ；              (2) . 4．（23-24八年级上·福建福州·期末）解分式方程： 分式方程的应用 1．（23-24八年级上·福建福州·期末）某校八年级（1）、（2）两个班的同学以班级为单位分别乘坐大巴车去某基地开展研学活动，此基地与该校距离70千米，八（1）班乘坐的甲车出发10分钟后，八（2）班乘坐的乙车才出发，结果两车同时达到，已知乙车的平均速度是甲车的平均速度的1.2倍，求甲车的平均速度． 2（23-24八年级上·福建泉州·期末）某工程由甲、乙两个工程队联合承建．若甲、乙两队共同施工了5个月后，剩下的部分由甲队单独施工，则甲队还需1个月才能完成． (1)若甲队单独完成需要12个月，求乙队单独完成需要的时间． (2)设甲队单独完成的时间为个月，其中．试比较甲、乙两队谁的施工速度较快？说明理由． 3．（23-24八年级上·福建龙岩·期末）《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》中规定：超速行驶属违法行为．为确保行车安全，某一段总路程为270千米的高速公路全程限速120千米时（即行驶过程中任意时刻的车速都不能超过120千米时）．以下是王师傅和李师傅全程行驶完这段高速公路后的对话片断． 王师傅：“李师傅，你的平均车速比我的快20%，行驶完全程比我少用了半个小时．” 李师傅：“虽然我的平均车速比你的快，但是我在行驶过程中的最快车速只比我的平均车速快15%，并没有超速啊！” 根据以上对话，你认为李师傅在行驶过程中是否有超速？请说明理由． 4．（23-24八年级上·福建厦门·期末）2022年，中国元素闪耀卡塔尔世界杯，特别是中国承建的大型基建项目卢赛尔体育场，是目前全球技术最先进的世界杯主场馆．它的整体外形呈马鞍状，外幕墙是铜色圆形玻璃，配上内部灯光，使得它在夜间格外璀璨，像极了沙漠中的一只“金腕”．该外幕墙的搭建由甲、乙两个工程队联合承揽．若两队一起搭建了5个月后，剩下的部分由甲队单独搭建，则还需1个月． (1)若甲队单独搭建需要12个月，乙队单独搭建需要多少时间？ (2)若甲队单独搭建的时间为a个月（）．甲、乙两队谁的施工速度快？为什么？ 分式值为正（负）数时未知数取值范围 1．（23-24八年级上·福建三明·期末）如果分式的值为正数，则的取值范围是 ． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）若分式的值总是正数，a的取值范围是 A．a是正数 B．a是负数 C．a> D．a<0或a> 3．（23-24八年级上·福建南平·期末）已知a为整数，且÷为正整数，求所有符合条件的a的值的和（　　） A．8 B．12 C．16 D．10 4．（23-24八年级上·福建泉州·期末）若分式的值是负数，则的取值范围是（    ）. A． B．或 C．且 D．或 5．（23-24八年级上·福建福州·期末）若分式的值为负数，则x的取值范围是 ； 分式值为整数时未知数取值范围 1．（23-24八年级上·福建宁德·期末）如果m为整数，那么使分式的值为整数的m为 ． 2．（23-24八年级上·福建厦门·期末）若为整数，且为整数，则所有符合条件的的值为 ． 3．（23-24八年级上·福建莆田·期末）若是偶数，代数式的值是整数，则可以取的所有数值之和为 ． 4．（23-24八年级上·福建三明·期末）已知，则满足k为整数的所有自然数x的值 ． 分式的新定义问题 1．（23-24八年级上·福建福州·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是__________（填序号）； ①；②；③； (2)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 2．（23-24八年级上·福建厦门·期末）我们把形如不为零，且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为 ，，． 再如为十字分式方程，可化为，，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程 的两个解分别为，，求的值． (3)若关于的十字分式方程的两个解分别为，，求的值． 3．（23-24八年级上·福建福州·期末）定义：若分式P与分式Q的差等于它们的积，即，则称分式P与分式Q互为“关联分式”．如与，因为，所以与互为“关联分式”，其中一个分式是另外一个分式的“关联分式”． (1)请通过计算判断分式是不是分式的“关联分式”． (2)求分式的“关联分式”． 4．（23-24八年级上·福建龙岩·期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：，则分式与互为“3阶分式”． (1)分式与互为“__________阶分式”； (2)设正数x，y互为倒数，求证：分式与互为“2阶分式”； (3)若分式与互为“1阶分式”（其中a，b为正数），求ab的值． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 分式及其运算 分式及分式基本性质 1．（23-24八年级上·福建泉州·期末）若分式的值为，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案，熟知分式的值为时要满足的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为， ∴且， 解得：， 故选：． 2．（23-24八年级上·福建泉州·期末）若把分式中的和同时扩大为原来的2倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的2倍 C．保持不变 D．缩小为原来的倍 【答案】C 【分析】本题考查了分式的性质，根据分式中的和同时扩大为原来的2倍，得出，再整理得，即可作答． 【详解】解：∵分式中的和同时扩大为原来的2倍， 则扩大后的分式为， ∴则分式的值保持不变， 故选：C． 3．（23-24八年级上·福建福州·期末）不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质．解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于0的数，分式的值不变来解决问题．根据分式的基本性质，即可求解． 【详解】解：． 故选：D 4．（23-24八年级上·福建厦门·期末）已知，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等式的基本性质、代数式求值、分式的基本性质等知识点，运用等式的基本性质得到成为解题的关键． 根据等式的基本性质得到，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 5．（23-24八年级上·福建莆田·期末）分式有意义，则x的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件可得，即可求解． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不为0是解题的关键 分式的约分、通分 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）把分式，，通分，下列结论不正确的是（　　） A．最简公分母是 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的知识点是分式的通分，根据分式找取最简公分母的方法：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母，再按照通分的方法依次验证各个选项，找出不正确的答案即可，解题的关键是明确通分的概念：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分，难点是掌握找取分式最简公分母的方法：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母． 【详解】解：A、最简公分母为，故A正确，不符合题意； B、根据分数的基本性质，，故B正确，不符合题意； C、根据分数的基本性质，，故C正确，不符合题意； D、根据分数的基本性质，，故D错误，符合题意， 故选：D． 2．（23-24八年级上·福建南平·期末）约分： ． 【答案】 【分析】分子分母同时除以即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查约分．找到分式的分子与分母的公因式是解题关键． 3．（23-24八年级上·福建莆田·期末）约分： ． 【答案】 【分析】先对分式的分子和分母进行因式分解，然后约去公因式即可． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的约分，熟练掌握约分的步骤是本题的关键． 4．（23-24八年级上·福建漳州·期末）当时， ． 【答案】 【解析】略 5．（23-24八年级上·福建福州·期末）通分：，． 【答案】， 【分析】本题考查了通分；把两个分母分别分解因式，找出最简公分母，再通分即可． 【详解】解：最简公分母是， ， ． 6．（23-24八年级上·福建三明·期末）（1）约分：； （2）通分：，． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查了分式的约分和通分，熟知约分和通分的计算法则是解题的关键． （1）分别把分子和分母分解因式，然后约去公因式即可得到答案； （2）先把两个分式的分母分解因式，再找到两个分式的公分母，再进行同分即可． 【详解】解（1） ； （2）∵，， ∴，． 分式混合运算 1．（23-24八年级上·福建漳州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据分式的混合运算将式子化简，再将x的值代入计算即可． 【详解】解： ， 把代入，． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解题关键是掌握分式的混合运算法则． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）先化简再求值：，其中a满足． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、代数式求值等知识点，使用因式分解的方法将分式约分是解答本题的关键． 根据分式的四则混合运算法则化简可得，然后将代入即可求解． 【详解】 把代入，原式． 3．（23-24八年级上·福建宁德·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】先根据分式的减法法则算括号内的减法，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，最后代入求出答案即可． 【详解】解： 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序． 4．（23-24八年级上·福建泉州·期末）计算：． 【答案】 【分析】根据分式混合运算法则计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，灵活运用分式的混合运算法则是解答本题的关键． 5．（23-24八年级上·福建三明·期末）先化简，再求值：，在、0、1、2四个数中选一个合适的代入求值． 【答案】，当x＝1时，原式＝13． 【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再算乘法，取x＝1，最后代入求出答案即可． 【详解】解： ， 要使分式有意义，x−2≠0且x＋2≠0且x≠0， 所以x不能为2，−2，0， 取x为1， 当x＝1时，原式＝3×1＋10＝3＋10＝13． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序． 解分式方程 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）解分式方程：． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解法．同时乘以最简公分母去分母，化为整式方程，解出答案，最后代入并检验，即可得出答案． 【详解】解：方程的两边同乘，得 ， 去括号得， 整理得， 检验：把代入． ∴原方程的解为：． 2．（23-24八年级上·福建泉州·期末）解分式方程：． 【答案】 【分析】去分母解整式方程并检验即可． 【详解】解：去分母得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， 原方程的解为． 【点睛】此题考查了解分式方程，正确掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 3．（23-24八年级上·福建莆田·期末）解下列分式方程 (1)＝ ；              (2) . 【答案】(1) x=9；（2）无解 【分析】（1）方程两边同乘以最简公分母x（x-3），把分式方程转化为整式方程进行求解，然后把x的值代入到最简公分母进行检验，确定原方程的解； （2）先把方程两边同时乘以（x+1）（x-1），求出x的值，代入最简公分母进行检验即可． 【详解】（1）方程两边同乘以最简公分母x（x-3）得：2x=3x-9， 整理的：x=9； 检验：当x=9时，x（x-2）=3×1=3≠0， 所以，x=9是原方程的解； （2）方程两边同时乘以（x+1）（x-1）得，（x+1）2-4=x2-1，解得x=1， 检验：当x=1时，（x+1）（x-1）=（1+1）（1-1）=0， 故x=1是原分式方程的增根，原分式方程无解． 【点睛】本题考查的是解分式方程，在解答此类问题时要注意验根． 4．（23-24八年级上·福建福州·期末）解分式方程： 【答案】无解 【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题关键．将分式方程转化为整式方程求解，注意分式方程的结果要进行检验． 【详解】解： 整理，得：， 方程左右两边同时乘得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化1，得： 检验：当时， ∴是原分式方程的增根 ∴原分式方程无解． 分式方程的应用 1．（23-24八年级上·福建福州·期末）某校八年级（1）、（2）两个班的同学以班级为单位分别乘坐大巴车去某基地开展研学活动，此基地与该校距离70千米，八（1）班乘坐的甲车出发10分钟后，八（2）班乘坐的乙车才出发，结果两车同时达到，已知乙车的平均速度是甲车的平均速度的1.2倍，求甲车的平均速度． 【答案】甲车的平均速度是70千米时． 【分析】本题考查了分式方程的应用．设甲车的平均速度是千米时，则乙车的平均速度是千米时，根据八（1）班乘坐的甲车出发10分钟后，八（2）班乘坐的乙车才出发，结果两车同时达到，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设甲车的平均速度是千米时，则乙车的平均速度是千米时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：甲车的平均速度是70千米时． 2（23-24八年级上·福建泉州·期末）某工程由甲、乙两个工程队联合承建．若甲、乙两队共同施工了5个月后，剩下的部分由甲队单独施工，则甲队还需1个月才能完成． (1)若甲队单独完成需要12个月，求乙队单独完成需要的时间． (2)设甲队单独完成的时间为个月，其中．试比较甲、乙两队谁的施工速度较快？说明理由． 【答案】(1)10个月 (2)甲队，见解析 【分析】（1）设乙队单独搭建需要x个月，根据题意，列出分式方程，求解即可； （2）设乙队单独搭建需要b个月，根据题意，列出分式方程，用a表示b，然后根据比差法，即可求解． 【详解】（1）设乙队单独完成需要个月， 根据题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解． 答：乙队单独完成需要10个月． （2）甲队的施工速度较快，理由如下： 设乙队单独完成需要个月，根据题意，得，解得， ， ， ，， ，即， 甲队的施工速度快． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，不等式的性质，解题的关键是理解题意，正确列出分式方程． 3．（23-24八年级上·福建龙岩·期末）《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》中规定：超速行驶属违法行为．为确保行车安全，某一段总路程为270千米的高速公路全程限速120千米时（即行驶过程中任意时刻的车速都不能超过120千米时）．以下是王师傅和李师傅全程行驶完这段高速公路后的对话片断． 王师傅：“李师傅，你的平均车速比我的快20%，行驶完全程比我少用了半个小时．” 李师傅：“虽然我的平均车速比你的快，但是我在行驶过程中的最快车速只比我的平均车速快15%，并没有超速啊！” 根据以上对话，你认为李师傅在行驶过程中是否有超速？请说明理由． 【答案】李师傅在行驶过程中已经超速；理由见解析 【分析】设王师傅的平均车速为x千米/时，由题意可知：王师傅行驶全程的时间=李师傅行驶全程的时间小时，根据等量关系列方程解答即可． 【详解】解：李师傅在行驶过程中已经超速． 设王师傅的平均车速为x千米/时，则李师傅的平均车速为千米时， 依题意，得：， 解方程得， 经检验，是原分式方程的解 李师傅的平均车速为千米/时 李师傅在行驶过程中的最快车速为千米/时 ， 李师傅在行驶过程中已经超速． 【点睛】此题考查分式方程的实际运用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 4．（23-24八年级上·福建厦门·期末）2022年，中国元素闪耀卡塔尔世界杯，特别是中国承建的大型基建项目卢赛尔体育场，是目前全球技术最先进的世界杯主场馆．它的整体外形呈马鞍状，外幕墙是铜色圆形玻璃，配上内部灯光，使得它在夜间格外璀璨，像极了沙漠中的一只“金腕”．该外幕墙的搭建由甲、乙两个工程队联合承揽．若两队一起搭建了5个月后，剩下的部分由甲队单独搭建，则还需1个月． (1)若甲队单独搭建需要12个月，乙队单独搭建需要多少时间？ (2)若甲队单独搭建的时间为a个月（）．甲、乙两队谁的施工速度快？为什么？ 【答案】(1)乙队单独搭建需要10个月； (2)甲队的施工速度快，理由如下． 【分析】（1）设乙队单独搭建需要个月，根据题意，列出分式方程，求解即可； （2）设乙队单独搭建需要个月，根据题意，列出分式方程，用表示，根据的取值，判断出，即可求解． 【详解】（1）解：设乙队单独搭建需要个月，根据题意可得： 解得：， 经检验，是方程的解， 答：乙队单独搭建需要10个月； （2）解：甲队的施工速度快，理由如下： 设乙队单独搭建需要个月，根据题意可得： 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， 即甲队的施工速度快． 【点睛】此题考查了分式方程的应用，不等式的性质，解题的关键是理解题意，正确列出分式方程． 分式值为正（负）数时未知数取值范围 1．（23-24八年级上·福建三明·期末）如果分式的值为正数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据平方的非负性、分式的值为正数可得，，由此即可得． 【详解】解：分式的值为正数，且， 且， 解得且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了分式的值为正数，正确列出不等式是解题关键． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）若分式的值总是正数，a的取值范围是 A．a是正数 B．a是负数 C．a> D．a<0或a> 【答案】D 【分析】若分式的值是正数，只有在分子分母同号下才能成立，即或，因而能求出a的取值范围即可. 【详解】∵分式的值是正数， ∴或 解得，a>或a<0. 故选D. 【点睛】本题考查分式值的正负性问题,若对于分式(b≠0)>0时,说明分子分母同号;分式 (b≠0)<0时,分子分母异号. 3．（23-24八年级上·福建南平·期末）已知a为整数，且÷为正整数，求所有符合条件的a的值的和（　　） A．8 B．12 C．16 D．10 【答案】C 【分析】首先对于分式进行化简，然后根据a为整数、分式值为正整数可求出a的值，最后将a的所有值相加即可． 【详解】解：﹣÷ ＝﹣× ＝﹣ ＝ ＝， ∵a为整数，且分式的值为正整数， ∴a﹣5＝1，5， ∴a＝6，10， ∴所有符合条件的a的值的和：6+10＝16． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，对分式的分子和分母能够正确分解因式是解题的关键． 4．（23-24八年级上·福建泉州·期末）若分式的值是负数，则的取值范围是（    ）. A． B．或 C．且 D．或 【答案】D 【分析】根据题意列出不等式组，解不等式组则可． 【详解】∵是负数， ∴或 ∴或. 故选D. 【点睛】此题考查分式的值，解题关键在于掌握运算法则 5．（23-24八年级上·福建福州·期末）若分式的值为负数，则x的取值范围是 ； 【答案】x<且x≠ -1 【分析】根据题意可得关于x的不等式组，解不等式组即可得. 【详解】由题意得：， 解得：x<且x≠ -1， 故答案为x<且x≠ -1. 【点睛】本题考查了分式的值，绝对值的意义，正确分析得出关于x的不等式组是解题的关键. 分式值为整数时未知数取值范围 1．（23-24八年级上·福建宁德·期末）如果m为整数，那么使分式的值为整数的m为 ． 【答案】或或0或1 【分析】本题主要考查分式的值，熟练掌握相关知识点并全面讨论是解题关键． 分式，讨论就可以了，即是2的约数即可完成． 【详解】解：， 若原分式的值为整数，那么，，1，2 由得，； 由得，； 由得，； 由得，； 或或0或1， 故答案为：或或0或1． 2．（23-24八年级上·福建厦门·期末）若为整数，且为整数，则所有符合条件的的值为 ． 【答案】1，2，4，5 【分析】本题考查的是分式为整数时未知数的整数值，先通分，再根据分式的加减法计算出分式的值，根据x为整数得出符合条件的x的值即可． 【详解】解： ， ， 若为整数，且为整数， 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， 故答案为：1，2，4，5． 3．（23-24八年级上·福建莆田·期末）若是偶数，代数式的值是整数，则可以取的所有数值之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值，正确理解题意是解答本题的关键．根据分式的值为整数，的值为偶数，可得或，求出的值，即可求出结果． 【详解】解：分式的值为整数，的值为偶数， 或， 或或或， 可以取的所有数值之和为， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·福建三明·期末）已知，则满足k为整数的所有自然数x的值 ． 【答案】0，1，4． 【分析】将k变形为3+，据此可得2x-1=±1或7时k取得整数，解之求得x的值可得答案． 【详解】解：∵， ∴当2x-1=1或2x-1=-1或2x-1=7或2x-1=-7时，k为整数， 解得：x=1或x=0或x=4或x=-3， ∵x 为自然数， ∴x=0，1或4， 故答案为：0，1，4． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的解，解题的关键是将k变形为3+，并根据k为整数得出关于x的方程． 分式的新定义问题 1．（23-24八年级上·福建福州·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是__________（填序号）； ①；②；③； (2)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)①② (2)，当时，该式的值为整数． 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． （1）根据“和谐分式”的定义判断即可； （2）原式化简为，继而得出原式，结合分式有意义的条件可得答案． 【详解】（1），， ①②是“和谐分式”． 故答案为：①②． （2）原式 ， 且， 且且， 若该分式的值为整数，则，此时分式的值． 2．（23-24八年级上·福建厦门·期末）我们把形如不为零，且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为 ，，． 再如为十字分式方程，可化为，，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程 的两个解分别为，，求的值． (3)若关于的十字分式方程的两个解分别为，，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）类比题目中“十字方程”的答题方法即可求解． （2）结合运用“十字方程”并代数运算即可求解； （3）把原方程变形为，再结合运用“十字方程”并代入运算即可求解． 【详解】（1）解：可化为， ，． （2）解∶ 根据题意得：，， ． （3）解∶ 原方程变为， ，， ， ． 【点睛】本题考查完全平方公式，分式方程；理解“十字方程”的定义以及题目中的答题方法是解题的关键． 3．（23-24八年级上·福建福州·期末）定义：若分式P与分式Q的差等于它们的积，即，则称分式P与分式Q互为“关联分式”．如与，因为，所以与互为“关联分式”，其中一个分式是另外一个分式的“关联分式”． (1)请通过计算判断分式是不是分式的“关联分式”． (2)求分式的“关联分式”． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查用新定义解决数学问题，熟练掌握分式混合运算法则是求解本题的基础； （1）根据“关联分式”的定义判断即可； （2）①设分式为P，则其关联式为Q，则有，计算Q即可； ②设为Q，则其关联式为P，则有，计算P即可； 【详解】（1）解：证明：若和为关联分式， 则必须满足， 故：， ， ∴， 故分式是分式的“关联分式”； （2）已知题意：， ①设为P，则其关联式为Q， ， ， ， ， 故其关联式为． ②设为Q，则其关联式为P， ， ， ， ， 故其关联式为． 综上，分式的“关联分式”为或． 4．（23-24八年级上·福建龙岩·期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：，则分式与互为“3阶分式”． (1)分式与互为“__________阶分式”； (2)设正数x，y互为倒数，求证：分式与互为“2阶分式”； (3)若分式与互为“1阶分式”（其中a，b为正数），求ab的值． 【答案】(1)5 (2)详见解析 (3) 【分析】（1）根据提议，计算与的和即可； （2）根据题意首先利用倒数关系，将x，y进行消元，然后通过分式的加法化简即可得解； （3）根据1阶分式的要求对两者相加进行分式加法化简，通过通分化简即可得解． 本题主要考查了分式的加减，熟练掌握分式的通分约分运算知识是解决此类问题的关键． 【详解】（1），     分式与互为“5阶分式”； （2）∵正数x，y互为倒数， ， ， ∴分式与互为“2阶分式”； （3）∵分式与互为“1阶分式”， ， 去分母，得，     ， ， ， ， ∵a，b为正数， ∴， 解得． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$